Mecânica e Ondas 1º Ano -2º Semestre 2º Exame 26/06/ :30h. Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

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1 Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Mecânica e Ondas 1º Ano -º Semestre º Exame 6/06/013 11:30h Duração do Exame: :30h Leia o enunciado com atenção. Justifique todas as respostas. Identifique e numere todas as folhas da prova. Problema 1 Um skater com uma massa (incluindo o skate) desce uma pista de perfil semi-circular, de raio (considere como a distância aproximada entre o centro da circunferência e o centro de massa do(s) skater(s)) partindo do repouso no topo esquerdo da rampa (ponto A). a) i) Escreva o Lagrangeano que descreve o movimento do sistema em termos do ângulo representado na figura, considerando que o corpo móvel pode ser representado por um ponto material que desliza sem atrito ao longo da pista (de raio definido acima). ii) Deduza a equação diferencial do movimento para a variável. b) i) Determine a velocidade que o skater atinge ao passar na base da pista (ponto B) (repare que não precisa de resolver a equação diferencial para obter a resposta!). ii) Ao chegar à base da pista, o skater agarra um colega com massa total inicialmente em repouso nesse ponto (B), continuando os dois a mover-se em conjunto a partir desse ponto. Determine o valor do ângulo que o conjunto dos dois skaters atinge no lado direito da rampa. Problema Um automóvel de massa total desce uma estrada com uma inclinação de 10 a uma velocidade de. Num dado momento é obrigado a travar devido à presença de um obstáculo. a) Considerando que a força de atrito entre o carro (com as rodas bloqueadas) e a estrada é dada por (em que é a componente do peso perpendicular à estrada e é um versor com a direcção e sentido da velocidade), determine: i) A componente da resultante das forças a que o carro está sujeito, após a travagem, na direcção da trajectória. ii) A distância que o carro percorre até se imobilizar completamente. b) i) Considerando a força de atrito dada na alínea a) qual o valor da inclinação da estrada para o qual os travões deixam de conseguir imobilizar o carro. ii) Para esse valor limite de inclinação (determinado em i), diga se o carro continuaria a acelerar indefinidamente ou se atingiria uma velocidade limite. E para valores de inclinação superiores a esse? Justifique claramente a sua resposta utilizando as expressões adequadas (não precisa de utilizar valores numéricos).

2 Problema 3 O planeta Marte tem uma massa de, um raio e uma distância (média) ao Sol,. A massa do Sol é Constante de gravitação universal a) i) Admitindo que a órbita de Marte é (aproximadamente) circular, estabeleça a relação entre a aceleração normal média no movimento orbital e o período correspondente a uma volta completa em torno do sol ano marciano. ii), Determine a duração do ano marciano. b) i) Determine o valor da aceleração da gravidade à superfície desse planeta. ii) Se um astronauta transportar consigo um relógio de pêndulo que funcione correctamente na Terra, quanto tempo (real) decorrerá em Marte enquanto os ponteiros de deslocam o correspondente a uma hora no mostrador. Problema 4 Num detector de raios X observa-se um pico correspondente a um máximo resultante da interferência construtiva entre raios provenientes planos cristalográficos paralelos espaçados de uma distância que pretendemos determinar (ver figura). a) i) Faça um esquema com base na figura apresentada e mostre que a relação entre o ângulo (ângulo de Bragg), o comprimento de onda da radiação incidente,, e a distância,, entre planos cristalográficos é dada por. Qual o significado do parâmetro nesta expressão? ii) O que podemos concluir sobre a distância entre planos cristalográficos de uma dada família se, para uma fonte de raios X com um comprimento de onda de, observarmos picos de Bragg para ângulos de. Admita, como hipótese (e verifique) que os três picos observados são compatíveis com a mesma família de planos (note que, como se pode concluir do esquema da figura, o ângulo entre o raio incidente e o raio difractado na condição de Bragg é o dobro do ângulo de Bragg ). b) Suponha que dispõe de um detector que lhe permite observar picos de difracção para ângulos entre e,, com uma fonte de raios X com o comprimento de onda dado na alínea a). Quais os valores máximo e mínimo de distância entre planos cristalográficos que é possível observar com esse detector (considere apenas picos de 1ª ordem)? Problema 5 Num acelerador de partículas um electrão colide com um positrão. No referencial do laboratório as duas partículas têm velocidades com o mesmo módulo, mesma direcção e sentidos contrários. a) i) Admitindo que as partículas tem velocidade de módulo idêntico, qual o valor mínimo desta velocidade para que da colisão possa resultar um par protão-antiprotão? ii) E qual a velocidade mínima para que possa resultar um par de fotões? (o fotão tem massa nula (mas momento linear não nulo!) e velocidade em qualquer referencial de inércia). Justifique claramente a sua resposta. b) i) Se o electrão e o positrão tiverem, cada um, uma energia de e no caso em que são produzidos dois fotões, qual o módulo do momento linear e a energia de cada um dos fotões no referencial do centro de massa do sistema inicial (positrão+electrão). ii) Porque é que não é fisicamente possível que o resultado final da colisão do par electrão-positrão seja um único fotão? (sugestão: lembre-se que a velocidade do fotão é igual a em qualquer referencial). ; ;

3 Problema 1 a) i) ii) ; ; b) i) ; ( ) (conservação da energia) ; ii) (conservação quantidade de movimento) - velocidade do conjunto dos dois skaters imediatamente após o choque (inelástico) Conservação da energia (considerando por simplicidade Problema a) i) ii) ( energia cinética no ponto em que o carro pára (0); energia cinética no ponto em que o carro começa a travar). ( é a distância percorrida pelo carro até parar).

4 A primeira parcela (no membro direito da equação) corresponde ao trabalho da força conservativa (componente do peso na direcção da trajetória) que é igual à variação da energia potencial (com sinal -), e a segunda parcela corresponde ao trabalho da força de atrito (não conservativa). Esta expressão pode ser interpretada muito simplesmente considerando que quando começa a travar o carro tem uma energia total e quando pára tem energia zero (arbitrando o valor da energia potencial gravítica pára. no ponto em que o carro O módulo da diferença entre estas duas energias (energia dissipada) corresponde ao módulo do trabalho da força de atrito Finalmente: b) i) A condição limite para que os travões deixem de conseguir imobilizar o carro é que a resultante das forças aplicadas (força de atrito mais componente do peso) seja nula, i.e.: ii) Utilizando a expressão da força total aplicada ao carro, verifica-se que para o valor de inclinação dado em i) o carro manteria a velocidade constante uma vez que a força aplicada total seria nula. Para valores de inclinação superiores (no primeiro quadrante) é crescente e é decrescente, logo a força de atrito seria sempre inferior à componente tangencial do peso, ou seja a força total seria positiva (no sentido da velocidade). Uma vez que a força de atrito, neste caso, não depende da velocidade, o carro continuaria sempre a acelerar. Problema 3 a) i) ii) b) i)

5 ii) Para o mesmo relógio de pêndulo teremos na Terra E em Marte O período de oscilação do pêndulo em Marte é 1,6 vezes mais longo do que na Terra. Logo quando o relógio em Marte marca a passagem de uma hora, esse tempo corresponderá a 1,6 horas (reais se o relógio marcar correctamente o tempo na Terra). Problema 4 a) i) A diferença de percurso entre dois raios refractados por planos adjacentes é dada por. Para que se observe interferência construtiva essa diferença de percurso deverá ser um múltiplo do comprimento de onda, ou seja: O parâmetro representa a ordem associada ao máximo de difracção, isto é, o índice inteiro da multiplicidade da diferença de percurso entre os raios difractados relativamente ao comprimento de onda (. Diferentes ordens corresponderão a diferentes valores do ângulo de Bragg,. ii) Admitindo por hipótese que se trata de picos de diferentes ordens correspondentes à mesma família de planos cristalográficos, temos: A hipótese verifica-se porque os valores obtidos para a distância entre planos são semelhantes para os picos das diferentes ordens. b)

6 Problema 5 a) i) Neste caso, o referencial do laboratório e o referencial do centro de massa coincidem uma vez que o electrão e o positrão têm a mesma massa e velocidades com o mesmo módulo e direcção e sentidos contrários no referencial do laboratório. Para que da colisão possa resultar um par protão antiprotão a energia nesse referencial (CM/Lab) terá que ter como valor mínimo o valor da energia de um protão e de um antiprotão ambos em repouso. Se for mo módulo da velocidade do electrão e do positrão teremos: Logo: ii) No caso de termos um par de fotões a energia mínima será zero uma vez que o fotão tem massa nula, i.e. se aplicarmos a expressão: ao fotão ( ) obtemos de imediato: Isto é, qualquer que seja o momento linear do electrão (e do positrão) no referencial do centro de massa (neste caso coincidente com o laboratório), um par de fotões, cada um com uma energia satisfaz simultaneamente a conservação da energia e do momento linear neste referencial (por mais pequena que seja a velocidade do electrão, i.e. mesmo que ). b) i) Tendo em conta a lei da conservação da energia, e considerando que o referencial do laboratório coincide com o referencial do centro de massa neste caso, o momento linear total do par de fotões será nulo, logo o módulo do momento linear de cada um dos fotões do par e consequentemente a energia serão idênticos logo: Obviamente, verifica-se a conservação do momento linear do sistema, uma vez que é nulo tanto para o par de fotões como para o par de electrões (referencial do CM). ii) Uma colisão de um electrão com um positrão (ou de qualquer par de partículas) não pode resultar num único fotão uma vez que no referencial do centro de massa das duas partículas o momento linear é nulo por definição e, portanto, nesse referencial, o momento linear do conjunto de partículas resultante da colisão terá que ser nulo. Ora, o fotão desloca-se à velocidade em qualquer referencial e portanto, um único fotão não poderá ter nunca um momento linear nulo de modo a satisfazer a conservação do momento linear.

7 . f T 1 dp F ma P mv T mv F dt W C F dr L d L L T U 0 qi dt q i L r i P i i I m R i i i F U N r i F i i Mm F G r e r dl dt TROT N L I 1 I