Fundamentos da Eletrostática Aula 01 Introdução / Operações com Vetores

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1 Fundamentos da Eletrostática Aula 01 Introdução / Operações com Vetores Prof. Alex G. Dias Prof. Alysson F. Ferrari Eletrostática Neste curso trataremos da parte estática do eletromagnetismo. Ou seja: estudaremos o eletromagnetismo em situações onde as cargas permanecem em repouso e os campos elétricos presentes não variam no tempo. Tais situações são objeto de estudo da eletrostática. Esta escolha, para um primeiro curso de eletromagnetismo, deve-se à simplicidade: se a teoria eletromagnética é composta por um conjunto de leis que são descritas matematicamente através de equações envolvendo ρ e os vetores E, j e B; no caso eletrostático, temos eletrostática 8 >< >: ρ = ρ (x, y, z) j = 0 E = E (x, y, z) B = 0 densidade de carga densidade de corrente vetor campo elétrico vetor campo magnético A eletrostática é bem mais simples que a eletrodinâmica e ainda assim é extremamente útil na solução de problemas macroscópicos (como por exemplo problemas de equilíbrio mecânico envolvendo partículas/objetos carregados) e microscópicos. Em nível microscópico, a eletrostática pode explicar constatações experimentais como a energia de dissociação de compostos químicos (ex. NaCl), diferença de níveis de energia dos núcleos atômicos como B 11 e C 11, C 14 e N 14, por exemplo. Veja as Leituras suplementares sugeridas para aprender mais sobre isso. Antes de enunciar as leis que nos ocuparão neste curso, veremos os elementos da análise vetorial que nos serão úteis. Se o conceito de vetor aparece em cursos introdutórios de mecânica, será aqui que vamos precisar de muita habilidade não apenas para somar vetores, mas também para aplicar os conceitos de derivada e integral a vetores. Principalmente se você não fez um curso de NH Fundamentos da Eletrostática t1 NH Fundamentos da Eletrostática t1 1

2 cálculo vetorial antes, você precisa concentrar bastante esforço nesta primeira parte da disciplina, para poder adquirir prática com as técnicas matemáticas que serão aplicadas, posteriormente, no estudo da eletrostática. Operações básicas com vetores O protótipo geralmente utilizado para se denir vetores e operações sobre vetores é o vetor posição de um certo ponto do espaço, relativo a um dado sistema de coordenadas. Primeiro, escolhemos um referencial. Daí, qualquer ponto P 1 do espaço pode ser localizado por um vetor com sua extremidade inicial na origem, e sua extremidade nal sobre o ponto P 1. vetor r 1 ca especicado pelas suas projeções sobre o eixo dos x, y e z, e estes três números especicam completamente o vetor, como deve car claro pela gura ao lado. Podemos assim escrever o vetor r 1 como r 1 = (x 1, y 1, z 1 ). O Escolhido um referencial, assim, um vetor encontra-se especicado por três números: são as componentes do vetor no referencial adotado. Outras notações para vetores, mais convenientes na escrita manual: r e r. A vantagem desta notação é que podemos somar vetores sem precisar fazer desenhos: por exemplo, se r 1 = (x 1, y 1, z 1 ) e r 2 = (x 2, y 2, z 2 ), o vetor soma r 1 + r 2 é dado simplesmente por r 1 + r 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ) A multiplicação do vetor r 1 por um escalar α é dada por αr 1 = (αx 1, αy 1, αz 1 ). NH Fundamentos da Eletrostática t1 2 NH Fundamentos da Eletrostática t1 3

3 (Norma) Dado um vetor r = (x, y, z), denotamos por r ou simplesmente r o comprimento (ou norma) do vetor. Geometricamente pode-se ver que r = p x 2 + y 2 + z 2 Note que podemos calcular as componentes x, y, z de um vetor r usando os vetores unitários e o produto escalar. De fato, como o comprimento de ẑ é 1, tem-se que (Produto Escalar) Dados dois vetores r 1 e r 2, o produto escalar r 1 r 2 é denido como r 1 r 2 = r 1 r 2 cos θ, onde θ é o menor ângulo compreendido entre os dois vetores. Desta denição, é claro que r 1 r 2 = r 2 r 1 (comutatividade do produto escalar). r ẑ = r cos θ = (projeção de r na direção de ẑ) = z Tomando θ = 0 na última fórmula, podemos escrever alternativamente, para a norma de um vetor, r = r r (Ortogonalidade) Se dois vetores r 1 e r 2 são ortogonais, temos r 1 r 2 = 0. Isto acontece por exemplo se r 1 = (1, 0, 0) e r 2 = (0, 1, 0). Ou seja, em resumo: x = r ˆx; y = r ŷ; z = r ẑ. (Vetores unitários) É conveniente denir o conjunto de três vetores unitários das coordenadas cartesianas ˆx = (1, 0, 0) ; ŷ = (0, 1, 0) ; ẑ = (0, 0, 1) Cada vetor está na direção de um dos eixos coordenados, e satisfazem Uma propriedade fundamental do produto escalar (veja lista 01): A (B + C) = A B + A C ˆx ˆx = ŷ ŷ = ẑ ẑ = 1 (possuem norma 1) (1) ˆx ŷ = ŷ ẑ = ˆx ẑ = 0 (são mutuamente ortogonais) (2) A partir dos vetores unitários, o vetor r = (x, y, z) escreve-se r = x ˆx + y ŷ + z ẑ. Usando-se esta propriedade, mais as relações (1) e (2), chegamos a uma fórmula extremamente útil do produto escalar: se r 1 = (x 1, y 1, z 1 ) e r 2 = (x 2, y 2, z 2 ), r 1 r 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Em particular, r = r r = p x 2 + y 2 + z 2, como já havíamos visto. NH Fundamentos da Eletrostática t1 4 NH Fundamentos da Eletrostática t1 5

4 Produto Vetorial Para os vetores unitários ˆx, ŷ e ẑ, temos Dene-se o produto vetorial entre dois vetores A e B como um terceiro vetor A B, perpendicular a A e B, com orientação dada pela regra da mão-direita, e com comprimento dado pela área do paralelogramo formado por A e B, ou seja, A B = AB sin θ. ˆx ˆx = ŷ ŷ = ẑ ẑ = 0 ŷ ẑ = ẑ ŷ = ˆx ẑ ˆx = ˆx ẑ = ŷ ˆx ŷ = ŷ ˆx = ẑ Com isso, temos explicitamente para os vetores A = A xˆx + A y ŷ + A z ẑ; B = B xˆx + B y ŷ + B z ẑ Exemplo: B na direção do eixo dos y, A no plano yz D = B A = (AB sin θ) ˆx o seguinte produto vetorial, A B = `A xˆx + A y ŷ + A z ẑ `B xˆx + B y ŷ + B z ẑ =A x `By ẑ B z ŷ + A y ( B x ẑ + B zˆx) + A z `Bx ŷ B yˆx = `A y B z A z B y ˆx + (Az B x A x B z ) ŷ + `A x B y A y B x ẑ Pode-se escrever esta fórmula como um determinante: Note que, pela regra da mão direita, A B = D = B A A B = ˆx ŷ ẑ A x A y A z B x B y B z NH Fundamentos da Eletrostática t1 6 NH Fundamentos da Eletrostática t1 7

5 As seguintes relações envolvendo vetores podem ser diretamente vericadas (Lista 01) Propriedades de transformação de um vetor A A = 0 A (A B) = 0 A (B C) = (A B) C A (B C) = B (A C) C (A B) Dado um referencial, todo vetor é especicado por três números suas componentes neste referencial. Mas nem toda tripla de números é um vetor por exemplo, se m, b e l são o número de maças, bananas e laranjas numa sacola de supermercado, não podemos dizer que (m, b, l) é um vetor. O que realmente caracteriza uma grandeza como um vetor, é seu comportamento frente a uma mudança de referencial. Suponha, para ser concreto, que r (t) é um vetor que dá a posição de uma dada partícula, e v (t) = d dtr (t) a correspondente velocidade, ambos em relação a um referencial O. Temos: r (t) = x (t) ˆx + y (t) ŷ + z (t) ẑ, v (t) = v x (t) ˆx + v y (t) ŷ + v z (t) ẑ, Seja O um segundo referencial, obtido de O por uma rotação de ângulo θ em torno do eixo x. Em cada instante t, os vetores r (t) e v (t) podem ser expressos em O, mas tanto suas componentes quanto os vetores unitários são diferentes, r (t) = x (t) ˆx + y (t) ŷ + z (t) ẑ, v (t) = v x (t) ˆx + v y (t) ŷ + v z (t) ẑ. O comprimento de um vetor, contudo, é o mesmo em O e O, ou seja, r r = x 2 + y 2 + z 2 = `x 2 + `y 2 + `z 2 Em outras palavras, a norma de um vetor é invariante sob rotações. NH Fundamentos da Eletrostática t1 8 NH Fundamentos da Eletrostática t1 9

6 Não apenas o comprimento, mas o ângulo entre dois vetores não muda se giramos o referencial, isto signica que o produto escalar r 1 r 2 = r 1 r 2 cos θ, também é um invariante. (Escalares) Grandezas que são invariantes Num caso mais geral, podemos escrever 2 4 x y z 3 5 = R 4 onde R é uma matriz 3 3, chamada matriz de rotação. fundamental é que ela deixa invariante o produto escalar. 2 x y z 3 5 Sua propriedade sob uma mudança de referenciais são chamadas escalares. Podemos relacionar as componentes de um vetor em dois referenciais diferentes, conforme a gura. Temos: x =x A equação acima expressa a forma mais correta para se denir um vetor: um vetor é uma grandeza cujas componentes se transformam, sob uma rotação de referencial, da forma acima. Assim, os três números (b, m, l) citados anteriormente não são componentes de um vetor porque, frente a uma rotação do referencial, eles não são modicados (uma maçã é sempre uma maçã, independente do ângulo com que seja observada!). y = cos θ y + sin θ z z = sin θ y + cos θ z e ˆx =ˆx ŷ = cos θ ŷ + sin θ ẑ ẑ = sin θ ŷ + cos θ ẑ Podemos escrever a relação entre as componentes `x, y, z e (x, y, z) de forma matricial como 2 4 x y z = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ x y z 3 5 NH Fundamentos da Eletrostática t1 10 NH Fundamentos da Eletrostática t1 11

7 Leituras Sugeridas O livro do Griths possui, começando na página 11, um Advertisement que situa a eletrodinâmica no contexto geral da física, e relembra alguns conceitos básicos sobre carga elétrica e unidades de medida. Algumas leituras interessantes do livro The Feynman Lectures of Physics, vol II : seções 1.1, 1.2; as seções 8-3 e 8-4 apresentam interessantes aplicações da eletrostática. NH Fundamentos da Eletrostática t1 12