Fundamentos da Eletrostática Aula 03 Cálculo Vetorial: Teoremas Integrais

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1 Fundamentos da Eletrostática Aula 03 Cálculo Vetorial: Teoremas Integrais Prof. Alex G. Dias Prof. Alysson F. Ferrari Integrando Campos vetoriais Você já viu que, diferentemente de campos escalares, campos vetoriais podem ser derivados de mais que uma maneira, por exemplo V ; V ; V ;... Podemos também integrar campos vetoriais. Não deve surpreendê-lo, a esta altura, saber que existem várias formas de integrar um campo vetorial. É o que começaremos a ver nesta aula. Começaremos com o caso mais intuitivo: a integral de linha. Talvez você já tenha visto a integral de linha num curso de mecânica clássica, já que o trabalho feito por uma força F (r) sobre uma partícula que se move de um ponto P 1 a um ponto P é dado pela integral W = P P 1 F (r) dr. Esta integral é na verdade uma integral de linha sobre o caminho tomado pela partícula para ir de P 1 a P. Vamos estudar o caso particular em que o campo vetorial integrado é o gradiente de um campo escalar ψ (r). Nossa apresentação será intuitiva e prática; o aluno interessado deve buscar em livros de matemática aplicada ou análise vetorial o enunciado precisos dos teoremas, incluindo todas as condições para sua validade. No que se segue, vamos sempre assumir que todas as curvas, superfícies e funções são sucientemente comportadas para que todas as operações feitas façam sentido. NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 1

2 Integrais de Linha do Gradiente e somar sobre todos os segmentos. denição do gradiente, Considere uma região do espaço onde existe um campo vetorial ψ, e uma curva que começa num ponto (1) e termina um ponto (). A integral de linha ψ dr é calculada da seguinte forma: divida a curva em pequenos pedaços de comprimento s. Cada segmento é aproximado por um vetor s i. Podemos calcular o produto ψ s i para cada segmento, dψ = ( ψ) dr. Temos que lembrar que, pela omando as três primeiras contribuições, por exemplo, temos dψ 1 + dψ + dψ 3 ψ (r c ) ψ (r 1 ). e somarmos todas as contribuições, portanto, teremos ψ dr ψ s i ψ (r ) ψ (r 1 ). i Tomando o limite para s 0, as aproximações tornam-se uma igualdade, e encontramos assim que ψ dr = ψ (r ) ψ (r 1 ), uma curva indo de r 1 a r Note a similaridade com o teorema fundamental do cálculo integral: Note que: b a df (x) dx = f (b) f (a) dx Assim: ψ (r 1 ) s 1 = dψ 1 ψ (r a ) ψ (r 1 ) ψ (r a ) s = dψ ψ (r b ) ψ (r a ) ψ (r b ) s 3 = dψ 3 ψ (r c ) ψ (r b )... este resultado não depende da escolha dos subintervalos s i, desde que sejam pequenos, já que no nal é tomado o limite s 0; o resultado da integral não depende da curva escolhida para ir de (1) a (); NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 3

3 Fluxo e Circulação: motivação egue deste resultado que a integral de ψ sobre qualquer curva fechada é nula: ψ dr = = 1 + ψ dr + 1 ψ dr = ψ (P ) ψ (P 1 ) + ψ (P 1 ) ψ (P ) = 0 Lembre-se do exemplo que mostramos na aula passada: V V 4 V 1 (r) = r r = x x + y x + y x + y ŷ V (r) = y x + x ŷ Calculando o divergente e o rotacional: V 1 = 0 j.v 1 = 0, se x ou y 0, se x = y = V = 0 ; V = ẑ Você consegue daí ter uma idéia do que o divergente e o rotacional signicam? Pense nestes campos representando o campo de velocidades de um uido, por exemplo. Vamos agora demonstrar dois teoremas que, além da importância prática, também esclarecem a interpretação física da divergência e do rotacional. Antes, vamos discutir um pouco duas características fundamentais de um campo vetorial: o uxo e a circulação. NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 4 NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 5

4 Fluxo de um Campo Vetorial através de uma uperfície n normal a a. Em particular, uxo por a = uxo por a 1. Imagine um campo vetorial representando o uxo de um determinado uído em escoamento estacionário (independente do tempo), i.e., V (r) em cada ponto do espaço aponta para o sentido de uxo do uído, e V (r) = litros por unidade de área unidade de tempo Então, dada uma superfície qualquer, podemos nos perguntar quanto líquido atravessa esta superfície por unidade de tempo. Chamaremos esta quantidade de uxo. Mais precisamente, o uxo será uma média da componente normal de V à superfície considerada, vezes a área da superfície. O uxo por uma superfície é calculado dividindo a superfície em áreas elementares a, calculando o uxo para cada uma delas e somando, sendo ao nal tomado o limite a 0. Considere uma área elementar a, como na gura ao lado. uxo de V por a depende da orientação relativa entre V e o vetor NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 6 O Mas logo, e a 1 = cos θ a, uxo por a = V a 1 = V a cos θ = V (n a ) = V da uxo por = lim V da a 0 = V da No caso que é um superfície fechada (por exemplo, a superfície de uma esfera tridimensional), escrevemos para o uxo, V da. No caso particular do uido em escoamento, o uxo V da por uma superfície fechada dá a taxa com que o uido sai do NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 7

5 volume V denido por ; se o uido é incompressível, isto signica necessariamente que há uma fonte dentro de V, pela qual está entrando mais uido. No exemplo V 1 citado anteriormente, temos, para uma superfície esférica centrada na origem, V 1 da > 0, já que V 1 da > 0 em todos os pontos da superfície; esta situação correndo à existência de uma fonte de uido na origem. Circulação de um campo vetorial Retornando ao campo V de um uído como no exemplo anterior, imagine que possamos fazer surgir, instantaneamente, um tubo innitesimal fechado dentro do uído. Podemos nos perguntar: o uído dentro do tubo está circulando? Para responder, considere a média da componente de V tangencial à curva fechada, ao longo da curva - chamada de circulação de V. Dividimos uma curva fechada em segmentos innitesimais l i, com comprimento l, para cada segmento, temos V tangencial l = Vi dl i logo circulação = lim l 0 V i dl i = V dl e V dl 0, existe um movimento líquido de rotação dentro deste tubo imaginário. Este é o caso do campo vetorial V, citado anteriormente. NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 8 NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 9

6 As Leis Fundamentais do Eletromagnetismo a lei: As leis fundamentais do eletromagnetismo podem ser enunciadas através das propriedades de uxo e circulação dos campos E e B. 1 a lei: circulação de E ao redor de uma curva fechada C = d dt (uxo de B através de ) Esta lei basicamente informa que um campo magnético variável no tempo induz uma circulação de E diferente de zero numa dada curva fechada. Este é justamente o fenômeno da indução magnética, que você conhece de cursos elementares de eletromagnetismo. uxo de E por qualquer superfície fechada = 1 ε 0 (carga líquida englobada pela superfície). Caso particular de uma carga puntual envolvida por uma superfície esférica: como E é constante na superfície da esfera, E da = E (área da esfera), logo No caso particular estacionário (B constante no tempo), temos simplesmente: circulação de E ao redor de uma curva fechada C = 0 4πr E = q ε 0 E = 1 4πε 0 q r 3 a lei: uxo de B através de qualquer superfície fechada = 0 Esta lei diz simplesmente que não existe carga magnética. NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 10 NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 11

7 4 a lei: O Teorema (da divergência) de Gauss circulação de B ao redor da curva fe- d chada C = µ 0 ε 0 dt (uxo de E por ) + µ 0 (corrente elétrica cortando ) No caso particular estacionário (E e corrente elétrica independentes do tempo), temos πr B = µ 0 I B = µ 0 I π r Considere um dado volume V, englobado pela superfície. A cada elemento innitesimal de área da associamos um vetor n normal ao elemento de área, apontando para fora do volume, e o vetor da na direção de n e com módulo da. eja A (r) um campo vetorial que existe em toda a região considerada. Queremos calcular o uxo de A através de, A da. uponha agora que dividamos o volume em duas metades, V 1 e V, como na gura (na verdade, as duas metades estão coladas, e foram desenhadas separadas apenas pela clareza do desenho). Podemos calcular o uxo de A pela superfícies que envolvem V 1 e V. A da = A da + A da a 1 1 A da = A da + A da b 1 NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 1 NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 13

8 Note que, para cada elemento de área da 1 em 1, existe um correspondente elemento da em 1, e que e portanto, da 1 = da, A da = 1 A da. 1 A da + a A da = b A da + 1 A da = (Em palavras: A da podemos calcular o uxo sobre dividindo o volume em partes menores, e somando o uxo correspondente a cada uma delas, já que as contribuições correspondentes às faces internas se cancelam aos pares.) Dividimos agora o volume num grande número de cubos innitesimais V i, cada um com superfície i, muito pequenos. Como acabamos de mostrar, o uxo total é dado simplesmente por A da = i i A da. Vamos calcular, portanto, o uxo de A = A xx + A y ŷ + A z ẑ NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 14 para um volume innitesimal V i, de lados x, y e z, em torno de um ponto P = (x, y, z), como na gura. Como o cubo é innitesimal, vamos tomar A como constante em cada face do cubo, igual ao valor no ponto médio de cada face. Face 1: n 1 = ŷ e F 1 = face 1 Face : n = ŷ e F = F 1 + F = face ( A da 1 = A y x, y + y ), z x z ( A da = A y x, y y ), z x z»a y x, y + y» = «, z A y A y (x, y, z) + A y y x, y y, z y + O y ««x z A y (x, y, z) A y y y + O y «x z» Ay = y y + O y x z = A y y x y x = A y y V i NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 15

9 Procedendo da mesma forma para as outras faces, obtemos: F 3 + F 4 = A x x V i F 5 + F 6 = A z z V i somando, encontramos como uxo total, i A da = [ Ax x + A y y + A ] z V i z = A V i Teorema de Gauss Dado um campo vetorial A (r) e um volume V envolvido por uma superfície, temos A da = V A d 3 V Este teorema relaciona de alguma forma o uxo de um dado campo vetorial com o seu divergente. Lembre-se do exemplo do campo V 1 do começo desta aula. omando o uxo por todas as superfícies i, temos 4 V 1 = 0 j.v 1 = 0, se x ou y 0, se x = y = 0 A da = i i A da = i A V i V Ad 3 V V 1 tem uxo diferente de zero em qualquer volume que contenha a origem, o que sinaliza a presença de uma fonte na origem. Pois justamente na origem vimos que V 1 0 (o fato de que, formalmente V 1 = está ligado ao fato de tratar-se de uma fonte pontual na origem; discutiremos isto mais adiante). No limite em que os volumes V i 0, obtemos uma igualdade entre o uxo total do campo A pela superfície e a integral, em todo o volume V, da divergência de A. Este é o Teorema de Gauss. NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 16 NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 17

10 Teorema de tokes Note que 1 (1 ) e 1 ( 1) diferem apenas pela orientação do caminho. Assim: Existe um teorema similar ao de Gauss, mas que está relacionado à circulação de um campo vetorial. eja A = A xx + A y ŷ + A z ẑ e vamos calcular a circulação de A em torno de uma curva. Temos que escolher um sentido para fazer a integração na curva, e este sentido é escolhido por convenção: o sentido é tal que o interior da curva esteja à esquerda enquanto se percorre a curva. Vamos calcular a circulação de A em : e A dl Começamos dividindo a curva em duas, como na gura. Temos: a A dl + 1 b A dl + 1 (1 ) 1 ( 1) A dl A dl ( 1 (1 ) signica a integral na curva 1, indo do ponto 1 ao ponto ). NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 18 e, consequentemente, A dl + 1 (1 ) 1 ( 1) 0. omando as integrais em a e b, A dl + a b A dl + 1 A dl O processo pode ser repetido, e dividimos a curva fechada em muitas curvas elementares i, que podem ser tomadas como quadrados muito pequenos. Como acabamos de mostrar, as integrais de linhas sobre todas as linhas internas se cancelam aos pares, e NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 19

11 portanto, i i A dl. Basta portanto calcular a circulação de A sobre um laço innitesimal i. i lado 1 Lado 1: dl = ŷdy e lado 1 Lado : dl = ẑdz e lado Considere um laço i, com o ponto central P = (x, y, z). uponha, para simplicar, o laço de formato quadrado, no plano yz, como na gura. Como i é muito pequeno, podemos considerar A constante em cada lado do quadrado, igual ao seu valor no ponto médio. Temos: A dl + A dl + A dl + A dl lado lado 3 lado 4 A dl A y x, y, z z «y A dl A z x, y + y «, z NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 0 z Lado 3: dl = ŷdy e lado 3 Lado 4: dl = ẑdz e omando: lado 1+lado 3 = e lado 4 A dl A y x, y, z + z «y A dl A z x, y y «, z z»a y x, y, z z «A y x, y, z + z «y = A y z z y + O z y = A y z z y lado +lado 4 = A z y z y i» Az y A y y z z = ( A) x a i = ( A) (x a i ) = ( A) da i NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 1

12 Note que x é o vetor unitário normal ao plano da curva, em concordância com a regra da mão direita. Isto acontece pois escolhemos o referencial tal que o laço i esteja no plano yz. Devido à invariância do produto escalar, a relação ( A) da i i Teorema de tokes Dado um campo vetorial A (r) e uma superfície, tendo como borda a curva fechada, temos ( A) da onde o sentido de da é dado pela regra da mão direita. vale para qualquer laço quadrado i, onde da i é o vetor elemento da área delimitada por i. omando para todos os laços elementares i, Note que, dada uma curva, existem várias superfícies que possuem como borda. O que o teorema arma é que a integração ( A) da em 1 e dará exatamente o mesmo resultado, desde que 1 e compartilham a mesma borda. i i i = ( A) da, ( A) da i Considere o que acontece se colapsa a um ponto: neste caso, se torna uma superfície fechada que engloba um volume V e, pelo teorema de tokes, ( A) da = 0 ( A) ( A) nda, onde n é o vetor normal à superfície, onde é a superfície cuja borda é. Lembre-se que da = orientado segundo a regra da mão direita. O resultado que acabamos de encontrar é o chamado teorema de tokes. NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 por outro lado, usando o teorema de Gauss, ( A) da = ( A) d 3 V = 0 NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 3

13 já que ( A) = 0 para qualquer A: consistentes, como deveria ser. os dois resultados são 4 Finalmente, lembre-se do campo vetorial V do começo desta aula. V = 0 ; V = ẑ É claro que A dl 0 para qualquer curva circular em torno da origem, e o teorema de tokes diz que então tem que ser A 0, o que justamente encontramos ao calcular explicitamente o rotacional. NH801 - Fundamentos da Eletrostática - 009t1 4