APROXIMAÇÕES PARA MEDIDAS DE DESEMPENHO EM SISTEMAS DE FILAS COM SERVIDORES HETEROGÊNEOS

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1 APROXIMAÇÕES PARA MEDIDAS DE DESEMPENHO EM SISTEMAS DE FILAS COM SERVIDORES HETEROGÊNEOS Frederio Samartini Queiroz Alves Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos 6627Belo Horizonte-MG CEP Hani Camille Yehia Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos 6627 Belo Horizonte-MG CEP Luís Antônio Capanema Pedrosa Fundação Dom Cabral Av. Bernardo Guimarães, 3071 Belo Horizonte-MG CEP RESUMO Este trabalho se aplia, espeifiamente, ao aso de uma M/M/ om servidores heterogêneos. É apresentada uma aproximação analítia para que se obtenha o limite superior para as medidas de performane, na verdade, esse representa o pior aso esperado para tais medidas. A aproximação desenvolvida se torna interessante pelo fato de ser apaz de estimar parâmetros de desempenho, omo tempo de espera e número médio de pessoas na fila, de uma forma simples, fáil de ser apliada, e om um erro menor do que se fosse modelado por uma M/M/ tradiional que onsidera a média dos servidores. A validação do esquema proposto é feita por omparações om simulações em GPSS. Espera-se om essa aproximação que vários modelos de logístia já existentes possam ser aperfeiçoados e, também, que o gereniamento logístio de vários sistemas possa ser feito de forma mais efiiente. PALAVRAS CHAVE. Teoria de Filas. Servidores Heterogêneos. Medidas de Desempenho. Logístia e Transportes. ABSTRACT This paper onsiders a heterogeneous M/M/ queue. It is presented an analytial approximation apable of yielding an upper bound for the system s performane measures, in fat, it is the worst ase expeted for that measures. The developed approximation beome interesting as it an estimate the average time waiting in the queue and the average number of ustomer in the queue with a relative simple formula, whih an be easy applied, and beause it results in an smaller approximating error than if one uses the traditional M/M/, whih onsiders all the servers as equal. The sheme proposed here was validated by omparing it with simulation outomes that were run in GPSS. We hope that the approximation an be used to improve many already existing models in logistis and also that the logistial management of many systems an be done more effiiently. KEYWORDS. Queueing Theory. Heterogeneous Servers. Performane Measures. Logistis and Transportation.

2 1. Introdução As filas são fenômenos que aonteem a todo o momento em nossos dias. Podemos ver fila em tudo o que fazemos e aonde vamos. Temos filas de arros, para omprar um lanhe ou quando vamos pagar nossa onta. Em diversas e variadas situações podemos vê-las. As filas que aonteem no nosso dia-a-dia não são apenas as visíveis diretamente, existem filas nos aeroportos e portos e estão presentes em todo o proesso de produção e esoamento de produtos, fazendo om que os preços das meradorias subam ou desçam onforme a efiiênia na distribuição e na logístia. Desta forma, resolver de maneira adequada os problemas de filas pode ser um fator de redução de ustos e de maximização da efiiênia de um sistema. A investigação de sistemas de filas é, portanto, de extrema importânia. Dentro deste ontexto onsideramos os asos em que as filas são proessadas por servidores heterogêneos. A neessidade de estudarmos os sistemas atendidos por esses vem do fato de que na prátia o número de sistemas onde os servidores trabalham om taxas diferentes é grande. Se onsiderarmos, por exemplo, seres humanos omo servidores, onde ada um é enarregado de realizar um serviço, ainda que esses serviços sejam iguais para todos, ada um terminará o trabalho em um tempo diferente. Mesmo se onsiderarmos os servidores sendo máquinas é bem provável que o mesmo oorra. Ainda mais, se onsiderarmos que os sistemas enfrentam um proesso rápido e permanente de renovação de tenologia ou de depreiação o que faz equipamentos velhos ser normalmente mais lentos. O mesmo oorre no transporte de meradorias, que pode ser feito por um aminhão mais possante que outro, ou por uma estrada mais ou menos rápida. Nossa motivação para o estudo de sistemas om múltiplos servidores heterogêneos vem da importânia que esses têm atualmente. Na literatura alguns resultados já foram obtidos nesse ampo. Harten and Slepthenko (2003) desenvolveram um estudo sobre sistemas de filas MCMS (Multi-Class Multi-server). Eles onsideram um sistema de fila M/M/k om k lasses e k servidores exponenialmente distribuídos e om taxas de proessamento diferentes. Eles fazem uma redução de parte do problema para uma equação diferenial de segunda ordem. Eles mostram que a solução exata pode ser ahada através de deomposição dos autovalores dessas. Com as soluções exatas para as equações de estado eles omputam as medidas de performane para o sistema e depois as omparam om aproximações heurístias enontradas na literatura. Boxma, Deng, and Zwart (2002) estudaram uma fila heterogênea M/M/2. Definem o tempo de serviço do primeiro servidor omo sendo exponenialmente distribuído, enquanto que, no servidor dois o tempo de serviço é representado por uma distribuição genéria B(.). Eles mostram que a distribuição do tempo de espera é semi-exponenial se a taxa de hegada de jobs no sistema for menor que a taxa de proessamento do servidor exponenial. Gall (1998b) neste trabalho generaliza o método de fatorização riado por ele mesmo em (Gall, 1998a) para as filas G/G/s, só que agora onsiderando os servidores omo sendo heterogêneos. Ele apresenta três simples propriedades as quais permitem a onstrução de um método numério para os álulos. Ele ompara os resultados ahados, om os determinados através de métodos Markovianos lássios para o aso de um sistema de fila M/G/s simétria. Compara também o atraso médio em fila enontrado por ele om resultados simulados. Singh (1971) em seu trabalho onsidera um sistema de fila M/Mi/3, onde os três servidores são heterogêneos. Ele aha as seqüênias de melhores taxas de serviços, através de investigações numérias, que minimizam as medidas de performane dos sistemas. Esse foi na verdade uma ontinuação do trabalho feito por ele em Singh (1970) onde onsiderava apenas dois servidores. Gumbel (1960) arateriza um sistema de fila M/M/ que atende a uma lasse simples om servidores heterogêneos. Ele assume que para mais de um servidor vazio, o que irá ser aloado para servir um liente que hega, será aleatoriamente esolhido. O autor alula o erro que existe entre o sistema om servidores heterogêneos quando este é omparado om um sistema de servidores homogêneos. Considerando o sistema em estado permanente uma expressão para as probabilidades de estado é apresentada em uma formulação fehada e a partir dessa é desenvolvido a formulação para o tamanho esperado da fila.

3 2. Modelo Proposto O modelo abordado neste trabalho orresponde ao apresentado na Figura 1. Há apenas uma lasse de liente, e esses hegam ao sistema de aordo om a distribuição de Poisson e a uma taxa λ. O número de servidores é, o tempo que ada liente passa em ada servidor é exponenialmente distribuído om taxa μ i de proessamento, sendo que, i=1, 2,...,. Cada liente hega individualmente ao sistema, ou seja, não onsideramos hegadas em bando (balk arriving) e também não onsideramos nenhum tipo de prioridade. O sistema tem apaidade infinita, ou seja, não há rejeição de liente que hegam ao sistema. Não onsideramos também a perda de jobs por nenhum tipo de desistênia, troa ou impaiênia por parte deles. Fig. 1. Sistema de fila únia om servidores heterogêneos. Consideramos também que a fila é do tipo FCFS (First-Come, First-Served), onseqüentemente, os lientes que hegam primeiro ao sistema são atendidos primeiro. Em nosso modelo não permitimos que um servidor fique oioso (livre) quando há trabalho a ser realizado, portanto, quando houver fila. Assim sendo, o primeiro liente na fila será atendido assim que algum dos servidores terminar de proessar o trabalho que estiver realizando. Como os servidores são heterogêneos, o tipo de aloação utilizada influeniará nas medidas de desempenho desse sistema e onsequentemente em nosso modelo. Estudamos aqui três tipos de aloação: i - aloação rápida, em que os servidores mais rápido são aloados primeiro sempre que estiverem disponíveis; ii - aloação aleatória, onde o próximo job é mandado de forma aleatória para qualquer um dos servidores que estiverem livres; iii - aloação lenta, na qual os servidores mais lentos que estiverem livres são aloados primeiro. A última aloação onsiderada, ainda que não seja muito realista quando pensamos em apliações reais, ela é muito útil, pois serve omo aproximação para as outras. 3. Aproximação Proposta Através do diagrama de estados mostrado na figura 2 podemos montar as equações de equilíbrio que são fundamentadas na onservação dos Fluxos, onde todo o fluxo entrante tem que ser igual ao fluxo de saída. Para um proesso de Nasimento e Morte (Birth-Death Proess) onsiderando-se a taxa de Nasimento λ i = λ, para i = 0, 1, 2,..., e que a taxa de Morte é variável e depende do estado em que o sistema se enontra. Definimos então um μ equivalente omo sendo a taxa de Morte: 0 Para i 0 1 Para i 1 equivalente 1 2 Para i 2 (1) i1 i m Para i

4 Fig. 2. Diagrama de transição de estados para o modelo proposto de Servidores Heterogêneos. Observe que, de aordo om a equação 1 aima, μ equivalente pode ser representado de duas maneiras. A primeira representação é feita para o aso em que o sistema ontém menos de lientes e a segunda, para o aso desses onter ou mais lientes. Defini-se então, m i e m om o intuito de failitar o desenvolvimento da formulação e para melhorar a visualização da formulação. i Para i m i j e Para i m j1 j1 j. (2) Quando estamos nos referindo a μ 1, estamos na verdade nos referindo à taxa de Morte do sistema quando esse se enontra no estado E 1, o que aontee quando há apenas um liente no sistema e, portanto, temos apenas um servidor proessando trabalho. Para o melhor entendimento da influenia que os μ s têm sobre o sistema, vamos desenvolver as equações de equilíbrio de fluxo e para isso vamos utilizar o diagrama apresentado na figura 2. 1 p 1 p 0 p 1 1 p 0 p p 2 1 p 1 p p 0 p p p 2 p p 0 Observando, por exemplo, p 3, pode-se ver omo μ 1 se alastra por todos os termos do denominador ausando grande influenia sobre a fórmula. Seguido por ele vem a taxa μ 2, que tem um segundo maior peso e assim por diante até μ 3 que só aparee no ultimo termo do denominador de p 3. É intuitivo que se houver uma pessoa no sistema, e o tráfego de lientes for intenso, essa terá maior probabilidade de estar no servidor mais lento, pois ela fiará mais tempo sendo atendida nesse do que as outras que estarão num servidor mais rápido. Outra razão para imaginar que a únia pessoa no sistema está no servidor mais lento é devida á propriedade da distribuição exponenial de ser sem memória. Se em um momento t qualquer, aonteer de todos os servidores estarem oupados e se eventualmente quiséssemos saber qual dos servidores tem a maior probabilidade de ser o último a terminar o trabalho, devido à falta de memória da distribuição exponenial essa probabilidade não depende da informação de qual servidor iniiou o trabalho primeiro. Essa probabilidade depende apenas da taxa de serviço μ, não importando, portanto, se algum servidor omeçou o trabalho antes ou não. Levando em onta o desrito aima, fez-se a seguinte esolha para a atribuição dos μ s: Como definimos anteriormente μ 1 é a taxa de atendimento do servidor mais lento, μ 2 a

5 taxa de atendimento do segundo servidor mais lento e assim por diante até μ que é a taxa de atendimento do servidor mais rápido. Das equações de fluxo podemos hegamos a seguinte expressão para a probabilidade p i de se ahar i pessoas no sistema: Para i temos: Para i temos: p i p 0 i i k j1 k1 j pi p 0 k1 k j1 j i k1 j1 j Com o intuito de ahar p 0, oloa-se ele em evidenia na equação 3 e utiliza-se da propriedade apresentada na equação 4. (3) E hegamos a seguinte expressão: p i 1 i0. (4) 1 p 0 1 i0 i i m j j1 i i m j m i j1. (5) Considerando-se que o fator de utilização do sistema é menor que a unidade para que esse seja ergódigo, e é representado da seguinte forma: m 1 j1 j Substituindo ρna equação 5 e om algumas manipulações hega-se à fórmula para a probabilidade de se ter zero lientes no sistema, apresentada abaixo: 1 p0 1 i0 i i m j j1 1 j1 mj. (6) Para aharmos o número médio Lq de pessoas na fila temos que ahar a esperança de enontrarmos uma ou mais pessoas na fila, ou seja, mais que pessoas no sistema. L q i i pi i i p0 i m j m i j1 m p 0 i i i m j j1 m p 0 k k k0 m j j1

6 p 0 m 1 mj j1 k0 k k1 p 0 m 1 m j j1 d k d k0 L q p 0 m 1 m j 1 2 j1. (7) Com a equação 7 pode-se definir qual será o número médio de lientes na fila. Neste ponto, é interessante utilizar da Lei de Little, apresentada na equação 8, a seguir, pois, está fornee uma relação entre Wq e Lq. Através dessa pode-se, então, obter-se a fórmula para Wq. Wq L q. (8) Com isso, é obtido o tempo médio de espera em fila: Wq p 0 m 1 m j j (9) 4. Resultados Apresentamos nesta seção resultados numérios que servem omo fonte para a investigação da validade e da utilidade de nossa formulação proposta quando empregada ao modelo desejado (veja seção 2) de servidores heterogêneos. Já que não há nenhum outro modelo existente na literatura que possa ser usado para obter medidas que sirvam omo omparação para os mesmos asos estudados aqui, utilizamos simulações para que tivéssemos os dados neessários para avaliar os resultados obtidos om a formulação desenvolvida. Conentramos-nos na medida de performane tempo médio de espera em fila Wq, pois, ela representa o mesmo omportamento probabilístio que a outra medida de performane. Dessa maneira, esperamos que as avaliações dos resultados para tal medida sirvam para entender o omportamento do sistema de uma forma genéria. Criamos vários sistemas de filas, onde variávamos o número de servidores existentes, a divisão da apaidade total de proessamento entre esses servidores e a taxa λde hegada de lientes. Para ada um desses sistemas alulamos o valor para Wq através da formulação riada e através da formulação existente, M/M/, que onsidera os servidores omo sendo homogêneos. Em seguida simulamos para ada um desses sistemas os asos de aloação rápida, aleatória e demorada. Portanto, para ada sistema ahamos três valores simulados para Wq, o referente ao aso em que aloávamos sempre o servidor livre mais rápido primeiro, o referente ao aso em que aloávamos sempre o servidor livre mais demorado primeiro e o orrespondente ao aso em que aloávamos os servidores de forma aleatória. As simulações foram feitas na linguagem GPSS (General Purpose Simulation System) e o "ompilador" usado foi o GPSS World Program. O GPSS world foi esolhido, pois, nos permite obter rapidamente as respostas, nos permitir a visualização da simulação enquanto essa está "rodando" e também nos fornee ferramentas para o tratamento estatístio dos dados. Para

7 Fig. 3. Tempo médio de espera na fila Wq versus índie de Gini. Os pontos foram obtidos através dos alulados om MM, om aproximação riada e através de simulações para as polítias de aloação rápida, aleatória e demorada para sistemas om 3 servidores e para ρ=0.9. Fig. 4. Erro obtido om a aproximação riada e om a M/M/ em relação às simulações. Sistemas om 3 servidores e para ρ=0.9. Fig. 5. Tempo médio de espera na fila Wq versus índie de Gini. Os pontos foram obtidos através dos alulados om MM e om aproximação riada e através de simulações para as polítias de aloação rápida, aleatória e demorada para sistemas om 12 servidores e para ρ=0.9. Fig. 6. Erro obtido om a aproximação riada e om a M/M/ em relação às simulações. Sistemas om 12 servidores e para ρ=0.9. ada um dos sistemas (O número total de asos é multipliado por três, já que para ada sistema onsideramos três tipos de aloação diferente) fizemos duzentas repliações que serviram para definimos um intervalo mínimo de 95% de onfiança. Então, a partir desse intervalo, extraímos a média dos tempos médios de espera na fila, ou seja, obtivemos um Wq simulado para ada aloação de ada sistema. Para lassifiarmos os sistemas tivemos que empregar o índie de Gini. Esse índie varia entre 0 e 1, onde zero é o aso homogêneo e 1 é o aso mais heterogêneos. Neste trabalho o Gini serviu para medir a diferença entre as apaidades de proessamento que existiam entre os servidores de um determinado sistema. Essas medidas, que na verdade, indiam a heterogeneidade existente entre os servidores para que pudéssemos lassifiar e omparar os sistemas em questão. Com tudo isso desrito aima, pretendíamos avaliar a influênia da heterogeneidade dos servidores na formulação proposta, determinar omo o sistema se omportava quando variávamos o número de servidores e definir o erro resultante que oorria na formulação proposta quando mudávamos as polítias de aloação de servidores. Na figura 4 mostramos o erro existente entre os valores obtidos através da aproximação riada e através da MM em relação aos valores simulados para ada uma das aloações. Esse

8 erro foi plotado em função do índie de Gini para que pudéssemos observar omo esse se omporta quando variamos a heterogeneidade dos sistemas. Para alularmos o erro fizemos: Erro Simulado Calulado 2 Simulado A equação de erro aima, nada mais é do que a normalização do erro em relação aos valores simulados. Essa normalização foi neessária para que pudéssemos omparar o erro para os diferentes sistemas e para os asos em que as taxas de hegadas variavam. Pelas figuras 3-6, nota-se também que o erro em geral aumentou quando foi aumentado o número de servidores. Considerando, por exemplo, a tabela 1 de erro máximo vê-se que esse aumento no erro oorre de forma generalizada. Isso se deve ao fato de que, ao se aumentar o número de servidores, é aumentado também o número de possibilidades possíveis na qual o liente em serviço poderá se enontrar. Com a figura 4 e 6 pode-se observar a influênia da heterogeneidade dos servidores no erro resultante. Nessas figuras estão plotados os erros obtidos em ada sistema versus o índie de Gini. Entretanto, é difíil definir exatamente para qual faixa do índie de Gini a formulação riada se omporta de melhor maneira. Observa-se também que om o aumento do número de servidores o erro obtido om a formulação riada passa a ser menor que o erro obtido om a M/M/ para um IG mais baixo. Em outras palavras, podemos dizer que, quanto maior o número de servidores, melhor a formulação riada fia em relação à M/M/. Na tabela 1 estão os erros máximos obtidos para ada modelo. Através dela pode-se ver, entre outras oisas, a influênia que o oefiiente de utilização ρtem sobre os sistemas. Com ela nota-se, também, que os erros maiores oorriam quando foi onsiderada a aloação rápida, nos asos que eram alulados pela formulação riada, enquanto que, nos asos em que se usou a M/M/ o erro foi maior para a aloação demorada. Tabela 1. Erro máximo enontrado nos resultados. Essa tabela ompara os erros de maior intensidade gerados pela M/M/ om os gerados pela Aproximação riada. Tabela 2. Erro Médio enontrado nos resultados para ada modelo. Essa tabela mostra a soma dos erros oorridos dividido pelo número de amostras feitas om a M/M/ e om a Aproximação riada. Ainda na tabela 1 é possível ver que para a formulação proposta os erros de maior valor oorreram para os asos de aloação rápida o que foi representado pelos pontos irulares. Um resultado importante obtido aqui foi que para todos os asos o erro máximo enontrado para a formulação riada foi menor que os erros máximos enontrados om a formulação da M/M/. Isso é um resultado importante, pois, ao esolher usar a formulação riada para aproximar algum sistema de servidores heterogêneos, estamos diminuindo a intensidade do erro máximo ao qual tal aproximação pode aarretar. A tabela 2 mostra a soma dos erros obtidos para ada um dos sistemas, dividida pelo número de amostras (sistemas) feitas dentro de ada modelo, ou seja, a média dos erros. Através

9 dessa espera-se avaliar e omparar para os vários asos o erro médio obtido entre as urva onseguidas om a fórmula para M/M/ om as urvas onseguidas om a fórmula riada. Com a tabela 2 pode-se mais uma vez observar a influênia das aloações nos resultados. Para a formulação desenvolvida, o erro médio é menor do que o ahado om a formulação da M/M/ quando a polítias de aloação é a demorada, ou a aleatória. Já para o aso da aloação rápida, entre as duas formulações, a que apresenta o menor erro depende do ρutilizado e do número de servidores empregados. Ainda nessa tabela é possível observar o efeito que o aumento do número de servidores no sistema tem sobre o tempo médio Wq de espera em fila. Quando se aumenta o número de servidores, Wq diminui. Isso aontee porque a probabilidade de fila diminui, ou seja, menos lientes enontram fila ao hegar ao sistema, portanto, menos pessoas esperam, fazendo om que o número médio desses na fila diminua e onsequentemente faz om que o tempo médio de espera diminua também. Entretanto, para servidores heterogêneos, um outro fenômeno aontee. Dependendo do valor do índie de Gini do sistema, o Wq real se omporta omo se o sistema tivesse menos servidores, ou mais dependendo também da aloação esolhida. Para um índie de Gini próximo da unidade, o modelo da figura 3, por exemplo, o sistema om doze servidores se omportará mais omo um sistema de um servidor. Isso justifia também, o fato de que a formulação riada neste trabalho se torna ada vez melhor, quando é aumento o número, ao longo de todo o intervalo do índie de Gini, quando omparada à formulação da M/M/, pois, a primeira representa melhor o sistema e isso fia mais evidente om esse aumento. Observa-se também om as tabelas que para um ρmaior, menor é a influênia das aloações. Isso já tinha sido onstatado em Grassmann and Zhao (2004). Com ρ=0.6 a distânia entre a urva feita om a aproximação riada em relação à urva simulada om aloação rápida é muito grande. Contudo, essa diminui onsideravelmente quando aumentamos o ρdo sistema. 5. Capaidades e Limitações A formulação desenvolvida nesta dissertação fornee um limite superior para as medidas de desempenho tempo médio de espera na fila e no sistema e número médio de jobs na fila e no sistema. Com esse limite podemos estimar para vários asos o valor máximo para essas medidas. Com isso poderemos gerir melhor vários sistemas de filas que dependam de servidores heterogêneos. Uma vantagem para o uso das fórmulas desenvolvidas aqui é que estas inorrem em um erro máximo menor do que o obtido pela formulação que onsideram os servidores homogêneos. Outra vantagem é que as fórmulas desenvolvidas aqui são mais simples de serem usadas e podem ser inorporadas failmente em vários modelos já existentes na literatura. A formulação se torna mais interessante ainda, quando aumentamos o número de servidores heterogêneos, pois, o erro gerado om esse aumento não rese muito para ela. Isso é uma grande vantagem já que as outras aproximações existentes sofrem ou om um aumento exessivo do erro ou om o aumento da omplexidade quando se eleva o número desses servidores. A limitação mais evidente para essa formulação é a de não onseguir aptar muito bem o omportamento ótimo dos modelos de servidores heterogêneos nos quais usam a polítia de aloação que oupa primeiro os servidores livres que trabalham om taxas de proessamento maiores. Ao aloarmos os servidores mais rápidos, omo pode ser visto pelos resultados obtidos om simulação, há uma região de heterogeneidade ótima para a qual as medidas de performane para esses sistemas é melhor do que para o aso onde todos os servidores são iguais. Entretanto, a formulação desenvolvida aqui, por onsiderar só os asos mais prováveis, não onsegue aompanhar essa região. Outro ponto frao das fórmulas riadas, que é onseqüênia das simplifiações feitas para que ela fosse mais fáil de ser apliada, é simplesmente o fato de ela ser uma aproximação. A formulação gera um erro já que não fornee os resultados exatos, e esse é resultante do fato de que ela superestimar os sistemas.

10 6. Possíveis Apliações em Logístia É impossível pensar e ainda mais identifiar todos os asos onde é possível apliar o modelo de fila proposto aqui neste trabalho dentro do ampo da logístia. Podemos dizer que a logístia trata do planejamento, organização, ontrole e realização de outras tarefas assoiadas à armazenagem, transporte e distribuição de bens e serviços. Os modelos de filas são muito rios quando usados para representar sistemas que se enquadram nessa área, pois, esses muitas vezes representam bem toda a natureza existente. A seguir estão alguns exemplos muito simples de apliação, riados somente para efeito de ilustração da utilização do modelo de filas proposto aqui: Armazenagem Uma empresa petroquímia brasileira produz resinas termoplástias, omo o polietileno, o polipropileno e o PVC. A nafta é um derivado do petróleo e é a prinipal matéria-prima da adeia produtiva dessa empresa. Em 2006 o preço do barril do petróleo hegou a quase 80 dólares, mas em janeiro de 2007 o preço aiu para 50 dólares o barril. De uma forma simplifiada vamos onsiderar que: a empresa passou a omprar a nafta om maior freqüênia. As ompras oorriam dependendo da flutuação do preço do barril de petróleo e representam as hegadas no sistema. Se onsiderarmos que a empresa onsiga trabalhar toda a matéria-prima rapidamente, podemos onsiderar que os servidores serão os lientes dessa empresa. Como esses fazem pedidos que variam em quantidade e em tipo de produto, podemos dizer que esses são heterogêneos. Consequentemente, a fila será o estoque e essa não poderá passar os limites permitidos de armazenagem. Transporte - Frutas e alimentos são transportados de áreas rurais para áreas urbanas. Podemos modelar esse sistema da seguinte forma: Para uma mesma fazenda, há pedidos feitos por omeriantes loalizados em diferentes idades. Neste exemplo as hegadas são representadas pelos pedidos. Os servidores são os aminhões, onde a taxa de serviço de ada um varia de aminhão para aminhão e de estrada para estrada. Distribuição de bens e serviços i) Um supermerado pode ser um exemplo para a distribuição de serviços, onde os aixas são os servidores e podemos ter uma fila únia ou não. Esse tipo de sistema pode ser omparado om os aixas em agenias banárias; ii) Outro exemplo de distribuição de bens e de serviços seria uma drogaria de Belo Horizonte. A empresa espalhou por toda a idade pontos de venda, porém mantém uma entral onde é feita a estoagem de produtos que saem para delivery. Podemos onsiderar os pedidos feitos pelos lientes omo sendo as hegadas e as formas de transporte para a entrega os servidores. Com o modelo poderemos prever qual a diferença no tamanho da fila para o aso dos motoqueiros saírem da entral e para o aso deles saírem de pontos distribuídos pela idade. Gereniamento de pessoas - Em um salão de orte de abelo, os barbeiros são servidores heterogêneos. A taxa de liente que hegam é tal que sempre há fila no salão. Vale ou não a pena o dono do salão ontratar mais um funionário? Às vezes, ao ontratar outro funionário, o salão passará a ter funionários oiosos, fazendo om que, talvez, a margem de luro diminua. Uma solução é usar o modelo para prever o tamanho médio da fila e a probabilidade de óio no sistema para os asos i) om o funionário extra e ii) sem o funionário extra. Queremos deixar laro aqui, que em todos os exemplos dados aima, é neessário que modifiações sejam feitas no modelo e, também, onsiderações para que esse se adapte melhor à prátia. Há mais exemplos a serem dados, mas, o interessante é ilustrar que om o modelo de filas desenvolvido pode-se aproximar de forma mais efiaz alguns sistemas om servidores heterogêneos e obter as medidas de desempenho desses, para que, então, se possa tomar deisões, gereniar e otimizar esses. 7. Conlusões Em diferentes ampos do onheimento, a teoria de filas vem sendo apliada. A riação de modelos analítios mais realistas é uma ria oportunidade para várias apliações. Partiularmente, para a área de Pesquisa Operaional, e mais espeifiamente no ampo da

11 logístia existe uma vasta gama de asos em que esses modelos podem ser apliados. Com a possibilidade de modelarmos o omportamento de vários outros sistemas nos quais as filas também estão presentes, o desenvolvimento de modelos mais omplexos e que representam melhor a realidade de todos esses asos se torna ainda mais relevante. A formulação desenvolvida é uma generalização da formulação existente para M/M/, que onsiste iniialmente na expansão dos estados de probabilidade possíveis e finalmente na redução desses estados, através de uma esolha que foi a de manter apenas os estados de maior probabilidade. O resultado foi que obtivemos um limite superior para as medidas de performane dos sistemas em questão. Logo, podemos prever o pior aso na qual pode resultar o desempenho desses sistemas. Com o intuito de avaliar a apliabilidade da formula, omparamo-la om o aso, já desenvolvido na Teoria de Filas, que não onsidera a heterogeneidade dos servidores. Devido à difiuldade enontrada para que pudéssemos fazer a omparação direta entre o desenvolvido aqui e o já existente na literatura, partimos para o uso de simulações om o intuito de alular a distânia entre essa e os asos a serem omparados para que, então, pudéssemos ompará-los. Chegamos à onlusão de que a utilização da formulação riada neste trabalho é uma alternativa muito útil à tradiional M/M/, pois, além de ser apaz de aptar o omportamento desses sistemas mais efetivamente, a primeira se reduz á segunda quando os servidores são homogêneos e quando a utilização do sistema é tão grande (perto da unidade) que os efeitos das polítias de aloação se tornam desprezíveis. Perebemos, portanto, que o modelo desenvolvido aqui é um avanço em direção ao entendimento do omportamento de tais sistemas de filas. Espera-se que vários sistemas que antes eram avaliados através de formulações que onsideravam os servidores iguais, e que onsequentemente subestimavam essas medidas, possam ser realulados e revistos om a nova formulação. Esperamos também que, haja a partir dessa, uma abertura para a ontinuação de vários trabalhos existentes na literatura, visto que, esses foram baseados somente em modelos que onsideravam os servidores omo sendo homogêneos. Entretanto, a falta de modelos exatos e que sejam apliáveis na realidade, ontinua sendo o maior obstáulo para aqueles que prouram modelar os sistemas de servidores heterogêneos através de teoria de filas. Referênias Boxma, O. J., Deng, Q., e Zwart, A. P. Waiting-time asymptotis for the M/G/2 queue with heterogeneous servers. Queueing Systems, 40, Feb Feller, W. An Introdution to Probability Theory and Its Appliations., volume I. Wiley, New York., (3rd),1968 edition, Gall, Pierre Le. The stationary g/g/s queue. Journal of Applied Mathematis and Stohasti Analysis, 11:1:59 71, 1998a. Gall, Pierre Le. The stationary g/g/s queue with non-idential servers. Journal of Applied Mathematis and Stohasti Analysis, 11:2: , 1998b. Grassmann, K. W. e Zhao, Q. Y. Heterogeneous multiserver queues with general input. Tehnial report, University of Winnipeg, Gross, D. e Harris, M. H. Fundamentals of Queueing Theory. Wiley Series in Probability and Mathematial Statistis, seond edition, Gumbel, H. Waiting lines with heterogeneous servers. Operations Researh, 8(4): , Harten, A. V. and Slepthenko, A. On markovian multi-lass, multi-server queueing. Queueing Systems, 43: , Kleinrok, L. Queueing Systems Vol. I. Wiley and Sons, New York, NY, 1976a. Ross, M. S. Introdution to Probability Models. Aademi Press, In., sixth edition, Shriber, T. J. An Introdution to Simulation Using GPSS/H. John wiley Sons, In, Singh, V. Two-server markovian queues with balking: Heterogeneous vs. homogeneous

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