= 1, kg. m protão. ħ = 1, J s

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1 Oscilador harmónico O conceito de oscilador harmónico pode ser usado para descrever moléculas. Por exemplo, a molécula de H apresenta níveis de energia igualmente espaçados, separados por 8, J. Admitindo que a molécula pode ser modelada por um único átomo de hidrogénio ligado a uma mola, qual é o valor da constante da mola (k) necessário para se conseguir estes níveis de energia? m protão = 1, kg ħ = 1, J s 1

2 O conceito de oscilador harmónico pode ser usado para descrever moléculas. Por exemplo, a molécula de H apresenta níveis de energia igualmente espaçados, separados por 8, J. Admitindo que a molécula pode ser modelada por um único átomo de hidrogénio ligado a uma mola, qual é o valor da constante (k) da mola necessário para se conseguir estes níveis de energia? k = mω ω = E ħ E = hf = hω π =ħω k E = m ħ m protão = 1, kg ħ = 1, J s k = 1, , J kg 1, J s = 1,14kN/m Este resultado é da ordem de grandeza da constante de uma mola macroscópica. Note-se, no entanto, que se trata de um modelo muito simplificado para a molécula de H.

3 Oscilador harmónico Mostre que para o estado fundamental do oscilador harmónico se tem Use este resultado para mostrar que a energia potencial média é igual a metade da energia total. 3

4 Mostre que para o estado fundamental do oscilador harmónico se tem: x = x ψ 0 ( x) ħ dx = = 1 mω 0 4a Use este resultado para mostrar que a energia potencial média é igual a metade da energia total.. ψ ( x) = A e 0 0 ax a = mω 0 ħ x = + x ψ + dx = A 0 x e ax dx = A 0 (tabela de integrais) x = A π = A 0 ( a) 4a x e ax dx π a A 0 =? Condição de normalização. 4

5 Mostre que para o estado fundamental do oscilador harmónico se tem: x = x ψ 0 ( x) ħ dx = = 1 mω 0 4a Use este resultado para mostrar que a energia potencial média é igual a metade da energia total. Condição de normalização: + ψ dx = ax ax = A e dx = A e dx (tabela de integrais) 1 π π 1 = A0 = A0 a a 1 a π 1 x = = 4a π a 4a a = mω 0 ħ x = ħ mω 0 5

6 Mostre que para o estado fundamental do oscilador harmónico se tem: x = x ψ 0 ( x) ħ dx = = 1 mω 0 4a Use este resultado para mostrar que a energia potencial média é igual a metade da energia total. 1 média = ω 0 U m x. U média = 1 mω 0 ħ mω 0 = 1 4 ħω 0 = 1 E 0 6

7 Equação de Schrödinger a três dimensões Uma partícula está confinada a uma caixa com lados L 1, L = L 1 e L 3 = 3 L 1. Indique os números quânticos n 1, n e n 3 que correspondem aos 10 estados de menor energia para o electrão nesta caixa. 7

8 Uma partícula está confinada a uma caixa com lados L 1, L = L 1 e L 3 = 3 L 1. Indique os números quânticos n 1, n e n 3 que correspondem aos 10 estados de menor energia para o electrão nesta caixa. E n1,n,n = ħ π n 1 3 m + n + n 3 L 1 L L 3 n 1 n n 3 E Energia = = E h 88mL 1 Para uma caixa com lados L 1, L = L 1 e L 3 = 3L 1 : E n1,n,n = ħ π n 1 3 m + n + n 3 L 1 4L 1 9L = 1 = h n 1 + n 8mL 4 + n 3 9 = 1 = h ( ) 88mL 1 36n 1 + 9n + 4n3 8

9 Equação de Schrödinger a três dimensões Uma partícula move-se livremente numa região bidimensional definida por 0 x L e 0 y L. Determine: a) as funções de onda que satisfazem a equação de Schrödinger; b) as energias correspondentes; c) os estados degenerados de menor energia e respectivos números quânticos; d) os 3 estados degenerados de menor energia e respectivos números quânticos. 9

10 Uma partícula move-se livremente numa região bidimensional definida por 0 x L e 0 y L. Determine: a) as funções de onda que satisfazem a equação de Schrödinger; b) as energias correspondentes; c) os estados degenerados de menor energia e respectivos números quânticos; d) os 3 estados degenerados de menor energia e respectivos números quânticos. n π n π x, y Asen x sen y L L a) ψ ( x, y) = Asenk1x senk y ψ 1 ( ) = b) E n1,n = h ( ) 8mL n 1 + n (com n 1 e n inteiros) c) E = E = 5 h 1,,1 8 m L Números quânticos para estes estados: ( 1, ), (,1) 10

11 Uma partícula move-se livremente numa região bidimensional definida por 0 x L e 0 y L. Determine: a) as funções de onda que satisfazem a equação de Schrödinger; b) as energias correspondentes; c) os estados degenerados de menor energia e respectivos números quânticos; d) os 3 estados degenerados de menor energia e respectivos números quânticos. Energias dos três estados que têm a mesma energia (valores mais baixos): d) n 1 n E n1,n Números quânticos para estes estados: ( 1,7 ), ( 7,1 ), ( 5,5) Energias para estes estados: E = ( 50) h 8mL = 5h 4mL 11

12 Modelo de Bohr do átomo de hidrogénio De acordo com o modelo de Bohr, se um electrão passar para uma órbita com maior raio, a sua energia total aumenta ou diminui? E a sua energia cinética? 1

13 De acordo com o modelo de Bohr, se um electrão passar para uma órbita com maior raio, a sua energia total aumenta ou diminui? E a sua energia cinética? Energia total do electrão: Energia cinética: o Etotal = Ecinética + U potencial m v 1 Z e F = = E r 4πε cin = 1 r mv = 1 Ze 4πε 0 r = k Ze r Energia potencial: ( ) 1 Ze 1 Ze Ze U pot = qv = e = = k 4πε r 4πε r r 0 0 E total = kze r kze r = kze r kze r = kze r E total = kze r E cin = k Ze r E total r E cin r 13

14 Modelo de Bohr do átomo de hidrogénio a) Determine a energia e o comprimento de onda mais pequeno (limite) da série de Paschen (n = 3). b) Calcule os 3 maiores comprimentos de onda desta série. 14

15 a) Determine a energia associada ao comprimento de onda mais pequeno (limite) da série de Paschen (n = 3). b) Calcule os 3 maiores comprimentos de onda desta série. h f = E = E E a) i f E E0 = = n 13,6 ev n n h.c 140eV nm Para a série de Paschen, tem-se: n = i n 3 E E = E E = 0 = n 0 0 i f n = 13,6 ev E f = h f = = 1,51 ev 3 Como E = h c λ λ = Para a transição n = n = 3: 140 ev nm E λ min e E E = ev nm = = 1,51eV 81nm 15

16 a) Determine a energia e o comprimento de onda mais pequeno (limite) da série de Paschen (n = 3). b) Calcule os 3 maiores comprimentos de onda desta série. b) Maiores comprimentos de onda: ni = 4,5 e 6 E 0 E h f = Ei E f = = E 0 = E 0 n i n n n i 9 n i ni = E4 3 = ( 13,6 ev ) 0,661eV = 9 16 λ ev nm = = 0,661eV 1876 nm E = hν = h c λ c = λν 16

17 a) Determine a energia e o comprimento de onda mais pequeno (limite) da série de Paschen (n = 3). b) Calcule os 3 maiores comprimentos de onda desta série. b) ni E5 3 = 13,6 ev 0,967 ev = 9 5 = ( ) λ ev nm = = 0,967 ev 18 nm ni E6 3 = 13,6 ev 1,13 ev = 9 36 = ( ) λ ev nm = = 1,13eV 1097 nm nm 18 nm 1876 nm 17