1º Exame de Mecânica e Ondas

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1 º Exame de Mecânica e Ondas (LEMat, LQ, MEBiol, MEAmbi, MEQ) Quar 09:00 - :30 3 de Junho 00. Três objectos de massas m m m e m 3 4 m deslizam sem atrito numa superfície como indicado na fiura. Assumindo que apenas o primeiro se desloca com velocidade v o 3 em repouso, determine justificando as suas respostas: h, enquanto os outros estão inicialmente m v o m h m 3 - a) ( val.) Quais as velocidades finais das massas assumindo que todas as colisões são completamente inelásticas. Qual é a variação da eneria mecânica total do conjunto? (Explique o resultado.) Primeira colisão (Conservação de Momento Linear - CML) m v o m m v v m m m v o v o ampa (Conservação de Eneria Mecânica - CEM) m m v m m h m m u o v h u o (.) (.) u o v h v v o 8 h v o 37 v o (.3) Seunda colisão (CML) m m u o m m m 3 u 3 u 3 m m m m m 3 u o 37 6 v o (.4) Eneria dissipada na liação entre as massas E E f E i m h E i m v o m m h 9 9 m h (.5) E f m m m 3 u 3 m v o 8 h v o m h (.6) - b) ( val.) Assumindo aora que as colisões são completamente elásticas, quais são as velocidades das massas após a colisão de m com m e seuidamente de m com m 3. Conservação do momento linear (CML): m v o m v m v m v o v m v Conservação da eneria cinética (CEC) m v o m v m v m v o v v o v m v v (.7) (.8) A. ica da Silva,Prof. IST 7/3/0

2 Substituindo (CML) em (CEC) elimina-se m v desta equação ficando v o v m m v v o v v v m m m m v o v m m m v o (.9) Primeira colisão m com m m : v 0 v v o Velocidade de m depois de descer a rampa (CEM): v h u o u o v h v 0 v o (.0) Seunda colisão m com m 3 4 m : u u 3 m m 3 m m 3 u o 3 5 m m m 3 u o 5 0 v o 0 v o - c) ( val.) Se a massa m voltar para trás, qual é a altura z que conseue atinir quando volta a subir a rampa? Subida da rampa: m com velocidade u v o e (CEM) m z m u z u 5 h (.) - d) ( val.) Haverá mais colisões depois da seunda? Se sim indique quantas e quais as velocidades resultantes das massas? A massa m volta ao plano e apanha m 3 com velocidade w o u 3 5 m 3 w 3 u 3 de (CEC) obtém-se 0 v o. Usando (CML) para eliminar m w o w m 3 w 3 u 3 m w o w w o w m 3 w 3 u 3 w 3 u 3 w o w m 3 m w 3 u 3 w o w w 3 u 3 (.) w m m 3 w o m 3 u m m 3 m m 3 3 m w 3 w o m m 3 u m m 3 m m 3 3 w 7 5 w v o 5 v o (.3) Uma vez que a velocidade da massa m é menor que a de m 3 não haverá mais colisões.. Um objecto de massa m é disparado numa rampa com inclinação Α por canhão com mola de constante. Assuma inicialmente que não existe atrito na rampa e que o movimento se dá no campo ravítico à superfície da Terra. Se a partir do ponto em que se separa da mola a massa m percorre uma distância L sobre a rampa determine: L m Α 7/3/0 A. ica da Silva, Prof. IST

3 - a) ( val.) A compressão mínima da mola min que é necessária inicialmente para que a massa m salte da rampa quando disparada. Para que a massa salte da rampa no ponto A só é necessário que lá cheue com velocidade nula. Sendo lançada do repouso, por (CEM) E o min m min sinα m L sinα E A (.4) min m sinα L m sinα (.5) - b) ( val.) A velocidade de saída da rampa v o e altura máxima h acima da rampa a que a massa m chea quando a compressão inicial da mola é min. Se a massa m chea a A com uma velocidade v o E o m sinα m v o m L sinα E A (.6) v o m L sinα (.7) No ponto mais alto da trajectória a massa tem velocidade horizontal iual a v o cosα, pelo que por (CEM) a partir do ponto A, m v o m v o cosα m h h v o sin Α m sin Α L sin 3 Α (.8) (.9) - c) ( val.) Se aora considerarmos que existe atrito na rampa com coeficiente dinâmico Μ, qual é o trabalho realizado por cada uma das forças que actuam na massa m até à saída da rampa nas mesmas condições iniciais? Qual deve ser a eneria cinética à saída da rampa? A força de atrito é F a Μ m cosα v v paralela à rampa e oposta à velocidade v. As componentes perpendiculares à rampa da forças aplicadas não realizam trabalho. Para a força da mola, o trabalho realizado é o neativo da variação da sua eneria potencial. W a Μ m L cosα ; W m sinα L ; W m (.0) Teorema trabalho eneria: W tot m sinα L Μ m L cosα m v A EC A 3. Um pêndulo físico é constituído por uma barra fina de massa m 4 M e comprimento 3 presa numa extremidade O a um eixo de rotação sem atrito, e na outra a um anel homoéneo de raio e massa M, como indicado na fiura. O e z e y Θ e x A. ica da Silva,Prof. IST 7/3/0

4 3- a) ( val.) Mostre que o momento de inércia da barra em relação ao eixo de rotação em O é O barra M e que o momento de inércia do anel em relação ao mesmo eixo é O anel 7 M. Determine a distância d cm entre o eixo de rotação em O e o centro de massa do pêndulo. 3 O barra s m s 4 M 3 0 s 3 s s M 0 (3.) Teorema de eixos paralelos com cm anel M m M O anel cm anel M M M 3 7 M (3.) d cm m M mm (3.3) 3- b) ( val.) A partir da equação que relaciona o momento anular L O com os momentos de forças aplicadas N O deduza a equação de movimento para o pêndulo em função do momento de inércia total O. Para pequenas oscilações (aquelas em que sinθt Θt) determine a frequência de oscilação natural Ω o e o respectivo período T. N O cm r O m M 5 M d cm sinθ e z 0 M sinθ e z (3.4) L O t O Ω t N O (3.5) Ω Θ e z Θ 0 M sinθ t t O 0 0 sinθ Θ Ω 9 9 o Θ (3.6) Ω o 0 9 Π T T Π 9 0 (3.7) 3- c) ( val.) Calcule a velocidade do centro de massa e a eneria cinética do pêndulo quando passa na posição vertical, se ele for larado do repouso da posição em que Θ 45. Por conservação da eneria mecânica, colocando o zero do potencial ravítico ao nível de O: E i 5 M d cm cos Π 4 E v O Ω 5 M d cm (3.8) Ω 0 M d cm O 0 9 V cm d cm Ω e y 0 9 e y (3.9) 4. Duas naves espaciais Alpher (Α) e Bethe (Β) deslocam-se em direcções opostas e na mesma rota. Quando Alpher passa junto à estação orbital Gamow (Γ) um observador da estação mede velocidades de manitude v Α 0.7 c e v Β 0.8 c para as naves, e localiza Bethe uma distância d Km. 4- a) (.0 val.) Qual é a velocidade com que Bethe se aproxima de Alpher vista pelo piloto desta? Usando V v Α 0.7 c e v x v Β 0.8 c obtemos v ΑΒ v Β v Α v Α v Β c c (4.30) 7/3/0 A. ica da Silva, Prof. IST

5 4- b) (0.5 val.) Qual é a distância d ΑΒ entre as naves que o piloto da nave Alpher mede no instante em que passa por Gamow? A transformada de Lorentz das coordenadas x d, no instante t 0, do referencial da estação Gamow para o referencial de Alpher, que se desloca com velocidade V v Α, localiza aí a nave Bethe na posição x mas no instante t 0. x o v Α c d Km ; t o v Α c v Α c d s (4.3) No instante t 0, a distância de Bethe a Alpher é neste referencial móvel d ΑΒ x o v ΑΒ t o Km (4.3) 4- c) (.0 val.) Quanto tempo é que o observador em Gamow estima que as naves têm até se cruzarem, se mantivessem as mesmas velocidades? Quanto tempo é que o piloto de Alpher mede até se cruzar com Bethe? No referencial de Gamow v Α t Γ v Β t Γ d t Γ d v Α v Β 0. s Visto do referencial de Alpher t Α NB: Transformadas de Lorentz: x v Α c t Γ d ΑΒ v ΑΒ Vc x V t ; t 0.6 s t V x Vc c ; v x vx V v x V c 4- d) (.0 val.) Um morceo voa com velocidade horizontal constante de 5 Km h em direcção a uma parede vertical de uma caverna. Assumindo que a velocidade do som na caverna é 340 m, qual a frequência do eco reflectido na s parede que o morceo ouvirá se ele for capaz de emitir um som com frequência 60 Hz? f v sv m v s v m f o 6.49 Hz (4.33) 4- e) (0.5 val.) Se o morceo detectar o eco 0.5 s depois de emitir o som, a que distância se encontra da parede? Se d é a distância do morceo à parede quando emite o som, o tempo t 0.5 s que leva a ouvir o eco é a soma do tempo t que o som leva a chear à parede e o tempo t que o eco leva a chear ao morceo t t t com t d v s t dv m t v s d v mv s t d d v m t 86 m 84 m (4.34) 4- f) (.0 val.) Se a onda sonora que o morceo emite for harmónica (i.e. do tipo A sin x ± Ω t) qual é: i) A frequência anular Ω. iii) O número de ondas. ii) A velocidade de fase v. iv) O comprimento de onda Λ. i Ω Π f 0 Π 0 3 rad s ii v 340 m s iii Ω v 6 Π 7 03 m iv Λ Π m (4.35) NB: Efeito de Doppler: f v sv r v s v e f o A. ica da Silva,Prof. IST 7/3/0