6/Maio/2013 Aula 21. Átomo de hidrogénio Modelo de Bohr Modelo quântico. Números quânticos. 29/Abr/2013 Aula 20

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1 29/Abr/2013 Aula 20 Equação de Schrödinger. Aplicações: 1º partícula numa caixa de potencial 2º partícula num poço de potencial finito 3º oscilador harmónico simples 4º barreira de potencial, probabilidade de transmissão. 6/Maio/2013 Aula 21 Efeito de túnel quântico: decaimento alfa. Aplicações: nanotecnologias; microscópio por efeito de túnel. Equação de Schrödinger a 3 dimensões. Átomo de hidrogénio Modelo de Bohr Modelo quântico. Números quânticos. 1

2 Aula anterior 2º partícula num poço de potencial finito Consideremos uma partícula cuja energia potencial é nula na região 0 < x < L (poço) e igual a U (valor finito) fora dessa região. Para determinar as características desta partícula é necessário resolver a equação de Schrödinger: 2 d x 2m - E -U 2 2 dx No caso da partícula numa caixa de lados infinitos, a função de onda era nula nas paredes. Mas, neste caso, como as paredes representam um potencial finito, a função de onda já não vai ser nula. 2

3 Aula anterior 2º partícula num poço de potencial finito (cont.) As constantes A, B, F e G podem ser determinadas a partir das condições nas fronteiras : continuidade das funções de onda nas fronteiras As funções de onda têm que ser iguais (e as suas derivadas também) nas zonas de transição. x 0 : e x L: I I e d d x d dx I d d x I d II d x 3

4 Aula anterior 2º partícula num poço de potencial finito (cont.) Fora da caixa: funções de onda exponenciais I = A e Cx, III = B e -Cx No interior: funções de onda sinusoidais II = F sen (kx) + G cos (kx) Funções de onda simulação Funções de onda Densidades de probabilidade 4

5 Aula anterior 3º oscilador harmónico simples Considere uma partícula sujeita a uma força de restituição linear dada por F = - k x. x é o deslocamento relativamente à posição de equilíbrio (x = 0) e k é uma constante. Quando a partícula é deslocada da sua posição de equilíbrio e libertada, começa a oscilar em torno de x = 0 com um movimento harmónico (movimento semelhante ao dos átomos numa rede cristalina). 5

6 Aula anterior 3º oscilador harmónico simples (cont.) A diferença de energia entre estados consecutivos é igual a En - En-1 h Se a partícula estiver num certo estado e passar para o estado de energia imediatamente abaixo, vai perder um quantum de energia exactamente a quantidade de energia de um fotão. Níveis de energia Diagrama de níveis de energia. Os níveis estão igualmente espaçados (com separação ) e o estado fundamental tem energia E 0 = /2 simulação 6

7 Aula anterior 3º oscilador harmónico simples (cont.) Curvas a vermelho Densidades de probabilidade para os estados com n = 0, 1 e 2. Curvas a azul Probabilidades clássicas correspondentes às mesmas energias. Do ponto de vista quântico, em certas regiões sobre o eixo x, a probabilidade de encontrar a partícula é nula. Classicamente, a partícula está mais tempo nas amplitudes extremas (maior probabilidade). 7

8 Energia Aula anterior 4º barreira de potencial Se uma partícula estiver num poço de potencial com paredes finitas, as suas funções de onda penetram as paredes. Consideremos agora o caso de uma partícula que incide numa barreira de potencial suficientemente fina. A resolução da equação de Schrödinger permite obter as funções de onda desta partícula. Barreira de potencial simulação 8

9 Aula anterior 4º barreira de potencial, probabilidade de transmissão O coeficiente de reflexão é igual à probabilidade da partícula ser reflectida pela barreira. Dado que a partícula só pode ser transmitida ou reflectida T R 1 Uma solução (aproximada) da equação de Schrödinger (quando a barreira for suficientemente alta ou larga) é dada por: T 2 L e, com e 2m U - E R k - k k 1 2 k

10 Aula anterior Efeito de túnel quântico: decaimento alfa Um exemplo (natural) do efeito de túnel quântico é o decaimento (radioactivo) das partículas alfa. Este tipo de decaimento radioactivo (decaimento alfa) acontece quando um núcleo radioactivo (por ex, urânio 238) emite uma partícula alfa ( constituída por 2 protões + 2 neutrões ). O potencial nuclear é uma combinação dum poço de potencial (causado pela força atractiva nuclear) e duma barreira de potencial (causada pela repulsão de Coulomb). A partícula alfa é apanhada no poço com uma energia de cerca de 5 MeV. 10

11 Aula anterior Efeito de túnel quântico: decaimento alfa (cont.) Dentro do núcleo Fora do núcleo Para o Urânio 238, o tempo médio para que uma partícula alfa ligada ao núcleo possa escapar por efeito de túnel é de 4, anos 11

12 Aplicação: nanotecnologias Nanotecnologias Desenvolvimento e aplicação de dispositivos com dimensões entre 1 e 100 nm. As nanotecnologias utilizam o confinamento de partículas em poços de potencial. Por exemplo: quantum dot. É uma pequena região que cresce num cristal de silício que actua como um poço de potencial. 12

13 13

14 Aplicação: nanotecnologias Contacto metálico Contacto metálico Canal de electrões (AsGa) (AsAl) Substrato Exemplo Os electrões movem-se no semicondutor de AsGa. Atingem a barreira criada pelo quantum dot. Os electrões podem atravessar a barreira (por efeito de túnel) e, assim, produz-se uma corrente eléctrica no dispositivo. 14

15 Aplicação: microscópio por efeito de túnel Uma ponta de prova ( tip ) condutora ( < 1nm) é colocada muito próximo ( 1 nm) da superfície que se pretende analisar. Quando a ponta de prova está próxima da nuvem electrónica em torno dos átomos da superfície, os electrões vão atravessar a distância superfície-ponta por efeito de túnel, com uma probabilidade T = e -2 L. Se os sensores piezoeléctricos receberem um sinal (feedback) de forma a manter a corrente constante na tip, então a distância superfície-ponta também vai ser constante. Diagrama de um microscópio por efeito de túnel 15

16 Aplicação: microscópio por efeito de túnel (cont.) Se a ponta de prova percorrer toda a superfície, mantendo a corrente constante, então a ponta de prova vai traçar o perfil atómico da superfície. Amostra Electrões de túnel Amostra O movimento da ponta de prova pode então ser transformado numa imagem (topográfica) da superfície. 16

17 Aplicação: microscópio por efeito de túnel (cont.) Imagem topográfica por efeito de túnel simulação Com um microscópio por efeito de túnel é possível medir alturas na superfície da ordem de 0, m, 1/100 do diâmetro atómico típico. 17

18 Aplicação: microscópio por efeito de túnel - imagens Imagem topográfica de uma superfície de Si Um átomo de Xenon numa superfície de níquel (IBM) sobreposição de duas imagens: sem e com o átomo de Xe. 18

19 Aplicação: microscópio por efeito de túnel imagens (cont.) Superfície de cobre (IBM) Átomos de Xe implantados numa superfície de níquel para formar a palavra IBM Átomos de ferro em cobre ( átomo ) - IBM Átomos de ferro em cobre (IBM) 19

20 Aplicação: microscópio por efeito de túnel imagens (cont.) A boy and his atom, IBM

21 Aplicação: microscópio por efeito de túnel imagens (cont.) Imagens de grafite (resolução atómica) 21

22 Aplicação: microscópio por efeito de túnel imagens (cont.) Primeiro microscópio STM (1985, IBM) Microscópio por efeito de túnel - simulação simulação 22

23 Aplicação: microscópio por efeito de túnel imagens (cont.) 23

24 Equação de Schrödinger a 3 dimensões 2 d x 2m - E -U 2 2 dx m - E -U x, y, z x y z p x py pz cin cin E E ( x, y,z ) - 2m 2m x y z 24

25 Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.) Poço de potencial 3D com paredes infinitas, em que U(x,y,z) = 0 no interior e U = no exterior: Partícula confinada Tem-se (x,y,z) = 0 nas 6 faces do cubo: x = 0, x = L ; y = 0, y = L ; z = 0, z = L. A função de onda espacial pode ser descrita como o produto de funções de (x,y,z ) independentes: nx x ny y nz z x, y,z A sen sen sen L L L x z L L L y 25

26 Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.) m L h n n n n n n E 8m L x y z x y z 2 2 Níveis de energia permitidos: 2 2 E n n n E n n n 2m L n 1,n 2,n

27 Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.) O nível de energia mais baixo para o poço cúbico ocorre para n 1 = n 2 = n 3 = 1 e tem o valor E E 1,1, m L O primeiro nível de energia excitado pode ser obtido de três maneiras diferentes: n 1 = 2, n 2 = n 3 = 1 n 2 = 2, n 1 = n 3 = 1 n 3 = 2, n 1 = n 2 = 1 A cada uma destas configurações corresponde uma equação de onda diferente. 27

28 Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.) Um nível de energia com mais do que uma função de onda associada chama-se degenerado. Neste caso, para o 1º nível excitado: E 211 = E 121 = E 112 = 6 E 1 (grau de degeneração = 3). Em a) os níveis de energia são degenerados; em b), quando a simetria do potencial é retirada, os níveis deixam de ser degenerados. a) b) Diagrama de níveis de energia a) poço cúbico infinito b) poço infinito não-cúbico 28

29 Uma partícula está confinada a uma caixa tri-dimensional com lados L 1, L 2 = 2 L 1 e L 3 = 4 L 1. Determine: a) os números quânticos n 1, n 2 e n 3 que correspondem aos 10 estados de menor energia; b) os estados degenerados. a) As energias são dadas por E n1 n2 n 2m L1 L2 L 3 n 1,n 2,n Para uma caixa de lados L 1, L 2 = 2 L 1 e L 3 = 4 L1 tem-se: E n1 n2 n3 h 2 n2 n3 n 1,n 2,n n m L1 4L L1 8mL1 2 h 16n 4n n 128mL

30 Uma partícula está confinada a uma caixa tri-dimensional com lados L 1, L 2 = 2 L 1 e L 3 = 4 L 1. Determine: a) os números quânticos n 1, n 2 e n 3 que correspondem aos 10 estados de menor energia; b) os estados degenerados. b) As energias, em unidades de n 1 n 2 n 3 E h 2 128mL 2 1 Estados degenerados: 1,, 1 4 e 1,2,2 1,, 1 6 e 1,3,2 são as seguintes: 30

31 Átomos modelo de Bohr do hidrogénio Átomo de hidrogénio elemento mais abundante no universo produção de energia no Sol ( p + p d + e ,42 MeV ) teste para as teorias da Física Quântica. Modelo de Bohr do hidrogénio Como explicar a existência de riscas espectrais para os elementos? Por exemplo, as linhas das séries de Balmer para o hidrogénio: 31

32 Bohr : os átomos só podem existir em certos estados de energia discretos. Modelo planetário semi-clássico : 1) os electrões deslocam-se em certas órbitas circulares estáveis em torno do protão, com raio r n. 2) só as órbitas para as quais o comprimento é um múltiplo inteiro do comprimento de onda de de Broglie são estáveis : h 2 rn n n p 3) a força centrípeta é dada pela lei de Coulomb: 2 2 m v e r 4 r 2 n o n 32

33 Modelo de Bohr simulação simulação Comparação : modelo de onda estacionária para as órbitas electrónicas 2 r n = n = n (h/p) 33

34 Energia: [J], [ev] Electrão livre Estados excitados Estado fundamental 34

35 Energia total numa órbita circular : e e En m v 2 n U( r n ) m v 2 n 4 r 8 r o n o n de 2) : 2 r n nh mv 2 2 n v mr n de 3) : 2 2 m v e r 4 r 2 n o n v 2 e o 2 4 m r n Raio de Bohr : a o = 5.29 x m Energias permitidas: E n = -13,6 ev /n o 2 rn n n a 2 me E 2 e E0 n 2 2 8o n ao n o 35

36 Raio de Bohr : a o = 5.29 x m o 2 rn n n a 2 me o 36

37 Modelo de Bohr : 1. O espectro de energia é explicado : E n = -13,6 ev / n O espectro de riscas é explicado: os fotões são emitidos com hf = E inicial E final E. 3. O raio de Bohr a o está de acordo com o tamanho do átomo de hidrogénio no estado fundamental. Expressão de Rydberg para os comprimentos de onda observados R n n 2 2 final inicial R = constante de Rydberg (medida experimentalmente) E hc hcr 1 2 n 37

38 protão 38

39 A partir do modelo de Bohr: Série de Lyman (ultravioleta) Série de Balmer (visível) Série depaschen (infravermelho) 39

40 Níveis de energia do electrão Estado excitado, r 4 Estado excitado, r 4 Estado excitado, r 3 Estado excitado, r 2 Estado excitado, r 3 Estado fundamental, r 1 Estado excitado, r 2 Estado fundamental, r 1 40

41 Energy Energia potencial U(r) : r protão: +e electrão: -e U( r ) 2 e 4 r o n E 13,6 ev n 2 n n 1 A energia de ionização é a energia necessária que deve ser fornecida para arrancar um electrão até E = 0. U(r) : poço de potencial 3D superfície de revolução Os estados ligados têm energia E < 0 41

42 a) Determine a energia e o comprimento de onda para o limite da série de Brackett (n 2 = 4) b) determine os três maiores comprimentos de onda desta série e indique as suas posições numa escala linear hf E E E a) A energia dos fotões é dada por i f O limite da série é obtido para n e E 0 i E E E E 0 0 f 2 2 n 2 n2 13,6 ev A energia do fotão para n 2 = 4 é igual a hf 2 4 0,850 ev O comprimento de onda da radiação resultante duma transição de energia E = h f é 1240 ev nm E 42

43 min é encontrado para a transição n = n 2 = 4: min 1240 ev nm 0,850 ev 1459 nm b) Os três maiores comprimentos de onda são dados por ni 5,6 e7 E 0 E E Ei E f E E n i n 2 n2 n i 16 n i 1 1 E5 4 13,6 ev ,306 ev ev nm 0,306 ev 4052 nm 43

44 1 1 E6 4 13,6 ev ev nm 0,472 ev 2627 nm 0,472 ev 1 1 E7 4 13,6 ev ev nm 0,572 ev 2168 nm 0,572 ev nm 2627 nm 4052 nm 44