1. Planeta-disco. (a) Fazendo as correspondências. Se, por um lado, para o campo eléctrico, se tem. a forma da Lei de Gauss para o campo gravítico é

Transcrição

1 . Planeta-diso (a) Fazendo as orrespondênias q 4π ε qq 4π ε r m G m m G r Se, por um lado, para o ampo elétrio, se tem q Φ e ε a forma da Lei de Gauss para o ampo gravítio é Φ g 4π G m. (b) Usando uma superfíie gaussiana que ontenha as duas superfíies do planeta (ver figura mais à frente, esquema )) Φ g g ( z) A em que g(z) é a omponente z da aeleração da gravidade à altitude z e A é a área da base da superfíie gaussiana (superfíie ilíndria, por exemplo). Como a massa no interior da superfíie gaussiana é m µa vem g ( z) A 4π Gµ A ou g( z) π Gµ de onde resulta g( z) g π Gµ. O ampo é uniforme e não varia om a distânia à superfíie (desde que a aproximação de planeta sem espessura seja razoável). () Se o planeta tiver massa volúmia ρ, então µ ρ d, em que d é a espessura do planeta. Como g π Gρ d, e sendo g g e ρ ρ T ρ, g π Gρd. GM T 4 Por outro lado, à superfíie da Terra, g π RTGρ. Inserindo na expressão RT aima, d R T 4, 6 m.

2 (d) Usando novamente uma superfíie de Gauss om uma base fora do planeta, onde o ampo é g e a outra dentro e à distânia z do plano entral (figura aima, esquema ), onde o ampo é g(z), vem Φ g A g( z) A. A massa ontida no interior da superfíie de Gauss é m Aρ ( d / z) pelo que o fluxo de ampo gravítio também é dado por d Φ 4π GAρ z. Igualando agora as duas expressões obtidas para o fluxo, vem (notar que g π Gρd ) d z g + g( z) 4π Gρ z g d e, finalmente, z g( z) g d (e) Como mostra a última expressão, a aeleração gravítia é proporional à distânia ao plano entral, ou seja pode esrever-se na forma d z ω z. dt O movimento de uma partíula largada da superfíie do planeta para dentro do poço é harmónio simples om frequênia angular O período é, pois, T g ω. d π π ω d g Usando a expressão d R T e substituindo valores, enontra-se RT T π 48,9 minutos g

3 . Diso de Faraday (a) Na ausênia de orrente a veloidade dos eletrões é igual à veloidade de ada ponto do ilindro: v ω r eˆ θ Como B B eˆ a força magnétia sobre os eletrões é dada por ou seja z F m ev B evb eˆ r F m ebω r eˆ r. (b) Para que a força eletromagnétia Fem q( + v B) seja nula surge um ampo elétrio induzido tal que Bω r eˆ r. ste ampo depende da distânia ao eixo de rotação, ( r) Bω r. O ampo elétrio aponta do exterior para o interior. Logo, a periferia do ilindro fia a um potenial maior do que o seu entro. A diferença de potenial entre qualquer ponto da periferia do ilindro (P) e o entro (C) é V P ω Ba V C V. Designando a seção reta do ilindro por A, tem-se A π a e a equação aima pode ω ω esrever-se V BA. Por um lado, T é o inverso do período de rotação; por π π outro lado, BA φ é o fluxo do ampo magnétio através da seção reta do ilindro. Portanto, V φ T () Se o gerador de Faraday estiver ligado a uma resistênia externa, R, a orrente que passa na resistênia é V i R e a potênia dissipada por efeito Joule é ( V ) P ω φ R 4π R Como a energia se onserva, esta potênia dissipada orresponde à variação da energia inétia do ilindro por unidade de tempo. A energia inétia do ilindro é Iω

4 sendo ma energia permite esrever e, finalmente, I o momento de inéria do ilindro de massa m. A onservação de d dt ω φ φ 4π R π IR d dt π I R m R, om τ ou ainda τ. τ φ B a (d) Para B T, e 4 A πa 4π m 4, vem φ 4π Wb. Por outro lado, 4 4 I ma / 4 / kg m e R Ω. Portanto, 4π τ 5 s 6, 9 horas. 8 6π Sendo este o valor da onstante de tempo, o ilindro, para parar ao fim de minutos, terá de existir um outro meanismo de dissipação de energia.. Datação por arbono-4 A lei do delínio radioativo esreve-se N t) N e ( Por definição, para t T / (tempo de meia-vida) tem-se N N / : N λt Tomando logaritmos, ln ln( e ) / e, finalmente, ln λ T/ N e. que é equivalente a ( ) ln( ) λt/ ln T / λ A onstante de deaimento é λ ln / T / ln /57 anos : 4 λ,6 anos. (b) Admitindo que o fóssil tinha, quando morreu, o mesmo teor de arbono-4 que o ser vivo atual, podemos esrever N fóssil ( t) N s er vivo e No aso em análise, N, e portanto fóssil / N s er vivo, e ou 4

5 e ln t λ (,) ln(,),6 4 t,89 anos. 4 () srevemos agora e e λ t,6 N N ln t ser vivo ser vivo, donde (,6) ln(,6) λ,6 t 6 anos. 4 dn (d) A atividade é R λn e ou R R e om R λn (e R λn ). dt 5 Para N e λ,856 vem R 856 desintegrações/segundo 4. Arrefeimento de átomos a) De obtém-se mv v k B k BT m T e, substituindo valores (a massa do átomo de sódio é 6 m,89 kg), vem v 57 m/s. (Nota: onsiderou-se a veloidade média igual à veloidade quadrátia média.) b) A onservação do momento linear segundo a direção do movimento permite esrever: p final átomo p + p iniial átomo ou ainda p átomo p. Segundo o eixo Ox, p átomo h/λ / pelo que a variação da veloidade do átomo é v. m 5

6 De aordo om a aproximação sugerida no enuniado, transição ex fund,4+5,4, ev,6 9 J. A variação de veloidade em ada olisão frontal, v / m, é, substituindo valores, v,9 m /s Seriam neessárias 57/(,9 ),94 4 olisões. ) Vamos onsiderar todas as grandezas vetoriais projetadas na direção x. (.) A energia inétia final do átomo é final m vi v m vi vi v + v iniial + m vi v + v ( ) ( ) ( ) e, portanto, m v i v + m v (.) Desprezando o segundo termo na expressão anterior resultado da alínea (b), v m, enontra-se vi,9 6. m vi v e usando o (d.) A onservação de momento linear permite onluir que a variação de veloidade do átomo é, tal omo enontrámos na alínea (b), v. sta é, pois, a veloidade m final do átomo depois de absorver o. A variação de energia inétia do átomo é, portanto, m sta energia tem de ser forneida pelo, logo transição + transição + m de onde se onlui que > transição 6

7 transição (d.) Como,8 9 J, a variação de energia inétia do átomo é m m transição m, ou seja,64 9 J. (d.) Na emissão do, tal omo na absorção há onservação do momento linear. p iniial átomo p final átomo + p m v i m v f + p A veloidade iniial do átomo aponta agora no sentido negativo de x. Vimos em (d.) que esta veloidade iniial é podemos esrever m. Como o é emitido no sentido positivo, onde mvf + é a energia do emitido ( é a energia do absorvido). Portanto, + vf m A variação da energia inétia do átomo é + mvf mvi m m ou ainda + m m e, finalmente, na aproximação sugerida, transição m m sta variação de energia inétia na emissão é o triplo da enontrada na alínea (d.): 4,9 9 J. (d.4) Devido ao proesso de absorção e emissão onseutiva, o átomo, iniialmente em repouso, adquire uma energia inétia + 4,9 9 +,64-9 ou 7

8 6,56 9 J A temperatura orrespondente é T k B, ou seja T µk. ste valor é muito pequeno (ordem dos mirokelvins) pelo que o proesso pode ser desprezado no arrefeimento. Só tem importânia próximo do zero absoluto (não sendo possível atingi-lo). 8