Físicos reescrevem a estória bíblica da criação na forma

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1 INÍCIO DO SÉCULO XX Pilares Mecânica (Newton) Eletromagnetismo (Maxwell) Físicos reescrevem a estória bíblica da criação na forma No início Ele criou os céus e a terra - F = G mm r 2 = ma e Ele disse, Faça-se a luz - Terceiro suporte E da = Q ε 0 B da = 0 E ds = dφ B dt B ds = μ 0 I + ε 0 μ 0 dφ E dt Termodinâmica (Carnot, Mayer, Helmholtz, Clausius, Lord Kelvin) e Mecânica Estatística (Maxwell, Clausius, Boltzmann, Gibbs)

2 RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Cálculo da intensidade de radiação emitida por uma cavidade aquecida, em um determinado comprimento de onda Solução: Planck (1900) Baseia-se na termodinâmica e na mecânica estatística Início da Mecânica Quântica

3 1. Radiação Térmica Radiação emitida por um corpo devido à sua temperatura Corpo emite e absorve para o meio, continuamente Corpo mais quente que o meio: taxa de emissão > taxa de absorção Corpo mais frio que o meio: taxa de emissão < taxa de absorção Equilíbrio térmico: taxa de emissão = taxa de absorção

4 Matéria em estado consensado (sólido, líquido) emite um espectro contínuo de radiação Espectro é praticamente independente do material Espectro é dependente da temperatura do material Temperatura usual: corpo é visível pela luz que reflete Temperatura muito alta: corpo tem luminosidade própria Maior parte da radiação emitida está na região do infra-vermelho (fora do visível) Primeiras medidas precisas do espectro de radiação Lummer, Pringsheim (1899) Espectrômetro de prisma (lentes especiais transparentes em altos λ); bolômetro

5 Radiância espectral R T λ dλ = energia emitida em radiação com comprimento de onda entre λ e λ +dλ, por unidade de tempo e por unidade de área, de uma superfície à temperatura T = ( ) E T λ, λ + dλ t. a λ. ν = c = potência irradiada entre λ e λ +dλ, por unidade de m 2, por um corpo à temperatura T Radiância R T = potência irradiada por unidade de m 2, por um corpo à temperatura T = área total sob a curva = 0 R T λ dλ

6 R T λ (unidades arbitrárias) Espectro de radiação Função de distribuição da radiância espectral R T λ em função do comprimento de onda λ da radiação emitida R T λ versus λ λ (μm)

7 Características da função de distribuição observada Baixas T : pouca potência irradiada em altos λ radiância nula para λ 0 ou λ. radiância cresce rapidamente com λ, fica máxima em λ max e depois decai lenta mas continuamente T mais altas: λ max diminui linearmente com o aumento de T potência irradiada cresce com T de forma mais rápida que a linear Lei de Stefan (1879) potência irradiada obedece à equação R T = ςt 4 Equação empírica, baseada nas observações experimentais σ = 5, W.m -2.K -4 (constante de Stefan-Boltzmann) Lei do Deslocamento de Wien (1894) Comprimento de onda máximo obedece à equação c W = 2, m.k -1 (constante de Wien) λ max = c W 1 T

8 Lei exponencial de Wien (1896) Função de densidade espectral deve ter a forma ρ λ = F λ, T λ 3 F (λ,t): - relação entre F e a distribuição de velocidades de Maxwell; - impondo validade da Lei do Deslocamento: β λt F λ, T = αe ρ λ = α eβ λt λ 3 Experimentalmente confirmada por Paschen (1899) para baixos λ (1-4 m) Discrepância para medidas posteriores (1900) em mais altos λ (4-60 m)

9 2. Corpo Negro Características Emite espectros térmicos de caráter universal Superfícies absorvem toda a radiação térmica que incide sobre ela Não reflete luz (é negro) Exemplo especial de Corpo Negro Cavidade ligada ao exterior por um pequeno orifício Radiação térmica vinda do exterior incide sobre o orifício e é refletida repetidas vezes pelas paredes interiores, sendo eventualmente absorvida pelas paredes Área do orifício é muito pequena: essencialmente toda a radiação que incide sobre o orifício será absorvida pelo corpo (reflexão para fora é desprezível) orifício absorve toda orifício tem as a radiação térmica propriedades de incidente sobre ele um corpo negro

10 Aquecendo-se uniformemente as paredes da cavidade até a temperatura T: Paredes irão emitir radiação térmica que vai encher a cavidade A pequena fração de radiação térmica que incidir sobre o orifício irá atravessá-lo Orifício irá atuar como um emissor de radiação térmica Como o orifício tem as propriedades de um coro negro, irá emitir uma radiação com espectro de corpo negro Mas o orifício nos dá uma amostra da radiação dentro da cavidade Radiação dentro da cavidade tem um espectro de corpo negro à temperatura T

11 Densidade de energia (cavidade) = Fluxo de energia (buraco) ρ T ν dν R T ν dν = = energia contida em radiação com frequência entre ν e ν +dν, por unidade de volume da cavidade à temperatura T E T ν, ν + dν V = energia emitida em radiação com frequência entre ν e ν +dν, por unidade de área do buraco à temperatura T, por unidade de tempo E T ν, ν + dν t. a T aumenta ρ T ν dν aumenta R T ν dν aumenta Cavidade (calculado) ρ T ν R T ν Buraco (medido)

12 3. Encontrando a função de distribuição Supondo uma cavidade com paredes metálicas (temperatura T ) Agitação térmica movimento dos elétrons paredes emitem radiação eletromagnética na faixa térmica dos comprimentos de onda

13 Objetivo Estudar o comportamento das ondas eletromagnéticas no interior da cavidade Obter a função de distribuição espectral da cavidade e do buraco Estratégia Mostrar que dentro da cavidade a radiação deve existir na forma de ondas estacionárias com nós sobre as superfícies metálicas (eletromagnetismo clássico) N ν dν ρ T ν R T ν Fazer uma contagem do número de ondas com frequências entre ν e ν +dν (argumentos geométricos) TRUQUE: - partir de uma cavidade unidimensional - generalizar para uma cavidade cúbica - generalizar para uma cavidade qualquer Calcular a energia média U ν, T dessas ondas quando o sistema está em equilíbrio térmico CLÁSSICA versus QUÂNTICA!!!!! Obter a densidade de energia multiplicando o número de ondas estacionárias, na unidade de frequência, por sua energia média

14 > x 0 a Ondas estacionárias na cavidade unidimensional > x 0 a Toda radiação que incidir sobre x = 0 e x = a (paredes) será totalmente refletida, e portanto terá a forma de ondas estadionárias Prova: - onda eletromagnética é uma vibração transversal, com E direção de propagação - direção de propagação é perpendicular à parede - direção de E é paralela à parede - na parede não deve haver E perpendicular à Radiação dentro da cavidade existe na forma de ondas estacionárias, com nós sobre as superfícies

15 Contando ondas: cavidade unidimensional x = 0, x = a E = 0 condições de contorno Campo elétrico para a onda estacionária unidimensional E x, t = E 0 sin kx sin ωt = E 0 sin 2π λ x sin 2πνt λν = c = ω k Impondo as condições de contorno obtemos λ n = 2a n ou ν n = cn 2a n N, t n=1 > x 0 n=3 n=2 a

16 Contando o número de ondas N ν dν O número de pontos entre ν 2 e ν 5 será: N 2,5 = 2a c ν 5 ν 2 De uma forma geral, o número de pontos entre ν e ν +dν será: N ν,ν +dν = 2a c ν + dν ν = 2a c dν = N ν dν Considerando-se os dois estados de polarização da radiação eletromagnética: n=1 N ν dν = 2 2a c dν (cavidade 1D) > x 0 n=1 a

17 Contando ondas: cavidade cúbica 3 componentes ortogonais linearmente independentes 6 superfícies x = 0, x = a E = 0 y = 0, y = a E = 0 condições de contorno z = 0, z = a E = 0 Componentes do campo elétrico nas 3 dimensões E x, t = E 0x sin 2π λ x x sin 2πν x t E y, t = E 0y sin 2π λ y y sin 2πν y t E z, t = E 0z sin 2π λ z z sin 2πν z t

18 Impondo as condições de contorno obtemos λ x,n = 2a ou ν n x,n = cn x x 2a λ y,n = 2a ou ν n y,n = cn y y 2a λ z,n = 2a ou ν n z,n = cn z z 2a n x N, t n y N, t n z N, t A radiação irá se propagar na direção definida pelos 3 ângulos: com relação à direção de x com relação à direção de y com relação à direção de z Como relacionar λ x,n, λ y,n, λ z,n com, e ν x,n, ν y,n, ν z,n com? Como contar as ondas?

19 PARÊNTESIS: relacionando as componentes de e Em uma dimensão: temos nós distanciados por λ 2 Condições de contorno λ n = 2a n ou ν n = cn 2a 1D n = 2a λ = 2aν c

20 Em duas dimensões: temos superfícies nodais distanciadas por λ 2 cos α = λ 2 λ x 2 λ cos α = λ x = 2a n x cos β = λ 2 λ y 2 λ cos β = λ y = 2a n y cos γ = λ 2 λ z 2 λ cos γ = λ z = 2a n z Condições de contorno n x = 2a λ cos α n y = 2a λ cos β 2D n 2 x + n 2 y = 2a λ = 2aν c

21 Em três dimensões : temos planos nodais distanciados por λ 2 cos α = λ 2 λ x 2 λ cos α = λ x = 2a n x cos β = λ 2 λ y 2 λ cos β = λ y = 2a n y cos γ = λ 2 λ z 2 λ cos γ = λ z = 2a n z Condições de contorno n x = 2a λ cos α n y = 2a λ cos β n z = 2a λ cos γ 3D n 2 x + n 2 y + n 2 z = 2a λ = 2aν c

22 PARÊNTESIS: contando ondas (diagramas para n) Em uma dimensão - número de pontos n i com frequência ν i : n i = 2a c ν i - densidade de pontos na linha l: dn dl = 1 dn = 2a c dν - número de pontos com frequência entre ν e ν +dν : N ν dν = 2. dl dn dl = 2 2a c dν N ν dν = 4a c dν

23 Em duas dimensões - número de pontos n i com frequência ν i : n i = n 2 x + n 2 y = 2a c ν i dn = 2a c dν - ao contrário do caso unidimensional, o número de pontos n i com frequência ν i irá depender da frequência

24 - área da anel do anel de diâmetro dn: da anel = 2πndn - somente o primeiro quadrante contribui com pontos ( n N ): da = da anel 4 = 2π 4 ndn = 2π 4 2a c ν 2a c dν = π 2 2a c 2 νdν - densidade de pontos no anel de área A: dn da = 1 - número de pontos com frequência entre ν e ν +dν : N ν dν = 2. da dn da = 2 π 2 2a c 2 νdν N ν dν = 4πA c 2 νdν

25 Em três dimensões - número de pontos n i com frequência ν i : n i = n 2 x + n 2 y + n 2 z = 2a c ν i dn = 2a c dν - volume dv casca da casca esférica de diâmetro dn: dv casca = 4πn 2 dn - somente o primeiro octante contribui com pontos ( n N ): dv = dv casca 8 = 4π 8 n2 dn = 4π 8 2a c 2 ν 2 2a c dν = π 2 2a c 3 ν 2 dν - densidade de pontos na casca esférica de volume V: dn dv = 1 - número de pontos com frequência entre ν e ν +dν : N ν dν = 2. dv dn dv = 2 π 2 2a c 3 ν 2 dν N ν dν = 8πV c 3 ν2 dν

26 Número de ondas: resumo Cavidade unidimensional : N ν dν = 4a c dν Cavidade bidimensional: N ν dν = 4πA c 2 νdν Cavidade tridimensional: N ν dν = 8πV c 3 ν2 dν Próximo passo: calcular a energia média está em equilíbrio térmico U ν, T dessas ondas quando o sistema CLÁSSICA versus QUÂNTICA!!!!! Finalmente: calcular a densidade de energia espectral

27 Tentativas de resolver o problema Cavidade oca é preenchida por radiação preta, independentemente da composição da cavidade Modelo simples para a substância da cavidade: cargas positivas e negativas acopladas por forças elásticas entre si = osciladores com uma própria Radiação dos osciladores e sua interação com o campo de radiação deve seguir as leis da eletrodinâmica Leis da eletrodinâmica Osciladores equações para o número de ondas N ν energias médias U ν, T

28 Primeira tentativa: Max Planck ( ) - leis da termodinâmica macroscópica (relação entre entropia S e energia interna U) - partindo do princípio que a Lei de Wien é válida, a entropia de um oscilador deve ter a forma (a, b = constantes, e = base do ln) - a energia média do oscilador será portanto S U = 1 T S = U aν ln U ebν aν T U ν, T = bνe - função densidade de energia espectral: ρ ν = N ν V 8πν2 aν T U ν, T = c 3 bνe ρ ν = 8πb c 3 ν3 aν T e Lei de Wien-Planck ρ ν = αν 3 βν T e Lei de Wien

29 Segunda tentativa: Rayleigh e Jeans (1900) - lei da equipartição de energia: energia média de um oscilador vale (por grau de liberdade) ε c = 1 2 KT - para sistemas harmônicos teremos U ν, T = 2ε c - nos 3 casos (1D, 2D, 3D) o grau de liberdade é 1 (amplitude do campo elétrico) e a energia média será U ν, T = KT - função densidade de energia espectral: ρ ν = N ν V 8πν2 U ν, T = c 3 KT ρ ν = 8πKT c 3 ν 2 Lei de Rayleigh-Jeans

30 Intensidade Comparando Wien-Planck, Rayleigh-Jeans e experimental - Rayleigh-Jeans: boa para baixas frequências péssima para altas frequências (catástrofe do ultra-violeta) ρ ν = 8πKT c 3 ν 2 R-J - Wien-Planck: boa para altas frequências ruim para baixas frequências ρ ν = 8πb c 3 ν3 aν T e W-P Rayleigh-Jeans Wien-Planck experimental Frequência

31 Terceira tentativa: Planck (1900) - interpolação, considerada por muitos a mais importante da história da física; marca o início da evolução da teoria quântica - percebeu que as expressões para a entropia nos dois casos (R-J e W-P) levavam a equações semelhantes para sua segunda derivada Rayleigh-Jeans (R-J) 2 S U 2 = cte U 2 interpolação 2 S U 2 = a U U + b Wien-Planck (W-P) 2 S U 2 = cte U S - Utilizando chega à equação para a energia do oscilador: U = 1 U = T b e 1 a T 1 - função densidade de energia espectral: ρ ν = N ν V 8πν2 b U ν, T = c 3 e 1 a T 1 = 8πb ν 2 c 3 e 1 a T 1

32 - Combinando com as duas equações nos seus limites de validade: baixas frequências: Rayleigh-Jeans (R-J) 8π c 3 b e 1 a T 1 ν2 8π c 3 KTν2 devemos ter b e 1 a T 1 KT altas frequências: Wien-Planck (W-P) 8π c 3 b e 1 a T 1 ν2 8π c 3 devemos ter bν b e 1 a T 1 ν2 e aν T bν e aν T - Solução: ρ ν = 8π Aν Lei de Planck c 3 ν2 e Bν T 1

33 Descrição para a radiação de corpo negro situação em Rayleigh-Jeans Planck Wien-Planck fundamentação existente ausente insatisfatória teórica validade baixas todas altas (altos ) (todos ) (baixos )

34 Descrição completa em Planck apresenta uma teoria completa para a radiação de corpo negro Coloca a Lei de Planck em base sólida (fundamentação teórica) Persiste no uso da entropia, porém parte para a termodinâmica estatística Consequência: energia total deve ser distribuida por uma quantdade finita de osciladores Osciladores só podem armazenar um mútiplo de um quantum de energia Introduz a constante de Planck h Início da Mecânica Quântica - função densidade de energia espectral: ρ ν = 8π hν c 3 ν2 e hν KT 1 Lei de Planck