FAP2293 Física para Engenharia Elétrica 4 PROVA SUB 15/12/2009 Gabarito 15 de dezembro de 2009

Transcrição

1 IFUSP FAP93 Física para Engenharia Elétrica 4 PROVA SUB 5//9 Gabarito 5 de dezembro de 9 Questão Considere o modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio (,5): a) Determine, usando a regra de quantização de Bohr, os raios r n das órbitas permitidas em função das constantes universais e, h, ɛ e m e e do número quântico n (,): b) Calcule a freqüência angular ω n da órbita de raio r n em função das constantes e do número quântico n (,5): c) Determine a freqüência angular ω da radiação emitida em transições entre órbitas consecutivas (n+ n) (,5): d) Classicamente, a freqüência da radiação emitida por uma carga em movimento circular é igual à sua freqüência de rotação Mostre que para números quânticos grandes, n, a freqüência da radiação emitida é igual à freqüência de rotação ω n Modelo de Bohr a) Regra de quantização de Bohr: Segunda lei de Newton (k = /4πɛ ): L = mvr = n Assim: mv com a = /mke b) A freqüência angular de rotação será r ω n = v n r n = L n mr n c) A energia do fóton emitido será: Como E n = ke a n, ω = ke a = k e r mv r = L mr = ke r = r n = mke n = a n, = n ma n4 ω n = ma hf = ω = E = E n+ E n [ ] n (n + ) = ke a [ (n + ) n n (n + ) L mke n 3 = mk e 4 3 n 3 ] = ke a n(n + ) d) Para n ω ke a n 3 = ma n 3 = mk e 4 3 n 3 = ω n

2 Questão A radiação emitida por uma lâmpada de hidrogênio atômico é analisada depois de passar, em incidência normal, por uma rede de difração O espaçamento entre as ranhuras da rede de difração é d = hc/e, onde E = e é a energia de ionização do átomo de hidrogênio 8πɛ a (,5): a) Quais são os comprimentos de onda limites (λ mín e λ máx ) da série de Balmer do espectro do hidrogênio (faixa visível) Expresse o seu resultado em termos de hc/e (,): b) Em quais ordens de difração raias da série de Balmer podem ser observadas através da rede de difração especificada? Há superposição de espectros de ordens diferentes para esta rede? Em caso afirmativo, quais ordens se superpõem? (,): c) Suponha que o espectro do hidrogênio produzido por esta rede seja analisado utilizando-se uma célula foto-elétrica de prata (função trabalho Φ = 4,3 ev) Você espera observar alguma corrente foto-elétrica enquanto a posição da célula varre a faixa angular correspondente à primeira ordem de difração da série de Balmer? Explique sua resposta Modelo de Bohr, rede de difração a) A série de Balmer corresponde aos decaimentos para o estado n = Assim hf = hc ( λ = E n E = E 4 ) n O menor comprimento de onda λ mín corresponde à maior energia, ou seja n = : hc = E λ mín 4 λ mín = 4 hc E O maior comprimento de onda λ máx corresponde à menor energia, ou seja n = 3: hc = E λ máx 4 E 9 λ máx = 36 hc 5 E b) d sen θ = mλ, sen θ < m < d hc = λ E λ Tomando λ = λ mín = 4hc/E, vemos que m < 5 Assim raias podem ser observadas nas ordens m=,, 3 e 4 Os limites de cada ordem correspondem a m λ mín d sen θ m λ máx d m 5 sen θ 36m,m sen θ,36m: m = :, sen θ,36 m = :,4 sen θ,7 m = 3 :,6 sen θ m = 4 :,8 sen θ Assim, vemos que o espectro de terceira ordem se superpõe ao espectro de segunda ordem e o espectro de quarta ordem se superpõe ao espectro de terceira ordem c) A energia mínima de um fóton capaz de produzir corrente foto-elétrica na célula de prata é Φ = 4,3 ev O fóton mais energético da série de Balmer tem energia E máx = E /4 = 3,4 ev Assim, as raias da série de Balmer não são capazes de produzir corrente foto-elétrica Entretanto, a energia mínima das raias da série de Lyman (transições para n = ) é E ( /4) = 3E/4 =, ev > Φ Assim qualquer linha da série de Balmer pode excitar corrente foto-elétrica na célula de prata Na região angular da primeira ordem de difração da série de Balmer há linhas correspondentes a ordens superiores da série de Lyman (m 4) que devem ser observáveis na célula foto-elétrica

3 Questão 3 Considere uma partícula de massa m confinada a uma caixa bi-dimensional de paredes infinitamente rígidas no intervalo x L, y L do plano xy As auto-funções deste sistema são da forma: ψ = A sen(k x x) sen(k y y) (,5): a) Utilizando as condições de contorno pertinentes, determine os valores possíveis dos parâmetros k x e k y e das energias correspondentes (,5): b) Identifique os quatro estados de menor energia e as respectivas energias (,5): c) Determine a constante A para que as auto-funções ψ(x,y) sejam normalizadas Suponha agora que a caixa contenha 6 elétrons e despreze a repulsão entre eles (,5): c) Compute a energia total dos sistema de 6 elétrons no seu estado fundamental (,5): d) Qual é a energia do fóton com o maior comprimento de onda que este sistema pode absorver a partir do seu estado fundamental? Especifique a transição correspondente Partícula numa caixa, princípio de Pauli a) A função de onda deve se anular nas paredes da caixa, ou seja, em x =,L e y =,L A função dada é automaticamente nula para x = ou y = Para x=l: ψ(l,y) = A sen(k x L) sen(k y y) = sen(k x L) = k x L = n x π, n x =,,3, Para y=l: ψ(x,l) = A sen(k x x) sen(k y L) = sen(k y L) = k y L = n y π, n y =,,3, A energia de um estado com momento p = k, onde o vetor de onda é k = k x ˆx + k y ŷ, é E = p m = k m = m ( k x + ky) E(nx,n y ) = π ( n ml x + n ) y b) Os quatro estados de menor energia correspondem a: c) A condição de normalização é: dxdy ψ(x,y) = n x n y E/ ( ) ml π Com ψ nx,n y (x,y) = A sen(n x πx/l) sen(n y πy/l), para x L, y L: L dxdy ψ(x,y) = A sen (n x πx/l)dx L sen (n y πy/l)dy = A L 4 A = L d) Levando em conta o princípio de Pauli, cada estado orbital (n x,n y ) pode acomodar dois elétrons com spins opostos Assim, a configuração de menor energia corresponde a dois elétrons ocupando cada um dos estados (,), (,) e (,) A energia total do sistema de 6 elétrons é: E = E, + E, + E, E = 4 π ml e) A menor energia de excitação deste sistema corresponde a promover um dos elétrons nos estados (,) e (,) para o estado (,) A energia deste elétron, e portanto a energia do sistema, aumenta de E = (8 5) π = 3h O comprimento de onda do fóton correspondente é: ml 8mL λ = hc E = 8mcL 3h

4 Questão 4 PARTE A (,5): a) Mostre que para um gás ideal as capacidades térmicas molares satisfazem a relação c P =c V +R Encontre γ = c P /c V para um gás ideal monoatômico (,5): b) Demonstre que para um gás ideal numa transformação adiabática reversível vale a relação T V γ = constante P PARTE B P C C Considere mol de um gás ideal monoatômico submetido aos dois processos quasi-estáticos consecutivos ilustrados na figura O processo A B é uma compressão isotérmica e o processo B C é uma compressão adiabática No estado inicial A a temperatura é T A = T e o volume do gás é V A = V A cada compressão o volume é reduzido pelo fator r >, de modo que V B = V /r e V C = V /r V /r V /r V (,5): c) Determine as pressões e as temperaturas nos estados A, B e C em termos dos dados do problema (,5): d) Calcule o calor recebido pelo gás e o trabalho realizado pelo gás nos processos A B e B C (,5): e) Compute a variação da entropia do gás no processo combinado A C Gás ideal, primeira lei da Termodinâmica a) Primeira Lei: du = dq P dv U = nc V T du = nc V dt A pressão constante, P V = nrt P dv = nrdt dq = du + P dv = n(c V + R)dT Assim c P = dq n dt = c v + R P Para um gás ideal monoatômico f = 3 e c V = 3 R c P = 5 R γ = c P /c V = 5 3 b) Como na transformação adiabática dq = a primeira lei resulta em du = P dv Com du = nc V dt e P = n V RT, vem: nc V dt = n V RT dv dt T = R dv c V V = (γ )dv V Integrando os dois membros, a partir de um estado inicial T,V : T dt T T = ln(t/t ) = (γ ) V V dv [ V = (γ ) ln(v/v ) = ln (V/V ) (γ )] Ou seja: T V γ = T V γ = constante c) No estado A: P A V A = nrt A P A = RT V Como o processo A B é uma expansão isotérmica P B P A T B = T A T B = T P B V B = nrt B P B = r RT V Ao longo do processo adiabático B C T V γ = T B V γ B T C T B = ( VB V C ) /3 T C = r /3 T P C V C = RT C P C = r 8/3 RT V B A V

5 d) No processo isotérmico A B, U = porque, para o gás ideal U = nc V T Assim U = Q W = Q = W Mas, W = VB V A P dv = V /r V RT dv V Q A B = W A B = RT ln r No processo adiabático B C, Q B C = e, portanto U = W Assim, W = U B U C = 3 R(T B T C ), ou W B C = 3 RT e) Ao longo de A B, ds = dq T e ao longo de B C, ds = : ( ) r /3 S = S A B + S B C = Q A B T + S = R ln r

6 IFUSP FAP93 Física para Engenharia Elétrica 4 Formulário Prova SUB 5//9 c = 3, 8 m/s e =,6 9 C µ = 4π 7 N A =,6 6 N A e /4πɛ =,3 8 J m =,44 ev nm ɛ = /µ c = 8,85 F/m m e = 9, 3 kg =,5 MeV/c h = 6,63 34 J s = 4,4 5 ev s λ C = h/m e c =,43 3 nm = h/π =,5 34 J s = 6,58 5 ev s h /m e =,4 37 J m =,54 ev nm hc =, 5 J m = 4 ev nm a = 4πɛ /m e e = 5,9 nm σ = 5,67 8 W m K 4 m p =,673 7 kg = 938,3 MeV/c b =,9 3 K m m n =,675 7 kg = 939,6 MeV/c R = 8,35 J/(mol K) u =,66 7 kg = 93,5 MeV/c N A = 6, 3 mol k = R/N A =,38 3 J/K=8,6 5 ev/k θ i = θ r n sen θ i = n sen θ t v = ω k = λf = c n φ π d sen θ I = I max cos (φ/) λ d sen θ bril = mλ d sen θ esc = ( m+ ) λ Φ π a sen θ [ sen (Φ/) I = I max λ (Φ/) a sen θ esc = mλ (m = ±,±, ) θ min λ/a; θ min,λ/d ] nt = ( m+ ) λ nt = mλ d sen θ bril = mλ (m =,±,±, ) d sen θ = mλ (m =,±,±, ) I = I cos θ R T = σt 4 E n = nhf; n =,,,3, λ max T = b =,9 3 K m E = hf = hc λ ; p = E c = h λ K max = hf φ = e V s E = (pc) + (mc ) λ λ = λ C ( cos θ) λ C = h m e c L = n E n = Z e 8πɛ a n Z 3,6 ev n E = hf = ω v f = ω k = E p x p x p = h λ = k v g = dω dk = de dp E t

7 d ψ + U(x)ψ = Eψ m dx E n = h 8mL n P (x)dx = ψ(x) dx f(x) = E n = (n + ) ω ψ(x) dx = ψ (x)f(x)ψ(x)dx [ ( d m r r dψ ) l(l+) ] dr dr r ψ +U(r)ψ=Eψ U(r)= Ze 4πɛ r E n = Z e 8πɛ a n Z 3,6 ev n P (r)dr = ψ(r) dv = ψ(r) 4πr dr P (r)dr = f(r) = f(r)p (r)dr R = (k k ) (k + k ) ; T = 4k k (k + k ) T e CL, C = m(u E) L = L = l(l + ) L z = m l S = S = s(s + ) S z = m s l = ± m l =, ± E rot = J(J + ), J =,,, I E vib = (ν + ) ω, ω = K/µ, ν =,,, µ = m m m + m, I = µr J = ± ν = ± f(e) = e (E E F )/kt + E F = ( 3π n ) /3 m P V = nrt U = nc V T c V = fr c P = c V + R ( m ) 3/ N v (v)dv = N 4πv dv e mv /kt πkt U = Q W du = dq P dv T C = T 73,5 e = W Q q = Q f Q q e C = T f T q S ds = dq T π e au du = a u e au du = u n e au du = n! a n+ u 3 e au du = a π a 3 (sen u) du = (u sen u cos u) (cos u) du = (u + sen u cos u)