Estabilidade. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello 1

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1 Estabilidade Carlos Alexandre Mello 1

2 Introdução Já vimos que existem três requisitos fundamentais para projetar um sistema de controle: Resposta Transiente Estabilidade Erros de Estado Estacionário Estabilidade é a mais importante especificação de sistema Se o sistema é instável, a resposta em transiente e os erros de estado estacionário são irrelevantes 2

3 Introdução Um sistema linear e invariante no tempo é estável se a resposta natural se aproxima de zero quando o tempo tende a infinito Um sistema linear e invariante no tempo é instável se a resposta natural cresce sem limites quando o tempo tende a infinito Um sistema linear e invariante no tempo é marginalmente estável se a resposta natural nem cai e nem cresce mas permanece constante ou oscila quando o tempo tende a infinito 3

4 Introdução Assim, a definição de estabilidade implica que apenas a resposta forçada permanece à medida que a resposta natural se aproxima de zero Um sistema é dito estável se toda entrada limitada leva a uma saída limitada BIBO Bounded-Input, Bounded-Output Ou, um sistema é instável se qualquer entrada limitada leva a uma saída ilimitada Um sistema é marginalmente estável se o sistema for estável para algumas entradas limitadas e instável para outras 4

5 Introdução Lembrando nosso estudo sobre polos, polos no semi-plano esquerdo produzem respostas naturais de decaimento exponencial puro ou senóides amortecidas Essas respostas naturais tendem a zero à medida que o tempo tende a infinito Assim, se os polos de um sistema de malha fechada estiverem no semi-plano esquerdo (ou seja, têm parte real negativa), o sistema será estável 5

6 Introdução Assim, sistemas estáveis possuem funções de transferência em malha fechada com polos apenas no semi-plano da esquerda Polos no semi-plano direito produzem respostas naturais na forma de exponenciais crescentes ou senóides exponencialmente crescentes Essas respostas naturais tendem a infinito quando o tempo tende a infinito também Também, polos com multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário levam à soma de respostas da forma At n cos(ωt+ φ), onde n = 1, 2,..., que também tendem a infinito quando o tempo tende a infinito 6

7 Introdução Logo, sistemas instáveis possuem funções de transferência em malha fechada com pelo menos um polo no semi-plano da direita ou polos com multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário Por último, sistemas que têm polos no eixo imaginário com multiplicidade 1 geram oscilações senoidais puras como resposta natural Assim, sistemas marginalmente estáveis possuem funções de transferência em malha fechada com apenas polos no eixo imaginário com multiplicidade 1 e polos no semi-plano esquerdo 7

8 Introdução Exemplo 1: Observe que são os polos do sistema completo! 8

9 Introdução Exemplo 1 (cont.): 9

10 Introdução Exemplo 1 (cont.): Sistema equivalente R(s) C(s) Cujos polos são: >> p = [ ]; >> r = roots (p) r = i i 10

11 Introdução Exemplo 2: 11

12 Introdução Exemplo 3: Sistema original Sistema equivalente 12

13 Introdução Exemplo 3 (cont.): >> p = [ ]; >> r = roots (p) r = Sistema Estável! Polos no semi-plano esquerdo. 13

14 Introdução Exemplo 3 (cont.): >> num = [10 20]; >> den = [ ]; >> sys = tf(num, den); >> ltiview ({'pzmap'; 'step'}, sys); 14

15 Introdução Analisando o polinômio do denominador, algumas pistas podem dar dicas sobre a instabilidade do sistema: Se os sinais dos coeficientes do denominador forem diferentes (houver sinais positivos e negativos), então o sistema é instável Se há algum sinal negativo, ele só pode ter sido gerado por um produto do tipo (s + a)(s a) Se potências de s forem perdidas (coeficiente igual a zero), o sistema é instável Se alguma potência tem coeficiente zero, isso quer dizer que ela foi anulada, ou seja, houve um a.s x a.s x, o que implica que houve troca de sinal (caso anterior) 15

16 Garante informação sobre a estabilidade do sistema sem precisar encontrar os polos do sistema Através dele, sabemos quantos polos existem no semi-plano direito, semi-plano esquerdo e eixo imaginário Passos: Gerar a Tabela de Routh Analisar a Tabela de Routh 16

17 Geração da Tabela de Routh Básica Considere o sistema abaixo, um sistema equivalente a função de transferência de um sistema de malha fechada: Com estamos interessados nos polos, vamos nos concentrar no polinômio do denominador e vamos criando a tabela... 17

18 Geração da Tabela de Routh Básica Polinômio: a 4 s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 Começamos legendando as linhas com as potências de s da maior para a menor Em seguida, comece com o coeficiente da maior potência de s e atribua ele à primeira posição da tabela (posição onde está sua potência correspondente) A próxima linha recebe o segundo maior coeficiente e as colunas vão sendo completadas alternando assim entre linhas... Adicione zero na última posição, se necessário 18

19 Geração da Tabela de Routh Básica Polinômio: a 4 s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 s 4 a 4 a 2 a 0 s 3 a 3 a 1 0 s 2 s 1 s 0 19

20 Geração da Tabela de Routh Básica Polinômio: a 4 s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 A terceira linha deve ter o mesmo número de elementos que a linha anterior Cada elemento será uma divisão onde: O denominador é o primeiro elemento da linha anterior (fixo para todos os elementos dessa linha) O numerador é o determinante das entradas das linhas anteriores, onde a primeira coluna é sempre a primeira coluna anterior; as próximas colunas seguem a sequência: Acrescentando zeros se necessário... 20

21 Geração da Tabela de Routh Básica Polinômio: a 4 s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 s 4 a 4 a 2 a 0 s 3 a 3 a 1 0 s 2 = 0 s 1 s 0 21

22 Geração da Tabela de Routh Básica Polinômio: a 4 s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 E assim por diante... s 4 a 4 a 2 a 0 s 3 a 3 a 1 0 s 2 = 0 s 1 s 0 22

23 Geração da Tabela de Routh Básica Exemplo 1: Linhas podem ser simplificadas, mas com cuidado... Uma linha pode ser toda multiplicada por uma constante (nesse caso, 1/10). MAS preserve o sinal do elemento da primeira coluna! 23

24 Geração da Tabela de Routh Básica Exemplo 1 (cont.): Observação: Observe que essa coluna foi necessária para podermos montar a segunda matriz da linha 3. Observe que esse elemento é necessário porque temos que ter o mesmo número de elementos em todas as linhas. 24

25 Interpretando a Tabela de Routh Básica Exemplo 1 (cont.): O número de raízes do polinômio que estão no semi-plano direito é igual ao número de mudanças de sinal da primeira coluna da tabela de Routh. Neste exemplo, temos duas mudanças (de 1 para -72 e de -72 para 103), assim, o sistema é instável já que existem polos no semiplano direito. 25

26 Interpretando a Tabela de Routh Básica Exemplo 2: P(s) = 3s 7 + 9s 6 + 6s 5 + 4s 4 + 7s 3 + 8s 2 + 2s

27 Interpretando a Tabela de Routh Básica Exemplo 2 (cont.): Ex: -det[3 9; 6 4]/9 27

28 Interpretando a Tabela de Routh Básica Exemplo 2 (cont.): Ex: -det[ ; ]/(-4.357) 28

29 Interpretando a Tabela de Routh Básica Exemplo 2 (cont.): Análise: Número de mudanças de sinal: 4 Há 4 polos no semi-plano direito e três no esquerdo 29

30 Casos Especiais 1) A tabela de Routh tem zero apenas na primeira coluna de uma linha Pode gerar uma divisão por zero na próxima linha Solução 1: adicionar um bias (ε): um valor muito baixo, próximo de zero, usado apenas para evitar a divisão por zero O sinal do bias pode ser positivo ou negativo; isso precisa ser analisado depois Solução 2: Uso de coeficientes reversos Fazendo s = 1/d (as raízes de d serão recíprocas às de s): 30

31 Casos Especiais 1) A tabela de Routh tem zero apenas na primeira coluna de uma linha Exemplo: 31

32 Casos Especiais 1) A tabela de Routh tem zero apenas na primeira coluna de uma linha Exemplo (cont.): Para ε positivo, temos duas mudanças de sinal, assim, o sistema tem dois polos no semi-plano direito sendo instável; Para ε negativo, temos duas mudanças de sinal também, assim, o sistema tem dois polos no semi-plano direito sendo instável. 32

33 Casos Especiais 1) A tabela de Routh tem zero apenas na primeira coluna de uma linha Exemplo (cont.): Por coeficientes reversos: D(s) = 3s 5 + 5s 4 + 6s 3 + 3s 2 + 2s

34 Casos Especiais 2) A tabela de Routh tem toda uma linha igual a zero Exemplo: 34

35 Casos Especiais 2) A tabela de Routh tem toda uma linha igual a zero Exemplo (cont.): Solução: Voltamos à linha anterior à linha nula e criamos um polinômio auxiliar formado por seus coeficientes apenas. No caso, P(s) = 1s 4 + 6s Derivamos esse polinômio: dp(s)/ds = 4s s + 0 e usamos esses coeficientes como entradas da tabela. No caso, podemos simplificá-los, dividindo por 4, ficando com 1s 3 + 3s + 0. Depois, prosseguimos normalmente... 35

36 Casos Especiais 2) A tabela de Routh tem toda uma linha igual a zero Exemplo (cont.): Como não há mudanças de sinal, o sistema não tem polos no semi-plano direito. Nada pode ser dito sobre a estabilidade ainda (veremos a seguir..). 36

37 Casos Especiais 2) A tabela de Routh tem toda uma linha igual a zero Exemplo (cont.): Por que isso aconteceu? Vamos olhar novamente o primeiro passo da Tabela: Se considerarmos a linha acima da linha nula como um polinômio, teríamos: s 4 + 6s Esse polinômio divide o polinômio original (ou seja, é um de seus fatores). Isso acontece porque há um polinômio par que divide o polinômio original. Nesse caso, acontece a linha nula. O polinômio da linha s 4 é ainda um polinômio par (só possui potências pares de s), enquanto o polinômio da linha s 5 é dito um polinômio ímpar (só possui potências ímpares de s). 37

38 Casos Especiais 2) A tabela de Routh tem toda uma linha igual a zero Exemplo 2: Denominador é s 8 + s s s s s s s + 20 (s 4 + 3s 2 +2) divide o polinômio: s 8 + s s s s s s s + 20, gerando a linha nula. 38

39 Projeto de Sistema Estável via Routh-Hurwitz Exemplo: Considere o sistema abaixo e sua função de transferência equivalente: Encontre o valor de K para que o sistema seja estável, instável ou marginalmente estável. Considere K > 0 39

40 Projeto de Sistema Estável via Routh-Hurwitz Exemplo (cont.): Tabela de Routh: Se K > 1386, teremos uma mudança de sinal por causa da terceira linha, gerando um sistema instável; Se K < 1386, todos os termos da primeira coluna serão positivos, não havendo mudança de sinal. Assim, o sistema será estável; Se K = 1386, teremos a terceira linha como nula. Isso leva à necessidade de voltar à linha anterior, derivar seu polinômio e considerá-lo assim (considerando K=1386). 40

41 Projeto de Sistema Estável via Routh-Hurwitz Exemplo (cont.): Nesse último caso, como não há mudanças de sinal do polinômio par (linha s 2 ) para baixo, o polinômio par tem suas duas raízes no eixo imaginário apenas (do contrário, por simetria, haveria raízes no semi-plano direito) Como não há mudanças de sinal acima do polinômio par também, as raízes restantes estão no semi-plano esquerdo Assim, o sistema é marginalmente estável 41

42 Estabilidade na Representação Estado-Espaço Nesse caso, como já vimos, o polinômio do denominador é dado por: det(si A), onde A é a matriz do sistema Assim, a Tabela de Routh deve ser aplicada sobre o polinômio gerado por esse determinante Exemplo: Sistema: Tabela de Routh Uma mudança de sinal Um polo no semi-plano direito Sist. Instável 42

43 Exemplo 1: s 5 + 3s 4 + 5s 3 + 4s 2 + s + 3 Polos: -1.6, -0.9±1.5j, 0.2±0.7j s s s 3 11/3 0 0 s s 1-11/4 0 0 s Duas mudanças de sinal 2 polos no SPD e, por consequência, 3 no SPE 43

44 Exemplo 2: s 5 + 6s 3 + 5s 2 + 8s + 20 Polos: 0.6±1.8j, 2j, -2j, -1.3 s s s 3 s 2 s 1 Zero na primeira coluna: Uso do polinômio reverso s 0 Obs: Já sabemos que é instável por ter um coeficiente nulo. 44

45 Exemplo 2.1: s 5 + 6s 3 + 5s 2 + 8s + 20 Polos: 0.6±1.8j, ±2j, -1.3 s I s s /2 0 II s s s s = 0 8s Linha nula 1) De s 5 até s 2, temos duas mudanças de sinal, logo, temos dois polos no SPD. Há ainda mais um polo que deve estar no SPE. 2) De s 2 até s 0, a partir do polinômio par, não houve mudanças de sinal. Logo, não há polos no SPE e nem no SPD. Temos então dois polos no eixo imaginário. 45

46 Exemplo 3: s 5 2s 4 + 3s 3-6s 2 + 2s - 4 Polos: 2, ±1.4j, ±j I s s s s 4 3s 2-2 = 0-4s 3 6s Linha nula II s 2-3/2-4/2 0 s 1-1/3 0 0 s x2 1) De s 5 até s 4, temos uma mudança de sinal, logo, temos um polo no SPD. 2) De s 4 até s 0, temos nenhuma mudança de sinal. Logo, não há polos no SPD e nem no SPE. Isso implica que temos 4 polos no eixo imaginário (obviamente, temos que ter 2 pares). 46

47 Exemplo 4: s 6 + 3s 5 + 4s 4 + 6s 3 + 5s 2 + 3s + 2 Polos: -1, -2, -j, +j, -j,+j s I s II 1 2 s s s 4 + 2s = 0 4s 3 + 4s Linha nula III s s s s = 0 2s Linha nula I: Nenhuma mudança de sinal e duas raízes (no SPE) II: Nenhuma mudança de sinal; raízes nem no SPE, nem no SPD duas no eixo imaginário III: Mesmo que o anterior. Como houve duas linhas nulas multiplicidade dupla nas raízes do eixo 47

48 Exercícios Sugeridos (Nise) Cap. 6, Problemas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12 No MatLab: 7, 10 48

49 A Seguir... Erros de Estado Estacionário 49

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