Efficiency evaluation of Branson s equivalent inertia to consider physical nonlinearity of beams in simple form

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1 Volume 4, Number (August, 2011) p SSN Effiieny evaluation of Branson s equivalent inertia to onsider physial nonlinearity of beams in simple form Avaliação da efiiênia da inéria equivalente de Branson para onsiderar a não-linearidade físia das vigas de forma simplifiada DM OLVERA a danielle@demufmgbr NA SLVA b ney@deesufmgbr Abstrat n this paper the effiieny of Branson s equivalent inertia to onsider the physial nonlinearity of beams in simple form is evaluated For this purpose, several reinfored onrete plane frames of medium height are analyzed using ANSYS software nitially, the frames are proessed onsidering both physial and geometri nonlinearities Next, geometri nonlinear analyses are performed, onsidering a physial nonlinearity approximated through the stiffness redution in the strutural elements n the ase of the olumns, the stiffness was redued by 20% and, for the beams, the inertia redution values aording to the Branson [1] formula and the NBR 6118:2007 [2] Brazilian Norm were used t was observed that the inertia redution aording to the Branson [1] formula better represents the atual behavior of the strutures at the servie limit state Furthermore, it was verified that the use of Branson s equivalent inertia is more effiient at representing the behavior of the more flexible frames than stiffer frames Keywords: reinfored onrete, physial nonlinearity, Branson s equivalent inertia Resumo Neste trabalho busa-se avaliar a efiiênia da inéria equivalente de Branson [1] para onsiderar a não-linearidade físia das vigas de forma simplifiada Com este objetivo, são realizadas diversas análises numérias de pórtios planos medianamente altos em onreto armado utilizando o software ANSYS niialmente, os pórtios são proessados onsiderando ambas as não-linearidades geométria e físia Em seguida, são realizadas análises não-lineares geométrias, onsiderando a não-linearidade físia de forma aproximada, por meio da redução de rigidez dos elementos estruturais No aso dos pilares, a rigidez foi reduzida em 20% e, para as vigas, foram utilizados os valores de redução de inéria segundo a formulação de Branson [1] e aqueles reomendados pela NBR 6118:2007 [2] Observa-se que a redução de inéria segundo a formulação de Branson [1] representa o omportamento das estruturas om maior preisão no estado limite de serviço Além disso, mostra-se que a utilização da inéria equivalente de Branson [1] é mais efiiente para representar o omportamento dos pórtios mais flexíveis do que dos pórtios mais rígidos Palavras-have: onreto armado, não-linearidade físia, inéria equivalente de Branson a Universidade Federal de Minas Gerais, Esola de Engenharia, Deptº de Engenharia de Materiais e Construção, danielle@demufmgbr, Av Antônio Carlos 6627, bl 1, sala 15, Pampulha, , Belo Horizonte, MG, Brasil b Universidade Federal de Minas Gerais, Esola de Engenharia, Deptº de Engenharia de Estruturas, ney@deesufmgbr, Av Antônio Carlos 6627, bl 1, Pampulha, , Belo Horizonte, MG, Brasil Reeived: 24 Jan 2011 Aepted: 24 May 2011 Available Online: 19 Aug BRACON

2 Effiieny evaluation of Branson s equivalent inertia to onsider physial nonlinearity of beams in simple form 1 ntrodução Nas últimas déadas, seguindo o exemplo de outras áreas, a engenharia sofreu grandes avanços, partiularmente a de projetos e a de onstrução ivil As ténias de otimização no que diz respeito ao peso e à forma, o desenvolvimento de equipamentos de teste e omputaionais e modelagens numérias efiientes levaram a onstruções mais eonômias e esbeltas, e edifíios mais elevados e arrojados Dessa forma, questões antes não onvenientemente abordadas passaram a assumir fundamental importânia no projeto estrutural Dentre estas questões, destaam-se a análise da estabilidade e a avaliação dos efeitos de segunda ordem Os efeitos de segunda ordem surgem quando o estudo do equilíbrio da estrutura é efetuado onsiderando a onfiguração deformada Dessa forma, as forças existentes interagem om os desloamentos, produzindo esforços adiionais Os esforços de segunda ordem introduzidos pelos desloamentos horizontais dos nós da estrutura, quando sujeita a argas vertiais e horizontais, são denominados efeitos globais de segunda ordem estes efeitos podem ser extremamente importantes e signifiativos em algumas estruturas em outras, não preisam ser levados em onta Em estruturas mais rígidas, os desloamentos horizontais dos nós são pequenos e, onsequentemente, os efeitos globais de segunda ordem têm pequena influênia nos esforços totais, podendo então ser desprezados Estas estruturas são denominadas estruturas de nós fixos Por outro lado há estruturas mais flexíveis, ujos desloamentos horizontais são signifiativos e, portanto, os efeitos globais de segunda ordem representam uma parela importante dos esforços finais, não podendo ser desprezados é o aso das estruturas de nós móveis De aordo om a NBR 6118:2007 [2], se os efeitos globais de segunda ordem forem inferiores a 10% dos respetivos esforços de primeira ordem a estrutura pode ser lassifiada omo de nós fixos Neste aso, as barras podem ser aluladas isoladamente, om suas extremidades vinuladas, onde são apliados os esforços obtidos pela análise de primeira ordem Entretanto, se os efeitos globais de segunda ordem forem superiores a 10% dos de primeira ordem, a estrutura é lassifiada omo de nós móveis, e deve ser analisada onsiderando os efeitos das não-linearidades geométria e físia Fia laro, portanto, que a análise de uma estrutura de nós móveis é bem mais omplexa que a de uma estrutura de nós fixos sso porque a realização de uma análise que onsidere os efeitos das não-linearidades geométria e físia, para as estruturas de onreto armado, pode resultar em uma tarefa árdua, demandando grande esforço omputaional e ferramentas nem sempre disponíveis nos esritórios de álulo Torna-se essenial, portanto, o desenvolvimento de métodos simplifiados apazes de simular, om segurança, os efeitos das não-linearidades geométria e físia da estrutura A onsideração da não-linearidade geométria demanda análises mais refinadas, que levam em onta algum grau de modifiação na matriz de rigidez da estrutura, ou a utilização de proessos simplifiados, omo o método de avaliação dos esforços finais (que inluem os de segunda ordem) empregando o oefiiente de instabilidade global g z omo majorador dos esforços horizontais Levar em onta a não-linearidade físia implia em determinar a rigidez de ada elemento estrutural a partir das relações onstitutivas dos materiais, da quantidade e disposição de armadura no elemento e do nível de soliitação do mesmo Como trata-se de um proesso trabalhoso, tem-se realizado vários estudos que onsideram a não-linearidade físia de forma aproximada, por meio da redução da rigidez dos elementos estruturais Neste trabalho busa-se avaliar a efiiênia da inéria equivalente de Branson [1] para onsiderar a não-linearidade físia das vigas de forma simplifiada Com este objetivo, são realizadas diversas análises numérias de pórtios planos medianamente altos em onreto armado utilizando o software ANSYS niialmente, os pórtios são proessados onsiderando ambas as não-linearidades geométria e físia Em seguida, são realizadas análises não- -lineares geométrias, onsiderando a não-linearidade físia de forma aproximada, por meio da redução de rigidez dos elementos estruturais No aso dos pilares, a rigidez foi reduzida em 20% e, para as vigas, foram utilizados os valores de redução de inéria segundo a formulação de Branson [1] e aqueles reomendados pela NBR 6118:2007 [2] Os resultados das análises não-lineares geométrias, om onsideração simplifiada da não-linearidade físia, são, então, omparados om àqueles obtidos a partir das análises não-lineares geométrias e físias, apazes de representar om maior preisão o omportamento real das estruturas 2 Consideração simplifiada da não-linearidade físia segundo a NBR 6118:2007 [2] A NBR 6118:2007 [2] adota, para a onsideração aproximada da não-linearidade físia, os seguintes valores de rigidez dos elementos estruturais: lajes: (E) se = 0, E i vigas: (E) se = 0,4 E i para A s A s ou (E) se = 0,5 E i para A s = A s pilares: (E) se = 0,8 E i sendo: - momento de inéria da seção bruta de onreto A s - área da armadura de ompressão A s - área da armadura de tração E i - módulo de elastiidade iniial do onreto, dado por: E i = 5600 f k ( MPa ) (1) f k - resistênia araterístia do onreto à ompressão, em MPa A norma ainda permite, quando a estrutura de ontraventamento for omposta apenas por vigas e pilares e o oefiiente de instabilidade global g z for menor que 1,, adotar (E) se = 0,7 E i para ambos os elementos Vale omentar que, de aordo om os resultados de Pinto et al [], as reduções de rigidez iguais a 0,4 E e 0,5 E para as vigas e 0,8 E para os pilares se mostram seguras, inlusive o valor de 0,4 E para as vigas nas quais A s A s, que é a situação mais omum, esteja até um pouo baixo Além disso, paree mais raional adotar diferentes reduções de rigidez para vigas e pilares, uma vez que o estado de fissuração destes elementos não é o mesmo, devido às soliitações a que eles são submetidos 540 BRACON Strutures and Materials Journal 2011 vol 4 nº

3 DM OLVERA NA SLVA X A adoção do valor únio de 0,7 E para as vigas e pilares provavelmente foi feita busando failitar a análise da estrutura Porém, segundo Lima [4], este proedimento deve ser utilizado om autela, prinipalmente quando a ontribuição das vigas na rigidez global for signifiativa Rigidez equivalente segundo a formulação de Branson [1] No aso de vigas de onreto armado, as diferentes quantidades de armadura e a distribuição variável de fissuração ao longo do vão fazem om que a rigidez à flexão E não seja uma onstante Segundo a NBR 6118:2007 [2], a verifiação das rotações e desloamentos em elementos estruturais lineares deve ser realizada por meio de modelos que onsiderem a rigidez efetiva das seções transversais dos elementos, levando em onta a presença da armadura, a fissuração do onreto ao longo dessa armadura e as deformações diferidas no tempo Branson [1] apresenta uma expressão empíria para a determinação da rigidez efetiva em qualquer seção transversal partiular de uma viga Esta rigidez efetiva é função do momento fletor, das propriedades da seção e da resistênia do onreto A rigidez equivalente dada pela formulação de Branson [1], e adotada pela NBR 6118:2007 [2], para uma avaliação aproximada da fleha imediata em vigas, pode ser esrita omo: ( Figura 1 Obtenção da rigidez equivalente ponderada para vigas ontínuas 1 2 ì ïæ M ö æ r M ö r ï E ) eq = Es í ç ê ú ý M + 1- ç a ê M a ú ïî è ø é ë è ù ø û ü ïþ E s (2) onde: - E s é o módulo de elastiidade seante do onreto, dado por: M a1 a 2 a X - é o momento de inéria da seção fissurada de onreto no estádio - M a é o momento fletor na seção rítia do vão onsiderado, momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou ontínuas e momento no apoio para balanços, para a ombinação de ações onsiderada nessa avaliação - M r é o momento de fissuração do elemento estrutural, alulado por: M r f = a y t t (4) sendo a igual a 1,5 para seções retangulares e 1,2 para seções T ou duplo T, y t a distânia do entro de gravidade à fibra mais traionada, e f t a resistênia à tração direta do onreto, onforme o item 825 da NBR 6118:2007 [2] Segundo o AC Committee 45 [5], pode-se obter a rigidez equivalente om maior preisão, para vãos de vigas ontínuas, através da ponderação das rigidezes equivalentes dos trehos Assim, para o vão mostrado na figura [1], o valor ponderado da rigidez equivalente é dado por: (E) eq,pond = [(E) eq,1 a 1 + (E) eq,2 a 2 + (E) eq, a ] / l (5) onde (E) eq,i representa a rigidez equivalente nos três trehos da figura [1] Em ada um dos trehos a rigidez equivalente deve ser alulada por meio da equação (2), usando para M a os valores X 1, M e X 2, respetivamente Para a determinação do momento de inéria da seção fissurada da equação (2), admite-se omportamento elástio e linear para o aço e o onreto à ompressão, desprezando-se a tração do onreto (figura [2]) a e Figura 2 Seção fissurada (estádio ) A' s d' x d E s = 0,85 E i () a e A s om E i definido pela equação (1) - é o momento de inéria da seção bruta de onreto b BRACON Strutures and Materials Journal 2011 vol 4 nº 541

4 Effiieny evaluation of Branson s equivalent inertia to onsider physial nonlinearity of beams in simple form Deve-se iniialmente homogeneizar a seção, usando a seguinte relação entre os módulos de elastiidade do aço e onreto: B = 2(α e A s d + α e A s d )/b (14) α e = E s / E s (6) Para o momento de inéria da seção fissurada, resulta: Em seguida obtém-se a profundidade da linha neutra no estádio, x, igualando-se o momento estátio da área aima da linha neutra (Q sup ) om o da área abaixo (Q inf ) Dessa forma tem-se: = (b/)x + α e A s (x d ) 2 + α e A s (d x ) 2 (15) Q sup = Q inf (7) É importante omentar que a equação (2) só deve ser utilizada quando o momento fletor M a for igual ou superior ao momento de fissuração M r, ou seja, quando M r /M a 1 (estádio ) Quando M r /M a > 1, a estrutura se enontra no estádio, e portanto deve-se utilizar a rigidez da seção bruta, E s Supondo, por exemplo, M r /M a = 0,5, a equação (2) fia: [(bx )x /2 A s (x d )] + α e A s (x d ) = α e A s (d x ) (8) (E) eq = E s {(0,5) + [1 (0,5) ] } (16) (bx )x /2 + (α e 1)A s (x d ) = α e A s (d x ) (9) (E) eq = E s (0, ,875 ) (17) Substituindo α e = α e 1 (10) Nota-se que, neste aso, a rigidez equivalente (E) eq é determinada, predominantemente, pela rigidez da seção fissurada (E), sendo bastante reduzida a ontribuição da rigidez orrespondente à seção bruta de onreto É omum, portanto, para relações M a /M r superiores a 2, adotar aproximadamente (E) eq igual a (E) na equação (9), obtém-se a seguinte equação de segundo grau em x : (b/2)x 2 + (α e A s + α e A s )x (α e A s d + α e A s d ) = 0 que fornee: x = A + (A 2 + B) ½ sendo A = (α e A s + α e A s )/b (11) (12) (1) 4 Apliações numérias No presente trabalho, diversos pórtios planos pertenentes a edifíios usuais de onreto armado (ujos pavimentos tipos podem ser enontrados em Oliveira [6]) são analisados pelo método dos elementos finitos utilizando o software ANSYS-90 A tabela [1] resume as prinipais araterístias dos exemplos estudados niialmente, foram realizadas análises elástias lineares dos edifíios, utilizando modelos tridimensionais O arregamento atuante nas estruturas divide-se em dois grupos: o arregamento vertial e o arregamento horizontal O arregamento vertial é omposto pelas argas permanentes e pela arga aidental ou sobrearga As argas permanentes onsideradas foram o peso próprio da estrutura, as argas de alvenaria e o revestimento das lajes O arregamento horizontal é onstituído pelas argas equivalentes à ação do vento, nas direções paralelas aos eixos X e Y As forças de arrasto foram aluladas de aordo om as presrições da NBR 612:1988 [7] e as ombinações últimas normais seguem o disposto na NBR 6118:2007 [2] A partir da envoltória dos esforços obtidos para ada ombinação de arregamento foram determinadas as armaduras dos pilares e 542 BRACON Strutures and Materials Journal 2011 vol 4 nº

5 DM OLVERA NA SLVA Exemplo Nº de pavimentos Tabela 1 Caraterístias gerais dos exemplos analisados Pé-direito (m) Nº de vãos Comprimento dos vãos (m) fk (MPa) ,90 2 6, Variável Variável ,75 4 Variável ,85 2 7, ,88 2 6, ,90 4,2 25 vigas onstituintes dos pórtios estudados As vigas foram dimensionadas à flexão normal omposta e os pilares à flexão normal omposta ou à flexão oblíqua omposta Utilizou-se aço CA-50 para todos os elementos estruturais, om módulo de elastiidade igual a 210 GPa Os pórtios planos foram, então, proessados onsiderando ambas as não-linearidades geométria e físia Apliou-se a parela de arregamento orrespondente à ombinação que onsidera o vento (que atua paralelamente aos eixos X ou Y, dependendo da direção do pórtio analisado) omo a ação variável prinipal Os quinhões de arga de vento que os pórtios reeberam foram alulados em função de suas rigidezes laterais Dentre os diversos modelos onstitutivos não-lineares ofereidos pelo ANSYS, dois se destaam omo mais adequados para representar o omportamento do onreto: o modelo elastoplástio baseado no ritério de esoamento de Druker-Prager e o modelo espeífio para determinação da ruptura de materiais frágeis, obtido a partir do ritério de Willam-Warnke Para o aço, pode-se esolher entre modelos bilineares ou multilineares, inemátios ou isotrópios, om ou sem enruamento, segundo o ritério de esoamento de Von Mises A utilização do modelo baseado no ritério de ruptura de Willam- -Warnke é limitada a um únio elemento, definido omo solid 65 Trata-se de um elemento sólido tridimensional, possuindo oito nós, om três graus de liberdade por nó (três translações, nas direções X,Y e Z) É possível onsiderar a ruptura frágil assoiada à fissuração e ao esmagamento do onreto, admitindo também a onsideração do omportamento elastoplástio baseado nos ritérios de Druker-Prager e Von Mises Existe a possibilidade de inluir as armaduras omo um material disperso no interior do elemento, orientado segundo três diferentes direções Neste exemplo, foi utilizado o elemento solid 65 om armadura dispersa (nas três direções) para representar os pilares e vigas O ritério de Willam-Warnke permite que a ondição de ruptura seja desabilitada e substituída por uma ondição de plastifiação, utilizando, por exemplo, os ritérios de Druker-Prager ou de Von Mises Na análise realizada, manteve-se o ritério de ruptura de Willam-Warnke à tração, e empregou-se, para ompressão do onreto, o ritério de esoamento de Von Mises, também utilizado para o aço É importante menionar que os ritérios de Von Mises apresentam, tanto para o onreto quanto para o aço, omportamentos elastoplástios perfeitos segundo diagramas tensão- -deformação bilineares Na verdade, a fim de se evitar possíveis difiuldades numérias, onsiderou-se um enruamento mínimo, adotando-se, no lugar de zero, um pequeno valor para o módulo tangente Vale ressaltar que todos os parâmetros utilizados nas análises não-lineares (modelos de materiais, disretização adotada e reursos numérios envolvidos) foram alibrados a partir de diversos estudos de peças estruturais e pórtios de onreto armado já testados experimentalmente, omo os realizados por Oliveira & Silva [8] e Oliveira [6] Tais estudos revelaram a proximidade entre os resultados experimentais e àqueles obtidos das análises não-lineares geométrias e físias realizadas no ANSYS, onsideradas, portanto, apazes de representar om boa preisão o omportamento real das estruturas Para a realização das análises não-lineares, o ANSYS utiliza o método inremental-iterativo de Newton-Raphson Nesse método, são forneidos o número de inrementos de arga e o número de iterações para ada passo de arga A partir de uma onfiguração de equilíbrio onheida e de um dado inremento de arga, a estrutura responderá om um nível de esforço menor do que aquele apliado, o que resulta em um esforço residual que deve ser apliado novamente, observando os limites de iterações e tolerânia admitidos Dessa forma, a matriz de rigidez pode ou não ser atualizada em ada iteração, dependendo da opção desejada pelo usuário Utilizou-se nestes proessamentos o algoritmo de Newton- -Raphson pleno, inrementos automátios de arga e um limite de 60 iterações por inremento, om tolerânia de 0,1% apliada à raiz quadrada do somatório dos quadrados dos desequilíbrios de forças Foram também realizadas análises não-lineares geométrias dos pórtios, onsiderando a não-linearidade físia de forma aproximada, por meio da redução de rigidez dos elementos estruturais No aso dos pilares, a rigidez foi reduzida em 20% e, para as vigas, foram utilizados os valores de redução de inéria segundo a formulação de Branson [1] e aqueles reomendados pela NBR 6118:2007 [2] Assim, foram adotados os seguintes valores para a inéria efetiva dos elementos estruturais: pil = 0,4 pil = 0,5 pil dado pela equação (2), ou seja: é æ M ö æ r M ö r eq = ç + ê1-ç ú è M a ø ê è M a ø ú ë ù û (18) BRACON Strutures and Materials Journal 2011 vol 4 nº 54

6 Effiieny evaluation of Branson s equivalent inertia to onsider physial nonlinearity of beams in simple form Figura Relação entre arga e desloamento para a análise elástia linear realizada om o modelo sólido e om os modelos de barra (pórtio do exemplo 1) Figura 4 Relação entre arga e desloamento para as análises não-lineares realizadas (pórtio do exemplo 2) % Desloamento no topo (m) Modelo sólido Modelo de barras sem "offsets" Modelo de barras om "offsets" Neste aso, as inérias equivalentes ponderadas foram determinadas para várias porentagens do arregamento apliado (P) Dessa forma, o desempenho da inéria equivalente de Branson [1] para onsiderar a não-linearidade físia das vigas de forma simplifiada pôde ser avaliado para os arregamentos orrespondentes aos estados limites último (definido omo 100% P), de serviço (onsiderado aproximadamente igual a 45% P) e para o arregamento sem majoração (75% P) Para a realização das análises não-lineares geométrias dos pórtios no software ANSYS-90, os pilares e vigas foram representados através de elementos de barra, om três graus de liberdade em ada nó: duas translações nas direções X e Y e uma rotação na direção Z É importante omentar que, no modelo sólido, os vãos da viga são onsiderados de fae a fae dos pilares, o que o torna mais rígido que o modelo de barras, no qual os vãos são onsiderados de eixo a eixo dos apoios Tal diferença impliou na neessidade de se utilizar o elemento definido omo beam 54 para representar as extremidades das vigas no modelo de barra Este elemento permite a introdução de offsets nos trehos viga- -pilar, tornando-os rígidos Com isto, é possível omparar os dois modelos em igualdade de ondições Vale ressaltar que, para determinar os omprimentos dos trehos rígidos a serem adotados, foram realizadas análises omparativas (elástias lineares) entre o modelo sólido e o modelo de barra que utiliza offsets A figura Figura 5 Relação entre arga e desloamento para as análises não-lineares realizadas (pórtio do exemplo ) 544 BRACON Strutures and Materials Journal 2011 vol 4 nº

7 DM OLVERA NA SLVA Figura 6 Relação entre arga e desloamento para as análises não-lineares realizadas (pórtio do exemplo 4) [] apresenta o gráfio arga apliada versus desloamento horizontal do topo do pórtio do exemplo 1 para a análise elástia linear realizada om o modelo sólido e om os modelos de barra (utilizando ou não offsets ) Observa-se que o modelo de barras sem offsets é realmente bem mais flexível que o modelo sólido este, por sua vez, é muito bem representado pelo modelo de barras que utiliza offsets Foram onstruídos gráfios que mostram a variação do desloamento horizontal do topo dos pórtios om a arga apliada, para as análises não-lineares geométrias e físias (ANLGF) e não-lineares geométrias, om onsideração simplifiada da não- -linearidade físia Os gráfios dos pórtios dos exemplos 2, e 4 estão apresentados nas figuras [4], [5] e [6] (os demais gráfios, orrespondentes aos exemplos 1, 5 e 6, podem ser enontrados em Oliveira [6]) A partir da análise dos gráfios arga x desloamento foi possível visualizar as reduções de inéria que melhor desreveram o omportamento dos pórtios estudados, onsiderando o arregamento sem majoração e os orrespondentes aos estados limites último e de serviço (tabela [2]) Nota-se na tabela [2] que, no estado limite de serviço, as análises realizadas om pil e pil = 0,5 mostraram-se mais adequadas para representar o omportamento de 8% e 67% dos pórtios estudados, respetivamente Portanto, para esta intensidade de arregamento, a análise que utiliza reduções de inéria iguais a 0,8 para os pilares e eq para as vigas pode ser onsiderada a mais efiiente Ainda na tabela [2] observa-se que, para o arregamento sem majoração e o orrespondente ao estado limite último, na maior parte dos exemplos analisados, a utilização dos valores de redução de inéria adotados pela NBR 6118:2007 [2] para os asos mais gerais, ou seja, pil = 0,4, forneeu os resultados mais próximos dos obtidos a partir da análise não-linear geométria e físia Observa-se também que apenas para os exemplos 2 e 6 a análise realizada om pil representou om maior preisão o omportamento real das estruturas Vale omentar que os pórtios dos exemplos 2 e 6 são, dentre todos os pórtios analisados, os mais flexíveis, omo pode Exemplo Tabela 2 Reduções de inéria que melhor representaram os pórtios analisados Carregamento orrespondente ao ELS (45% P) Carregamento sem majoração (75% P) Carregamento orrespondente ao ELU (100% P) 1 pil e vig = 0,5 = 0,4 = 0, e = pil vig eq e = 0,5 pil vig e = pil vig eq e = 0,5 pil vig e = pil vig eq e = 0,5 pil vig pil pil pil = 0,4 = 0,4 = 0,4 = 0,4 = 0,4 = 0,4 = 0,4 = 0,5 BRACON Strutures and Materials Journal 2011 vol 4 nº 545

8 Effiieny evaluation of Branson s equivalent inertia to onsider physial nonlinearity of beams in simple form Figura 8 Relação entre arga e desloamento para os pórtios dos exemplos 5 e 6 Figura 7 Relação entre arga e desloamento para os pórtios dos exemplos 2 e ser onstatado nos gráfios das figuras [7] e [8] Nestes gráfios, as urvas arga x desloamento dos pórtios que apresentam alturas semelhantes são onfrontadas Dessa forma, na figura [7] está representada a variação do desloamento horizontal do topo dos pórtios dos exemplos 2 e om a arga apliada, para as análises não-lineares geométrias e físias (ANLGF) e não-lineares geométrias que onsideram pil segundo Branson [1] Analogamente, a figura [8] apresenta a variação do desloamento horizontal do topo dos pórtios dos exemplos 5 e 6 om a arga apliada, também para as análises não-lineares geométrias e físias (ANLGF) e não-lineares geométrias realizadas om pil Analisando os gráfios das figuras [7] e [8] verifia-se que, de fato, a utilização dos valores de inéria iguais a pil é bem mais efiiente para representar o omportamento dos pórtios mais flexíveis dos exemplos 2 e 6 do que dos pórtios mais rígidos dos exemplos e 5 Certamente isto se deve à própria formulação da inéria equivalente de Branson [1], que onsiste em uma ponderação das inérias das seções bruta (estádio ) e fissurada (estádio ) de onreto Quanto maior a relação M a /M r maior é a ontribuição da inéria da seção fissurada aso o momento atuante M a seja inferior ao momento de fissuração M r, adota-se para a inéria equivalente de Branson [1] a inéria da seção bruta de onreto, Os pórtios dos exemplos 2 e 6 apresentam vigas om menor inéria e possuem momentos de fissuração M r bastante inferiores aos dos pórtios dos exemplos e 5, onforme apresentado na tabela [] sto signifia que os momentos M a ultrapassarão os momentos de fissuração M r muito mais rapidamente para os pórtios dos exemplos 2 e 6 do que para os pórtios dos exemplos e 5 nestes últimos, portanto, a inéria equivalente de Branson [1] se aproximará da inéria da seção bruta de onreto mesmo para maiores intensidades de arregamento, o que pode resultar em valores que não traduzem a real perda de rigidez da estrutura No aso dos pórtios dos exemplos 2 e 6, a partir de menores valores de arregamento a inéria equivalente será determinada, em grande parte, pela inéria da seção fissurada, o que é oerente para estruturas om menor rigidez, e, dessa forma, om uma maior intensidade de fissuração Vale omentar que, onsiderando pequenas intensidades de arregamento, para as quais as estruturas ainda não fissuraram, as análises realizadas om pil representam om boa preisão o omportamento de todos os pórtios, tanto dos mais flexíveis quanto dos mais rígidos (figuras [7] e [8]) Este fato é previsível, uma vez que, para pequenos valores da arga P, os momentos fletores M a são inferiores ao momento de fissuração M r e, onsequentemente, adota-se para a inéria equivalente de Branson [1] o valor da inéria da seção bruta de onreto, 5 Considerações finais Este trabalho busou avaliar a efiiênia da inéria equivalente de Branson [1] para onsiderar a não-linearidade físia das vigas de forma simplifiada Dessa forma, foram realizadas diversas análises numérias de pórtios planos pertenentes a edifíios usuais de onreto armado utilizando o software ANSYS niialmente, 546 BRACON Strutures and Materials Journal 2011 vol 4 nº

9 DM OLVERA NA SLVA Tabela Momentos de fissuração das vigas dos pórtios dos exemplos 2,, 5 e 6 Exemplo Momento de fissuração M (kn r m) os pórtios foram proessados onsiderando ambas as não-linearidades geométria e físia Em seguida, foram realizadas análises não-lineares geométrias, onsiderando a não-linearidade físia de forma aproximada, por meio da redução de rigidez dos elementos estruturais No aso dos pilares, a rigidez foi reduzida em 20% e, para as vigas, foram utilizados os valores de redução de inéria segundo a formulação de Branson [1] e aqueles reomendados pela NBR 6118:2007 [2] Os resultados das análises não-lineares geométrias, om onsideração simplifiada da não-linearidade físia, foram, então, omparados om àqueles obtidos a partir das análises não-lineares geométrias e físias, apazes de representar om maior preisão o omportamento real das estruturas O desempenho das análises não-lineares geométrias, om onsideração simplifiada da não-linearidade físia, foi avaliado para os arregamentos orrespondentes aos estados limites último (definido omo 100% P), de serviço (onsiderado aproximadamente igual a 45% P) e para o arregamento sem majoração (75% P) No estado limite de serviço, a análise que utiliza reduções de inéria iguais a 0,8 para os pilares e eq para as vigas pôde ser onsiderada a mais efiiente Para o arregamento sem majoração e o orrespondente ao estado limite último, na maior parte dos exemplos analisados, a utilização dos valores de redução de inéria adotados pela NBR 6118:2007 [2] para os asos mais gerais, ou seja, pil = 0,4, forneeu os resultados mais próximos dos obtidos a partir da análise não-linear geométria e físia Vale menionar que a utilização dos valores iguais a pil e vig mostrou-se bem mais efiiente para representar o omportamento dos pórtios mais flexíveis do que dos pórtios mais rígidos Certamente isto se deve à própria formulação da inéria equivalente de Branson [1], que, nos pórtios mais rígidos, se aproximará da inéria da seção bruta de onreto mesmo para maiores intensidades de arregamento, podendo resultar em valores que não traduzem a real perda de rigidez da estrutura No aso dos pórtios mais flexíveis, a partir de menores valores de arregamento a inéria equivalente será determinada, em grande parte, pela inéria da seção fissurada, o que é oerente para estruturas om menor rigidez, e, dessa forma, om uma maior intensidade de fissuração Verifiou-se também que, onsiderando pequenas intensidades de arregamento, para as quais as estruturas ainda não fissuraram, as análises realizadas om pil segundo Branson [1] representaram om boa preisão o omportamento de todos os pórtios, tanto dos mais flexíveis quanto dos mais rígidos Este fato pode ser expliado lembrando que, para pequenos valores de arga, os momentos fletores M a são inferiores ao momento de fissuração M r e, onsequentemente, adota-se para a inéria equivalente de Branson [1] o valor da inéria da seção bruta de onreto, Finalmente, partindo do prinípio de que os oefiientes de redução de rigidez dos elementos estruturais são normalmente destinados aos projetos usuais de edifíios, geralmente dimensionados para o arregamento orrespondente ao estado limite último (ELU), pode-se onsiderar as reduções de inéria iguais a 0,8 para os pilares e 0,4 para as vigas omo as mais representativas do omportamento dos pórtios analisados Ressalta-se ainda que a utilização de um oefiiente onstante para todas as vigas resulta em um proedimento simples, de fáil apliação prátia e extremamente vantajoso quando omparado à utilização da inéria equivalente de Branson [1], que apresenta valores difereniados para ada vão e para ada pavimento da estrutura 6 Referênias bibliográfias [01] BRANSON, DE Defletions of reinfored onrete flexural members Journal of the Amerian Conrete nstitute, n61, p67-667, 1966 [02] ASSOCAÇÃO BRASLERA DE NORMAS TÉCNCAS NBR 6118 Projeto de estruturas de onreto - 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