Fundamentos da Eletrostática Aula 11 Sobre a solução de problemas eletrostáticos

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1 Fundamentos da Eletrostática Aula 11 Sobre a solução de problemas eletrostáticos Prof. Alex G. Dias Prof. Alysson F. Ferrari Solução de problemas eletrostáticos via Equação de Laplace Especicada a distribuição de cargas dq, podemos em princípio resolver um problema de eletrostática calculando o potencial e o campo via e ϕ (r) = 1 4πε 0 ˆ E (r) = 1 ˆ 4πε 0 1 r r dq, r r r r 3 dq. Entretando, em muitas situações a distribuição de cargas não é conhecida com detalhes sucientes de antemão. Considere, por exemplo, um sistema de condutores. Em um condutor, as cargas podem se mover livremente. Usualmente, temos apenas controle sobre a carga total ou o potencial de cada condutor, sem saber detalhes da distribuição de carga existente no problema. Lembramos que o potencial eletrostático obedece à equação de Poisson, 2 ϕ (r) = ρ (r) ε 0, ou, em regiões onde não há carga elétrica, à equação de Laplace, 2 ϕ (r) = 0. Nesta aula, vamos mostrar como utilizar estas equações especialmente a última para solução de problemas eletrostáticos, sem a necessidade de um conhecimento prévio detalhado da distribuição de carga ρ (r). Considere um sistema de N condutores mantidos em potenciais ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ N. Lembre-se que os condutores são equipotenciais. O problema que se coloca é o de achar o potencial em todos os pontos fora dos NH Fundamentos da Eletrostática t1 NH Fundamentos da Eletrostática t1 1

2 condutores. Nesta região externa, considerando que ρ (r) = 0, sabemos que o potencial eletrostático satisfaz a equação de Laplace 2 ϕ (r) = 0. É claro que a solução desta equação, atendendo à condição de que ϕ = ϕ i na superfície de cada condutor, pode ser difícil de se obter tendo em vista o grau de complexidade do sistema em questão. Princípio de superposição e Unicidade de Soluções Antes de prosseguir, vamos nos deter um pouco sobre duas propriedades fundamentais da equação diferencial que queremos resolver. Observe que a equação de Laplace 2 ϕ (r) = 0, é linear, e você já deve saber que ela satisfaz ao princípio de superposição. Isto signica que, se ϕ 1 (r), ϕ 2 (r),..., ϕ m (r) são soluções da equação de Laplace, então ϕ (r) = c 1 ϕ 1 (r) + c 2 ϕ 2 (r) + + c m ϕ m (r), onde c i são constantes arbitrárias, também é uma solução, já que 2 ϕ = c 1 2 ϕ 1 (r) + c 2 2 ϕ 2 (r) + + c m 2 ϕ m (r) = 0. Outra questão relevante é a unicidade de soluções, ou seja: suponhamos que você encontrou, de alguma forma, uma solução da equação de Laplace satisfazendo as condições de contorno desejadas (para um sistema de N condutores como descrito anteriormente, por exemplo). Será que existe alguma outra solução satisfazendo as mesmas condições de contorno? Considere um volume V contendo todos os condutores, delimitado pela superfície fechada S; chame de V 0 o subvolume de V externo aos condutores. Como não existe carga em V 0, o potencial elétrico deve satisfazer 2 ϕ = 0 nesta região. problema. Sejam S i, i = 1,..., N as superfícies dos N condutores do Geralmente, nós temos algum conhecimento de ϕ nas superfícies S e NH Fundamentos da Eletrostática t1 2 NH Fundamentos da Eletrostática t1 3

3 S i, ou seja, conhecemos as condições de contorno do problema. precisa, precisaremos considerar dois tipos de condições de contorno, De forma mais 1. a imposição de que Φ (r) = ϕ i nas superfícies S e S i, para i = 1,..., N. 2. a imposição de um valor para a derivada normal de Φ, ou seja, Φ (r) n, nas superfícies S e S i. Φ(r) n A situação considerada está esquematizada na gura abaixo. A pergunta que nos fazemos é: existe mais que uma função Φ satisfazendo 2 Φ = 0 em V 0 e as condições de contorno que impomos em S e S i? unicidade da solução deste problema de contorno corresponde a estudar a função Φ (r) = Φ 1 (r) Φ 2 (r), e vericar se Φ pode ser diferente de zero. Devido às condições de contorno que consideramos, podemos armar que, nas superfícies S e S i, Φ (r) Φ (r) n S,S1,S 2,...,S = 0 N já que Φ 1 S,S1,S 2,...,S N = Φ 2 S,S1,S 2,...,S N (condição de contorno tipo 1) ou Φ 1 n S,S1,S 2,...,S N = Φ 2 n S,S1,S 2,...,S N (condição de contorno tipo 2) Suponhamos que existam duas soluções Φ 1 (r) e Φ 2 (r) da equação de Laplace em V 0, 2 Φ 1 (r) = 2 Φ 2 (r) = 0, r V 0, satisfazendo também as condições de contorno nas superfícies S e S i. Estudar a Podemos então então integrar Φ (r) Φ (r) n em todas as superfícies fechadas S e S i, e aplicar o teorema do divergente, 0 = Φ Φ da S+S 1 + +S N ˆ = (Φ Φ) d 3 V V 0 ˆ " # = ( Φ) ( Φ) + Φ {z 2 Φ} d 3 V V 0 =0 ˆ = ( Φ) 2 d 3 V. V 0 NH Fundamentos da Eletrostática t1 4 NH Fundamentos da Eletrostática t1 5

4 Note que ( Φ) 2 = ( Φ) ( Φ) 0, portanto, a única forma da integral de ( Φ) 2 anular-se num dado volume é se Φ (r) = 0 em V 0 Φ(r) não pode variar em V 0. Se a condição de contorno considerada for a especicação de Φ 1 e Φ 2 nas superfícies (tipo 1), então Φ = 0 nas superfícies Φ 1 (r) = Φ 2 (r) em V 0 que foi a informação que realmente utilizamos para chegar ao resultado. Repare também que Φ = 0 signica que o campo elétrico correspondente a Φ 1 e Φ 2 é o mesmo, E = Φ 1 = Φ 2, já que Φ 1 = Φ 2 + constante. Se a condição de contorno for a especicação de Φ 1 n e Φ 2 n então Φ (r) = 0 leva a Φ (r) = constante Φ 1 (r) = Φ 2 (r) + constante. nas superfícies, O que acabamos de descobrir foi o conhecido teorema da unicidade: Teorema da Unicidade Se duas soluções da equação de Laplace satisfazem as mesmas condições de contorno, então elas diferem no máximo por uma constante aditiva. Observe que podemos estender o teorema considerando que existe uma densidade de carga não nula em V 0, i.e., 2 Φ 1 = 2 Φ 2 = ρ ε 0, de modo que continuamos a ter 2 Φ = 2 Φ 1 2 Φ 2 = 0, NH Fundamentos da Eletrostática t1 6 NH Fundamentos da Eletrostática t1 7

5 Soluções da Equação de Laplace: O Caso Unidimensional Problema 1: No caso de problemas em uma dimensão, ou que podem ser reduzidos a uma única variável independente, temos as seguintes soluções para a Equação de Laplace: Coordenadas Cartesianas ϕ = ϕ (x) 2 ϕ = 0 d2 ϕ dx 2 = 0 Solução: ϕ (x) = ax + b Coordenadas Esféricas ϕ = ϕ (r) 2 ϕ = 0 1 r 2 d dr Solução: ϕ (x) = a r + b r 2 dϕ dr = 0 Coordenadas Cilíndricas ϕ = ϕ (ρ) 2 d ϕ = 0 = 0 1 ρ dρ ρ dϕ dρ Solução: ϕ (x) = a ln ρ + b Note que, em cada um dos casos, existem duas constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições de contorno. Determinar o potencial eletrostático entre duas superfícies cilíndricas condutoras, de raio R 1 e R 2, com R 2 > R 1, que têm eixo principal comum e são mantidas a uma diferença de potencial ϕ. Solução: Seja ϕ 1 o potencial no cilindro de raio R 1, então no outro cilindro exterior temos ϕ 2 = ϕ 1 + ϕ. Usando coordenadas cilíndricas, podemos reduzir este problema a um problema formalmente unidimensional, i.e., o potencial só depende do raio cilíndrico, ϕ (r) = ϕ (ρ), e satisfaz a equação de Laplace no espaço entre os cilindros, A solução geral é 2 ϕ = 0 1 d ρ dρ ρ dϕ dρ ϕ (ρ) = a ln ρ + b. As condições de contorno a serem satisfeitas são ϕ (R 1 ) = a ln R 1 + b = ϕ 1 «= 0. ϕ (R 2 ) = a ln R 2 + b = ϕ 2 = ϕ 1 + ϕ. Resolvendo o sistema de equações, temos a = ϕ ln R 2 R 1 1 b = ϕ 1 + ϕ 1 ln R 2 ln R 1 NH Fundamentos da Eletrostática t1 8 NH Fundamentos da Eletrostática t1 9

6 O campo elétrico entre os dois cilíndros é (lembrando o gradiente em coordenadas ϕ cilíndricas, ϕ = ϕ ρ ˆρ + 1 ˆφ ρ φ + ϕ z ẑ), E = ϕ = ˆρ ρ = ϕ ln R 2 R 1 ˆρ ρ. 0 ϕ ln ρa ln R 2 R 1 Problema 2 Repetir o problema anterior, considerando duas superfícies esféricas concêntricas de raios R 1 e R 2 mantidas a uma diferença de potencial ϕ. NH Fundamentos da Eletrostática t1 10