Seminário de Física. Relatório final

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1 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo Seminário de Físia Relaório final Relaiidade Dilaação do empo Trabalho realizado por: Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.)

2 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo Índie:. Inrodução.... A era pré-einsein.... A ransformação de Galileu..... A inariânia da disânia..... A inariânia do empo A ransformação da eloidade A inariânia da aeleração O que é a Teoria da Relaiidade Resria? De onde proém a Teoria da Relaiidade A eloidade da luz, A eperiênia de Mihelson-Morley Monagem eperimenal Impliações da eperiênia: posulados de Einsein e a Relaiidade Resria 8 4. A ransformação de Lorenz Consequênias da ransformação de Lorenz Simulaneidade Dilaação do empo Conração do espaço Epliação da dilaação do empo usando diagramas espaço-empo Como onsruir um diagrama de Minkowski? Ineralo de empo próprio O paradoo dos gémeos Epliação da dilaação do empo em oneo de sala de aula A dedução da dilaação do empo usando raios de luz A dilaação do empo e a desinegração do muão O desanso dos asronauas numa nae espaial Bibliografia Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.)

3 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo. Inrodução Ese relaório de Seminário de Físia é referene ao ema da relaiidade resria, nomeadamene da dilaação do empo e suas apliações pedagógias adequadas à úlima unidade urriular do º ano da disiplina Físia. Relaionadas om ese ema emos apliações práias da eoria da relaiidade resria e, no aso pariular da dilaação do empo, podem-se referir, por eemplo, o paradoo dos gémeos, o rajeo da luz num omboio em moimeno e as iagens espaiais. É, assim, imporane que os alunos enham onheimeno da apliabilidade desa, e de ouras eorias físias, de modo a erem a perepção da ligação inrínsea enre onheimeno ienífio aadémio e o que aonee no mundo que os rodeia, nomeadamene no muio úil GPS.. A era pré-einsein. A ransformação de Galileu A relaiidade de Galileu aplia-se basane bem à maioria dos fenómenos que oorrem no nosso dia-a-dia e, omo al, uma grande pare da meânia assena neses prinípios. Por esse moio, Newon baseou-se nos fundamenos da físia da relaiidade de Galileu para elaborar as suas rês leis do moimeno, que são suposas álidas quando obseradas de um referenial inerial qualquer, saisfazendo, porano, o prinípio de Galileu, de que nenhum referenial inerial é priilegiado. Assim sendo, suponha-se que um aoneimeno A oorre num insane de empo no pono de oordenadas (,y,z), relaias a um referenial de inéria R. Suponhamos que se preende deerminar as oordenadas (,,y,z ) de A, relaias a um ouro referenial de inéria R, que se moe om eloidade, relaiamene a R. Por simpliidade, supõe-se que o moimeno relaio se faz segundo a direção do eio dos e que os eios se manêm sempre paralelos. Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.)

4 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo Figura Esquema de dois refereniais: R e R Tal omo a figura mosra, emos: y z E onde se dee junar o fao que raduz o aráer absoluo do empo na relaiidade de Galileu: y z.. A inariânia da disânia Considerem-se os ponos P e P ujas oordenas num referenial de inéria R onde se em que a, y z 0 e b, y z 0, respeiamene, sendo a disânia enre os dois ponos é igual a b a. Seja R um ouro referenial de inéria, moendo-se relaiamene a R segundo a direção do eio dos om eloidade, manendo-se os eios sempre paralelos. Relaiamene a ese referenial os ponos P e P moem-se de aordo om as equações seguines obidas usando as ransformações. e. a b (.) (.) Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.)

5 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo Suponha-se que os obseradores em R medem a posição do pono P no insane do pono P no insane Assim, se iermos. A diferença das duas leiuras é dada por: b a ( ) e a emos que b a, ou seja, a separação espaial enre dois aoneimenos que oorrem no mesmo insane (são simulâneos) é inariane. Porém, na relaiidade de Einsein erifiar-se-á que iso, de fao, não é erdadeiro... A inariânia do empo Considere-se, agora, que os obseradores de ambos os refereniais sinronizam os seus relógios, de modo a serem apazes de medir os respeios ineralos de empo para dois aoneimenos diferenes. Supondo que os obseradores em R medem a posição do pono P no insane e a do pono P no insane, e que os obseradores em R medem a posição do pono P no insane eoria de Galileu que: e a do pono P no insane, em-se, pela Assim, se se onsiderar que a disânia enre os ponos P e P é onsane, em-se que o ineralo de empo enre dois aoneimenos é um inariane, ou seja, dois refereniais diferenes medem, enre os mesmos aoneimenos, o mesmo ineralo de empo...3 A ransformação da eloidade Suponha-se que um pono se moe numa rea om eloidade uniforme,, ), ( y z medida num referenial de inéria R. Se o pono parir da origem no insane, as equações do moimeno são dadas por: y z z y Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 3

6 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 4 Seja agora R um ouro referenial de inéria, que se moe om eloidade, relaiamene a R, manendo-se os eios sempre paralelos. Usando as equações. e. para obermos,,, z y em função de z y,,,, surge: z y z y + Que, resolendo em ordem às oordenadas do referenial R, fia: ) ( z y z y Assim sendo, esas equações desreem um moimeno reilíneo uniforme om eloidade onsane ),, ( z y, onde emos: z z y y Sendo ese onjuno de equações onheido omo a lei da adição das eloidades...4 A inariânia da aeleração De aordo om as equações.3, as eloidades do moimeno do pono diferem de uma onsane. Porano, as aelerações são as mesmas em ambos os refereniais, ou seja, a a A aeleração e onsequenemene a força eerida num orpo, de aordo om a ª lei de Newon, são uniersais para refereniais ineriais. (.3)

7 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo 3. O que é a Teoria da Relaiidade Resria? 3. De onde proém a Teoria da Relaiidade A Teoria da Relaiidade Resria proposa em 905 e a Teoria da Relaiidade Geral formulada em 95 por Einsein deram origem a uma reolução ienífia, modifiando os oneios de espaço e empo, maéria e energia. Ambas as eorias foram deerminanes para epliar fenómenos físios que oorrem a alas energias e fenómenos que enolem a ineração graíia, no aso da Relaiidade Geral. Embora se aribua a formulação desa eoria a ese génio da físia, pare do seu rabalho foi preedido na úlima déada do séulo XIX pelos esudos de Lorenz e Poiaré, enre ouros ienisas não menos imporanes. Esa eoria em omo base a eoria eleromagnéia de Mawell e a meânia lássia de Newon, sendo que o ermo relaiidade adém do fao de que esa raa das relações eisenes enre obserações feias por obseradores em moimeno relaio e suas impliações ao níel da inemáia e da dinâmia. 3. A eloidade da luz, Desde a Gréia aniga que se arediaa que no Unierso eisia um maerial que oupaa o espaço azio que nos rodeaa, o éer. Aé ao final do séulo XIX os físios afirmaam que ese éer hipoéio ibraa e esas ibrações eram semelhanes às que oorriam no ar aquando da propagação do som. Medidas efeuadas rigorosamene deerminaram que a eloidade da luz no azio,, é, m/s e admiindo a eisênia do al éer esaionário, a luz moia-se em relação a ese om essa mesma eloidade. Conudo, se a Terra se moesse araés do éer om eloidade, enão a eloidade de propagação da luz relaiamene à Terra eria alores diferenes onsoane o senido em que esas se moimenassem uma em relação à oura. No aso simples da Terra e da luz se moerem na mesma direção e no Alber Einsein ( ). Físio alemão radiado nos Esados Unidos mais onheido por desenoler a eoria da relaiidade. Ganhou o Prémio Nobel da Físia de 9 pela orrea epliação do efeio fooelério, no enano, o prémio só foi anuniado em 9. Hendrik Anoon Lorenz (853 98). Físio holandês que deriou as onheidas ransformações de Lorenz que Alber Einsein inerpreou omo sendo apazes de desreer a erdadeira naureza do espaço e do empo na Teoria da Relaiidade Resria. Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 5

8 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo mesmo senido, e usando as ransformações de Galileu, a eloidade da luz em relação à Terra seria dada pela epressão. Pelo onrário, se os moimenos relaios fossem efeuados na mesma direção mas senidos oposos, a luz eria eloidade dada pela epressão +. Na erdade, iso não aonee e a luz em sempre a mesma eloidade em qualquer referenial que se esolha e iso foi proado araés de eperiênias realizadas em 88 por Alber Mihelson e Edward Morley. 3.. A eperiênia de Mihelson-Morley As eperiênias de Mihelson-Morley inham omo inuio de erifiar se a eloidade da luz ariaa om o moimeno da Terra, usando uma espéie de inerferómero apaz de obserar a inerferênia da luz. Com iso preenderam medir a eloidade da Terra em relação ao hipoéio éer e hegaram à onlusão que, independenemene das árias ondições imposas, a eloidade da luz inha sempre o mesmo alor, onrariando, assim, as suposições de Galileu que dizia que era impossíel um orpo er a mesma eloidade relaiamene a dois obseradores em moimeno relaio e uniforme. Os resulados desa eperiênia foram basane imporanes uma ez que onduziram Einsein a refuar a ideia da eisênia do al éer e a propor a lei uniersal da naureza que afirma que a eloidade da luz é uma onsane físia que, onsequenemene, em o mesmo alor para odos os obseradores em moimeno reilíneo e uniforme. 3.. Monagem eperimenal A monagem da eperiênia efeuada por Mihelson e Morley enonra-se esquemaizada na figura, onde S represena uma fone de luz monoromáia, M e M são dois espelhos oloados à mesma disânia L de uma lâmina de idro P, medida por um obserador da Terra, ou seja, PM PM. Dese modo, a luz proeniene L da fone S, quando ainge P onde é parialmene ransmiida para M e parialmene refleida para M, modifiando a sua rajeória, aabando, eenualmene, por hegar aos olhos do obserador siuado em O. Há a salienar o fao de que a rajeória de luz que se enonra esquemaizada na figura é referene ao sisema X Y Z que se moe em onjuno om a Terra e em relação à qual o inerferómero se enonra em repouso. Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 6

9 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo Figura Trajeórias da luz na eperiênia de Mihelson-Morley Consideremos que o éer eise de fao e é a eloidade da luz que um obserador O, em repouso relaiamene ao éer, siuado na Terra, e a eloidade da Terra relaiamene ao dio éer. Orienemos, agora, o inerferómero de modo a que a linha PM seja paralela ao moimeno da Terra de modo a podermos usar as ransformações de Galileu de forma a deerminar a eloidade da luz om árias rajeórias relaiamene à Terra. No aso da luz se desloar de P para M, obém-se uma eloidade relaia dada pela epressão, ao passo que se esa se desloar de M para P a eloidade relaia já em uma epressão diferene, ou seja, +. Por fim, aso a luz siga de P para M, ou ie-ersa, a epressão orna-se ( ). Com eses dados podemos, enão, alular o empo que a luz demora a perorrer os rajeos de P para M e de M para P e que é medido pelo obserador que se enonra na Terra, O. Sendo assim, o empo medido pelo obserador O é dado pela epressão: L L + + L L Conudo, o empo, medido pelo obserador O, que o raio de luz demora a perorrer a disânia de P para M e olar noamene a P é: Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 7

10 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo ( L ) L Tal omo se pode erifiar pelas equações aneriores, é maior que, o que lea a dizer que os raios que hegam ao obserador O possuem rajeórias diferenes e seriam o resulado de um padrão de inerferênia que, na erdade não foi obserado. Dese modo, pode-se onluir que empos medidos são iguais. De modo a aumenar a preisão das medidas efeuadas pelo aparelho e numa enaia de obserar o dio padrão de inerferênia, Mihelson rodou o inerferómero 90º relaiamene à posição original. Conudo, esa mudança não eio alerar em nada os resulados obidos aneriormene, embora a eoria baseada nas ransformações de Galileu fosse apaz de preer a aleração do padrão de inerferênia por roação do aparelho. A epliação para o resulado negaio desa eperiênia foi dada por Einsein que afirmou a inariânia da eloidade da luz para quaisquer obseradores em moimeno reilíneo e uniforme. Dese modo, as ransformações de Galileu deiaram de ser apliáeis. Ao níel da eperiênia de Mihelson-Morley, ese fao foi muio imporane, uma ez que o obserador O passa a usar o alor de, para quaisquer rajeórias do raio de luz, obendo-se assim: al omo o obserador O. L Resria 3..3 Impliações da eperiênia: posulados de Einsein e a Relaiidade Esa eperiênia ornou-se muio imporane no domínio da Físia, uma ez que eio onrariar muios dos prinípios que, aé à daa da formulação da Teoria da Relaiidade, eram dados omo inquesionáeis. Assim, Einsein formulou um posulado que deu origem à Teoria da Relaiidade Resria. O posulado é omummene designado de Prinípio da Relaiidade e onde se afirma que as leis da Físia, inluindo as do Eleromagneismo, são as mesmas em dois Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 8

11 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo refereniais em moimeno reilíneo (eloidade onsane). Deido ao fao de não haerem proas de que ese não se aplique ao Eleromagneismo, Einsein assumiu ese prinípio omo sendo uniersal. Um aso pariular dese posulado assegura que eise uma lasse de refereniais, dios ineriais, om moimeno relaio uniforme e reilíneo, e nos quais a luz em a mesma eloidade, : iso é a eloidade da luz é um inariane nesa lasse de refereniais, ornando álidas, por eemplo, as equações de Mawell numa lasse de refereniais que possuam ese ipo de moimeno. A Relaiidade Resria resume-se, enão, a ese prinípio fundamenal e a designação Resria proém do fao de apenas se abordar um ipo de refereniais, que se moem uns em relação aos ouros om uma deerminada eloidade uniforme. Em pariular, no aso do Eleromagneismo, a eloidade da luz é igual em odos os refereniais ineriais onde são álidas as equações de Mawell, em pariular no azio: E 0 E B µ 0 ε 0 B 0 B E 4. A ransformação de Lorenz O fao da eloidade da luz ser um inariane para quaisquer uilizadores em moimeno relaio uniforme em uma grande impliação no que onerne às ransformações de Galileu, iso que esas impliam a lei de adição de eloidades. Como onsequênia foi neessário reformular as ransformações de Galileu segundo as ransformações de Lorenz. Assim sendo, onsiderem-se dois obseradores O e O moendo-se om eloidade relaia, uja direção dos eios X e X é a mesma do moimeno relaio dos obseradores e os planos YZ e Y Z são paralelos enre si, al omo se pode erifiar na figura 3. Quando O e O são oinidenes os obseradores aeram os seus relógios de maneira a que se enha 0. Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 9

12 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo Figura 3 Sisemas de referênia no moimeno relaio uniforme de ranslação Imagine-se que no insane 0 um raio de luz é emiido na origem omum dos dois refereniais om moimeno uniforme relaio. Passado um ero empo, O erifia que a luz aingiu o pono A de oordenadas (,y,z,) e enão em-se represena a eloidade da luz. Considerando que: r, onde Vem: + y + z r + y + z (4.) Para o obserador O o raioínio é semelhane, e omo a eloidade da luz se maném onsane ao longo de odo o rajeo, ese mede um empo de hegada da luz ao mesmo pono A. Dese modo, em-se r e, porano, + y + z (4.) Poso iso, preende-se enonrar uma ransformação que relaione as equações 4. e 4.. Por quesões de simeria erifia-se que: y y E ambém que, para o obserador O: z z OO Porano, a posição de O é dada por: Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 0

13 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.), quando 0 Para simplifiar os álulos admie-se que a ransformação é linear, ou seja: ) ( γ ) ( b a Onde γ, a e b são onsanes a serem deerminadas e, para a ransformação de Galileu se em que a γ e 0 b. Dese modo, inroduzem-se esas simplifiações na equação 4. que fia: ) ( ) ( b b a z y r γ Ou seja, ) ( ) ( a z y ba a b + + γ γ γ Como ese resulado dee ser semelhane ao apresenado em 4., em-se: a b γ 0 ba γ a γ Resolendo esas rês equações em ordem a γ, a e b em: a γ b Subsiuindo os alores aneriores nas equações 4.3 e 4.4 obém-se a ransformação de Lorenz: (4.4) (4.3)

14 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo y y z z (4.5) Ese onjuno de equações foi esudado pela primeira ez por Lorenz sendo apliada ao ampo eleromagnéio a uma arga em moimeno porém, em 905, Einsein deu-lhe a forma que hoje onheemos, mas manee o nome do seu auor ao designá-las por ransformação de Lorenz. Como a maioria dos fenómenos oorrem à nossa ola a uma eloidade muio inferior à eloidade da luz, os alores de / e / são desprezáeis. Assim, em: / são muio baios e, onsequenemene, os ermos γ Que, quando se em <<, assume um alor praiamene igual à unidade. Dese modo, as ransformações de Lorenz e de Galileu são muio semelhanes no que onerne a eenos realizados na Terra, podendo usá-las na grande maioria dos problemas que nos são oloados. No aso de ermos eloidades muio próimas da eloidade da luz, omo por eemplo no aso dos raios ósmios, dos deaimenos radioaios, eise a neessidade de usar a eoria relaiisa de Lorenz. Por ouro lado, há salienar que, embora as ransformações de Galileu e de Lorez sejam semelhanes, ao níel onepual a diferença é enorme, prinipalmene no que oa à relação ao espaço e ao empo, que agora apareem relaionados. Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.)

15 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo 4. Consequênias da ransformação de Lorenz O faor que surge na ransformação de Lorenz é muio imporane na medida em que, se emos a eloidade da luz onsane, uma das grandezas físias que relaionam as obserações de dois obseradores dee diferir de um aso para o ouro. No presene aso, o que aria para os obseradores em moimeno relaio é o omprimeno dos orpos e os ineralos de empo enre os aoneimenos preseniados. Assim sendo, pode-se definir um aoneimeno omo sendo uma oorrênia espeífia que aonee num dado pono do espaço num deerminado insane de empo. Por ouro lado define-se um ineralo de empo omo sendo o empo que deorre enre dois aoneimenos, medidos por um obserado. 4.. Simulaneidade Considerere-se a equação de ransformação de Lorenz para pares de eenos a seguir apresenada: γ + Noe-se que, se dois eenos oorrem em loais diferenes em R, enão, nesa equação, em um alor diferene de zero. Assim, no aso dos eenos serem simulâneos em R, de modo a que se enha 0, esses aoneimenos já não serão simulâneos em R. Dese modo, o empo que separa os dois eenos, medido em R e simulâneos em R, é dado por: γ De onde se onlui que os ineralos de empo que separam dois aoneimenos, medidos em refereniais diferenes, são, ambém, diferenes. Assim sendo, dois obseradores em moimeno relaio não onordam, em geral, quano à simulaneidade de dois eenos. Iso é, se um obserador onluir que dois eenos, oorrendo em loais disinos, são simulâneos, o ouro onluirá que não são Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 3

16 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo simulâneos e ie-ersa. Sendo assim, a simulaneidade não é um oneio absoluo, mas um oneio relaio, uma ez que depende do obserador. Esa onlusão é, assim, uma onsequênia direa da onsânia da eloidade da luz. 4.. Dilaação do empo Considerem-se dois eenos que oorrem nos insanes a e b no mesmo loal relaiamene a um obserador O a moer-se em relação ao obserador O, para o qual os aoneimenos oorrem em lugares diferenes e nos insanes respeiamene. a e Apliando a ransformação de Lorenz e resolendo-a em ordem ao empo, obemos a ransformação inersa de Lorenz. Para os insanes onsiderados obém-se as seguines equações, onde é o mesmo em ambas: b, a b a + b + Fazendo a subração enre os insanes de empo onsiderados, obém-se: b a b a E simplifiando de modo a poder usar T b e a T, em: b a T T (4.6) Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 4

17 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo Onde T é o ineralo de empo medido por um obserador O em repouso relaiamene ao pono em que os aoneimenos oorrem. Por sua ez, T é o ineralo de empo medido por um obserador O, relaiamene ao qual o pono em que os aoneimenos oorrem, esá em moimeno. Como emos que o alor da epressão dada por ( ) é maior que, a parir da equação 4.6 sabe-se que T é maior que T. Dese modo, os proessos que oorrem num orpo em moimeno em relação ao obserador pareem er uma duração maior do que quando oorrem num orpo em repouso em relação ao obserador, iso é, T f T moimeno repouso Assim sendo, ao ineralo de empo enre dois aoneimenos que oorrem em ponos em repouso em relação a um obserador, hama-se ineralo de empo próprio, que, na equação 4.5, se enonra represenado por T Conração do espaço Considerando que o omprimeno de um objeo pode ser definido omo sendo a disânia enre os seus ponos eremos, designados A e B, quando ese se esá a moer relaiamene a um obserador que preende medir o omprimeno, as posições dos seus eremos deem ser medidas simulaneamene. Considere-se uma barra em repouso em relação ao obserador O e paralela ao eio dos. O omprimeno da barra é dado por: L b a E, omo no seu referenial esa enonra-se em repouso, a simulaneidade não é um faor imporane. Conudo, o obserador O, em moimeno relaiamene à barra, dee regisar as posições de a e b simulaneamene, ou seja, no mesmo insane de empo, obendo o omprimeno da barra: L b a Apliando o onjuno de equações 4.5, que definem a ransformação de Lorenz, obêmse as seguines relações, enre as posições relaias dos eremos da barra, para ambos os obseradores: Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 5

18 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo a b a b Dado que o é o mesmo para ambas as equações, obém-se que: b a b a E uma ez que já se sabe que L b e que omar uma forma mais simples, ou seja: a L, a epressão anerior pode b a L L (4.7) Como emos que o alor da epressão dada por ( ) é menor que, a parir da equação 4.7 sabe-se que L é maior que L. Dese modo, o omprimeno de um orpo, quando ese esá em moimeno em relação ao obserador, paree mais uro do que quando o orpo esá em repouso em relação ao obserador, iso é, L p L moimeno repouso Ao omprimeno de um orpo em repouso em relação a um obserador hama-se omprimeno próprio do orpo que, na equação 4.7, se enonra represenado por L. 5. Epliação da dilaação do empo usando diagramas espaço-empo Os diagramas espaço-empo, ambém onheidos omo diagramas de Minkowski, em homenagem ao ienisa que os desenoleu em 908, são uma ferramena muio úil, pois forneem uma ilusração das propriedades do espaço e do empo na eoria da Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 6

19 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo relaiidade resria. Além disso, permiem uma ompreensão quaniaia de fenómenos, omo sejam a dilaação do empo ou a onração do espaço, sem reorrer a equações maemáias. O diagrama de Minkowski usa, normalmene, apenas uma dimensão espaial e raa-se de uma sobreposição de sisemas oordenados de dois obseradores moendo-se um relaiamene ao ouro om eloidade onsane. Eses diagramas êm omo prinipal objeio permiir que as oordenadas de espaço e empo, e, usadas por um obserador, enham o seu alor orrespondene e usados por ouro e ie-ersa. A parir desa orrespondênia direa enre as oordenadas, de um e ouro obserador, a ausênia de onradições em muios paradoos aparenes da eoria da relaiidade, ornam-se, assim, óbias. Além disso, o papel da impossibilidade de se aingir a eloidade da luz resula grafiamene das propriedades do espaço e do empo. A forma do diagrama obém-se imediaamene e sem nenhum álulo auiliar, a parir dos posulados da relaiidade resria e demonsra a relação inrínsea enre o espaço e o empo om a eoria da relaiidade. 5. Como onsruir um diagrama de Minkowski? Considere-se uma paríula moendo-se ao longo do eio dos om eloidade dada por β onsane. A sua linha do unierso, num sisema de eios do ipo ( ) dada pela epressão: ( ) β,, é que, nese aso, se raa duma rea. Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 7

20 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo Figura 4 Diagrama de Minkowski para dois refereniais Considerem-se, agora, dois refereniais disinos, R e R, em que R se moe relaiamene a R om eloidade onsane. No aso da figura 4, em-se que a rea β () represena a linha do unierso do relógio do obserador em R. Considera-se que odos os aoneimenos nesa linha oorrem para 0 sendo, porano, esa linha onsiderada omo o eio. De modo a alibrar ese eio, desenha-se um ramo da hipérbole definida por, endo os ponos presenes nesa que saisfazer, ambém, a equação, deido à inariânia do ineralo. Da inerseção desa hipérbole om o eio, ao longo do qual se em que 0, resula o pono 0,, dando origem à unidade de medida ao longo do eio. Para raçar o eio fazem-se os ponos onde os aoneimenos êm 0. Subsiuindo na equação seguine (uma simplifiação da equação 4.5) γ em-se: Ou seja, 0 γ ( ) β Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 8 0

21 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo Que é a equação do eio dos. Traçando a hipérbole om a equação: alibra-se o eio dos eaamene om a mesma unidade do eio dos. 5. Ineralo de empo próprio O ineralo de empo próprio enre dois aoneimenos, medido relaiamene a um referenial R, é definido omo sendo a separação emporal dos dois aoneimenos, medida num relógio em repouso relaiamene a esses mesmos aoneimenos. Assim sendo, os dois aoneimenos êm lugar no mesmo loal, de aordo om o obserador que ranspora o referido relógio. Considere-se, enão, um sisema em repouso relaiamene a um obserador R, ujo empo de ida é finio: Figura 5 Diagrama de Minkowski para a dilaação do empo O empo próprio dese sisema onsise na separação emporal,, enre os aoneimenos N (nasimeno) e M (more), medida por um relógio em repouso reaiamene ao sisema referido. Como se pode erifiar pela figura 5, a separação emporal relaiamene a um obserador R é dado pela epressão: γ Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 9

22 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo Onde se pode erifiar que o empo próprio é menor que o empo medido pelo obserador que se enonra em moimeno, relaiamene ao ouro. 5.3 O paradoo dos gémeos A figura 6 mosra as linhas do unierso de duas naes espaiais, a nae N que pare da Terra om eloidade dada por β 0, 8, e a nae N que regressa à Terra om a mesma eloidade. Figura 6 Diagrama de Minkowski para a dilaação do empo em naes espaiais Considere-se que a linha do unierso da Terra é o eio e que as maras represenam ineralos de um ano. Enre a parida de N e a hegada de N passam-se 0 anos. As maras presenes nas linhas do unierso de ada nae represenam ineralos de um ano, de aordo om o relógio de ada nae. Após 3 anos de iagem pelo Espaço, desde que pariu da Terra, e de aordo om o seu relógio, N enonra N. Por ouro lado, N demora mais 3 anos a hegar à Terra. Assim sendo, um asronaua que iaje na nae N e regresse na nae N enelhee apenas 6 anos, ao passo que os habianes da Terra enelheem 0. No aso de er deiado um Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 0

23 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo irmão gémeo, o asronaua que iajou pelo espaço nas naes N e N, é 4 anos mais noo do que o gémeo que fiou na Terra. Dese modo, esa diferença de idades é onsisene om o fao de que, do pono de isa dos habianes da Terra, o relógio dos asronauas anda mais deagar de aordo om a epressão: γ (0,8) 0,6 Na figura 7 enonra-se ilusrado o fao de que, do pono de isa do asronaua, os relógios da Terra, andam mais deagar durane a sua iagem pelo Espaço. No momeno em que o asronaua abandona o referenial de N, efeua uma leiura nos relógios presenes na Terra e raça a linha do unierso de N, onde oorre a simulaneidade que passa na linha de unierso de N, no insane em que o relógio desa nae mara 3 anos. Figura 7 Diagrama de Minkowski para a dilaação do empo em naes espaiais Como se pode erifiar na figura 7, a linha do unierso de N inersea o eio de no pono,8 anos. Depois de mudar de nae para regressar à Terra, o asronaua lê noamene o empo medido nos relógios da Terra, raçando a linha do unierso de N, onde se erifia a simulaneidade que passa no pono de mudança. Esa linha inersea o eio de no pono 0,8 8, anos. Esa diferença é arrida pela linha de simulaneidade quando o asronaua efeua a mudança de N para N. Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.)

24 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo Na figura 8 enonra-se esquemaizado a análise do pono de isa do asronaua: Figura 8 Diagrama de Minkowski para a dilaação do empo pono de isa do asronaua As linhas preas represenadas na figura anerior represenam as rajeórias de sinais luminosos emiidos pela Terra, por ada ano erresre. No aso de ermos β 0, 8 a aa à qual eses sinais são reebidos por N é dada pela seguine epressão: + β β 3anos Ao passo que os mesmos sinais são reebido por N à aa de: + β β anos 3 Assim sendo, e de aordo om os álulos efeuados, em N obsera-se um flash de luz a ada 3 anos, enquano que em N obseram-se 3 flashes por ano. Por seu urno, e omo ser enonra eemplifiado na figura 9, as linhas preas represenam as rajeórias luminosas dos feies emiidos pelo asronaua à aa de um por ano. Na Terra, os feies luminosos são, enão, obserados om a mesma frequênia que nos Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.)

25 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo asos aneriores. Assim, a ada 3 anos é obserado um flash emiido por N e a ada de ano quando eses são emiidos por N. Dese modo, os habianes da Terra leam 3 9 anos para obserarem 3 flashes luminosos emiidos por N e apenas ano para obserar o mesmo número de flashes emiidos por N. 8 Figura 9 Diagrama de Minkowski para a dilaação do empo pono de isa do obserador na Terra E agora por que razão dirá que eise um paradoo? Como é que se pode resoler ese aso? Há aqui dois aspeos diferenes a serem onsiderados. O primeiro é que, no oneo da meânia lássia, a dilaação emporal não eise, o que learia o gémeo que iajou na nae esranhar a disparidade dos empos deorridos eperimenados por ele e pelo gémeo que fiara na Terra. Porém, o real paradoo aqui é o fao de que, mesmo que se aeie a dilaação emporal, o gémeo que iajou pelo Unierso a bordo da nae, om eloidade muio próima à eloidade da luz, em odo o direio de alegar, de aordo om a Teoria da Relaiidade Resria, que a Terra se moia om eloidade próima à da luz. Assim, o gémeo que iajou na nae aha que a Terra é que deeria er ido o seu fluo de empo alerado. No enano, o enendimeno perfeio dese efeio só oorre se se reordar que a nae perorreu uma rajeória maior (onsiderando-se esa rajeória no espaço-empo). Além disso, há que hamar a aenção que ambos os refereniais onsiderados, Terra e Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 3

26 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo nae espaial, sofreram algum ipo de aeleração durane o proesso em ausa. Dese modo, o enquadrameno perfeio dese problema só oorrer quando se reorre à Teoria da Relaiidade Geral. 6. Epliação da dilaação do empo em oneo de sala de aula 6. A dedução da dilaação do empo usando raios de luz Considere-se um omboio parado om um obserador O parado denro do omboio que emie um feie de luz à disânia d de um espelho posiionado no enro do omboio. Figura 0 O obserador O denro do omboio O obserador mede, enão, o empo de ida e ola do feie de luz, sendo ese dado pela epressão: d onde é a eloidade da luz e em o mesmo alor em odas as direções e em odos os refereniais ineriais. Para ese obserador, o feie de luz sai de um lugar e ola ao mesmo pono, usando apenas um relógio para medir o ineralo de empo. Um segundo obserador, O, oloa-se fora do omboio om um relógio semelhane ao do ouro obserador para medir o mesmo ineralo de empo. Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 4

27 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo Imaginando que o omboio adquire um moimeno reilíneo e uniforme, o obserador O repee a sua medida de empo, enonrando o mesmo alor para. Por ouro lado, o obserador que se enonra fora do omboio obsera um perurso diferene para o feie de luz, num ineralo de empo ambém diferene: d + d Figura Trajeo do feie de luz para o obserador O O aminho perorrido pelo feie de luz, para O é dado por: aminho d + E, omo o feie de luz em eloidade, em: d + E sabendo que: aminho aminho Fia, após algumas ransformações maemáias: d Ou seja, Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 5

28 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo (uma ez que γ γ, γ e ) No aso de ermos a eloidade de moimeno do omboio,, muio menor que a eloidade da luz,, obém-se o resulado lássio, ou seja: Dese modo, a relaiidade resria dee esar de aordo om a meânia lássia no limie de baias eloidades. O fao do obserador que se enonra fora do omboio medir um ineralo de empo maior dee-se ao rajeo da luz preisar de perorrer um maior aminho, om a mesma eloidade. O obserador O, por sua ez, mediu um ineralo de empo enre eenos oorrendo no mesmo lugar, ou seja, só é neessário um relógio para medir ese ineralo de empo. A ese ineralo de empo medido pelo obserador O dá-se o nome de ineralo de empo próprio. Pelo onrário, o obserador O neessiou de usar relógios sinronizados para medir o ineralo de empo, uma ez que, para ese, o feie saiu de um lugar e olou a ouro após ser refleido pelo espelho. Dese modo, onlui-se que, obseradores em moimeno medem ineralos de empo maiores do que o ineralo de empo próprio, p, medido pelo obserador em repouso em relação ao fenómeno, em-se γ, ou seja, oorre a dilaação do p empo! 6. A dilaação do empo e a desinegração do muão Uma das mais famosas eperiênias de medição de dilaação do empo diz respeio a uma paríula insáel, o muão ou mesão-µ. A massa dese é era de 07 ezes maior que a do elerão e o seu empo de semi-ida, τ ou /, é de era de,56 µs, ou seja, um feie de muões, ao fim dese empo de semi-ida, fia reduzido a meade das paríulas. Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 6

29 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo As olisões de raios ósmios om os áomos da amosfera, a uma aliude de era de 60 km produzem muões que êm uma eloidade relaia à Terra próima da eloidade da luz. Ainda assim, numa semi-ida, esa paríula não anda mais do que 6 8 d, m Porano, em menos de 468 m, o fluo do feie de muões dee fiar reduzido a menos de meade. Por ouro lado, para um obserador ligado à Terra, emos que a eloidades muio próimas da eloidade da luz, por eemplo a 8 0,999, m / s, os muões demoram o seguine ineralo de empo a aingir a superfíie erresre, numa disânia de 60 km: 4 0 m 8, ms s Ese empo equiale a era de 33 idas médias do muão e, omo al, e para o obserador da Terra, apenas uma ínfima pare do número dos muões iniiais alançam a superfíie da Terra. Porém, ao níel do mar, erifia-se que o número de muões é signifiaiamene maior, oorrendo ese fao deido à dilaação do empo. Assim, o ineralo de empo neessário para que os muões araessem oda a amosfera, medida por um obserador erresre, é muio maior do que o ineralo de empo medido por um obserador em repouso relaiamene aos muões. Considerando que emos 0, 999, em que: 4,5 0 Enão, usando a equação 4.6, erifiamos que o ineralo de empo no sisema de referênia dos muões, ou seja, o empo próprio deses, neessário para alançar a superfíie erresre é: O equialene a 6 idas médias s Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 7

30 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo O problema pode ser analisado por oura perspeia. Em relação ao sisema de referênia dos muões, a Terra moe-se para o muão om eloidade 0, 999. Assim sendo, relaiamene ao muão, a disânia enre a pare superior da amosfera e a superfíie da Terra é enurada pelo faor 4,5 0. Consequenemene, o empo que a Terra demora a alançar o muão ambém é enurado pelo mesmo faor, resulando num ineralo de empo de s. Resulados semelhanes foram obidos om paríulas produzidas em laboraório, usando-se máquinas que aeleram paríulas a eloidades muio eleadas. A obseração do modo omo o número de paríulas diminui ao longo do feie onfirma a dilaação do empo. Nos aeleradores de paríulas auais os fenómenos relaiisas são neessariamene inorporados uma ez que a eloidade das paríulas produzidas é muio próima da eloidade da luz. 6. O desanso dos asronauas numa nae espaial Considere-se um grupo de asronauas numa nae espaial que se afasa da Terra om eloidade 0, 6. A dada alura, o grupo enia um sinal à esação de onrolo informando que irão fazer uma pausa de hora para desanso, para depois reomarem as suas funções na nae. Qual será o empo que é medido na esação de onrolo siuada na Terra? Em irude de os asronauas iniiarem e erminarem o desanso no mesmo loal, ou seja, a nae, o ineralo de hora por eles medido é o seu empo próprio. Por seu urno, no aso da esação de onrolo siuada na Terra, são neessários relógios disinos para medir o empo orrespondene ao iníio e ao fim do desanso, uma ez que a nae espaial se enonra em loais diferenes na alura desses aoneimenos. Assim, o ineralo de empo medido pela esação erresre é dilaado pelo faor dado por: γ ( 0,6),5 Dese modo, o empo medido na Terra é: Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 8

31 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo γ,5,5hora Por ouro lado pode-se, porém, modifiar o enuniado e fazer o inerso. Considere-se um grupo de asronauas numa nae espaial que se afasa da Terra om eloidade 0, 6. A dada alura, o grupo da esação de onrolo erresre enia um sinal para a nae informando que irá fazer uma pausa de uma hora para desanso, para depois reomarem as suas funções. Qual será o empo que é medido na própria nae? Nese aso, a esação de onrolo siuada na Terra usa apenas relógio para fazer a medição enre o iníio e o fim do desanso dos asronauas. O empo próprio é, enão, agora medido pelo relógio da esação na Terra. Do pono de isa da nae, são neessários relógios para medir ese empo: um no pono do espaço onde o pessoal da esação aiou o seu relógio e ouro no pono do espaço onde ese parou o seu relógio, onsiderando que a esação de onrolo se enonra em moimeno relaiamene à nae espaial. Dese modo, o empo é noamene dilaado pelo mesmo faor: γ ( 0,6),5 Assim, o empo de desanso medido na nae é de: γ,5,5hora Uma ez que, nese aso, o empo próprio é medido na Terra. Ese eemplo é muio imporane na medida em que hama a aenção para o fao de haer dilaação do empo, não haendo dilaação num aso e onração no ouro, e para o fao de haer simeria na medição dos empos, ou seja, se a esação mede um empo maior,5 hora para um empo de hora medido na nae, a nae ambém mede um empo de,5 hora para um empo de hora medido na esação. Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 9

32 Seminário de Físia 007/008 Relaiidade: Dilaação do empo 7. Bibliografia Halliday, Daid; Resnik, Rober; Walker, Jearl. Fundamenos de Físia 4 Ópia e físia moderna. 4ª Edição. LTC ediora D Ierno, Ray. Inroduing Einsein s Relaiiy. Clarendon Press. Oford. Shuz, Bernard F.. A firs ourse in general relaiiy. Cambridge Uniersiy Press. Cambridge. Lopes dos Sanos, J. M. B., e ouros. Projeo Faraday Teo º ano. Deparameno de Físia da Fauldade de Ciênias da Uniersidade do Poro. Poro. hp://mup.f.up.p/mup/relaiidade/rr/node.hml (Março de 008) hp://mup.f.up.p/mup/relaiidade/rr/node.hml (Março de 008) hp://mup.f.up.p/mup/relaiidade/rr/node.hml (Abril de 008) hp://by04w.bay04.mail.lie.om/mail/edimessageligh.asp?n (Março de 008) Aleandra Sofia Moreira (E.F.Q.) 30