NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA

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1 NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA Prof. Carlos R. A. Lima CAPÍTULO 2 PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Edição de junho de 2014

2 CAPÍTULO 2 PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO ÍNDICE 2.1- Radiação Térmica 2.2- Radiação de Cavidade e o Corpo Negro 2.3- Teoria Clássica de Rayleigh - Jeans para a Radiação de Corpo Negro 2.4- Teoria Quântica de Planck para a Radiação de Corpo Negro 2.5- Efeito Fotoelétrico 2.6- Efeito Compton 2.7- Natureza Dual da Radiação 2.8- Produção de Raios X 2.9- Produção e Aniquilação de Pares Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Física Moderna. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 5 aulas de quatro créditos. 2

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63 Lista de Exercícios Questões conceituais 1- Um corpo negro tem que ser necessariamente negro? Explique o termo corpo negro. 2- Um pedaço de metal brilha com uma cor avermelhada a 1100 K. Entretanto, nessa mesma temperatura, um pedaço de quartzo não brilha. Explique este fato sabendo-se que, ao contrário do metal, o quartzo é transparente à luz visível. 3- Uma das primeiras tentativas de se explicar a distribuição espectral de um corpo negro foi feita por Rayleigh Jeans, a partir de conceitos clássicos da termodinâmica. Em que região do espectro eletromagnético a lei de Rayleigh Jeans não se verifica e que fato ficou conhecido como catástrofe do ultravioleta? 4- Na tentativa de explicar os resultados experimentais observados no espectro de um corpo negro, Planck concluiu que o problema estava principalmente num conceito clássico da termodinâmica. Qual seria esse conceito, e que alteração foi sugerida por Planck? Essa alteração invalida conceitos clássicos da termodinâmica, ou redefine esses conceitos de modo a incluir os casos clássicos como particulares? Explique. 5- Em muitos sistemas clássicos as freqüências possíveis são quantizadas, tal como, por exemplo, a propagação de ondas sonoras num tubo ressonante. Nestes casos, a energia também é quantizada? Explique. 6- Nas experiências do efeito fotoelétrico, a fotocorrente é proporcional à intensidade da luz. Esse resultado isolado pode ser usado para distinguir as teorias quântica e clássica? Explique. 7- Por que mesmo para radiações incidentes monocromáticas os fotoelétrons são emitidos com diferentes velocidades? 8- O limiar fotoelétrico é considerado como sendo a objeção mais evidente da teoria ondulatória. Explique essa afirmativa. Problemas 1- Faça uma estimativa para encontrar o comprimento de onda em que corpo humano emite sua radiação térmica máxima? 2- Em uma explosão termonuclear, a temperatura no centro da explosão é momentaneamente 10 7 K. Ache o comprimento de onda para o qual a radiação emitida é máxima. 3- A uma dada temperatura, λ max = 650nm para uma cavidade de corpo negro. Qual será λ max se a taxa de emissão de radiação espectral for duplicada? 4- O máximo da distribuição espectral da potência irradiada por certa cavidade ocorre para um comprimento de onda de 27,0µ m (na região do infravermelho). A temperatura da cavidade é aumentada ata que a potência total irradiada se torne três vezes maior. (a) Determine a nova temperatura da cavidade. (b) Determine a nova posição do máximo da distribuição espectral. 5- A energia solar que atinge a parte superior da atmosfera da terra é 1,36 10 W / m 3 2, a chamada constante solar. (a) Supondo que a terra se comporte como um corpo negro de temperatura uniforme use a equação de Stefan - Boltzmann para estimar a temperatura de equilíbrio da terra. (b) Se o diâmetro do sol é da ordem de 1, m e a distância da terra ao sol é de aproximadamente 1, m e supondo que o sol irradie como um corpo negro use a equação de Stefan - Boltzmann para estimar a temperatura na sua superfície. 63

64 6- Mostrar que a eq. (2.12) é solução da eq. (2.11). 7- Um radiador de cavidade a 6000K tem um orifício de 0,10mm de diâmetro feito em sua parede. Ache a potência irradiada através do orifício no intervalo de comprimentos de onda entre 550nm a 551 nm. Resp.: 7,53 W. (Sugestão: Use o fato que R = R ( λ) dλ é, aproximadamente, a área de um retângulo estreito no gráfico RT ( λ) λ, de largura λ nm λ = ( ) / 2 = 550,5nm, usando a fórmula de Planck) 8- Utilizando a relação P ( ε ) máximo da função P ( ) T ε kt B e = kt B ε ε ocorre para ε = kt B. T = =. Encontre a altura do retângulo RT ( ) mostre que ( ) 0 λ, com ε = εpε dε = kt. Mostre também que o ponto de 9- Na determinação clássica da energia média total de cada modo da radiação no interior de uma cavidade ressonante, adotou-se a lei da eqüipartição da energia. De acordo com essa lei, moléculas de um gás que se movem em equilíbrio térmico a uma temperatura T, a energia cinética média por grau de liberdade da molécula é 1 kt. Essa lei poderia ser aplicada ao problema do corpo negro desde que se adotasse um modelo mecânico de 2 B oscilador harmônico para as partículas que compõe as paredes da cavidade, como se fossem pequenos sistemas massa molas, de modo que a energia potencial também deveria se incluída na determinação da energia total. A vibração dessas partículas, por conseqüência da temperatura, daria origem as vibrações dos campos elétricos associados às ondas eletromagnéticas transversais. Baseado nesse modelo mecânico, conclui-se que a energia média total por grau de liberdade deveria ser kt, B isto é, o dobro da energia cinética média que se esperaria para cada partícula oscilante. Considerando-se que a energia total de um oscilador harmônico simples é mv + kx, onde k é a constante elástica da mola, m é a massa da partícula, v sua velocidade e 2 2 x = x 0 cosω t sua posição em cada instante de tempo, mostre que essa energia total é o dobro da energia cinética média Obtenha a lei do deslocamento de Wien, λ máx T = 2, K m, a partir da função distribuição 8π hc 1 espectral de um corpo negro obtida por Planck ρt ( λ) =. (Sugestão: faça a substituição de 5 hc λkbt λ e 1 5 hc variável x = λkt, e reescreva a função distribuição na forma ( ) 5 2π ( kt B ) x ρt λ = g 4 3 ( x), onde g( x) = x hc e 1 B descreve a forma universal do espectro de um corpo negro para qualquer temperatura. Encontre o valor o qual a função g x hc xmáx = λ kt máx B B x máx para b g é máxima, derivando-a em relação à x e igualando a zero. Use esse valor na equação e obtenha o resultado procurado). 11- Suponha que a radiação de uma cavidade de corpo negro a 5000 K está sendo examinada através de um filtro passa banda de λ = 2nm centrado no comprimento de onda λ máx, do pico do espectro. Se o orifício da cavidade é um círculo de raio r = 1cm, encontre a potência P transmitida pelo filtro. (Sugestão: Usualmente, a 581nm potência irradiada seria calculada por ( λ) R = R dλ multiplicada pela área do orifício. Entretanto, λ T 579nm T é 64

65 R = área abaixo da curva R λ λ, em pequeno o suficiente para permitir uma aproximação do tipo ( ) que máx T T máx λ pode ser calculado utilizando-se a lei do deslocamento de Wien). Resp.: P 25,3W. 12- (a) A energia necessária para que um elétron seja removido do sódio é 2,3 ev. Pode-se observar o efeito o fotoelétrico no sódio utilizando-se radiação de comprimento de onda λ = 5890 A? (b) Qual é o comprimento de o onda limiar para a emissão fotoelétrica do sódio? Resp.: (b) 5400 A. A o 13- Radiação de comprimento de onda 2000 incide sobre uma superfície de alumínio. Para o alumínio, são necessários 4,2 ev para remover um elétron. Qual é a energia cinética do fotoelétron emitido (a) mais rápido e (b) mais lento? (c) Qual é o potencial frenador? (d) Qual o comprimento de onda limiar para o alumínio? (e) Se a intensidade da luz incidente é 2,0 W / m 2, qual é o número médio de fótons por unidade de tempo e por unidade de área que atinge a superfície? 14- A função trabalho para uma superfície de Lítio é 2,3 ev. Faça um esboço do gráfico do potencial frenador V 0 em função da freqüência da luz incidente para uma tal superfície, indicando suas características importantes. 15- O potencial frenador para fotoelétrons emitidos por uma superfície atingida por luz de comprimento de onda o λ = 4910 A é 0,71 V. Quando se muda o comprimento de onda da radiação incidente, encontra-se para este potencial um valor de 1,43 V. Qual é o novo comprimento de onda? 16- Numa experiência fotoelétrica na qual se usa luz monocromática e um fotocatodo de sódio, encontra-se um o o potencial frenador de 1,85V para λ = 3000 A, e de 0,82V para λ = 4000 A. Destes dados, determine (a) o valor da constante de Planck, (b) a função trabalho do sódio, e (c) o comprimento de onda limiar para o sódio? Resp.: (a) 6, o J s, (b) 2,3 ev, (c) 5400 A. 17- Considere uma incidência de luz sobre uma placa fotográfica. A luz será gravada se houver uma dissociação de moléculas de AgBr da placa. A energia mínima necessária para dissociar essas moléculas é da ordem de J. Calcule o comprimento de onda limiar, acima do qual a luz não vai sensibilizar a placa fotográfica. 18- (a) É mais fácil observar o efeito Compton com alvos compostos de átomos com número atômico alto ou baixo? Explique. (b) O efeito Compton pode ser observado com luz visível? Explique. (c) Discuta o espalhamento Thomson, comparando-o com o espalhamento Compton. 19- A temperatura do filamento de uma lâmpada incandescente de 40 W é 3300 K. (a) Supondo que o filamento se comporte como um corpo negro, determine o comprimento de onda λ máx no ponto de máximo da distribuição espectral. (b) Supondo que λ máx seja uma boa aproximação para o valor médio do comprimento de onda dos fótons emitidos pela lâmpada, determine o número de fótons produzidos por segundo pela lâmpada. (c) Se um observador está olhando para a lâmpada a 5 m de distância, quantos fótons penetram por segundo nos olhos do observador, sabendo-se que o diâmetro da pupila humana é, aproximadamente, 5 mm. 20- Fótons de comprimento de onda onda de um fóton espalhado de um ângulo de 30 o transmitida ao elétron. Resp.: (a) o λ = 0,024 A incidem sobre elétrons livres. (a) Ache o comprimento de o 0,027 A, MeV em relação à direção de incidência e a energia cinética o 0,057, (b) 0,060 A, 0,31 MeV Um fóton de energia inicial 1,0 10 ev que se move no sentido positivo do eixo x, incide sobre um elétron o livre em repouso. O fóton é espalhado de um ângulo de 90, dirigindo-se no sentido positivo do eixo y. Ache as componentes do momento do elétron. 22- Qual é a energia cinética máxima possível de um elétron envolvido no processo Compton em termos da energia do fóton incidente hν e da energia de repouso do elétron mc 2 o? 65

66 23- Determine a variação máxima do comprimento de onda no espalhamento Compton de fótons por prótons. o Resp.: 2, A. 24- Pensando nas energias dos elétrons num tubo de televisão, você esperaria que esse eletrodoméstico poderia emitir raios X? Explique. 25- Quais efeitos que se tem sobre o espectro resultante quando se diminui a voltagem num tubo de raios X? 26- Discuta o processo de bremsstrahlung como sendo o inverso do efeito Compton e do efeito fotoelétrico. 27- (a) Mostre que o comprimento de onda mínimo no espectro contínuo de raios X é dado por o λ min = 12,4 A V, onde V é a voltagem aplicada em quilovolts. (b) Se a voltagem aplicada a um tubo de raios X é 186 kv, qual deve ser o valor de λ min? 28- (a) Qual a voltagem mínima que deve ser aplicada a um tubo de raios X para que seja produzidos raios X com o comprimento de onda Compton do elétron? E com o comprimento de onda de 1A o? (b) Qual é a voltagem mínima necessária para que a radiação de bremsstrahlung resultante seja capaz de produzir um par? 29- Um raio γ de comprimento de onda nm incide sobre um elétron inicialmente em repouso e é retro espalhado. Calcule o comprimento de onda do raio γ espalhado e a energia cinética, em kev, do elétron recuado. 30- Um raio γ de comprimento de onda 0,0062 nm incide sobre um elétron inicialmente em repouso. O elétron é recuado com energia cinética de 60 kev. Calcule a energia do raio γ espalhado, em kev, e determine a direção de espalhamento. Resp.: 140 kev, Um raio γ cria um par elétron pósitron como mostra a Figura ao lado. Mostre diretamente que, sem a presença de um terceiro corpo (o núcleo), para absorver uma parte do momento, a energia e o momento não podem conservar simultaneamente. (Sugestão: Iguale as energias e mostre que isto implica em momentos diferentes antes e depois da interação). E = p c fót Antes fót e Depois e Um fóton de raio γ pode produzir um par elétron - pósitron na vizinhança de um elétron em repouso, da mesma maneira que na vizinhança de um núcleo, como representado abaixo: + γ + e e + e + e Mostre que, para isso ocorrer é necessário que a energia do fóton de raio γ seja pelo menos ε = 4mc 2 0. (Sugestão: Suponha que as três partículas se afastam juntas com mesma velocidade relativística v e determine a energia do fóton ε para que o processo possa ocorrer. Use as leis da conservação do momento linear e da εc v 2εmc + mc energia, para mostrar que v = ou 1 = ε + 2 c mc 2 0 resultante da conservação do momento e mostre que ( ε + mc 0 ) 2 2 9mc 0 mc 0 2 ε = = 4mc 0 ). 2. Substitua esses resultados na equação 66