2. A ORIGEM DA CONSTANTE DE NEGRO

Transcrição

1 QUANTIZAÇÃO

2 . INTRODUÇÃO O No final do século XIX acreditava-se, em geral, que todos os fenômenos naturais poderiam ser descritos mediante: Leis de Newton, Leis da Termodinâmica, e Leis do Eletromagnetismo. Século XX: A Mecânica clássica passava a ser substituída pela mecânica relativística, i quando a velocidade d da partícula era próxima a velocidade d da luz. As leis clássicas não se aplicavam a sistemas microscópicos como partículas no interior do átomo > Só podem ser descritos em termos da teoria quântica.

3 . A ORIGEM DA CONSTANTE DE QUANTIZAÇÃO: A RADIAÇÃO DO CORPO O NEGRO Fenômeno intrigante no final do século XIX: A distribuição espectral da radiação do corpo negro (sistema ideal que absorve toda radiação incidente id sobre ele): Seja: λ Comprimento de onda, T Temperatura em ºK, K Constante de Boltzmann, f(λ, T) Distribuição espectral, KT Energia média por onda. Pela física clássica (Lei de Rayleig-Jeans): f ( λ, T ) 8π KTλλ 4 Quando λ 0, então, f(λ,t) > o que caracteriza a Catástrofe do Ultravioleta (Furo)

4 Lei de Planck (empírica e de Max Planck) f ( λ, T) 5 8πcλ c λkt e onde: Constante de ajustamento. Pode-se verificar que: c λkt c Para λ grande: e + + então: f ( λ, T ) λkt 8πcλ c λkt 5 8πKTλ 4 c KT Para λ 0: >> então: e λ 5 c λkt f ( λ, T ) 8πcλ e 0 Logo, (após alguma manipulação matemática) pode-se concluir que: 6,66x066x0-34 Js J.s 4,3x0-5 evs ev.s (Constante de Planck)

5 Aspecto Físico: Modificação do cálculo da energia média por onda (KT), Considerou a emissão e absorção da radiação representada por um conjunto de osciladores de todas as freqüências, No equilíbrio, energia média de um oscilador com freqüência f estaria associada a energia média de radiação eletromagnética nessa freqüência, No caso de um oscilador unidimensional, a energia E KT, Planck admitiu que a energia de um oscilador fosse discreta (quantizada) > E n nf onde: (f c/λ e n é um número inteiro). Planck cegou a conclusão que a energia média era: E med c λkt e c λ em vez de KT (Esta idéia não foi apreciada até Einstein usá-la para explicar o efeito foto-elétrico).

6 3. QUANTIZAÇÃO DA RADIAÇÃO ELETROMAGNÉTICA: FÓTONS Experimento: Resultados: A luz incidindo sobre uma substância fotoelétrica arranca um elétron do cátodo da sua placa metálica que sai em direção ao ânodo e, somente, aqueles elétrons com uma energia cinética (mv /) maior que a energia potencial entre as placas (ev) cegarão ao ânodo. Para atingir o equilíbrio (corrente I 0): aumenta-se a ddp (V) até que: (mv /) max ev o

7 (Surpreendente: Experimento mostrou que V o independe da intensidade da luz > Aumento da energia luminosa incidente id não aumenta energia cinética i dos elétrons que saem do cátodo.) Explicação (Einstein): Energia luminosa não é distribuída no espaço, mas quantizada em pequenos pacotes camados fótons, O elétron emitido do cátodo recebe energia de um único fóton (independentemente se aumentar a intensidade da luz), Quando se aumenta a intensidade id d da luz (para uma certa freqüência), aumenta-se o número de fótons incidentes por unidade de tempo. Equação de Einstein para o efeito fotoelétrico: mv max ev o f φ onde: Constante de Planck, f Freqüência da radiação, Função trabalo (é uma característica do material e é a energia necessária para remover um elétron da superfície).

8 Experiência de Millikan 94 (prova da equação de Einstein) Experimentos mostraram que: V o e f φ e coef. angular Relação entre o limiar da freqüência f l e o comprimento de onda correspondente λ l : φ f f l c λ l (Fótons com freqüência menor que f l não tem energia para arrancar elétrons da superfície do metal).

9 Unidades: Eletron-volt lt λ Nanometros c,4x0-6 ev.m 40 ev.nm Exemplo: Dados do potássio: λ l 564nm (limiar do comprimento de onda). Pedese: a) Função trabalo: c 40 φ f, 0 ev l λ 564 l b) Energia de um fóton incidente de uma radiação de λ 400nm c 40 E 3, 0eV λ 400 c) Energia cinética máxima: mv f 3,0,0 φ max d) Potencial frenador: evo 0,90eV Vo 0, 90V 0,90eV

10 Outra evidência dos fótons: Artur Compton mediu o espalamento de raios X pelos elétrons livres. Temos que: - Teoria clássica: E p.c (E-energia e p-momento onda eletromagnética) -Teoria relativística: E² p²c² + (mc²)² massa do fóton 0 (neste caso, ambas equações geram o mesmo resultado para energia.) Na colisão de um fóton com um elétron, temos, pela conservação do momento: ou: p antes depois p + p e p e p + p p. p

11 Pela conservação da energia: antes depois ( mc ) + p c p c p c + mc e + mc Resultado: λ λ ( cosθ ) λ ( cos ) c θ λc mc, 43pm onde: - Comprimento de onda de Compton Só depende da massa do elétron

12 4. QUANTIZAÇÃO DAS ENERGIAS ATÔMICAS: O MODELO DE BOHR Emissão de luz por átomos num gás excitado por descarga elétrica (elétrons vão para camadas mais externas e no retorno emitem luz com determinado d λ) > observada por um espectroscópio com uma fenda estreita na entrada > aparecia como conjunto discreto de raias de cores (diferentes λ). Característica do elemento: espaçamento e intensidade das raias de cores. É possível medir o comprimento de onda, λ, com precisão. Equação de Joan Balmer (884): Para raias do espectro de idrogênio, temos: λ m 364,9 m 4 Equação de Rydberg-Ritz: Ritz: ( nm) m 3, 4, 5... R, n > λ m n m

13 Constante de Rydberg: tem o mesmo valor para todas as séries de um mesmo componente e varia de elemento para elemento. Para o espectro do idrogênio: R 0,96776µm -. PROBLEMA: Construir um modelo de átomo que levasse a estas fórmulas para o espectro de radiação. J.J. Tompson (9): Elétrons contidos numa espécie de fluído que contina maior parte da massa do átomo e carga positiva suficiente para fazer o átomo neutro. Buscou configurações estáveis com vibrações de freqüências iguais ao dos espectros dos átomos. Dificuldade: impossível de se ter equilíbrio de forças estáveis exclusivamente pela ação de forças elétricas. Niels Bor: Propôs modelo que combinava com o trabalo de Planck (radiação do corpo negro), de Einstein (dependência da temperatura com a capacidade calorífica) e Ruteford (experiência com espalamento das partículas alfa) e previa com êxito os espectros observados.

14 Modelo de Bor: Como o sistema de solar. Estabilidade Mecânica: Órbita dos elétrons: elíptica ou circulares. Força (centrípeta) de atração: força de Coulomb. Problema: Elétron estaria acelerado ao se deslocar sobre a órbita circular irradiaria energia eletromagnética com freqüência igual a de seu movimento. º Postulado de Bor: Elétron pode se mover em certas órbitas sem irradiar p (órbitas estáveis camados estados estacionários). O átomo só irradia quando o elétron faz uma transição de um estado estacionário para o outro.

15 º Postulado de Bor: A freqüência de radiação emitida não é a freqüência do movimento em órbitas estáveis, mas está relacionada a energia das órbitas por : f W W i f Onde : f : Frequência : Constante de Planck Wi e Wf : Energia total nas órbitas inicial e final (Conservação de energia do fóton) Equação para o Momento Angular Seja : +Ze Carga Nuclear -e Carga do elétron A energia potencial a uma distância r será dada por : U KK Ze r onde K 4πεo

16 A energia total do elétron movendo-se em uma órbita circular com velocidade v será dada por : W mv + U mv Ze K r No caso, a força coulombiana é igual a força centrípeta : K Ze r v m r mv K Ze r Então : Logo: W K Ze r. f W W KZe r r i f Para que esta equação apresente os mesmos resultados das equações de Balmer eritz os raios das órbitas (r) devem ser múltiplos de números inteiros

17 3º Postulado de Bor: Quantização do momento angular n mvr π n logo : mv K Ze r v n m r KZe mr ou: n r onde o r n r nm mkze Z o 059 mke 0, logo o primeiro raio de Bor é dado por : logo: f 4 mk Z e 3 4π n n

18 Então a constante de Rydberg será dada por: 4 mk Z e R 3 c 4π Os valores possíveis para o átomo de idrogênio previsto pelo modelo de Bor são: onde: 4 KZe K e m Z Eo Z W W r n n idr. 4 K e m E o 3, 6eV (energia( g da p primeira órbita) )

19 Correção para o movimento do núcleo: >Suposição anterior : núcleo do átomo estava estacionário > No átomo do idrogênio: massa do núcleo 000 x massa do elétron > Energia cinética total energia cinética do núcleo + energia cinética do elétron p p M m p p E + + K M m mm µ Onde : M - massa do núcleo m - massa do elétron p - momento (conservação momento : p <núcleo> + p<elétron> 0) µ - massa reduzida (usada no lugar de m no cálculo de f e a constante de Rydberg) µ Mm M + m + m m M

20 Exemplo: Calcular a energia e o comprimento de onda da raia de maior comprimento de onda na série de Lyman. Estado fundamental: W - 3,6eV c W Temos que: f λ W (escola nível de energia) λ Logo: W -W -3,4-(-3,6) 0,eV (energia fóton emitido) λ c W 40eV. nm 0,eV,6nm

21 5. O ELÉTRON ONDULATÓRIO Vimos que a luz possui características ondulatórias e corpusculares (fótons). L. De Broglie (94) sugeriu que matéria (elétron) possuam características corpusculares e ondulatórias (novidade). Relações de de Broglie: f E e λ p f -freqüência λ -comprimento de onda P -momento E -energia do elétron Já vimos que tais equações são válidas para os fótons.

22 De Broglie apontava que: Condição quântica de Bor Condição de onda estacionária i Temos que : c c λ E mc mc c λ daí : mvr n r n > n λ πr c π λ π Numa órbita circular está contido um número inteiro de ondas eletrônicas Explica estados discretos de energia(orbital) em termos de ondas estacionárias i Energia associada a freqüência de uma onda estacionária > existência de energia quantizada

23 Scrodinguer (95): *Descobriu equação de onda para ondas eletrônicas *Proporcionou um método geral de encontrar a quantização de um sistema (mecânica ondulatória) Exemplo: Calcular o comprimento de onda de de Broglie de uma partícula de massa m 0-6 g e v 0-6 m/s Solução : λ 34 6,63.0 J. s 9 6,63.0 m 9 6 p mv (0 Kg)(0 m / s) *Não se pode observar os fenômenos de interferência ou difração das ondas do elétron do átomo (muito menor que qualquer abertura possível 0-5 )

24 Elétrons de baixa energia (acelerado por uma ddp V): E p ev λ m p me mev Então: λ,6 V Exemplo: Calcular o comprimento de onda de Broglie de um elétron com energia E 3,6eV (> V 3,6V) Solução: λ,6 3,6 0,33nm

25 6. DUALIDADE ONDA PARTÍCULA O efeito Compton e efeito foto-elétrico > Luz atua como partícula De Broglie mostrou que o elétron apresenta propriedades ondulatórias como interferência e difração Coisa alguma podia ser, ao mesmo tempo, uma partícula clássica ou uma onda clássica até o século XX Existem certas circunstâncias que ambas levam ao mesmo resultado

26 7. O PRINCÍPIO DA INCERTEZA Em virtude da dualidade onda-partícula é impossível, em princípio, medir posição e velocidade de uma partícula com exatidão infinita (Werner Heisenberg - 97) x -incerteza da posição p -incerteza do momento x. p A igualdade só vale se x e p tiverem uma distribuição normal (gaussiana) e se as experiências forem ideais. Para se ver um objeto é preciso iluminá-lo > a radiação eletromagnética é portadora de momento > ela produz modificação do momento de uma partícula e desvio da radiação > *Incerteza no momento será grande se λ for pequeno *Incerteza e no momento o será pequena se λ for grande

27 Romulo afonso omena Flavio fabricio