Séries de Problemas. Mecânica e Ondas LEIC-TP. Pedro Abreu, adaptado de original de Ana Maria Mourão (Coordenadora) e Nuno Pinhão

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1 Mecânica e Ondas LEIC-TP Séries de Problemas Enunciados Pedro Abreu, adaptado de original de Ana Maria Mourão (Coordenadora) e Nuno Pinhão Ano Lectivo: 2017/2018, 1 o semestre Alguns exercícios são seleccionados a partir da Bibliografia ou de exames de anos anteriores. A escrita das soluções contou com a participação de Katharina Lorenz. Nesta compilação colaboraram ainda Eduardo V. de Castro e Jordi Casanellas.

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3 Conteúdo 8. Ondas 7 A. Constantes A.1 3

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5 Introdução A resolução de problemas, seja em Física ou em qualquer outro domínio, é facilitada se forem seguidas algumas regras que ajudam na sua analise e a encontrar a sua solução. Esta deve passar por três fases: uma de análise do problema, a resolução propriamente dita e uma de verificação. Nota: Das regras a seguir indicadas, nem todas se aplicam a todo o tipo de problemas devendo ser vistas como conselhos de ordem geral. Análise: Comece por certificar-se que entende o problema. Se tiver dúvidas experimente sublinhar palavras-chave que o definem, identificam o seu tipo e as grandezas envolvidas. Faça um esquema do sistema físico descrito. Identifique as grandezas por um símbolo. Veja se o problema é do mesmo tipo de um problema que já conheça; se for a estratégia de solução deve ser semelhante. Pense na situação descrita: imagine o que se passa e preveja, qual será o resultado, (pelo menos qualitativo). Se tiver dúvidas na sua análise, discuta com um colega; Resolução: Liste as grandezas e valores de entrada, as grandezas a calcular e os valores de alguma constante que necessite. Estabeleça as relações entre as grandezas por forma a definir as relações físicas entre as grandezas a calcular e as fornecidas. Se a resposta pretendida for um valor numérico, só então passe à substituição de valores; Verificação: Pense no resultado que obteve. Era o que estava à espera? É consistente com outros problemas semelhantes? O que sucederia se variasse os valor de entrada? Analisar situações limite (massa infinita, tempo infinito, etc.) 5

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7 8. Ondas 8.1. Considere uma corda de comprimento L e densidade linear µ = m/l, onde m é a massa da corda. Partindo da equação de Newton para o movimento de uma pequena porção da corda com comprimento dx, demonstre que, no caso de haver ondas transversais de pequena amplitude a propagar-se na corda, as oscilações dos pontos da corda relativamente à posição de equilíbrio podem ser dadas por: 2 y x 2 = 1 v 2 2 y t 2, onde y = y(x, t), v = T/µ é a velocidade de propagação da onda na corda e T é a tensão aplicada na corda (ao longo do eixo dos xx) Na extremidade de uma corda suficientemente longa é imposta uma perturbação com frequência f =5 Hz que provoca uma onda de amplitude A = 12 cm e velocidade de propagação v = 20 m/s. A densidade linear da corda é µ = kg/m. a) Determine a frequência angular, ω, e o número de onda, k, bem como a expressão para a onda que se propaga na corda. [R: ω = 10π rad/s, k = π/2 m 1.] b) Qual a tensão a que está sujeita a corda? [R: 20 N] c) ( ) Qual a potência que deverá ser transmitida à corda para que se consiga manter a corda a vibrar como indicado anteriormente? Se quiséssemos aumentar a frequência num factor de 10, em quanto teríamos que aumentar a potência? Sugestão: Comece por demonstrar que a energia de cada pequeno segmento de corda com comprimento x e massa m está relacionada com a energia cinética máxima desse segmento (E c,max ) e é dada por E c,max = 1 ( ) y(x, t) 2 2 m t max = 1 2 µdxa2 ω 2. [R: P = 7 W e teríamos que a aumentar um factor 100.] 8.3. Duas ondas Φ 1 (x, t) = 4 sin(3x 2t) cm e Φ 2 (x, t) = 4 sin(3x + 2t) cm, propagam-se numa corda de comprimento L que tem as extremidades fixas. 7

8 8. Ondas a) Qual a resultante da sobreposição das duas ondas na corda? b) Qual a amplitude máxima de oscilação para o ponto x = 2 cm? [R: 2.24 cm] c) Qual a equação de movimento para o ponto x = 2 cm? d) Determine as coordenadas x na corda para as quais a amplitude de oscilação é máxima. [R: x = π/6 cm, 3π/6 cm,....] e) Determine as coordenadas na corda para as quais a amplitude do movimento é sempre zero. [R: x = 0 cm, π/3 cm, 2π/3 cm,...] 8.4. Uma corda está sujeita a uma tensão de 90 N. Uma das suas extremidades é posta a vibrar transversalmente, ao ritmo de 120 oscilações por segundo, afastando-se 0.15 m para cada lado da posição de equilíbrio. Cada metro da corda tem a massa de 0.25 kg. a) Calcule a velocidade de fase das ondas transversais produzidas na corda e o seu comprimento de onda. [R: v = m/s, λ = cm.] b) Determine a velocidade máxima de uma partícula da corda. [R: v max = 113 m/s] c) A corda passa a estar fixa em dois pontos, mantendo-se o valor da tensão. É posta a vibrar e verifica-se que as frequências produzidas são múltiplas de 100 Hz. Calcule a distância entre os extremos fixos da corda. [R: L = 9.49 cm.] d) Determine a energia total do n-ésimo modo próprio de oscilação da corda. [R: E = 1110 J n 2 L para o modo n e comprimento total da corda L.] 8.5. Numa corda presa em ambas as extremidades e com comprimento L = 1.5 m, consigo produzir um som com uma frequência fundamental de f = 264 Hz. a) Qual o comprimento de onda da harmónica fundamental, f 1? [R: 3 m] b) Calcule a expressão para as frequências possíveis na corda (f n ). c) Calcule as frequências das duas harmónicas seguintes, f 2 e f 3. [R: 528 Hz e 792 Hz] d) Determine a localização dos nodos correspondentes a f 1, f 2 e f 3. [R: n f n λ n nodos 1 f 1 2L 0, L 2 f 2 L 0, L/2, L 3 f 3 2L/3 0, L/3, 2L/3, L 8

9 ] e) Qual a velocidade de propagação das ondas na corda quando o som produzido tem a frequência f 1? [R: 792 m/s] f) Qual a tensão nas extremidades da corda sabendo que a densidade linear é µ = kg/m. [R: N] g) Qual a frequência da vibração que passa para o ar? Qual o comprimento de onda do som no ar? Considere a velocidade do som v som = 340 m/s. [R: 1.29 m] 8.6. Numa corda presa apenas numa extremidade e com comprimento L = 1.5 m, consigo produzir um som com uma frequência fundamental de f = 264 Hz. a) Qual o comprimento de onda da harmónica fundamental, f 1? [R: 6 m] b) Calcule a expressão para as frequências possíveis na corda (f n ). c) Calcule as frequências das duas harmónicas seguintes, f 2 e f 3. [R: 792 Hz e 1320 Hz] d) Determine a localização dos nodos correspondentes a f 1, f 2 e f 3. [R: ] n f n λ n nodos 1 f 1 4L 0 2 f 2 4L/3 0, 2L/3 3 f 3 4L/5 0, 2L/5, 4L/5 4 f 4 4L/7 0, 2L/7, 4L/7, 6L/7 e) Qual a velocidade de propagação das ondas na corda quando o som produzido tem a frequência f 1? [R: 1584 m/s] f) Qual a tensão nas extremidades da corda sabendo que a densidade linear é µ = kg/m. [R: N] g) Qual a frequência da vibração que passa para o ar? Qual o comprimento de onda do som no ar? Considere a velocidade do som v som = 340 m/s. [R: 1.29 m] 8.7. Sismos submarinos provocam ondas de comprimento de onda muito grande quando comparado com a profundidade do mar e que se propagam sem que a sua forma se altere significativamente (tsunami...). A velocidade de propagação destas ondas depende da profundidade do mar, h, e da aceleração da gravidade, v = gh. a) Sabendo que a profundidade média da embocadura do Tejo é de 30 m, calcule a velocidade aproximada da onda que destruiu a 9

10 8. Ondas parte baixa de Lisboa no terramoto de 1755 e o tempo aproximado que levou a propagar-se desde a entrada do estuário até ao Cais das Colunas (cerca de 6 km). [R: 350 s] gλ b) No caso de ondas com comprimento de onda λ muito menor que a profundidade da água a sua velocidade de fase é dada aproximadamente por v = 2π. Mostre que a velocidade de grupo corresponde a u = v/2 (sugestão: use a relação de dispersão u = v λ dv dλ ) Duas cordas com a mesma espessura e de materiais diferentes foram ligadas topo a topo e esticadas com uma tensão de 16 N, sendo o conjunto fixo nos extremos. Uma onda com uma velocidade de 40 m/s e comprimento de onda de 1 m propaga-se inicialmente na corda 1 (de tamanho igual a 1 m). a) Qual a frequência e o comprimento de onda da onda que se transmite para o segmento de corda 2, sabendo que aí a velocidade de propagação é 10 m/s? [R: 40 Hz e 0.25 m] b) Qual a razão entre a densidade linear (kg/m) do material da corda 1 e a da corda 2? [R: 16.] c) Qual o comprimento de onda da onda sonora que se propaga no ar quando estas cordas vibram? (Velocidade do som = 340 m/s) [R: 8.5 m ] 8.9. A tensão das cordas de uma viola acústica é de 150 N (para todas elas). A distância entre os extremos fixos das cordas é de 0.55 m. a) Tendo em conta a informação da tabela, determine a densidade linear de massa da primeira e quinta cordas. [R: µ 1 = kg/m e µ 5 = kg/m.] b) Afinou-se a primeira corda e fez-se vibrá-la pressionando o quinto trasto e simultaneamente a quinta corda. Foi audível um batimento de 30 Hz. Calcule o acréscimo de tensão que é necessário dar à quinta corda. [R: 19.8 N.] Ordem corda Posição Nota Frequência Primeira livre Mi Hz Quinta livre Lá 110 Hz Primeira Quinto trasto Lá 440 Hz Uma onda propaga-se a três dimensões a partir de uma fonte pontual, com velocidade de fase constante num meio ideal (não há absorção de energia da onda). Considere que a potência emitida pela fonte é uma constante P 0. 10

11 a) Determine a relação entre a intensidade da onda e a distância à fonte. [R: I = P 0 4πd 2.] b) Determine a relação entre a amplitude da onda e a distância à fonte. [R: A = C/d em que C é uma constante dependente da potência.] c) Se a intensidade à distância de um metro da fonte corresponder ao limiar de sensação dolorosa (90 db), calcule o nível da intensidade a 100 metros de distância (em db). [R: 50 db.] A intensidade de um som é frequentemente referida em unidades de decibel (db). A relação entre o valor da intensidade do som em db e em W/m 2 é dada por ( I(W/m 2 ) ) I(dB) = 10 log , onde I(W/m 2 ) é a intensidade do som medida em unidades de W/m 2. Como pode facilmente verificar, nesta escala considera-se que o valor de I o = W/m 2 define o zero da escala. a) A que nível sonoro corresponde uma intensidade de som de I= 1W/m 2 na escala de db? [R: β = 120 db.] b) Num concerto dos Green Flying Dinossaurs (GFD), quando um dos elementos dos GFD sobrevoa o palco suspenso do tecto, uma fonte sonora pontual no palco emite um efeito acústico com uma potência P emitida = 100 W. Determine a que distância do palco a intensidade deste som é igual a 90 db, limite a partir do qual se devem utilizar protectores auditivos para evitar lesões irreversíveis do aparelho auditivo? [R: 89.2 m.] 11

12 A. Constantes Constante de Newton de Gravitação Universal: G = N m kg 2 ; permitividade do vácuo: ε 0 = F m 1 ; distância média da Terra ao Sol: D = m ; velocidade do Sol em torno do centro da Galáxia: v = 220 km s 1 ; distância do Sol ao centro da Galáxia: R = 8 kpc ; luminosidade solar: L = de/dt = W ; massa da Terra: M = kg ; raio médio da Terra: R = km ; velocidade do som no ar: v som = 344 m/s ; velocidade da luz no vácuo: c 0 = m/s ; m H = u, m He = u, 1 u = kg ; carga do electrão: e = C ; massa do electrão: m e = kg = u ; massa do protão: m p = kg = 1 u ; número de partículas numa mole (constante de Avogadro): mol 1 A.1