Estrelas Politrópicas Newtonianas Carregadas

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1 Anais do 12 O Enontro de Iniiação Científia e Pós-Graduação do ITA XII ENCITA / 2006 Instituto Tenológio de Aeronáutia São José dos Campos SP Brasil Outubro 16 a Estrelas Politrópias Newtonianas Carregadas Eder Nasimento de Albuquerque Instituto Tenológio de Aeronáutia Praça Marehal Eduardo Gomes 50 - Vila das Aáias CEP São José dos Campos SP Brasil Bolsista PIBIC-CNPQ eder_ita08@yahoo.om.br Manuel Máximo Bastos Malheiro de Oliveira Instituto Tenológio de Aeronáutia Departamento de Físia Praça Marehal Eduardo Gomes 50 - Vila das Aáias CEP São José dos Campos SP Brasil Orientador malheiro@ita.br Resumo Este trabalho tem omo prinipal objetivo fazer um estudo numério da equação de Lane-Emden para estrelas politrópias arregadas. Investigamos o efeito da arga na estrutura da estrela e para isso utilizamos a hipótese de uma relação linear entre as densidades de massa e de arga. Verifiou-se que a equação de Lane-Emden não muda mas esta hipótese gera um novo esalonamento do raio om efeito no volume e onseqüentemente na massa total da estrela. A estrela arregada aumenta de volume e é mais massiva. Palavras-haves: estrelas politrópias arga equação de Lane-Emden.

2 Anais do XII ENCITA 2006 ITA Outubro Introdução A presença de arga nas estrelas prinipalmente na superfíie é um fenômeno que meree ser analisado tendo-se em vista os proessos que oorrem no interior dessas estrelas. Modelando-se a estrela omo uma bola de gás ionizado temos que os elétrons tenderiam a mover-se para a superfíie. Isso geraria um ampo elétrio que provavelmente seria de enorme intensidade a ponto de influir na força gravitaional resultante ou seja irar um ampo gravitaional aparente. Apesar disso vale a pena fazer um estudo teório de omo seria o efeito de uma arga distribuída em todo o volume da estrela isto é onsiderando a estrela omo um isolante. O Sol é tomado omo modelo de estrela para análise. Este trabalho objetivou realizar um estudo numério da equação de Lane-Emden para estrelas politrópias newtonianas arregadas. Iniialmente elas foram onsideradas sem arga e posteriormente analisou-se a influênia da presença de arga na massa e no raio dessas estrelas. Consideramos a inlusão da força oulombiana na equação de equilíbrio hidrostátio onseqüênia da hipótese de arga na estrela. Trabalha-se no sistema CGS uma vez que este simplifia os álulos (neste sistema 1/ 4πε 0 = 1). Modifia-se a equação proveniente do equilíbrio hidrostátio tal omo vista em Reddy [1] aresentando-se a parela originada pela força oulombiana: ρ Q h 2 2 dp ρ = GM + dr r r (1) Fazendo-se a hipótese de que a densidade volumétria de arga da estrela está relaionada om a densidade da estrela pela relação ρh = αρ e substituindo esta hipótese na Eq. (1) temos: dp ρ GM αρq = dr r r dp αq M ρ = G. dr M r² Define-se uma nova onstante gravitaional αq G = G. Desta forma devido à hipótese usada o efeito M (2) (3) resultante da arga pode ser entendido omo um enfraqueimento da força gravitaional atrativa. Usando esta nova onstante gravitaional pode-se deduzir novamente a equação de Lane-Emden onforme a referênia [2] porém a onstante a definida omo r/x onde x é adimensional fia alterada. Temos uma nova onstante a definida da seguinte forma:

3 Anais do XII ENCITA 2006 ITA Outubro [ a ] 2 ( n + 1) K =. 4π G ρ n 1 n (4) Como G > 0 (para que a força resultante mantenha-se atrativa) tem-se que há um limite para α. Ainda pode-se afirmar que sendo r = a x e G < G tem-se onseguinte maiores massas visto que a massa é proporional ao volume da estrela. a > a de onde resultam maiores raios e por O próximo passo foi desenvolver um programa de modo a resolver numeriamente a equação de Lane- Emden visto que ela apresenta solução analítia apenas para três asos (n = 0 1 e 5). Utilizou-se a linguagem Fortran e apliou-se o método de Runge-Kutta de 4 a ordem. 2. Resultados Para uma estrela politrópia definida por uma equação de estado onde a pressão é proporional à densidade de aordo om 1 1 P = K ρ + n (5) a equação de equilíbrio hidrostátio Eq. (3) e a equação da onservação da massa dm 4 πr² ρdr = podem ser reesritas numa únia equação diferenial de segunda ordem onheida omo equação de Lane-Emden: 2 d y 2 dy n + + y = 0 dx² x dx (6) onde n é o índie politrópio da Eq. (5) e as variáveis adimensionais x e y são definidas omo ρ = ρ y n r = a x (7) (8) em que a onstante a é dada por: a 2 = ( n + 1) K 4π Gρ n 1 n Tomando n = 3 (onsiderado o modelo politrópio padrão) será estudado o aso de uma estrela om massa 1M S e raio 1R S onde M S e R S são a massa e o raio do Sol respetivamente om ausênia de arga. Podem-se (9)

4 Anais do XII ENCITA 2006 ITA Outubro enontrar os valores das onstantes K e ρ usando o fato de que a densidade da estrela seu raio e a pressão são dadas pelas expressões aima. Tais onstantes podem ser aluladas tendo-se em mente que na superfíie r R x x( R) = R / a e ρ 0 ou seja y 0. Além disso no entro da estrela x 0 e y 1 para r 0. Assim R = ax( R) ou seja pode-se determinar a onheendo-se R S e x(r S ). Para o álulo de ρ notemos que da equação de Lane-Emden pode-se esrever omo d( x² y ) n x² y = x² y + 2 xy =. dx que pode ser substituída na equação da massa total ou seja x( R) x( R) 3 n M = 4 π a ρ x² y dx = 4 π a ρ d( x² y ) Resulta que M = 4 π a ρ[ x( R)]² y ( R). Por outro lado M = π R³ ρ = π a³[ x( R)]³ ρ em que ρ é a 3 3 densidade média. Comparando as duas últimas expressões pode-se esrever a razão ρ 1 x( R) ρ =. 3 y ( R) (10) Logo a partir do resultado da equação de Lane-Emden podem-se ahar os valores de a e ρ onheendo-se o valor da densidade média ρ. Com eles alulam-se ρ r e P. No aso em questão o programa gerou uma tabela ontendo valores de x y e y. A fim de verifiar o omportamento da urva y versus x tomaram-se valores de x omeçando em x = 001 depois x = 050 e a partir daí om passo 05 até x = 65 finalizando om x = 69. Para ada x anterior tomou-se o respetivo valor de y. Os pares enontrados enontram-se esboçados no gráfio da Fig. (1). Tomaram-se também os valores de y orrespondentes a ada x e os pares enontram-se no gráfio da Fig. 2.

5 Anais do XII ENCITA 2006 ITA Outubro Fig. 1 Gráfio da solução da equação de Lane-Emden om n = 3 para uma estrela om massa e raio iguais a 1M S e 1R S. Fig. 2 Gráfio da derivada da solução da equação de Lane-Emden om n = 3 para uma estrela om massa e raio iguais a 1M S e 1R S.

6 Anais do XII ENCITA 2006 ITA Outubro Calulando-se as propriedades da estrela em questão para y = 0 temos da tabela gerada pelo programa que x(r S ) = e y (R S ) = Sendo R = ax( R ) e R S = 696 x m obtém-se a = 101 x m. S Será admitdo que a densidade média da estrela seja igual à densidade média do Sol. Isso é razoável uma vez que estamos lidando om uma estrela om massa 1M S e raio 1R S. Então (7) tem-se ρ g m S ρ 3 = 141 g. m. Assim utilizando a Eq. 3 = Da Eq. (9) alula-se a onstante K obtendo-se K = 384 x din.m².g -4/3. Para ada par (xy) gerado pelo programa é possível alular ρ r e P orrespondentes. Nas figuras 3 4 e 5 tem-se o esboço das variações da massa pressão e densidade da estrela respetivamente om o seu raio. A 3 massa omo mostrado anteriormente é alulada pela expressão M = 4 π a ρ [ x( R)]² y ( R). Raio ( m) Fig. 3 Gráfio da variação da massa da estrela em função de seu raio.

7 Anais do XII ENCITA 2006 ITA Outubro Raio ( m) Fig. 4 Esboço da variação da pressão da estrela em função de seu raio. Raio ( m) Fig. 5 Esboço da variação da densidade da estrela em função de seu raio. Os gráfios aima enontram-se ondizentes om o estudo de uma estrela om massa 1M S e raio 1R S feito por Maiel [2] mostrando que se onseguiu reproduzir bem aquele aso. Será onsiderada agora a presença de arga na estrela estudada anteriormente. Lembrando que dq = 4 πr² ρ h dr = 4 π r² αρdr = α dm

8 Anais do XII ENCITA 2006 ITA Outubro Q αq integramos e obtemos Q = α M = α. Como G = G então G = G α ². Como foi mostrado M M no primeiro relatório G > 0 α < 258 x 10-4 onsiderando-se o valor de G no sistema CGS. Fia laro também que a dimensão de α deve ser [α ] = [G] 1/2. Variando-se α e sendo M = 1M S pode-se enontrar a arga orrespondente. Alterando o programa Fortran que resolve a equação de Lane-Emden de modo a onsiderar G no lugar de G é possível verifiar o efeito da arga nas propriedades da estrela. Como G < G da Eq. (7) onluímos que a > a e da Eq. (5) vem que o raio será reesalonado (aumentará). Por onseguinte a massa e o volume aumentarão.definindo-se G = = portanto ig = G α ² α = G(1 i). G i G ig Assim pode-se esolher a razão de G /G variando-se o valor de i. Deve-se atentar para o fato de que o que está de aordo om a ondição de que 0 < i < 1. α < G Foram obtidas as urvas massa versus raio para i = 025 i = 050 e i = 075. Os valores numérios de α orrespondentes são respetivamente 129 x x 10-4 e 223 x Perebe-se na Fig. 6 que quanto maior a arga maior a massa da estrela. Para i 1 temos que α 0 e portanto Q 0. De fato observase no gráfio da Fig. 6 que a situação para i = 075 gera uma urva próxima a da Fig. 3 onde há ausênia de arga. Pelo gráfio nota-se essa tendênia à medida que i aumenta. Se i = 1 vê-se que o programa gera os mesmos resultados que gerou para o aso om ausênia de arga. Na Fig.7 omo onseqüênia do aumento do raio a densidade ai mais lentamente hegando a zero na superfíie. Raio ( m) Fig. 6 Esboço da variação massa da estrela em função do raio onsiderando três valores de ρ.

9 Anais do XII ENCITA 2006 ITA Outubro Raio ( m) Fig. 7 Gráfio da densidade da estrela em função do raio onsiderando diferentes argas. A Tab. 1 resume os valores de massa arga e raio para ada valor de i ou seja de α. De aordo om Malheiro [3] a arga da estrela pode ser enontrada da seguinte forma: αm M ( ) x10 MS 23 Q = C = x α C 9 (11) A massa da estrela é aquela orrespondente ao raio máximo na urva massa versus raio. Sendo M S = 199 x g utilizando a Eq. (11) aha-se a arga orrespondente em oulombs. Tabela 1 - Configuração da estrela para diferentes valores de arga. i Alpha (10-4 ) Massa (M S ) Carga (10 20 C) Raio (R S )

10 Anais do XII ENCITA 2006 ITA Outubro Comentários e Conlusão Conforme esperado verifiou-se que a presença de arga na estrela aumenta o seu raio e onseqüentemente o seu volume. De fato a arga gera forças repulsivas que permitem uma maior força gravitaional atrativa (maior massa). Usando a hipótese de que a densidade de arga é proporional à densidade massa o que é razoável no sentido de que uma massa maior pode segurar uma maior quantidade de arga mostrou-se que é possível hegar a uma equação de Lane-Emden idêntia a do aso sem arga. A diferença está no fato de que o raio muda de esala. Para um mesmo valor de x o raio passa a ser maior quando a estrela é arregada. É válido ressaltar a elevadíssima arga neessária para se variar o raio da estrela. Para aumentar o raio em 20% a arga orrespondente é de 09 x C. Ainda aumentando-se o valor da densidade entral nota-se que o raio diminui (o que é esperado pois a forte onentração de matéria no entro atrai ainda mais a matéria das regiões periférias) porém a massa da estrela permanee onstante. O ampo de estudos das estrelas arregadas é enorme e há muito ainda por estudar. Neste trabalho foi mostrada a influênia da arga na estrutura da estrela de forma simplifiada sem onsiderar efeitos relativístios e baseando-e apenas nas equações da meânia newtoniana. Há muito o que se pesquisar ao onsiderarmos outros efeitos. 4. Agradeimentos Gostaria de agradeer a minha família pela força de sempre ao meu orientador Prof. Manuel Malheiro pela paiênia e disponibilidade e por fim ao CNPQ pela oportunidade de onheer o universo da pesquisa. 5. Referênias [1] Maiel Walter J1999 Introdução à Estrutura e Evolução Estelar Ed. Edusp. [2] R. R. Silbar and S. Reddy Am. J. Phys (2004). [3] Subharthi Ray Aquino L. Espíndola Manuel Malheiro José P.S. Lemos e VilsonT. Zanhin Eletrially harged ompat stars and formation of harged blak holes Phys.Rev. D (2003).