Séries de Problemas. Mecânica e Ondas LEIC-TP. Pedro Abreu, adaptado de original de Ana Maria Mourão (Coordenadora) e Nuno Pinhão

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1 Mecânica e Ondas LEIC-TP Séries de Problemas Problemas resolvidos Pedro Abreu, adaptado de original de Ana Maria Mourão (Coordenadora) e Nuno Pinhão Ano Lectivo: 2015/2016, 1 o semestre Alguns exercícios são seleccionados a partir da Bibliografia ou de exames de anos anteriores. A escrita das soluções contou com a participação de Katharina Lorenz. Nesta compilação colaboraram ainda Eduardo V. de Castro e Jordi Casanellas.

2 Este trabalho está protegido segundo a licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada. Para ver uma cópia desta licença, visite Versão 1.0, 10 de Dezembro de 2015 Estas folhas foram preparadas com a ajuda de KOMA-Script e L A TEX 2ε

3 Conteúdo 10.Relatividade de Galileu a Einstein 7 A. Constantes A.1 3

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5 Introdução A resolução de problemas, seja em Física ou em qualquer outro domínio, é facilitada se forem seguidas algumas regras que ajudam na sua analise e a encontrar a sua solução. Esta deve passar por três fases: uma de análise do problema, a resolução propriamente dita e uma de verificação. Nota: Das regras a seguir indicadas, nem todas se aplicam a todo o tipo de problemas devendo ser vistas como conselhos de ordem geral. Análise: Comece por certificar-se que entende o problema. Se tiver dúvidas experimente sublinhar palavras-chave que o definem, identificam o seu tipo e as grandezas envolvidas. Faça um esquema do sistema físico descrito. Identifique as grandezas por um símbolo. Veja se o problema é do mesmo tipo de um problema que já conheça; se for a estratégia de solução deve ser semelhante. Pense na situação descrita: imagine o que se passa e preveja, qual será o resultado, (pelo menos qualitativo). Se tiver dúvidas na sua análise, discuta com um colega; Resolução: Liste as grandezas e valores de entrada, as grandezas a calcular e os valores de alguma constante que necessite. Estabeleça as relações entre as grandezas por forma a definir as relações físicas entre as grandezas a calcular e as fornecidas. Se a resposta pretendida for um valor numérico, só então passe à substituição de valores; Verificação: Pense no resultado que obteve. Era o que estava à espera? É consistente com outros problemas semelhantes? O que sucederia se variasse os valor de entrada? Analisar situações limite (massa infinita, tempo infinito, etc.) As folhas de problemas resolvidos apresentam exemplos de aplicação destas regras: Alguns exercícios o enunciado tem palavras-chave sublinhadas e em alguns casos há uma figura à margem que ajuda a perceber a situação física. Aparecem ainda outros dois tipos de indicações: Solução: Nestes casos indica-se só o valor do resultado; Comentários: Em alguns casos os problemas resolvidos incluiem uma secção com soluções alternativas, comentários complementares ou matérias para aprofundamento. 5

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7 10. Relatividade de Galileu a Einstein Uma massa m está suspensa do tecto de uma carruagem de comboio por um fio. Um passageiro na mesma carruagem regista que, quando o comboio arranca da estação, o fio que suspende a massa faz um ângulo α com a vertical (i.e, com a normal ao tecto da carruagem). a) Determine as forças que actuam na massa m do ponto de vista de um observador que está a analisar as imagens da massa m a partir de uma câmara video localizada no interior da carruagem. O observador está fora do comboio. Relacione a resposta com o ângulo α. Do ponto de vista desse observador, qual o estado de repouso ou movimento de m? b) Determine as forças que actuam na massa m do ponto de vista de uma pessoa que permanece na plataforma da estação e vê o comboio arrancar. O que poderá dizer relativamente à aceleração do comboio? Um passageiro num elevador deixa cair uma moeda. Nesse instante o elevador encontrava-se em movimento descendente com velocidade v elevador = 0.5 m/s. a) Se no instante em que a moeda adquire uma velocidade de 1 m/s em relação ao passageiro, se partirem os cabos do elevador, qual o movimento posterior da moeda em relação ao passageiro. Resolução: A aceleração da moeda no referencial do passageiro, a relacionase com a aceleração no referencial laboratório, a por a = a a R onde a R é a aceleração relativa do elevador em relação ao referencial laboratório. Como a = a R = g, a aceleração da moeda vista pelo passageiro do elevador é a = 0 e o passageiro verá a moeda a deslocar-se com velocidade uniforme v = 1 m/s. b) No instante em que se partiram os cabos a moeda estava a 20 cm do chão do elevador. A moeda atingirá o chão do elevador? 7

8 10. Relatividade de Galileu a Einstein Resolução: Uma vez que a moeda se desloca com velocidade uniforme, acabará por atingir o chão, ao fim de t = x/v = 0.2 s. c) Qual o movimento da moeda antes de se partirem os cabos e após se terem partido os cabos do elevador, do ponto de vista do funcionário da empresa que tinha precisamente acabado de arranjar o elevador e estava no patamar do último piso? Resolução: Do ponto de vista do funcionário a moeda terá sempre um movimento uniformemente acelerado com aceleração de módulo g Um feixe de muões, µ, em raios cósmicos, move-se à velocidade v = c. Qual a fracção que sobrevive após um percurso de 1920 metros? (T 1/2 = 1, s, no referencial próprio!) Um motocilista desloca-se com velocidade v = 0.8 c em relação à Terra e dispara uma bola com velocidade vbola = 0.7 c relativamente a ele e no sentido de v. Qual a velocidade da bola em relação à Terra? Solução: v bola = v bola + v 1 + v c 2 v bola = (0, 7 + 0, 8)c 1 + 0,8c 0, 7c = 0.96 c c Três lâmpadas A 1 vermelha, A 2 amarela e A 3 verde acendem simultaneamente no referencial de uma nave S que se desloca em relação a outra nave S com uma velocidade v na direcção X. As lâmpadas acendem no instante t = 0 s, nos pontos com coordenadas x 1 = 0, x 2 = l e x 3 = 2l, respectivamente. Determine as coordenadas das lâmpadas relativamente a S e indique qual a ordem pela qual o astronauta da nave S vê as lâmpadas a aceder. Resolução: O astronauta em S não verá o acendimento das três lâmpadas nem na mesma posição nem no mesmo instante e tempo que no referencial próprio S. A transformação de Lorentz para o espaço é x = x + vt 1 ( v c 8

9 Assim ele verá as lâmpadas nas posições x 1 = 0 x 2 = x 3 = l 1 ( v c 2l 1 ( v c Por sua vez a transformação de Lorentz para o tempo é t = t + v x c 2 1 ( v c Logo ele verá cada um dos acontecimentos nos instantes t 1 = 0 t 2 = v/c 2 1 ( ) l v 2 c t 3 = v/c 2 1 ( l v 2 c Ele verá as lâmpadas a acender na sequência vermelho, amarelo e verde Imagine um relógio colocado no ponto com coordenada x = 0 no referencial S. Considere que no instante t = t 1 no relógio acende-se uma luz. Essa luz apaga-se no instante t 2. a) Calcule as coordenadas espaciais e temporais do relógio no referencial S, respectivamente x e t 1, t 2. b) Compare t = t 2 t 1 com t = t 2 t 1 e verifique o fenómeno da dilatação do tempo. c) Calcule s 2 = c 2 t 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) e s 2 = c 2 t 2 ( x 2 + y 2 + z 2) e verifique a invariância do intervalo espaço-tempo. Tem um intervalo do tipo espaço, do tipo tempo, ou do tipo luz? Numa base espacial encontra-se estacionada a nave Pegaso com 20 m de comprimento. A nave parte para uma viagem e quando atinge a velocidade de cruzeiro o seu comprimento, medido a partir da base, é de 10 metros. 9

10 10. Relatividade de Galileu a Einstein a) Qual a velocidade da nave Pegaso em relação à base? b) Qual o comprimento da nave para os seus tripulantes? c) Na base espacial detectam uma outra nave, Orion, em rota de colisão com Pegaso e a uma velocidade v Orion = 0.6 c relativamente à base. Qual a velocidade com que as duas naves se aproximam, do ponto de vista da base? E do ponto de vista de cada uma delas? Nota: A velocidade de aproximação das naves Orion e Pegaso em relação ao referencial da base espacial é a soma das duas velocidades As partículas de alta energia são detectadas no laboratório pela impressão que deixam nas chapas fotográficas dos detectores. Uma partícula movendo-se à velocidade de c produz um rasto de 1.25 mm. Qual o tempo de vida da partícula no referencial próprio? Resolução: Podemos calcular o tempo de vida no referencial laboratório a partir do comprimento do rasto, x, e da velocidade, v: t = x v = 1, , = 4, s Por sua vez, no referencial próprio da partícula o seu tempo é ( ) v 2 t = 1 t = 0, 0999 t = 0, s c Duas lâmpadas (1 e 2) são acesas simultaneamente para um observador que se encontra em repouso em relação a estas; o mesmo observador mede a distância entre as lâmpadas e obtém 10 m. a) As duas lâmpadas acendem simultaneamente para um observador que se desloque num avião a 600 m/s? Qual o intervalo de tempo decorrido entre o acender das lâmpadas? b) Qual a distância espacial entre os dois acontecimentos (acender das lâmpadas) para o observador no avião da alínea a)? Um atleta corre com velocidade V transportando uma barra horizontal de comprimento L0 cujas extremidades são A e B. No ponto médio da barra existe uma fonte que emite luz. Nas respostas à s alíneas que se seguem, compare a solução relativista com a solução clássica, não relativista. 10

11 a) A fonte emite um impulso. Calcule os intervalos de tempo para a luz chegar a A e a B, medidos no referencial do corredor. b) Refaça a alínea anterior no referencial de quem está parado. c) Qual deverá ser a velocidade V para que, no referencial de quem está parado, a tábua tenha um comprimento L=L0/2? d) Se a barra com a velocidade V calculada em c) entrar numa garagem de comprimento L=L0/2, os acontecimentos passagem da extremidade B da barra pela porta P B e a passagem da extremidade A pela porte P A são simultâneos no referencial da garagem. E no referencial da barra? Qual o comprimento da garagem no referencial da barra? e) Se no instante em que, para o referencial da garagem, a barra está toda lá dentro, forem simultaneamente fechadas as portas P A e P B, a barra fica fechada na garagem. Como é isto possível se, para um observador ligado à barra (por ex., o corredor), esta tem comprimento L0 e a garagem um comprimento menor? Calcule a diferença entre o comprimento da garagem e o da barra no referencial do corredor e compare com o espaço percorrido pela garagem no intervalo de tempo entre o fecho das portas. f) Calcule o intervalo no espaço-tempo entre os dois acontecimentos nos dois referenciais. É um intervalo do tipo espaço, do tipo tempo, ou do tipo luz? A nave espacial Passarola tem um comprimento em repouso de 60 m, e está a viajar com velocidade constante a caminho de Andrómeda (à distância de aproximadamente 2 milhões de anos). A sua velocidade pode ser monitorada enviando um sinal luminoso da Terra, que é reflectido de volta por dois espelhos colocados nos extremos da nave. Recebe-se um sinal reflectido pelo espelho mais próximo da Terra, e de seguida um segundo sinal reflectido pelo espelho na outra extremidade da nave. Suponha que numa dada altura em que a direção de movimento da nave coincide com a direção de observação a partir da Terra, se receberam dois sinais separados no tempo por 1,74 µs. a) A diferença entre o percurso na nave dos raios reflectidos é igual ou diferente do dobro do comprimento da nave para o Comandante da nave? E para um observador na Terra? Justifique ambas as respostas. b) Calcule a velocidade da nave (no referencial da Terra). c) Para permitir passarem o tempo sem se aborrecerem, os corpos dos tripulantes foram congelados. Daqui a quanto tempo (no 11

12 10. Relatividade de Galileu a Einstein referencial da nave) devem os computadores da nave iniciar a reanimação? Resolução: a) A diferença é igual ao dobro do comprimento da nava para o Comandante, pois a nave para ele está em repouso e a velocidade da luz tem o mesmo módulo nos dois sentidos, logo leva o mesmo tempo independentemente do movimento da nave, e diferente para o observador na Terra, pois a nave está em movimento no referencial da Terra, daí que a nave se desloca enquanto a luz se propaga do reflector traseiro para o reflector dianteiro. b) Para calcular a velocidade da nave, temos primeiro de exprimir a diferença temporal medida na chegada dos dois sinais, 1,74 µs, em função da velocidade e do comprimento da nave, medidos no referencial da Terra. Seja V a velocidade da nave no referencial da terra, que queremos calcular, e L o comprimento da nava no referencial da Terra, dado pela expressão L = L/γ, sendo γ o fator de Lorentz γ 1, com β V/c. 1 β 2 Ora, a diferença de tempo deve-se ao tempo que a luz leva a viajar até atingir o reflector dianteiro e voltar ao ponto onde a luz tinha acertado no reflector traseiro, anteriormente. Poderemos pensar ingenuamente que seria apenas o dobro do comprimento no referencial da Terra, L, dividido pela velocidade da luz no vazio, c. Mas a nave está a andar para a frente, ao mesmo tempo que a luz, pelo que a luz irá percorrer um caminho adicional até atingir o reflector dianteiro, enquanto este também se deslocou para a frente com velocidade V < c. Pelo que consideramos o tempo t 1 no referencial da Terra como sendo o instante em que a luz atinge o reflector dianteiro (sendo t 0 = 0 o instante em que a luz chegou ao reflector traseiro). No tempo t 1 t 0 = t 1 o reflector dianteiro viajou (com a nave) V t 1, enquanto a luz viajou ct 1 ; e sabemos esta diferença de percurso no referencial da Terra: L = 60 m/γ. Temos então a primeira equação, que relaciona o tempo t 1 com o comprimento da nave e a velocidade da nave: ct 1 = V t 1 + L = V t γ Vamos agora exprimir a velocidade da nave V em função dos dados anteriores e de t 1 : t 1 = 60 γ(c V ) 12

13 ct 1 60 = 1 + V c 1 V c t 1 = β = t 1 = 60 (c V ) 1 V 2 c 2 t 1 = 60 c(1 V c ) 1 V 2 c 2 60 c(1 V c ) (1 V c )(1+ V c ) t 1 = 60 c 1 + V c 1 V c t 1 = 60 c ( ct β 1 β 60 1 V = β.c = c + 1 ( ct 1 60 ( ct ( ct Agora lembremo-nos que o tempo dado é da diferença na chegada, portanto correspondente á ida e volta. Mas o tempo de volta desde a reflexão no reflector dianteiro é igual ao tempo de ida até ao reflector dianteiro, pelo que podemos concluir que a diferença total é simplesmente o dobro do tempo de ida, a que corresponde t 1 t 0 = t 1 = 1 2 t total = 1, 74µs/2 = 0.87 µs. Concluímos finalmente que o valor da velocidade da nave V é, substituindo os valores na expressão em cima, V = 2, m/s = 0, 9c. c) Para calcular o tempo que os astronautas devem permanecer adormecidos, no referencial da nave, temos de calcular o tempo de viagem no referencial da Terra (onde temos a distância até à galáxia Andrómeda como sendo 2 milhões de anos-luz). No referencial da Terra o tempo de viagem é t = c anos/v = anos/(v/c) = 2, anos. Mas no referencial da nave, o tempo é inferior, pois aí os astronautas estão em repouso; terão portanto o tempo mínimo, dado pela expressão (com β = V/c = 0, 9): t = t /γ = 2, anos 1 β 2 = anos. 13

14 10. Relatividade de Galileu a Einstein Um combóio e um túnel têm ambos comprimento próprio L=100 m. O combóio dirige-se para o túnel com velocidade constante V=0,95c. Uma bomba está colocada na parte da frente do combóio. Há um sensor colocado à saída do túnel, que faz detonar a bomba quando a frente do combóio chega à saída do túnel. No entanto, existe um outro sensor, colocado à entrada do túnel, que diz à bomba para se desarmar assim que a parte de trás do combóio entra no túnel. Será que a bomba explode? Analise a situação em ambos os referenciais. Solução: R: Explode em ambos os referenciais. Constantes: Constante de Gravitação Universal, G: Velocidade da luz no vácuo, c: m H : m Hélio : m protão = m anti protão : m electrão = m positrão : Distância da Terra ao Sol, D: Luminosidade solar, L = de/dt: 1 u m a = 1, kg 6, Nm 2 Kg m/s u m a u m a 1, kg 9, kg 1, m 3, W 14

15 A. Constantes Constante de Newton de Gravitação Universal: G = N m kg 2 ; permitividade do vácuo: ε 0 = F m 1 ; distância média da Terra ao Sol: D = m ; velocidade do Sol em torno do centro da Galáxia: v = 220 km s 1 ; distância do Sol ao centro da Galáxia: R = 8 kpc ; luminosidade solar: L = de/dt = W ; massa da Terra: M = kg ; raio médio da Terra: R = km ; velocidade do som no ar: v som = 344 m/s ; velocidade da luz no vácuo: c 0 = m/s ; m H = u, m He = u, 1 u = kg ; carga do electrão: e = C ; massa do electrão: m e = kg = u ; massa do protão: m p = kg = 1 u ; número de partículas numa mole (constante de Avogadro): mol 1 A.1