Capítulo 37: Relatividade

Transcrição

1 Albert Einstein Naseu em 14 de março de 1879 em Ulm, Alemanha Faleeu em 8 de abril de 1955 em Prineton, EUA Restrita: 195 Eeito Fotoelétrio: 195 Premio Nobel: 191 (Eeito Fotoelétrio) Geral: 1916

2 : É o ampo da Físia dediado ao estudo de medidas dos eentos que oorrem em reereniais que se moem om eloidades próximas a eloidade da luz: onde e quando oorrem, qual a distânia que os separa no espaço e no tempo. Além disso, a relatiidade tem a er om a relação entre os alores medidos em reereniais que se moem, um em relação ao outro. Restrita: Aplia-se apenas aos reereniais ineriais, ou seja, aqueles nos quais as leis de Newton são alidas ( = ou te). Geral: Aplia-se à situações mais omplexas, nos reereniais não ineriais, aqueles que apresentam aeleração não nula.

3 Postulados da Primeiro Postulado: As Lei da ísia (não apenas a meânia, mas também o eletromagnetismo e a óptia) são as mesmas para todos os obseradores situados em reereniais ineriais. Não existe um reerenial absoluto! Segundo Postulado: A eloidade da luz no áuo tem o mesmo alor =,998*1 8 m/s em todas as direções e em todos os reereniais ineriais. (Não existe partíula om massa dierente de zero apaz de atingir o limiar de eloidade da luz )

4 A eloidade Limite Veriiações experimentais mostram que mesmo orneendo alta energia a uma partíula, ela nuna irá superar a eloidade limite = m/s.

5 Registrando um Eento Eento: É algo que aontee. Um obserador pode atribuir 4 oordenadas a um eento, três espaiais e uma temporal. Coordenadas espaiais: sistema tridimensional de réguas perpendiulares usado para determinar a loalização espaial do eento. Coordenadas temporais: para determinar ada ponto de interseção da rede de réguas é instalado um relógio, sinronizado om os outros atraés de pulsos luminosos.

6 Registrando um Eento Coordenadas espaçotemporais: O obserador pode atribuir oordenadas epaçotemporais a um eento registrando o tempo indiado no relógio mais próximo do eento e registrando a posição indiada nas réguas mais próximas do eento. No aso de dois eentos, o obserador onsidera a distânia no tempo omo a dierença entre os tempos indiados pelos relógios mais próximos dos dois eentos, e a distânia no espaço omo a dierença entre as oordenadas indiadas pelas réguas mais próximas dos dois eentos.

7 Simultaneidade Em geral, dois obseradores em moimento relatio não onordam em relação a simultaneidade de dois eento. Sem um obserador onsidera que são simultâneos o outro em geral onlui que não são simultâneos. A simultaneidade não é um oneito absoluto e sim um oneito relatio, que depende do moimento do obserador.

8 (a) Capítulo 37: Simultaneidade

9 do Tempo O interalo de tempo entre dois eentos depende da distânia entre os eentos no espaço assim omo no tempo, ou seja, a separação espaial e temporal são interdependentes. Exemplo: Maria está dentro de um trem e obsera a luz de uma lanterna sendo emitida em direção a um espelho preso no teto do agão (eento 1) e reletida em direção a lanterna (eento ). João também obsera os eentos, porém, está ora do agão.

10

11 do Tempo Para Maria: D t Para João: L t D t L t t t 1 1 t t t

12 do Tempo Quando dois eentos oorrem no mesmo ponto de um reerenial inerial, o interalo de tempo entre os eentos, medido neste reerenial, é hamado de interalo de tempo próprio, ou tempo próprio. Quando o interalo de tempo é medido em um outro reerenial, o resultado é sempre maior que o interalo de tempo próprio. t t 1 1 t t João medirá um interalo de tempo maior que Maria. Isso oorre em unção das dierenças de eloidade entre os reerenial ineriais de João e Maria. Esse enômeno é denominado de Dilatação do Tempo. γ é denominado de ator de Lorentz que é sempre maior ou igual a 1. β é denominado de parâmetro de eloidade.

13 Exemplo: Voê leitor está dentro de uma espaçonae que passa pela terra om eloidade relatia de,999. Depois de iajar durante 1 anos (tempo do leitor), para na estação espaial EE13, az meia-olta e se dirige para a terra om a mesma eloidade relatia. A iagem de olta também dura 1 anos (tempo do leitor). Quanto tempo lea a iagem de aordo om um obserador terrestre? (Despreze os eeitos da aeleração) Dois reereniais: Terra e a espaçonae Dois eentos: A ida e a olta 1 anos é o tempo próprio Δt já que as medidas oram realizadas na mesma posição da espaçonae e no mesmo reerenial do leitor t t t ( ) 447, 3anos Enquanto o leitor enelheeu anos, as pessoas que iaram na terra enelheeram 447,3 anos

14 Exemplo: Uma partíula elementar onheida omo Káon-mais (K + ) tem tempo médio de meia ida de,137 μs quando está em repouso, isto é quando o tempo é medido no reerenial do Káon. Se um Káon-mais está se moendo om eloidade de,99, em relação ao reerenial do laboratório quando é produzido, a) que distânia ele perorre nesse reerenial (laboratório) de aordo om a ísia lássia? b) E de aordo om a relatiidade restrita? a) Físia Clássia: x t x 36, 7m t t b) : Δt é o tempo próprio no reerenial do Káon. Temos que enontrar Δt no reerenial do laboratório. t t 8,7691 s x rel t 6, 3m

15 das Distânias

16 das Distânias O omprimento L de um orpo medido no reerenial em que o orpo se enontra estaionário é hamado de omprimento próprio, ou omprimento de repouso. O omprimento medido em um outro reerenial em relação ao qual o orpo está se moendo (na direção que oi realizada a medida) é sempre menor que o omprimento próprio. L L 1 L γ é sempre maior que 1 para

17 das Distânias Maria está dentro de um trem, João esta na plataorma e ambos querem medir a plataorma. João, usando uma trena, desobre o omprimento próprio da plataorma, L, pois a plataorma está em repouso em relação a João. Ele também obsera Maria, a bordo do trem, que perorre a plataorma em um interalo de tempo dado por: L t L t Para Maria, é a plataorma que está em moimento, porém os dois eentos medidos por João se enontram no mesmo loal. O tempo que Maria irá medir estão será o tempo próprio. L t L L t t 1 L L

18 Exemplo: Capítulo 37: das Distânias Conorme a igura abaixo, Maria (no ponto A) e João (a bordo de uma espaçonae ujo omprimento é L = 3 m) passam um pelo outro om eloidade relatia próxima da eloidade da luz. Segundo Maria, a nae lea 3,57 μs para passar (interalo de tempo entre a passagem do ponto B e a passagem do ponto C). Em termos da eloidade da luz, qual a eloidade relatia entre Maria e a nae? Usaremos o reerenial de Maria para determinar a eloidade. No reerenial de Maria Δt = 3,57 μs. O omprimento da espaçonae (L = 3 m) no reerenial de Maria é L = L /γ. Sendo assim: L t L 1 L, 1 t ( t) L

19 Exemplo: das Distânias Surpreendidos pela explosão de uma supernoa, oê aelera sua espaçonae ao máximo para ugir da onda de hoque. O ator de Lorentz γ da sua espaçonae em relação ao reerenial inerial das estrelas próximas é,4. a) Para atingir uma distânia segura, oê dee iajar 9,*1 16 m no reerenial das estrelas próximas. Quanto tempo é neessário para isso no mesmo reerenial? b) Quanto tempo lea a iagem do seu ponto de ista, ou seja, no reerenial da nae?

20 Calular a eloidade: das Distânias 1 1 a) No reerenial das estrelas: t re b) No reerenial da nae: t re ~ quando γ é grande,995*1 8 m / s 16 Lre. est L 9,1. est 31 8, Lre. na L 9,1. na 1,341 8 (,4), s 7 s

21 Transormação de Galileu O reerenial S está se moendo em relação ao reerenial S Em uma dimensão: x' x t t' t Válidas quando <<!

22 Transormação de Lorentz O reerenial S está se moendo em relação ao reerenial S x' ( x y' y z' z t' t t) x Válidas para qualquer isiamente possíel! Para baixas equações lássias

23 Transormação de Lorentz Dierenças entre as oordenadas de pares de eentos. ) ( ' t x x ' x t t ') ' ( t x x ' ' x t t Para o Reerenial S : Para o Reerenial S: x x 1 x t t 1 t

24 Transormação de Lorentz: Simultaneidade Se dois eentos oorrerem em loais dierentes no reerenial S, Δx não é zero. Assim, dois eentos simultâneos no reerenial S (Δt = ), não são simultâneos no reerenial S. Nesse aso, o interalo entre de tempo entre os dois eentos no reerenial S é dado por: t t' x' t x' Uma separação espaial ΔS aarreta uma separação temporal Δt.

25 Transormação de Lorentz: Dilatação do Tempo Se dois eentos oorrerem no mesmo loal no reerenial S, Δx =. Assim, o interalo de tempo medido no reerenial S é o interalo de tempo próprio (Δt = Δt ). Dessa orma temos: t t' x' t t' t Dilatação do Tempo. O interalo de tempo Δt medido no reerenial S sempre será maior que o interalo Δt o interalo de tempo próprio, medido no reerenial S.

26 Transormação de Lorentz: Contração da Distânia Uma régua está orientada paralelamente ao eixo dos x e x, e se enontra em repouso no reerenial S. Assim, o omprimento da régua medido no reerenial S é o omprimento próprio (Δx = L ). Já no reerenial S, uma medida do omprimento dessa régua L, só pode ser tomada aso as oordenadas iniiais e inais (Δx =L = x - x 1 ) orem tomadas simultaneamente (Δt = Lembrem-se dos Pinguins). Dessa orma temos: x' ( x t) x x' L L Contração das Distânias.

27 Exeríio: Capítulo 37: 37.3) Na igura abaixo um obserador S deteta dois larões. Um grande larão aontee em x 1 = 1 m e, 5, μs depois, um larão menor aontee em x = 48 m. De aorde om o obserador em S, os dois larões oorreram na mesma posição. a) Qual é o parâmetro de eloidade, β, de S? b) S está se moendo no sentido positio ou negatio do eixo x? De aordo om S ) qual eento oorre primeiro? d) Qual é o interalo de tempo entre os larões? a) Sabemos Δx, Δx e Δt. x x x m 1 t t t 5,s x' 1 x' ( x t) 8 1,441 m/ s, 48

28 Exeríio: Capítulo 37: 37.3) Na igura abaixo um obserador S deteta dois larões. Um grande larão aontee em x 1 = 1 m e, 5, μs depois, um larão menor aontee em x = 48 m. De aorde om o obserador em S, os dois larões oorreram na mesma posição. a) Qual é o parâmetro de eloidade, β, de S? b) S está se moendo no sentido positio ou negatio do eixo x? De aordo om S ) qual eento oorre primeiro? d) Qual é o interalo de tempo entre os larões? b) Como é negatio, S está se moendo no sentido negatio do eixo x. ) e d)para sabermos qual dos larões oorre primeiro, deemos alular Δt, aso or positio a sequênia dos eentos em S é a mesma que em S. t x 1 x t t 4, s ' 39 1 ( / ) Como podemos er, Δt é positio, e sendo assim, tanto no reerenial S, quanto no S, o grande larão é isto primeiro e depois o larão menor.

29 A relatiidade das eloidades Uma partíula tem eloidade u no reerenial S. O reerenial S se moe om eloidade em relação ao reerenial S. A mesma partíula tem eloidade u em relação ao reerenial S. ) ' ' '(1 ') ' ( t x t t x u ) ' (1 ) ' ( u u u ') ' ( t x x ' ' x t t

30 O Eeito Doppler para a Luz Eeito Doppler Clássio: o Na aproximação a requênia aumenta! No aastamento a requenia diminui! o s = requênai detetada = requênia emitida pela onte = eloidade da onda no meio o = eloidade do obserador s = eloidade da onte Do ponto de ista da relatiístio, a luz não preisa de um meio para se propagar. Além do mais possui a mesma eloidade em todos os reereniais ineriais, o que simpliia a interpretação do Eeito Doppler!

31 O Eeito Doppler para a Luz S1 d S Para a aproximação! dos(θ) r r1 r 1 r d d t' os Tempo de separação entre os sinais: t t r / r / ' 1 O No reerenial do Detetor O: t 1 =, instante em que o sinal sai de S1 t = r1/, instante em que o sinal de S1 hega em O. Δt = instante em que o sinal sai de S Δt +r/ = instante em que o sinal de S hega ao detetor O. t t' t'os( ) / Caso Clássio Na relatiidade Δt será dilatado, pois Δt = Δt que é o tempo próprio. Como: Δt = γ Δt t t (1 os( ) / ) 1 / t 1/ (1/ )(1 os( ) / ) ( 1 ( / ) 1 ) 1 os( ) /

32 O Eeito Doppler para a Luz ) / os( 1 1 ) ) / ( 1 ( Na direção do moimento, para θ = temos: ) / )(1 / (1 ) / )(1 / (1 ) / (1 ) / (1 Aproximação: Blueshit ) / (1 ) / (1 Aastamento: Redshit Note que o Eeito Doppler depende apenas das eloidades relatias entre a onte e o detetor!

33 O Eeito Doppler para a Luz Para obter o limite de baixas eloidades podemos expandir as expressões da requênia em séries de potenia. No Aastamento: Redshit (1 ) (1 ) ( x) ( a)( x a) '( a)( x a) 1! 1 ''( a)( x a)! '''( a)( x a) 3! 3... Expandindo em torno de a =, temos 1 / O termo de β expressa a ontribuição da relatiidade no Eeito Doppler em baixas eloidades, e omo esse termo é pequeníssimo, permaneeu muito tempo sem ser obserado.

34 O Eeito Doppler para a Luz O Eeito Doppler na Astronomia pode ser usado para determinar a eloidade de estrelas, onsiderando a eloidade da terra muito baixa, e desprezando o termo de β ( ) O Eeito Doppler Transersal oorre quando o detetor está posiionado a 9 da direção do moimento. Dessa orma: ( 1 ( / ) 1 ) 1 os( ) / ( 1 ) Expandindo em séries de potenias, para baixas eloidades: 1

35 Momento Relatiístio p m m x t Momento Linear Clássio Δx = distânia medida em S (Obserador externo) Na Visão Relatiístia: Δt = Interalo de tempo medido em S (Obserador que esteja se moendo om a partíula) p x m t x m t t t x m t p m Momento Relatiístio

36 Energia Relatiístia A massa de um objeto está diretamente assoiada om sua energia. E m Energia de Repouso. De uma maneira geral, onsiderando a ariação de energia potenial nula, temos: E E K A energia total é: E m K m ( 1) Energia Cinétia Relatiístia

37 Energia Relatiístia E m K E ( p) ( m ) ( m K) ( p) m ( p) K Km sen ( ) p / E m/ m / sen( ) os( ) m / E m / m os( ) 1

38 Exemplo 7) a) Qual é a energia total de um elétron de,53 MeV (energia inétia)? b) Qual é o módulo do momento p do elétron em unidades de MeV/? a) Sabendo que: E m K b) Sabendo que: E E 3, 4MeV ( p) ( m 31 m e 9,191 kg ) p E (m ) p 3,MeV /

39 Exeríio 37.47) Enquanto oê lê esta pagina, um próton proeniente do espaço sideral atraessa a pagina da esquerda para a direita om eloidade relatia e uma energia total de 14,4nJ. No seu reerenial a largura da página é 1, m. a) Qual a largura da página no reerenial do próton? Determine o tempo que o próton lea para atraessar a página b) no seu reerenial e ) no reerenial do próton. a) Calular γ, e depois o omprimento! E m m / E 94, 73 b) Com γ, podemos enontrar a eloidade relatia! 1 1, ) No reerenial do próton: t L No seu reerenial! L / 7,11 1 t t t 7,41 s L /,1 1 s 3 m

40 Lista de Exeríios 1, 3, 5, 11, 13, 15, 17, 1, 3, 9, 31, 33, 37, 39, 45 47, 51, 57, 71, 87.