d 3 r ρ (r ) r r 3 (r r ). (2)

Transcrição

1 Campo gravitacional Entre duas partículas puntiformes a força gravitacional é fácil de ser escrita e entendida intuitivamente, pois aponta sempre de uma partícula para a outra e é sempre atrativa. No entanto, quando uma partícula puntiforme encontra-se na presença de um corpo extenso, a direção da força de atração sobre a partícula pontual não pode mais ser facilmente adivinhada. Isso acontece porque, geralmente, a força gravitacional não aponta para o centro de massa do corpo extenso, mas depende de sua distribuição de massa. É por isso que o conceito de campo gravitacional é útil, já que consiste das linhas de força que ocupam o espaço, sendo geradas por qualquer corpo dotado de massa. Tome uma partícula pontual de massa m que interage gravitacionalmente com um corpo extenso de massa M. A força sobre a massinha m, suposta fixa no ponto r, é dada por F (r = Gm d 3 r ρ (r 3 (r r, ( onde ρ (r é a densidade de massa do corpo extenso de massa total M, calculada no ponto r. Note que a integral é sobre o volume do corpo de massa M. A integração pode ser estendida para todo o espaço físico, já que ρ (r = 0 caso o ponto r não esteja dentro do volume. Fazendo o limite da massa m indo a zero, definimos o campo gravitacional como F (r g (r = lim m 0 + m = G d 3 r ρ (r 3 (r r. (2 É fácil verificar que, como a força gravitacional é conservativa, existe uma função escalar G (r tal que g (r = G (r, (3 onde G (r é chamado de potencial gravitacional. Note que o sinal é invertido com relação à energia potencial (r, cujo gradiente dá a força gravitacional multiplicada por : F = (r. (4 Para ver que a Eq. ( dá a Eq. (4, basta notar que Para ver que essa relação é válida, note que = r r 3. (5 r r = x (x x + ŷ (y y + ẑ (z z (6 e, portanto, = (x x 2 + (y y 2 + (z z 2. (7

2 Logo, = (x x 2 + (y y 2 + (z z 2. (8 Assim, x =, x (x x 2 + (y y 2 + (z z 2 x x x = [(x x 2 + (y y 2 + (z z 2], 3/2 ou seja, x = x x 3, onde usei a Eq. (8. Analogamente, y e z = y y 3 = z z 3, Com essas derivadas parciais, podemos agora escrever r r = x ( x r r + ŷ y ou seja, + ẑ z = x x x 3 ŷ y y 3 ẑ z z 3, ( r r, = x (x x + ŷ (y y + ẑ (z z 3 = r r 3, onde usei a Eq. (6 e esse resultado mostra a validade da Eq. (5. Usando a Eq. (5 na Eq. ( dá F (r = Gm d 3 r ρ (r. 2

3 Como o operador opera na variável r e não em r, podemos escrever essa equação assim também: F (r = Gm d 3 r ρ (r. Como a variável de integração é r e não r, segue que o operador pode ser retirado da integral e o resultado disso é F (r = Gm d 3 r ρ (r, F (r = (r, onde definimos a energia potencial gravitacional (r = d 3 r Gmρ (r r r. (9 Esse resultado mostra a Eq. (4. De forma análoga, a Eq. (3 pode ser vista facilmente a partir da Eq. (2: g (r = G d 3 r ρ (r 3 (r r = G d 3 r ρ (r, onde definimos G (r = g (r = G (r, O campo gravitacional é irrotacional, pois d 3 r Gρ (r. (0 g (r = G (r = 0. ( O fluxo do campo gravitacional sobre uma superfície fechada,, é dado por dan g (r = G dan d 3 r ρ (r 3 (r r, que, para uma massa m pontual dentro da superfície, ao invés de um corpo extenso, dá dan g (r = G da mn (r r 3. 3

4 Mas vou tomar a origem exatamente sobre a massinha m. Então, dan g (r = G da mn r mn r r 3 = G da r 2, onde No integrando, r = r. dan r = dωr 2, onde dω é o elemento de ângulo sólido subentendido pelo elemento de área da. Então, dωr 2 dan g (r = Gm r 2 = Gm dω = 4πGm. (2 Como a superfície pode ser completamente arbitrária, m pode ficar em qualquer ponto interno a e o resultado sempre será o mesmo. Em particular, quando temos mais do que uma massa m apenas dentro de, basta somarmos o resultado: dan g (r = 4πG m k. (3 k No caso de uma distribuição contínua, dan g (r = 4πG d 3 rρ (r, (4 com sendo uma região no interior da superfície fechada. Pelo teorema da divergência de Gauss, podemos escrever d 3 r g (r = dan g (r (5 e, usando a Eq. (4, a Eq. (5 fornece d 3 r g (r = 4πG para todo volume. endo assim, d 3 rρ (r, d 3 r [ g (r + 4πGρ (r] = 0, g (r = 4πGρ (r. (6 4

5 ubstituindo a Eq. (3 na Eq. (6 fornece G (r = 4πGρ (r, 2 G (r = 4πGρ (r, (7 que é a chamada equação de Poisson para o potencial gravitacional e o operador 2 = é chamado de laplaciano. Quando estamos considerando a Eq. (7 em uma região do espaço onde não há massa, obtemos a chamada equação de Laplace para o potencial gravitacional: 2 G (r = 0. (8 As Eqs. ( e (6 são as equações fundamentais para o campo gravitacional de Newton. A Eq. (7 reúne ambas as Eqs. ( e (6. No entanto, para resolver essas equações, é necessário saber as condições de contorno que o campo gravitacional deve satisfazer na fronteira da região onde essas equações devem ser resolvidas. Bibliografia [] Keith R. ymon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 97. 5