Instituto de Fıśica UFRJ Mestrado em Ensino profissional

Transcrição

1 Instituto de Fıśica UFRJ Mestrado em Ensino profissional Tópicos de Fıśica Clássica II 1 a Lista de Exercıćios egundo emestre de 2008 Prof. A C Tort Exercıćio 1 O operador nabla Começamos definindo o operador linear vetorial em coordenadas cartesianas: := e x x + e y y + e z z. Em algumas situações geralmente ditadas pela simetria do problema convém rescrever o operador nabla em coordenadas curvilıńeas. Escreva o operador em: (a) coordenadas cilıńdricas; (b) coordenadas esféricas. (c) Calcule 2 := em coordenadas cartesianas. (d) Escreva 2 em coordenadas cilıńdricas e esféricas. Exercıćio 2 Gradiente, divergente e rotacional Com o operador podemos efetuar três operações diferenciais importantes para a eletrodinâmica, a saber: φ, o gradiente de uma função escalar, F, o divergente de uma função vetorial, F, o rotacional de uma função vetorial. Escreva essas operações em: (a) coordenadas cartesianas; (b) coordenadas cilıńdricas; (c) coordenadas esféricas. 1

2 Exercıćio 3 uponha que φ(x, y, z, t) sea uma função escalar diferenciável definida em uma região U contida no lr 3 lr. Mostre que: dφ = φ dr + φ t dt. Exercıćio 4 uponha que F(x, y, z, t) sea uma função vetorial diferenciável definida em uma região U contida no lr 3 lr. Mostre que: df =(dr ) F + φ t dt Exercıćio 5 uponha que φ sea uma função escalar diferenciável definida em uma região U contida no lr 3. uponha também que esta função apresente simetria esférica, i.e.: onde r = x 2 + y 2 + z 2. Mostre que: φ (x, y, z) =φ (r), φ = dφ dr e r, sem fazer uso da representação em coordenadas curvilıńeas do operador nabla. Exercıćio 6 é dado por: O potencial eletrostático de um dipolo elétrico p colocado na origem V = p r 4π 0 r 3, onde r = ÎrÎ é a distância radial à origem. Calcule o campo elétrico associado. Exercıćio 7 Divergente e rotacional Calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos vetoriais: (a) F =(x + y) e x +( x + y) e y 2z e z ; (b) G =2y e x + (2x +3z) e y +3y e z ; (c) H =(x 2 z 2 ) e x +2e y +2xz e z. 2

3 Exercıćio 8 Mostre que se φ é uma função escalar diferenciável definida em uma região U contida no lr 3, então: em todos os pontos de U. φ =0, Exercıćio 9 Enuncie (não é necessário demonstrar) o teorema de tokes. Tente entender o seu significado e condições de validade. Exercıćio 10 Enuncie (não é necessário demonstrar) o teorema de Gauss ou da divergência. Tente entender o seu significado e condições de validade. Exercıćio 11 Testando o teorema de tokes Considere o campo vetorial: A = y e x + x e y. (a) Faça um esboço gráfico das linhas de campo. (b) Calcule: sobre a curva x 2 + y 2 =1; z =0. (c) Agora calcule: C A ds, ( A) ^n da, onde e a região contida no plano xy limitada pela curva dada acima e verifique explicitamente a validade do teorema de tokes. Exercıćio 12 Testando o teorema de Gauss Dado o campo vetorial r = x e x + y e y + z e z, (a) Calcule: R rdv, onde R é o interior de uma esfera de raio R com centro na origem. 3

4 (b) Calcule agora r ^n da, onde é a fronteira de R do item anterior, e verifique explicitamente o teorema de Gauss. Exercıćio 13 Um resultado importante Mostre que para um campo vetorial A definido em uma região R e com derivadas contıńuas: em todos os pontos de R. ( A) = 0, Exercıćio 14 Exercıćio 15 Dê um exemplo do uso do teorema de tokes na eletrostática. Dê um exemplo do uso do teorema de Gauss na eletrostática. Problema 1 O ângulo sólido ea uma superfície suave, orientável, mas arbitrária, e P um ponto a partir do qual emanam semi-retas que interceptam apenas uma vez. O conunto dessas semi-retas, denotado por Ω(), é por definição o ângulo sólido com vértice em P subtendido por. A medida deste conunto é definida da seguinte forma: sea Σ(R), a interseção de Ω() com a superfície de uma esfera de raio R cuo centro é o ponto P. O quociente: área de Σ(R) R 2, denotado por Ω(), é por definição, a medida do ângulo sólido Ω(). (a) Mostre que a medida pode ser escrita na forma: área de Σ(R) r ^n Ω() = = da, R 2 r 3 onde r é o vetor posição de um ponto arbitrário de em relação a P, r = ÎrÎ, e ^n é o vetor normal unitário externo à. Observe que a medida do ângulo sólido não depende do raio R. ugestão: aplique o teorema da divergência ao campo vetorial: A = r ^n r 3, na porção de Ω() compreendida entre Σ(R) e. 4

5 (b) Agora mostre que se for uma superfície suave, arbitrária, fechada então: Ω() = I r ^n 4π se P for interno a, d = r 3 0 se P for externo a. Obs: uma discussão alternativa sobre o conceito de ângulo sólido pode ser encontrada em H.M. Nussenzveig: Curso de Fıśica Básica, vol. 3, Eletromagnetismo, Cap. 3. A discussão feita acima segue de: T. Apostol, Calculus, 2nd ed., Vol. II, J. Wiley, mas pode ser encontrada em outros livros contendo material sobre análise vetorial, por exemplo, há um volume da coleção chaun sobre cálculo vetorial (em portugês) com vários exercıćios resolvidos e propostos sobre os temas que nos interessa aqui. 5