Curso: Engenharia de Produção. Prof. Lorí Viali, Dr. PUCRS FAMAT: Departamento de Estatística. Curso: Engenharia de Produção

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1 λ número médio de clientes que entram no sistema por unidade de tempo; µ número médio de clientes atendidos (que saem do sistema) por unidade de tempo; Servidores (mecânicos) no sistema; número de máquinas ou aparelhos no sistema; L número médio de clientes no sistema; L q número médio de clientes na fila; L s número médio de clientes sendo atendidos; W tempo médio que o cliente fica no sistema; W q tempo médio que o cliente fica na fila; W s tempo médio que um cliente leva para ser atendido. Para um sistema de filas está em estado estacionário, tem-se: L λw L q λw q L s λw s L é expresso em número de clientes, λ é expresso em termos de clientes por hora e W é expresso em horas. Assim λw tem a mesma unidade (clientes) de L. As três equações acima são válidas para qualquer sistema de filas. Com exceção do Modelo M/M//GD/c/ todos os modelos que foram vistos apresentaram taxas que são independentes do estado do sistema. No entanto existem situações em que essa hipótese pode não se válida.

2 Se os clientes não querem enfrentar longas filas a taxa de chegada pode ser uma função decrescente do número de pessoas presentes na fila. Se as chegadas ao sistema são provenientes de uma população pequena, então a taxa pode depender do estado do sistema. Por exemplo, se um banco possui somente depositantes então no instante em que todos estiverem no banco a taxa de chegadas será zero. Modelos em que as chegadas são retiradas de populações pequenas são denominados de modelos de fonte finita. No modelo da oficina de manutenção o sistema consiste de máquinas e pessoas encarregadas do serviço. A qualquer instante de tempo uma máquina está em boas ou más condições. O tempo em que uma máquina está em boas condições é exponencial com taxa λ. Sempre que uma máquina quebrar ela será enviada para o centro de reparos com pessoas em serviço. No centro de serviços é como se as máquinas estivessem chegando a um sistema M/M//GD//. Assim se máquinas estiverem quebradas a máquina que quebrar será imediatamente enviada para conserto. Se > então máquinas estarão na fila para serem consertadas. O tempo necessário para consertar uma máquina é exponencial com taxa µ (ou tempo médio de conserto de /µ). Sempre que uma máquina for consertada ela volta ao serviço e pode quebrar novamente. Utilizando a notação de endall o modelo pode ser expresso como M/M//GD//. O primeiro indica que a qualquer tempo não mais do consumidores (ou máquinas) estão presentes e o segundo que as chegadas são de uma fonte finita de tamanho. 2

3 Para determinar o estado do sistema em deve-se observar que existem k máquinas em boas condições. Uma vez que as máquinas quebram a uma taxa λ, a taxa total de quebra quando o estado do sistema é é: λ λ + λ + λ λ ( )λ Para determinar a taxa de saídas do modelo lembrar que no estado, min(, r) atendentes estarão ocupados. Como cada um trabalha a uma taxa de µ, a taxa de saída é dada por: µ µ se (,, 2,..., ) µ µ se ( +, + 2,..., ) Define-se ρ λ/µ e uma aplicação do Teorema um fornece as seguintes probabilidades para o estado estacionário: Nesse caso, tem-se: ρ! + + ρ p p p p + +! p p ρ!p ρ p! se,, 2,..., se +, + 2,..., p Como: Vem: ρ! + ρ p +! Com essas probabilidades é possível então determinar L número médio de máquinas no sistema, L q número médio de máquinas esperando para serem consertadas, W tempo médio que uma máquina fica quebrada e W q tempo médio que uma máquina espera para ser consertada. Aqui não existem expressões simples para esses valores: L p p ρ + ( )p! ρ! +

4 Como a taxa de chegadas depende do sistema o número de chegadas por unidade de tempo é dado por λ, onde: λ p λ λ( - )p λ( L L Assim: W λ λ(k e Wq λ λ( A polícia de Pokofurto tem carros patrulha. Cada carro quebra em média a cada dias. A oficina tem dois mecânicos com cada um levando uma média de dias para consertar um carro. Os tempos envolvidos podem ser considerados exponenciais.. Determine o número médio de carros em serviço. 2. Qual o tempo médio que um carro fica for a de serviço?. Encontre a fração de tempo que um mecânico fica ocioso? Esse é um modelo de reparo com, 2, λ / carros por dia e µ / carros por dia. Então: ρ (/)/(/) / p p,p 2 p 2 p,p 2!p p, p! 2!p p, p! 2 Então: p (+, +, +, +, +,),666 Assim p,686.!p p, p! 2

5 Portanto: p,9, p 2,69, p,9, p,9 e p,.. O número esperado de carros em boas condições é L que é dado por: p [.,686 +.,9 + 2., ,9 +.,9 +.,],96,96 carros em bos condições. λ Procuramos W L/ λ onde: λ ( )p (p + p + p2 + 2 p + p + p ),2 carros por dia. Ou λ( L),8/,2 carros por dia. Como L,68 carros, encontramos que W,68/,2,7 dias.. A fração de tempo que um mecânico, em particular, fica ocioso é dado por p +,p,686 +,.,9,77. Se existissem três pessoas a fração de tempo que cada um fica ocioso seria dado por: p + (2/)p + (/)p 2. De modo geral, tem-se: p 2 + p + p p GIMMETT, G.., SITZAE, D.. Probability and andom Processes. Oxford (London): Oxford University Press, 99. LEINOC, Leonard. Queueing Systems: v. : Theory. New York: John Wiley, 97. WISTON, Wayne L. Operations esearch: Applications and Algorithms. ed. Belmont (CA): Duxbury Press, 99.

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