I. Paulino* Mecânica Quântica I ( ) - Capítulo 01. *UAF/CCT/UFCG - Brasil. Origens da Mecânica Quântica Teoria Quântica Exercícios

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1 AS ORIGENS DA MECÂNICA QUÂNTICA Mecânica Quântica I ( ) - Capítulo 01 I. Paulino* *UAF/CCT/UFCG - Brasil / 63

2 Origens da Mecânica Quântica Partículas e ondas Radiação do corpo negro Efeito fotoelétrico Efeito Compton Ondas de matéria Sumário Teoria Quântica Espectros atômicos Energia de um elétron numa órbita circular O modelo atômico de Bohr Exercícios Exercícios 2 / 63

3 Características de partículas e ondas Um partícula que representa um sistema físico arbitrário é mostrada na figura abaixo: 3 / 63

4 Características de partículas e ondas Já foi discutido no capítulo anterior que um sistema como este completamente determinado se: For estabelecido um sistema de coordenadas adequado; Conhecer a posição do sistema; Conhecer seu momentum linear. Além disso, se for possível conhecer todas as forças que atuam sobre o sistema, ou pela menos as forças equivalentes, é possível fazer previsões do comportamento do sistema em qualquer instante futuro ou passado, utilizando-se as LEIS de NEWTON. 4 / 63

5 Características de partículas e ondas Ondas por sua vez, apresentam características intrínsecas que são os fenômenos de interferência e difração. SIMULAÇÃO 1 SIMULAÇÃO 2 Às vezes, no entanto, partículas podem apresentar características semelhantes às ondas, ou para ser mais preciso, as vezes se estuda partículas fazendo algumas aproximações matemáticas que faz com que estas possam apresentar características de ondas. Um exemplo é o fluido atmosférico que parece ser um contínuo de matéria. 5 / 63

6 Radiação eletromagnética de cargas aceleradas Em eletrostática, sabe que o campo eletrostático pode ser escrito por: E = 1 4πɛ 0 q r 2 ˆr, em que ˆr é o vetor unitário que aponta na direção radial, r é a distância da carga q até o ponto em que se pretende calcular o campo eletrostático e ɛ 0 é a permeabilidade elétrica do vácuo. Este campo eletrostático por sua vez, possui uma energia armazenada que pode ser escrita por: u = ɛ 0E 2 2 que é a densidade de energia eletrostática, ou seja, é a densidade por unidade de volume. 6 / 63

7 Radiação eletromagnética de cargas aceleradas Quando a carga é acelerada, surge um campo magnético associado (lei de Ampère). Portanto a densidade de energia passa a ser escrita pela contribuição do campo elétrico com o campo magnético, ou seja, u = 1 ) (ɛ 0 E 2 + 1µo B 2 2 em que B é o módulo do vetor indução magnética e µ 0 é a permeabilidade magnética. Pode ser mostrado que a densidade de energia para partículas aceleradas pode ser dada por: u = ɛ 0 E 2 para movimentos acelerados curtos. 7 / 63

8 Radiação eletromagnética de cargas aceleradas Por sua vez, a intensidade da radiação emitida pode ser calculada por I = uc neste caso, c é a velocidade da luz no vácuo. A energia total irradiada pode ser calculada integrando I sobre uma região esférica arbitrária, o que fornece: U = I (θ)da = 2 q 2 a 2 3 c 3 aqui, a é o módulo da aceleração da carga q. 8 / 63

9 Emissão e absorção de radiação por superfícies Todo corpo com temperatura absoluta superior a zero deve emitir radiação eletromagnética. A lei de Stefan-Boltzmann pode ser utilizada para calcular a intensidade da radiação emitida. Esta lei pode ser escrita por: I E = σat 4, em que, σ é a constante de Stefan-Boltzmann que vale σ = 5, W e a é uma constante que depende da m 2 K 2 natureza da superfície em estudo. 9 / 63

10 Emissão e absorção de radiação por superfícies Para absorção a lei de Stefan-Boltzmann pode ser escrita de forma análoga por I A = σɛt 4, em que a constante ɛ depende da superfície absorvedora. Pelo teorema de Kirchhoff, um corpo que é um bom absorvedor também é um bom emissor de tal maneira que a = ɛ, ou seja, o coeficiente de absorção de radiação de uma superfície é igual ao coeficiente de emissão. 10 / 63

11 Definição Corpo Negro Um corpo negro é um sistema idealizado capaz de absorver qualquer radiação que incida sobre ele, bem como emitir toda a radiação eletromagnética para qualquer comprimento de onda. Todo corpo negro é igualmente absorvedor e emissor de radiação eletromagnética. Para o corpo negro, a = ɛ = 1. Embora o termo negro seja utilizado, um corpo negro pode ter qualquer cor, contanto que obedeça a imposição do modelo de ser um absorvedor e emissor ideal de radiação. 11 / 63

12 Corpo Negro Uma curva típica de emissão espectral de um corpo negro é mostrada abaixo: 12 / 63

13 Corpo Negro Um modelo idealizado para um corpo negro é uma cavidade com um pequeno orifício como pode ser visto abaixo: 13 / 63

14 Corpo Negro A radiação que entra na cavidade sofre múltiplas reflexões de tal maneira que é totalmente absorvida pelas paredes da mesma. 14 / 63

15 Lei de Wien Nota-se que o espectro da radiação de corpo negro apresenta um valor de máximo para radiação emitida pelo corpo negro. O valor deste máximo de radiação pode ser determinado pela lei de Wien que pode ser escrita por: λ max = b T, em que b é a constante de dispersão de Wien que vale: b = 2, m K. Quanto maior a temperatura do corpo, menor é comprimento de onda associado ao máximo da radiação emitida por ele. 15 / 63

16 A teoria de Rayleigh-Jeans A lei de Wien fornece uma visão rápida sobre a posição espectral do máximo da radiação de um corpo. Contudo, não é capaz de explicar a forma da curva da radiação do corpo negro. Na tentativa de explicação utilizando a física clássica, Rayleigh-Jeans utilizaram a teoria de cargas aceleradas presas numa cavidade. Essas caragas eram a fonte de radiação do corpo negro. O movimento desenvolvido pelas cargas seria harmônico simples. De acordo com a teoria clássica, cada carga deveria irradiar na mesma frequência de oscilação. Segundo a teoria de Rayleigh-Jeans, a densidade de energia da radiação do corpo negro seria dada por: u(λ) = 8πk BT λ 4. em que k B é a constante de Boltzmann. 16 / 63

17 A hipótese de Planck 17 / 63

18 A hipótese de Planck 18 / 63

19 A hipótese de Planck 19 / 63

20 Efeito fotoelétrico Definição O efeito fotoelétrico consiste na emissão de partículas carregadas (elétrons, íons) de uma meio material qualquer devido à absorção de radiação eletromagnética (raios-x, ultravioleta, luz visível, etc.). O efeito fotoelétrico mais famoso é a emissão de elétrons por uma placa metálica a partir do processo de interação com luz ultravioleta. 20 / 63

21 Aspectos históricos Efeito fotoelétrico o efeito fotoelétrico foi descoberto por H. Hertz em 1887 ao realizar um experimento de geração de ondas eletromagnéticas em laboratório. Ele percebeu que a incidência de luz ultravioleta sobre uma placa metálica produzia centelhas (descargas elétricas). No ano seguinte observou-se que alguns espectroscópios podiam ser descarregadas quando iluminados por luz ultravioleta. Thomson, dez anos depois percebeu que as descargas elétricas eram produzidas por elétrons arrancados da superfície do metal, graças a energia fornecida pela luz. 21 / 63

22 O experimento do efeito fotoelétrico O experimento pode ser esquematizado da seguinte forma (ver ilustração abaixo): Aplica-se uma diferença de potencial V entre o ânodo e cátodo. O cátodo é iluminado por uma luz monocromática de frequência ν e intensidade I. Mede-se a corrente elétrica i que circula no circuito em função do potencial aplicado para diferentes intensidades da luz de frequência ν. 22 / 63

23 O experimento do efeito fotoelétrico Para uma mesma frequência ν, o gráfico abaixo mostra diferentes curvas de corrente ele trica em função de potencial para diferentes intensidades da luz incidente. Nota-se, portanto que todas as curvas mostram o mesmo potencial de corte V 0. A energia de cada fotoelétron é função crescente da frequência da luz empregada. O efeito fotoelétrico só ocorre para uma determinada frequência de luz, chamada frequência limiar que depende do material utilizado. 23 / 63

24 A explicação do efeito fotoelétrico A explicação do efeito fotoelétrico foi proposta inicialmente poralbert Einstein em Para tanto ele sugeriu a explicação partindo do conceito de quanta de energia de Max Planck. Da mesma forma que a energia da radiação do corpo negro era quantizada, a energia eletromagnética da luz também deveria ser quantizada e o quantum de luz, passou a ser chamado de fóton. Neste caso, a energia do fóton de luz era dada por: E = hν. 24 / 63

25 A explicação do efeito fotoelétrico No entanto, cada elétron requer uma energia mínima para ser ejetado. Se fornecermos uma energia E = hν, o elétron ejetado terá a seguinte energia cinética: K = E φ. Supondo que a absorção de energia de um elétron se d e pela absorção de um fóton, obtém-se: K = hν φ. A energia φ é a função trabalho do material e é a energia mínima necessária para que o elétron seja ejetado do material. 25 / 63

26 A explicação do efeito fotoelétrico A teoria do efeito foto elétrico pode ser representada esquematicamente pela figura abaixo: 26 / 63

27 A explicação do efeito fotoelétrico Analisando a equação de Einstein do efeito foto elétrico pode-se perceber que a energia cinética máxima de emissão dos fotoelétrons pode ser dado por: K max = hν φ. Quando a energia luminosa do fóton incidente for necessária apenas para vencer a função trabalho, tem-se: 0 = hν φ. Definindo esta frequência como sendo ν 0 a frequência de corte para que o efeito fotoelétrico possa ser observado, tem-se: ν 0 = φ 0 h. Abaixo desta frequência não há emissões de fotoelétrons. 27 / 63

28 A explicação do efeito fotoelétrico Sabe-se que o quadrado da energia relativística para uma partícula é dada por: E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 = p 2 c 2 E = pc, porque a massa de repouso do fóton é nula, neste caso, p é o momentum linear da partícula. Sendo assim, pc = hv p = h λ, 28 / 63

29 A explicação do efeito fotoelétrico ou pode-se escrever p = k E = ω em que k é o vetor de onda, ω é a frequência angular e = h 2π. Esquematicamente, tem-se: SIMULAÇÃO 29 / 63

30 Efeito Compton A hipótese do fóton (quanta de luz) proposta por Albert Einstein em 1905 resolveu de forma completa o problema do efeito fotoelétrico. Esta proposta de Einstein introduziu um nova concepção para a natureza da luz. Esta hipótese ainda precisava ser testada e comprovada experimentalmente. Quem elaborou o experimento definitivo foi Arthur Holly Compton em Acreditá-se que uma onda eletromagnética ao interagir com a matéria deveria ser espalhada com a mesma frequência devido os elétrons oscilarem e irradiarem uma onda à mesma frequência. Compton considerou essas ondas irradiadas como sendo resultado da colisão elástica dos fótons com os elétrons do meio. Pelo seu trabalho, que misturou física teórica e experimental, Compton foi laureado com o prêmio Nobel de Física de Na sua essência, o efeito Compton é o resultado da iteração dos fótons de luzes no comprimento de onda dos raios-x com a matéria. 30 / 63

31 Efeito Compton Esquematicamente, o efeito Compton pode ser ilustrado na Figura abaixo 31 / 63

32 Efeito Compton A partir do esquema mostrado na figura anterior, pode-se demonstrar os resultados obtidos por Compton da seguinte forma: De acordo com a teoria eletromagnética clássica, a energia e momentum linear de uma onda podem ser relacionados pela seguinte expressão: ou ainda em que, E = pc, p = E c = hν c = h λ, é o comprimento de onda. λ = c ν 32 / 63

33 Efeito Compton A ideia básica de Compton foi utilizar os princípios de conservação do momentum linear e da energia para mostrar que o comprimento de onda de um feixe de raios-x que atingira um alvo de carbono sofria uma variação devido a colisão elástica do fóton de raios-x com os elétrons do alvo de carbono. Adotando os índices como sendo 1 para a situação inicial (antes da colisão), 2 para a situação final (depois da colisão), e para o elétron do alvo e f para o fóton, tem-se, pela conservação do momentum linear que: p 1f = p 2f + p 2e, note que o momentum linear inicial é nulo para o elétron, ou seja, o elétron é suposto em repouso. 33 / 63

34 Efeito Compton Esta expressão ainda pode ser escrita por: p 2e = p 1f p 2f. O quadrado do módulo do vetor p 2e pode ser escrito por: p 2 2e = p 2 1f + p2 2f 2p 1f p 2f cos θ, em que θ é o ângulo do fóton espalhado. Por sua vez, a energia relativística do elétron depois da colisão pode ser dada por E 2 e = p 2 2ec 2 + m 2 0ec 4, em que m 0e é a massa de repouso do elétron. 34 / 63

35 Efeito Compton Aplicando a conservação de energia para a colisão, tem-se: p 1f c + m0e 2 = p 2f c + p2e 2 c2 + m0e 2 c4. Eliminando p 2e nesta expressão, obtém-se: mas 1 1 = 1 (1 cos θ), p 2f p 1f m 0 c p = h λ, então: 35 / 63

36 Efeito Compton e λ 2f λ 1f = h (1 cos θ) m 0 c h m 0 c = λ C é o comprimento de onda Compton. Desta maneira, o feixe de raios-x espalhado sofrerá um aumento no seu comprimento de onda dado por: λ = λ C (1 cos θ). 36 / 63

37 Hipótese de De Broglie Ondas de matéria Se a luz pode se comportar como uma partícula, porque uma partícula não poderia se comportar como uma onda. A energia de um fóton pode ser escrita por: E = hν. Alternativamente, a energia pode ser escrita por: E = pc. em que p é momentum linear da onda, c é a velocidade de luz, ν é a frequência e h é a constante de Planck. 37 / 63

38 Ondas de matéria Combinando estas equações pode-se obter hν = pc mas, c ν = h p. λ = c ν. 38 / 63

39 Portanto, Ondas de matéria λ DB = h p. neste caso, λ DB ficou conhecido com comprimento de onda de De Broglie. Isto quer dizer que qualquer objeto em movimento que possua um momentum linear p tem um comprimento de onda associado, ou seja, pode ser considerado como sendo uma onda. Este trabalho que foi realizado durante sua tese de doutorado rendeu-lhe o prêmio Nobel de Física em / 63

40 Ondas de matéria A comprovação experimental da teoria de De Broglie foi realizada em 1927 com o experimento de Davison e Germer que utilizaram um cristal de Níquel para difratar um feixe de elétrons. Este trabalho rendeu o prêmio Nobel de Física em / 63

41 Ondas de matéria Posteriormente foram observados padrões de interferência em nêutrons e até mesmo em átomos de Hidrogênio Figuras de interferência de raios-x, elétrons, nêutrons e padrão de interferência de elétrons no experimento de fenda dupla; 41 / 63

42 Espectros atômicos Pode-se definir um espectro como sendo o conjunto de comprimentos de ondas emitidos ou absorvidos; Kirchhff mostrou que os comprimentos de onda emitidos por uma substância coincidem com os comprimentos absorvidos; Não existe explicação clássica para os espectros descontínuos encontrados experimentalmente para os átomos. Esta foi outra razão para buscar uma nova teoria que pudesse explicar este fenômeno. 42 / 63

43 Espectros atômicos 43 / 63

44 Espectros atômicos Os resultados experimentais já mostravam que o átomo de Hidrogênio, que é o mais simples de todos, contendo apenas um próton e um elétron, apresenta espectro discreto com as seguintes linhas espectrais no visível: λ = 656 nm vermelha; λ = 486 nm azul-verde; λ = 434 nm violeta; λ = 410 nm violeta; Balmer mostrou em 1885 que estes valores podiam ser ajustados pela seguinte expressão matemática: ( 1 1 λ = R n1 2 1 ) n2 2, n 2 > n 1, n 1 = 2 em que R = 1, m 1 ficou conhecida como constante de Rydberg. 44 / 63

45 Modelos atômicos Alguns modelos foram criados para tentar explicar os espectros discretos e a expressão de Hydberg. Entre os modelos destacam-se: 1 O modelo de J. J. Thomson que consistia numa organização dos elétrons dentro de um fluido de massa. Este modelo ficou conhecido como modelo de pudim de passas; 2 Rutherford, por sua vez, propôs outro modelo atômico mais sofisticado baseado na configuração planetária. Porém, não obteve sucesso porque uma partícula acelerada e carregada emite energia eletromagnética e, consequentemente, não consegue se estabelecer numa órbita; 3 Foi preciso, utilizar a teoria quântica para explicar estes espectros e que iniciou estes estudos foi Niels Bohr como o modelo atômico que levou seu nome. 45 / 63

46 Energia de um elétron numa órbita circular Considere um elétron movendo-se numa órbita circular de raio r ao redor de um núcleo atômico de carga +Ze conforme ilustra a figura abaixo. 46 / 63

47 Energia de um elétron numa órbita circular Da física clássica, sabe-se que U = 1 q 1 q 2 4πɛ 0 r neste caso, ɛ 0 é a permissividade elétrica do meio, q 1 e q 2 são as cargas elétricas envolvidas. Para este exemplo, tem-se U = 1 Ze e 4πɛ 0 r, = 1 Ze 2 4πɛ 0 r Utilizando as leis de Newton, pode-se escrever que a força centrípeta responsável pela estabilidade da órbita deve ser balanceada pela força elétrica, ou seja:. 47 / 63

48 Energia de um elétron numa órbita circular Da física clássica, sabe-se que multiplicando por r 2, obtém-se: 1 Ze 2 4πɛ 0 r 2 = ma c = m v 2 r 1 2 mv 2 = 1 1 Ze 2 = K 2 4πɛ 0 r que é a energia cinética. Portanto, nota-se que: U = 2K.. 48 / 63

49 Energia de um elétron numa órbita circular Contudo para o sistema em questão, a energia total deve ser a soma da energia cinética e a potencial, o que dá: E = U + K = 1 1 Ze πɛ 0 r O que nos leva a concluir que numa órbita circular, uma carga elétrica perde energia a essa proporção. Esta foi, portanto, a falha do modelo atômico de Rutherford. 49 / 63

50 Postulados de Bohr O físico dinamarquês Niels Bohr propôs um modelo para explicar o espectro atômico do átomo de Hidrogênio baseado em três postulados: 1. Os elétrons se movem ao redor do átomo em certas órbitas circulares estáveis que não irradiam energia; 2. Os elétrons só emitem ou absorvem radiação quando saltam de órbitas. A frequência da radiação emitida ou absorvida deve obedecer a seguinte relação: ν = E i E f h em que E i é a energia do elétron na sua órbita de origem, E f é a energia do elétron na sua órbita de destino e h é a contante de Planck. 50 / 63

51 Postulados de Bohr 3. A magnitude do momentum angular de uma órbita circular é mvr e no caso do átomo de Bohr seria dada por: mv n r n = n ; n = 1, 2, 3,... Isto é, o momentum angular também seria quantizado. Baseado neste três postulados, Bohr desenvolveu matematicamente seu modelo, conforme será ilustrado a seguir. Este é um modelo semiclássico, porte utiliza conceitos da física clássica e é complementado pela teoria quantização da energia e da momentum angular. 51 / 63

52 O modelo de Bohr Sabendo que a frequência da radiação emitida pelos átomos é dada por: ν = E i E f h e que a energia total do elétron é dada por: pode-se obter: E = 1 1 Ze 2 2 4πɛ 0 r, 52 / 63

53 O modelo de Bohr ν = 1 ( 1 1 Ze Ze 2 ) h 2 4πɛ 0 r i 2 4πɛ 0 r f ν = 1 Ze 2 ( 1 1 ). 2 h4πɛ 0 r f r i Por outro lado, sabe-se que c = λν λ = c ν, portanto, c λ = 1 Ze 2 ( 1 1 ) 2 h4πɛ 0 r f r i ( 1λ Ze2 1 = 1 ) 8chπɛ 0 r f r i. 53 / 63

54 O modelo de Bohr Para que a fórmula de Bohr coincida com a a fórmula empírica de Rydberd para o espectro atômico é preciso encontrar uma relação entre r e n. Das leis de Newton pode-se obter: ma c = m v 2 n r n = 1 4πɛ 0 Ze 2 r 2 n v 2 n = 1 4πɛ 0 Ze 2 r n. 54 / 63

55 O modelo de Bohr Utilizando o terceiro postulado de Bohr, obtém-se: mr n v n = n v 2 n = n2 2 m 2 r 2 n Comparando as duas equações para v 2 n tem-se 1 Ze 2 = n2 2 4πɛ 0 r n m 2 rn 2. em que r n = 4πɛ 0 2 n 2 mze 2 = n 2 a 0 Z, 55 / 63

56 O modelo de Bohr a 0 = 4πɛ 0 2 me 2 é igual ao raio da órbita do elétron em torno do núcleo quando n = 1. Este termo ficou conhecido como raio de Bohr. Sendo assim, ( 1 λ = Ze2 Z 8chπɛ 0 nf 2a Z ) 0 ni 2a 0 1 λ = Z 2 e 2 ( 1 8chπɛ 0 a 0 nf 2 1 ) ni / 63

57 O modelo de Bohr Fazendo, n f = n 2 e n i = n 1, tem-se ( 1 1 λ = Z 2 R n2 2 1 ) n1 2, que é a fórmula de Rydberg-Ritz para Z = 1 e, neste caso, R = e 2 8chπɛ 0 a 0 = me 4 (4π) 3 ɛ 2 0 c 3 = me4 8ɛ 2 0 ch3 é a constante de Rydberg. Para o átomo de Hidrogênio, a constante vale: R = 1, m / 63

58 O modelo de Bohr Bohr testou estas expressões matemáticas para calcular a posição das linhas espectrais atômicas. As posições das mesmas coincidiram perfeitamente! Contudo, o modelo de Bohr só funcionava para hidrogenoides, isto é, átomos com apenas uma elétron orbitando o núcleo. Por exemplo, para O átomo de Hélio ionizado (com apenas um elétron), etc. 58 / 63

59 O modelo de Bohr A energia total do elétron no átomo de Hidrogênio está relacionada ao raio da órbita circular. Se os valores quantizados de r forem substituídos, obtém-se: então, em que, E n = 1 8πɛ 0 Ze 2 r n = 1 8πɛ 0 Z 2 e 2 n 2 a 0. E n = Z 2 n 2 E 0, e 2 E 0 = 1 = 2 4πɛ 0 a 0 me4 32π 2 ɛ 2 = 13, 6 ev / 63

60 O modelo de Bohr Os comprimentos de onda associados aos níveis de energia também podem ser obtidos por: λ = c ν = hc E f E i. O valor 13, 6 ev é a quantidade de energia necessária para ionizar o átomo de Hidrogênio. Quando as transições ocorrem das órbitas maiores para a primeira órbita. Chama-se esta série como série de Lyman. Quando as transições ocorrem das órbitas maiores para a segunda órbita. Chama-se esta série como série de Balmer. Quando as transições ocorrem das órbitas maiores para a terceira órbita. Chama-se esta série como série de Paschen. 60 / 63

61 Exercícios 1. Uma lâmpada de vapor de sódio é colocada no centro de uma casca esférica que absorve toda a energia que chega até ela. A lâmpada tem uma potência de 100 W. Suponha que toda a luz emitida esteja no comprimento de onda de 590 nm. Quantos fótons são absorvidos pela casca esférica? 2. A intensidade da luz solar que chega ao topo da atmosfera da Terra é conhecida como constante solar e vale aproximadamente 1400 W /m 2. Supondo que a maior parte desta energia esteja concentrada no comprimento de onda de 600 nm. Calcule o número de fótons que atinge um área de 1 cm 2 por segundo. Qual é o número total de fótons emitido pelo Sol por segundo? 61 / 63

62 Exercícios 3. Um feixe de raios X de comprimento de onda 22 pm é espalhado por uma alvo de carbono. O feixe é detectado a 85 o de espalhamento do feixe incidente. Qual é o deslocamento Compton do feixe espalhado? Que porcentagem da energia inicial é transmitida para os elétrons? 4. Para um feixe de raios X de 20 pm de comprimento de onda. Qual é o maior e o menor comprimento de onda que os fótons espalhados podem ter? 5. Qual é o comprimento de onda de De Broglie para um elétron com energia cinética de 120 ev? Quanto vale o comprimento de onda de De Broglie para uma avião supersônico de 10 toneladas viajando a uma velocidade de 1500 km/h? 6. Calcule a energia dos fótons que têm os comprimentos de onda de 400 nm (violeta) e 700 nm (vermelho). 62 / 63

63 Exercícios 7. Qual é o comprimento de onda do fóton de menor energia emitido na série de Lyman do espectro do átomo de Hidrogênio? Qual é o comprimento de onda limite desta série? 8. Determine os níveis de energia e a posição espectral das 10 primeiras linhas da série de Lyman. 9. Determine os níveis de energia e a posição espectral das 10 primeiras linhas da série de Balmer. 10. Determine os níveis de energia e a posição espectral das 10 primeiras linhas da série de Paschen. 11. Use a condição de ondas estacionárias num círculo, ou seja, nλ n = 2πr n, e mostre que isto implica numa quantização do momento angular (terceiro postulado de Bohr). 63 / 63