A equação de onda com fonte

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1 A equação de onda om fonte Na postagem, Invariânia de alibre ou gauge, vimos que podemos esolher o alibre de Lorentz e resolver a mesma equação de onda om fonte para as três omponentes do potenial vetorial e para o potenial esalar, assim omo para a própria função de gauge, aso queiramos, partindo de um alibre diferente, mudar para o gauge de Lorentz. eja que estou, propositalmente, usando as palavras alibre e gauge omo sinônimos. Além da vantagem do alibre de Lorentz resultar em uma só equação para os poteniais e função de alibre, também é um alibre ovariante por transformações de Lorentz daí o nome do gauge! Mas isso é assunto para outra oasião. Nesta postagem vou resolver a equação de onda om fonte. Na verdade, ao invés de resolvê-la, vou apresentar a solução e mostrar que satisfaz a equação. amos iniiar provando o seguinte resultado matemátio: ρ 2 2 t 2 ρ +ρ r, t r r r, onde é a magnitude da veloidade da luz no váuo. Para simplifiar a notação, vamos esrever: ρ ρ r, t r r 2 e Então, ρ ρ. 3 [ ρ ] [ ] ρ + ρ [ ] ρ + ρ, 4 2 ρ Note o seguinte resultado: ρ ρ + 2 ρ + ρ. 5 r, t r r

2 Consequentemente, t r r t t. 6 ρ ρ t [ ] t ρ, 7 t ou seja, usando de novo a Eq. 6, ρ [ ] t t r r t 2 ρ 2 t 2 [ r r t r r ] 2 r r 2 ρ 2 t 2 3 t 2 ρ 2 t 2 2 t. 8 Também, usando de novo a Eq. 6, temos: 2 ρ 2 t 2 2 t. 9 2 Então, substituindo as Eqs. 8 e 9 de volta na Eq. 5, enontramos o seguinte resultado: ρ 2 ρ 2 t t t + ρ 2 2 ρ 2 t 2 + ρ t 2 ρ + ρ, 0 que é exatamente a Eq., om ρ e omo nas Eqs. 2 e 3. Com o resultado que aabamos de demonstrar, podemos onluir que a integral volumétria da Eq. dá: d 3 r ρ 2 2 t 2 ρ d 3 r 2

3 + d 3 r r, t r ] r r, onde o volume é o volume de todo o espaço tridimensional, sempre tendo em mente que, por hipótese, a fonte é limitada espaialmente para todo instante de tempo. Note que, para r r, [ ] r r r r r r r r Então, o último termo da Eq., à luz da Eq. 2, pode ser esrito assim: d 3 r r, t r ] r r ρ r, t d 3 r r r, 3 já que, para qualquer outro ponto do volume, exeto r r, o laplaiando do inverso de se anula. esta saber qual o valor da integral volumétria desse laplaiano. Mas esse resultado é onheido da eletrostátia: para uma arga pontual de valor q oloada no ponto r temos: E q r q r r 3 q 4 e, da lei de Gauss, E q r ρ q r, t ε 0. 5 O problema é que, para uma arga puntiforme, a densidade ρ q r, t é mal definida, normalmente tomamos a liberdade de um abuso matemátio e esrevemos: ρ q r, t qδ 3 r r, onde δ 3 r r é a versão tridimensional da hamada função delta de Dira. Para não ausar problemas om os puristas em matemátia, temos sempre a alternativa de esrever a lei de Gauss na forma integral e, portanto, integrando a Eq. 5 no volume enontramos: d 3 r E q r d 3 r ρ q r, t. 6 ε 0 3

4 Usando a Eq. 4 e sabendo que a arga total no volume é q, a Eq. 6 fornee: [ d 3 r q ] r r q, ε 0 d 3 r 4π. 7 Usando a Eq. 7 na Eq. 3, obtemos: d 3 r r, t r ] 4πρ r, t 8 e, assim, a Eq. dá: ρ r, t r r d 3 r 2 2 t 2 4πρ r, t. 9 ρ r, t r r d 3 r Mas a Eq. 9 é a equação de onda om fonte. amos definir, portanto: ρ r, t r r φ r, t d 3 r r r. 20 emos então que φ r, t, definido pela Eq. 20, satisfaz a equação de onda om fonte que queríamos resolver. Para ver isso, basta substituir a integral que aparee na Eq. 9 por φ r, t da Eq. 20. Obtemos: [ φ r, t] 2 2 t 2 [φ r, t] 4πρ r, t, φ r, t 2 2 r, t φ r, t ρ, 2 t2 ε 0 que é, justamente, a equação que o potenial esalar satisfaz no alibre de Lorentz onfira om a Eq. 2 da postagem Invariânia de alibre! A solução que enontramos para o potenial esalar, expressa pela Eq. 20, é uma solução partiular da equação de onda om fonte. A solução geral é a soma dessa solução partiular om a solução geral da equação de onda sem fonte. Mas, aqui, estamos interessados no aso em que queremos os ampos gerados por argas e orrentes não nulas, os ampos ausados por essas fontes. Nesse 4

5 aso, queremos soluções que dão zero se as fontes forem identiamente nulas. Logo, no alibre de Lorentz, a Eq. 20 é a solução que satisfaz essa ondição de ontorno: a de um potenial esalar gerado pela distribuição de argas dada por ρ r, t. De forma exatamente análoga ao que fizemos até agora, podemos enontrar as soluções para o potenial vetorial ausado pela distribuição de orrente dada por J r, t onfira om a Eq. 3 da postagem Invariânia de alibre. O resultado é failmente transrito dos álulos que fizemos para o potenial esalar, apenas om a troa do fator multipliativo da fonte: A r, t µ J 0 d 3 r 4π r r. 22 Por ausa do sinal negativo que aparee na dependênia temporal das soluções dadas pelas Eqs. 20 e 22, os poteniais no alibre de Lorentz ausados pelas fontes aonteem depois que a arga e a orrente mudam no tempo, indiando que a evolução temporal dos ampos é ausada pelos movimentos das fontes. Por ausa desse retardamento temporal, os poteniais das Eqs. 20 e 22 são hamados de poteniais retardados. oê pode demonstrar que os poteniais avançados, definidos por ρ r, t + r r φ + r, t d 3 r r r 23 e A + r, t µ J r, t + r r 0 d 3 r 4π r r, 24 também são soluções exatamente das mesmas equações de onda om fonte que os poteniais retardados satisfazem! Mas o uso desses poteniais avançados é uma outra longa história que vou deixar para outra oportunidade. Bibliografia [] John. eitz, Frederik J. Milford e obert W. Christy, Foundations of Eletromagneti Theory, tereira edição Addison-Wesley Publishing Company,