Unidades e Constantes

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1 Unidades e Constantes Unidade de Massa Atômia (Dalton): u = kg Elétron-volt: ev = J Unidade Astronômia: AU = m Ano-luz: ly = m Parse: p = AU = ly = m Massa Solar: M = kg Raio Solar: R = m Luminosidade Solar: L = W π = e = m3 Constante gravitaional: G = kg s 2 Permissividade do váuo: ǫ 0 = F m Permeabilidade do váuo: µ 0 = N A 2 Veloidade da luz no váuo: = ε 0 µ 0 = m s Massa do elétron: m e = kg = u = 5.0 kev 2 Massa do próton: m p = kg = u = MeV 2 Massa do néutron: m n = kg =.0087 u = MeV 2 Carga elementar: e = C Constante de Plank: h = Js Constante de Plank reduzida: h = h = 2π Js Constante de Avogadro: N A = mol Constante de Boltzmann: k B = J K J Constante Universal dos Gases Perfeitos: R = N A k B = Constante de Stefan-Boltzmann: σ = W m 2 K 4 Constante de Radiação: a = 4σ = Jm 3 K 4 Energia de Bohr: E 0 = mee4 = J = 3.6 ev 32π 2 ε 2 0 h2 mol K Meânia Celeste Lei da gravitação: F = G Mm, vetorial: r F = G Mmˆr = G Mm r 2 r 2 r 3 Energia potenial gravitaional: U = G Mm r Energiapotenialgravitaionaldeumaesferaomdensidadeonstante: U = 3 5 GM2 /R Energia inétia: K = Σ i m i v 2 i 2 Teorema do Virial: 2 K = U, ou E = K + U = 2 U

2 Distânias e Luz Fluxo de uma estrela om luminosidade L na distânia d: F = L 4πd 2 F L Magnitude aparente: m = 2.5log 0 F 0 = 2.5log 0 F +C = 2.5log 0 L Magnitude absoluta: M = 2.5log 0 +C 4π(0 p) 2 d 0 p Módulo de distânia: m M = 5log 0 Fluxo bolométrio: F bol = 0 F λ dλ Fluxo na banda X (função de sensitividade S X ): F X = 4πd 2 +C 0 S X F λ dλ Correção bolométria: BC V = m bol V = m bol m V = M bol M V F Cores: B V := m B m V = 2.5log B SB F 0 FV +C B V = 2.5log λ dλ +C 0 SV F λ dλ B V, onde C B V = C B C V F Extinção interestelar: m λ = M λ +5log 0 d[p] 5+A λ, onde A λ = 2.5log λ 0 F λ,0 Relação om a profundidade ótia: A λ = 2.5τ λ log 0 e =.086τ λ Relações de de Broglie: E = h ν = h λ, Espetros Estelares p = E = h ν = h λ Lei de Stefan-Boltzmann: P = L A = σ T4 Lei de desloamento de Wien: λ max T = 2, mk Lei de Plank: B λ = 2h2 λ 5 E h/λk B T Distribuição de Maxwell-Boltzmann: n v dv = n ( m 2kB T Veloidade mais provável: v mp = m Veloidade média quadrátia: v rms = 3kB T m 2πk B T Níveis de energia do átomo de hidrogênio: E n = Z2 E n 2 0 Regras de seleção do átomo de H: l = ±; m l = 0 ou ± Equação de Boltzmann: N b N a = ( g b ga )e (E b E a)/k B T Função de partição: Z = Σ j=g j e (E j E )/k B T Equação de Saha: N i+ N i = 2Z ( i+ 2πmek B T n ez i h 2 ) 3/2e χ i /k B T em termos da pressão eletrônia: N i+ N i = 2k BTZ i+ P ez i Atmosferas Estelares: O Campo de Radiação E λ dλ dλdtdaosθdω 2π φ=0 Intensidade espeífia: I λ I λ Intensidade média: I λ Iλ dω = 4π 4π Densidade de energia espeífia: u λ dλ = ) 3/2e mv 2 /2k BT 4πv 2 dv ( ) 2πmek B T 3/2e χ i /k B T h 2, onde dω = senθdθdφ π θ=0 I λsenθdθdφ Iλ dλdω = 4π I λ dλ para radiação de orpo negro: u λ dλ = 4πB λdλ = 8πh/λ5 dλ E h/λk B T em termos de ν: u ν dν = 4πB ν dν = 8πhν3 / 3 E hν/k B T dν Densidade de energia total: u = 0 u λ dλ = 0 u ν dν Corpo negro: u = 4π 0 B λ (T)dλ = 4σT4 = at 4 Fluxo radiativo espeífio: F λ dλ = I λ dλosθdω = 2π π φ=0 θ=0 I λdλosθsenθdθdφ Pressão de radiação Espeífia (ampo isotrópio): P rad,λ dλ = 4πI 3 λdλ = u 3 λdλ Pressão radiativa total: P rad = 0 P rad,λ dλ = 0 u 3 λdλ = u = 4π I 3 3

3 Atmosferas Estelares: Opaidade Perurso livre médio: l = nσ Perda de intensidade I λ perorrendo ds: di λ = κ λ ρi λ ds, onde κ λ é a opaidade Intensidade após perorrer a distânia s: I λ = I λ,0 e s 0 κ λρds opaidade e densidade onstantes: I λ = I λ,0 e κ λρs Relação perurso livre médio-opaidade: l = κ λ ρ Profundidade ótia: dτ λ = κ λ ρds Profundidade ótia na profundidade geométria s: τ λ = s 0 κ λρds ou τ λ = s 0 n d(s )σ λ ds = σ λ N d, N d = densidade de oluna Intensidade após perorrer material om profundidade ótia τ λ : I λ = I λ,0 e τ λ para um perurso fazendo um ângulo θ om a vertial: I λ = I λ,0 e τ λ/osθ Seção transversal para foto-ionização ( bound-free ) a partir do n-ésimo orbital χ n : σ bf = ( λ n nm ) 3m 2 para espalhamento por e (Thomson, Compton): σ T = 6πε 2 0 para espalhamento por e (Rayleigh): σ λ 4 Opaidade total: κ λ = κ λ,bb +κ λ,bf +κ λ,ff +κ es +κ H Opaidade média de Rosseland: Bν(T) dν 0 κν T κ Bν(T) dν 0 T Abundânia de hidrogênio X m H m tot Abundânia de hélio Y m He m tot ( e 2 m e 2 ) 2 = m 2 Abundânia dos elementos om Z > 2 (metaliidade) Z m Z>2 m tot vale X +Y +Z = Aproximações para opaidades médias: κ bf = g bf Z(+X) ρ m 2 kg, κ t T 3.5 ff = g ff ( Z)(+X) ρ m 2 kg, T 3.5 onde g bf, g ff = fatores de Gaunt, < t < 00 fator de guillotine κ es = 0.02(+X)m 2 kg κ H (Z/0.02)ρ /2 T 9 m 2 kg (3000 K T 7000 K) κ = κ bb +κ bf +κ ff +κ es +κ H Transporte Radiativo Passeio aleatório (N espalhamentos): d = N l, N = (d/l) 2 = τ 2 λ Ganho de intensidade I λ perorrendo ds: di λ = j λ ρds, onde j λ é o oefiiente de emissão Quando há absorção e emissão: di λ = κ λ ρi λ ds+j λ ρds Função de fonte: S λ j λ κλ Equação de transporte (radiativo): di λ = I κ λ ρ ds λ j λ κλ = I λ S λ Em termos da profundidade ótia: di λ dτ λ = I λ S λ Opaidade, densidade e função de fonte onstantes: I λ (s) = I λ,0 e κ λρs +S λ ( e κ λρs ) Equilíbrio termodinâmio: I λ = B λ = S λ

4 Atmosfera Plana e Paralela Profundidade ótia vertial: τ λ,v (z) = 0 z κ λρdz Profundidade ótia no ângulo θ om a vertial: τ λ = τ λ,v osθ Equação de transporte: osθ di λ dτ λ,v = I λ S λ Atmosfera inza : I = 0 I λ dλ, S = 0 S λ dλ Equação de dransporte: osθ di dτ v = I S df rad dτ v dp rad dτ v = 4π( I S), = F rad e dp rad = κρ F dz rad P rad = F radτ v +C ( Temperatura em função da profundidade ótia: T 4 = 3 4 T4 e τv + 3) 2 Perfis de Linhas Espetrais Largura equivalente de uma linha espetral entrada em λ 0 e nível do ontínuo F C : W = F C F λ F C dλ Largura a meia altura ( λ) /2 : Distânia entre os dois pontos, onde F C F λ F C F λ0 = /2 Alargamento natural ( t 0 = tempo de espera média da transição): ( λ) /2 = λ2 AlargamentoDoppler(temperaturaT eturbulêniasomv turb ): ( λ) /2 = 2λ Alargamento por pressão e olisões ( t 0 l = v nσ 2k B T/m O Interior de Estrelas: Equações Fundamentais Massa interna: M r = r 0 dm = r 0 ρdv = r 0 ρ4πr2 dr Equação do movimento radial: ρ d2 r = G Mrρ dp dt 2 r 2 dr Equilíbrio hidrostátio: dp dr Equação da onservação da massa: dmr ): λ = λ2 Mrρ = G = ρg, onde ρ GM r 2 r /r 2 = 4πr 2 ρ dr π t 0 λ2 Equação dos gases ideais: pv = Nk B T em termos da pressão P g e da massa moleular média, µ m m H : P g = ρk BT µm H Para um gás neutro: µ n = Σ jn j A j Σ j N j approximação: µ n X + 4 Y + A nz, onde A n 5.5 para omposição solar : µ n =.30 Para um gás ionizado: µ i Σ jn j A j Σ j N j (2+z j ) approximação: µ i 2X Y + +z A iz, onde +z A i 2 para omposição solar : µ i = 0.62 Pressão total: P tot = P g +P rad = ρk BT µm H + 3 at4 π t 0 (2kB T m +v2 turb nσ π 2kB T m ) ln2

5 O Interior de Estrelas: Transporte de Energia Densidade de produção de energia ε: dl = εdm, onde ε = ε nulear +ε gravidade Equação do gradiente de luminosidade: dl = dr 4πr2 ρε Luminosidade gerada dentro de uma esfera de raio r: L r = r 0 dl = r Fluxo radiativo no raio r: F rad = Lr 4πr 2 Gradiente de temperatura para transporte radiativo: dt dr = 3 4a κρ Altura de esala de pressão H P : H P = P Se H P = onst.: P = P 0 e r/h P, H P = P ρg dp dr 0 4πr2 ρεdr L r T 3 4πr 2 Primeira lei da termodinâmia: du = dq dw, onde U = K ( ) m Para um gás ideal: K = 3k B T U = 3 kb 2 2 µm H T = 3 nrt 2 Calores espeífios: C P Q, C T V Q, γ C P P T V C V Para um gás monoatômio: C V = 3nR, C 2 P = C V +nr = 5nR, γ = Lei de gases adiabátios (dq = 0): PV γ = K, P = K T γ/(γ ), K, K = onst. Veloidade do som adiabátia: v s = γp/ρ dt Gradiente de T para transporte onvetivo: = ( µm H dr ad γ) k B GMr r 2 Condição para onveção: dt > dt ou T dp < γ dlnp ou < γ dr at dr ad P dt γ dlnt γ O Interior de Estrelas: Fusão Nulear = g C P Equivalênia massa-energia: E = m 2 Massa reduzida: µ m = m m 2 m +m 2 Temperatura neessária para dois núlei poderem se aproximar até r: T = Z Z 2 e 2 6πε 0 k B r e até um omprimento de onda de de Broglie: T = Z2 Z2 2 e4 µ m 26π 2 ε 2 0 h2 k B Seção de hoque para fusão nulear entre 2 partíulas (energia relativa E): σ(e) = S(E) E e be /2, onde b πµ/2 m Z Z 2 e 2 2 /2 ε 0 h Potenial efetivo entre dois núleos no interior da estrela: U eff = Z Z 2 e 2 4πε 0 +U r s (r), onde U s (r) é devido à blindagem de elétrons Taxa de reações omo potênias: r ix r 0 X i X x ρ α T β, α = 2 Densidade de potênia omo potênias: ε ix = ( ) ε 0ρ rix = ε 0X i X x ρ α T β, α = α Fusão hidrogênio hélio: 4p + 4 2He+2e + +2ν e +2γ Cadeia p-p: a partir de 0 7 K, ε p p T 4 Cilo CNO: a partir de K, ε CNO T 9.9 Proesso triplo-α: 4 2He+ 4 2 He 8 8 4Be, 4 Be+ 4 2 He 2 6 C+γ, a partir de 0 8 K, ε triplo α T 4 Fusão de arbono: 2 6 C+ 4 2 He 6 8 O+γ, a partir de K e de oxigênio: 6 8 O+ 4 2 He 20 0 Ne+γ, a partir de K de neônio: 20 0Ne Ne 24 2 Mg+ 6 8 O, a partir de K e de silíio: 28 4Si Si Fe, a partir de K Energia de ligação por núleon: E b = m 2 = [Zm p +(A Z)m n m nuleo ] 2

6 O Sol Perda de massa (vento solar): dm dt = 4π 2 ρv Densidade de energia de um ampo magnétio: u m = B2 2µ 0 Pressão magnétia de um ampo: P m = u m = B2 2µ 0 Formação e Evolução Estelar Energia inétia interna de uma nuvem: K = 3 2 Nk BT, onde N = M Condição para olapso (massa M, raio R): 3Mk BT µ em H < 3 GM 2 5 R Massa de Jeans: M J ( 5k B T Gµm H ) 3/2 ( 3 4πρ 0 ) /2 Raio de Jeans: R J 5k B T 4πGµm H ρ 0 Massa de Bonnor-Ebert: M BE = BEvT 4 P /2 0 G 3/2, v T µ em H k B T/µm H, BE =.8 ( J 5.46) Massalimitenapresençadeumampomagnétio: M B = B πr 2 B/G /2 70M ( B nt Tempo de queda livre: t ff = 3π 32Gρ 0 Colapso adiabátio: M J ρ (3γ 4)/2 (para H 2, γ = 5) 3 Luminosidade, raio, temperatura e tempo de vida na sequênia prinipal: L M 3.3, R M 0.78, T M 0.435, τ M 2.3 Massa de Shönberg-Chandrasekhar: ( M i M Raio de Strömgren r S 3N 4πα n 2/3 H ) SC = 0.37( µ env µ i ) 2 Fotodesintegração: Fe+γ 3He+4n, He+γ 2p + +2n Captura eletrônia: p + +e n+ν e )( ) 2 R p