Eletromagnetismo II. Aula 23. Professor Alvaro Vannucci

Transcrição

1 Eletromagnetismo II Aula Professor Alaro annui

2 Na última aula imos... Poteniais de Lienard-Wiehert para argas pontuais, om moimento qualquer. q z ϕ ( r, ˆ e w r µ q y A( r, ϕ ( r, 4π eˆ q ( ) E r, t u ( u a) + u u q ( B r, t ) + ( a) + a ( u ) u q P posição da arga no instante t

3 E omo: ( es. )( ) ( es. ) ( u ) Desta forma, imos que: B E pude troar: u No aso de M..U.: ϕ A r t ( r, t ) (, ) ϕ ( r, E mais interessante ainda: ϕ 4 πε ( r, 4 π ε * q ( ) ( )( t r + r t ) q sinθ y t w, t r r * r q θ,t P

4 te a Mas, no aso espeífio de arga em M..U: Da epressão de E q : ( q ) ( u ) E ( a ) u ; u u u r tr Mas, note que o termo: ; t t Assim: u r t t + t u r t r Agora, quero substituir o produto u, obserando (dos poteniais de Lienard-Wieher que o termo: eˆ ( ) ( u ) ; já que u e u r E u + u a // w r para M..U. tempo presente

5 Por outro lado, omo isto na aula passada, para uma arga om eloidade onstante: eˆ t r ( )( r t + ) * sin De forma que, substituindo na eq. de E r t (, ) 4 q πε * sin θ E r t (, ) ( a ) ( r t ) * esrita em termos do tempo e posição presentes! Coloando em eidênia: q posição presente ao ponto P E( a ) * q ersor na direção de sin θ eeríio da 7 a lista ( ) ( u ) u θ * * *

6 Ou seja, aponta na direção do ponto P em termos do etor posição presente da arga, o que é um resultado interessante já que o sinal em P, no tempo t, em da posição retardada! Note agora que, para pontos P situados na direção do moimento (θ º): E // E q πε * 4 < resultado estátio tio (arga em repouso) Ou seja, a intensidade ( E ) para pontos na direção de moimento diminui em relação à situação de repouso, pelo fator q E ( a * ) sinθ no limite E //! y t r * w q θ,,t r tr P

7 Por outro lado, para pontos na direção ao moimento da arga (θ π/), a intensidade do ampo será: E α ( ) ( ) Conluindo: há então uma tendênia das linhas de ampo elétrio onentrarem-se na direção ao moimento da arga (om eloidade onstante). E O ampo B( a ), por outro lado: q B E > sempre! para qualquer! posição retardadaquero esreer na posição presente E ( a ) q * sin θ

8 Como: Então: * r t r r t ( t tr ) + * + E ( r, a B E B ( r, E E * + B( r, ( E) para q pontual, te (MU) Ou seja, as linhas de força de B têm direção de ê φ (erifiquem!) q y t r * w q θ, t,t * * sin θ r r P * Note ainda que a intensidade do ampo diminui em pontos que se enontram ao longo da direção de moimento. (dependênia om sin θ) q B

9 amos alular agora a Potênia Irradiada por arga pontual, om trajetória qualquer: S E E µ { B ( A C) C ( A B) } E E E E µ E No entanto, omo já disutimos, não é toda energia assoiada aos ampos que onstituirá os Campos de adiação ; uma parte representa o ampo que aompanha a arga enquanto ela se moe. Ou seja, a energia irradiada é aquela que efetiamente propaga-se para o infinito. amos então alular a Potênia Irradiada pela arga, no instante t r, onsiderando asa esféria imaginária, de raio (entrada na posição retardada) e esperar t t tr para alular o fluo de S, no instante t, atraés da asa esféria.

10 Agora, omo elemento de área da somente os termos de S é que sobreiem quando faço. Isto signifia, nas epressões gerais de E e B, que somente o termo que enole aeleração onstituirá a Parte de adiação ão! q E ( r, u + u a ( u ) u Isto porque não depende de (módulo) E [ t e t, a Por isso, arga om te (a) não irradia! ; B E

11 Assim: q Erad u a ( u ) para arga pontual aelerada, om trajetória ria qualquer! Agora, omo E ξ S rad S na epressão de : rad µ E E rad E rad S ( E E) E E µ E E ξ E

12 amos agora alular a intensidade da radiação, de uma forma aproimada (para simplifiar a álgebra), supondo: u ; ou seja, a eloidade de propaga eloidade de propagação do sinal é >> que a eloidade da arga: >> q E rad u a Então: u q ( ) Erad BAC CAB a a \\ e ˆ q e ˆ a a // eˆ q E rad ( a eˆ ) ˆ e a aosθ S (situação não-relati relatiístia) (θ ângulo entre o etor aeleração da arga e a direção da onda irradiada)

13 No álulo do etor de Poynting: q E E E ( a osθ eˆ ) ( ˆ a a osθ e a) q a os θ a osθ ( eˆ ) os ( ˆ ) a a θ a e + a aosθ aosθ q ( a os θ os θ + ) osθ sin Portanto: θ S 6 q a sin θ π µ ε 5 e ˆ q E rad ( a eˆ ) ˆ e a aosθ ; epressão álida para u ~ (situação não-relatiístia) Como emos, a arga não irradia na direção em que está aelerada e a emissão máimam oorre à aeleração da arga!

14 Calulando o fluo desta energia/área-tempo atraés de uma asa esféria de raio, temos a Potênia Total Irradiada: q a P S ˆ rad n da sin d d 5 6π µ ε ( π ) 4 θ θ φ µ ε P 4 πε q a Fórmula de Larmor! para argas om <<, já obtida antes utilizando distribuição de argas em torno da origem.

15 ELATIIDADE Teoria de Mawell do Eletromagnetismo foi publiada em 86. Nos anos seguintes a estrutura matemátia foi gradualmente desenolida, e os resultados omproados eperimentalmente. Um ponto ruial neste proesso foi deidir sobre a eistênia (ou não) de um meio para a propagação das ondas EM: o Éter. Ele eistindo, porém, se estabeleeria um sistema de referênia preferenial para o estudo das leis da Físia. Eperiênias om a de Mihelson-Morley (888) learam a maioria dos ientistas a onluírem pela não-eistênia do Éter. Em 94 Lorentz propôs uma transformação que deiaa inalterada a forma das Equações de Mawell quando desrita por dois obseradores em refereniais ineriais diferentes (o que não oorre quando apliadas às transformações de Galileu as equações de Mawell não eram inariantes frente a uma transformação de Galileu).

16 Por eemplo, supor a Eplosão de um Balão (eento) em um ponto P, no instante t. z y t z y P γ Equações de Lorentz y z t z y t t No ano seguinte Einstein onsegue elaborar a Teoria Espeial da elatiidade, partindo de dois prinípios básios: - As Leis da Natureza são as mesmas para qualquer ref. inerial. - A eloidade da luz no áuo é para qualquer ref. inerial. () () () (4)

17 Note: O lanterna O fóton Supor agora, por eemplo, que e sinronizam seus relógios ao passar um pelo outro (om eloidade ), e neste instante um flash de luz é disparado nas origens oinidentes dos sistemas de oordenadas: i) O obserador afirma que a luz propaga-se em todas as direções om eloidade, omo frentes de ondas esférias entradas na sua origem e om raio r t resente. ii) Obserador afirma o mesmo, om as ondas entradas na sua origem e om raio r t resente. luz

18 Isto signifia dizer que, para ada obserador, as frentes de onda são desritas pela equação da esfera: + y + z r t + y + z r t Apliando as equações de transformação de Lorentz na eq.(6) : t γ ( + y + z γ t y y z t γ γ γ ; γ + t t + y + z ( ) γ + y + z t t (5) (6) γ t + γ γ t 4 γ + y + z t z eq.. (5)!

19 amos agora determinar as eqs. de Transformação de Lorentz para a eloidade (de um objeto que se moe, para refereniais ineriais) Considere o objeto em moimento, segundo os obseradores e, sofrendo um desloamento infinitesimal tem-se ariações infinitesimais nas oordenadas linha e sem linha, dadas por: y z t z y t t () () () (4) d dy dz dt d dy dz dt dt ( ) d (7) (8) (9) ()

20 Fazendo (7) (): d dt d dt d dt dt Também (8 ou 9) () : d dy d dt dy ; dz ; dt dz dt ( ) () d y dy dt dy dt y d dt y y ()

21 Analogamente: erifique que, fazendo z dz dt z <<< ( ) aímos na Transformação de eloidade lássia de Galileu! () Pode-se mostrar que as equações de Mawell são oariantes (ariam da mesma maneira, não mudam suas formas) om relação a uma transformação de Lorentz: ρ ( r, ρ ( r, t ) E ( r, E ( r, t ) (4) ε ε B r, t B r, t (5)

22 B ( r, E ( r, B E ( r, t ) t t E ( r, B ( r, µ J ( r, µ ε + t E r, t B ( r, t ) µ J ( r, t ) µ ε + t ( r, t ) (6) (7) ρ, J ρ, J Agora isto não signifia que há igualdade entre os ampos e ( E, B) e ( E, B ) ou entre densidades de arga e orrente Isto porque, na realidade, estas grandezas não são iguais (para refereniais ineriais diferentes)! Fia fáil pereber isso obserando que se uma arga está em repouso em um referenial, no outro ela está em moimento! Nossa tarefa, agora, será determinar as leis (equações) que regem as Transformações dos Campos eremos na próima aula