Eletromagnetismo e osciladores harmônicos

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Amanda Peralta
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1 Eletromagnetismo e osciladores harmônicos

2 Eqs. de Maxwell no vácuo ρ = J = 0 e a Eq. de onda E r, t = 0 x + y + z c E r, t = B r, t = 0 B r, t t E r, t = μ 0 ε 0 E(r, t) t (igual para B r, t ) B r, t = μ 0 ε 0 E r, t t

3 O truque da solução geral (no caso da corda com extremos fixos) y x, t = n=1 y x = 1 y v t A n cos(ω n t + φ n k ) sin k n x Onda Harm. Estac. k n = n π L ω n = vk n

4 A energia da corda E = 0 L 1 sol. geral: (μdx) y(x, t) t y x, t = E = n=1 + n=1 μl ω n A n (τdx) y(x, t) x A n cos(ω n t + φ n ) sin k n x

5 Os campos E e B mais gerais possíveis no vácuo (há outros modos de escrever...) Onda Harm. Propag. E r, t = k s=1, e ks A ks sin k r ω k t + φ ks B r, t = 1 c k ε k1 ε k k s=1, ( k e ks ) A ks sin k r ω k t + φ ks ω k = c k Problema da lista Condição de contorno periódica k = (n x, n y, n z ) π L (n i = 0, ±1, ±, )

6 Onda eletromagnética propagante: harmônica, plana e linearmente polarizada

7 A energia eletromagnética (no volume V) E = V ε 0 E (r, t) + 1 μ 0 B (r, t) + sol. geral: E r, t = B r, t = k,s k,s E e.m. = k s=1, ε 0 V A ks E corda = Se quiser, pode redefinir as amplitudes: A ks ω k C ks n=1 μl 4 ω n A n

8 Campo Eletromagnético em equilíbrio térmico e a Catástrofe do Ultra-Violeta

9 E = k s=1, ε 0 V E ks A ks 0 A ks < A ks r k A ks r k π/ k

10 Energia média de cada modo, E ks, (Boltzmann+Maxwell) Maxwell: E ks = ε 0V A ks Boltzmann: 0 A ks < p(a ks, φ ks ) = exp( ε 0VA ks /k B T) Z, E ks = k B T A energia média de todos os modos é igual... E = k,s k B T =

11 ω ks π = c k π E ks = ε 0V A ks E ks = n ks hf ks 0 A ks < n ks {0, 1,, } E ks = {0, hf ks, hf ks, } De onde saiu isso? Que constante h = (#) J. s é essa?

12 Energia média de cada modo, E ks, (Boltzmann+Planck) Planck: E ks = n ks hf ks n ks {0, 1,, } E ks = Boltzmann: n ks =0 p(n ks ) = exp( n kshf ks /k B T) exp( nks hf ks /k B T) Z Z (n ks hf ks ) =, hf ks exp hf ks k B T 1 lista Z = n ks =0 exp( n ks hf ks /k B T) = 1 1 exp( hf ks /k B T)

13 E ks [k B T] E ks = hf ks exp hf ks k B T 1 versus E ks = k B T concordam apenas aqui... lista f ks [k B T/h]

14 A energia média total agora é finita? SIM Antes, E = k,s k B T = E = hf ks k s=1, exp hf ks k B T 1 E ks Para calcular isso, precisamos antes aprender uma mudança de variável muito usada na Física Estatística

15 Densidade de Modos Normais do Campo Eletromagnético L L L

16 Quantos modos normais da corda há entre ω e ω + dω? y x, t = n=1 A n cos(ω n t + φ n ) sin k n x π/l? dω/v k n = n π L (n = 1,, ) 0 ω ω + dω k ω = vk dω = v dk Densidade de modos normais da corda Resp: (dω/v) (π/l) ρ ω = L πv

17 Versão D do nosso problema π/l π/l k y dω/c s = {1,} k x E r, t = k = n x, n y Resp: k s=1, e ks A ks sin k r ω k t + φ ks ω = ck dω = c dk [π ω/c dω/c ] (π/l) Densidade de modos normais (D) ρ ω = L ω π L, (n i Z) πc

18 Densidade de modos eletromagnéticos no volume V lista ρ ω = Vω π c 3 ρ ω = 1 ω

19 De volta ao que queríamos calcular... E = = k 0 s=1, [ρ(ω)dω ] hf ks exp hf ks k B T 1 exp ħω ħω k B T 1 ħ h π hf ks ħω ks E = V π 15 (k B T) 4 (ħc) 3 lista

20 Radiação dentro de uma cavidade (1 m 3 ) à temperatura T (radiação de corpo negro) E g = 8π5 (kt) 4 15(hc) 3 V k = 1, J/K h = 6, J s P g = 0 E g = 6,1 10 J (3000 K) 6, J (300 K) M g ~ kg M g ~ 10 4 kg (m H O ~ 10 6 kg) 6, J 3 K M g ~ kg (m e ~ kg)

21 Há como medir E e checar E = V π 15 (k B T) 4 (ħc) 3?

22 Não, mas há como medir a distribuição espectral de energia (i.e., o integrando em E ; por unidade de volume do corpo) u ω dω = 1 V ħωρ ω dω exp ħω k B T 1 = ħ π c 3 exp ω 3 dω ħω k B T 1 ρ ω = Vω π c 3 h

23 ,81 A distribuição espectral de energia (em ω) u ω [4 k B T 3 /h c 3 ] u ω = ħ ω 3 π c 3 exp ħω k B T 1 ω max =,81 k BT ħ u max ~ T 3 ω [k B T/ħ]

24 A distribuição espectral de energia (em λ) ħ u ω dω = π c 3 u λ dλ = 8πhc exp exp ω 3 dω ħω k B T 1 λ 5 dλ hc λk B T 1 ω = πc λ dω = πc λ dλ [u ω ] = E L 3 T 1 [ u λ ] = E L 4

25 u(λ) [8π k B T 5 / hc 4 ] 0,01 λ [hc/k B T] u λ = 8πhc exp λ 5 hc λk B T 1 λ max = 0,01 hc k B T u max ~ T 5

26 (?) próxima aula

27 matemática: Há algo estranho aqui? ω max =,81 k BT ħ λ max = 0,01 hc k B T λ max ω max π c Me explique isso na próxima aula.

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