CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA

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1 1. Introdução. O Experimento de Michelson-Morley 3. Postulados da Relatividade Restrita 4. Transformações de Lorentz 5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial 6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos

2 1. INTRODUÇÃO Do que trata a Teoria da Relatividade? A Teoria da Relatividade estuda o comportamento de um sistema físico sob o ponto de vista de dois sistemas de referência inerciais: a) um sistema em repouso; b) um sistema em movimento retilíneo uniforme (velocidade constante) em relação ao primeiro.

3 1. INTRODUÇÃO Como é este comportamento na Mecânica Clássica? Na Mecânica Clássica as leis básicas da Mecânica assumem sua forma mais simples nos referenciais inerciais. Dois referenciais inerciais, um em repouso, outro se movendo com velocidade constante se relacionam através de Transformações de Galileu.

4 1. INTRODUÇÃO O que são as Transformações de Galileu? Se o referencial S se move em relação a S com velocidade constante V, e as origens O e O dos dois referenciais coincidem no instante t = 0, temos que: ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) x ' t = x t V t y ' t y t z ' t z t t ' = t O tempo é a grandeza absoluta!!!

5 1. INTRODUÇÃO Quais as conseqüências das Transformações de Galileu? 1) Composição de velocidades: dx ' d v ' = = ( x V t) v ' = v V dt dt ) Composição de acelerações: dv ' d a = = ( v V ) a = a dt dt '

6 1. INTRODUÇÃO Quais as conseqüências das Transformações de Galileu? 3) Igualdade nas forças: como as Transformações de Galileu não afetam as distâncias entre partículas nem as massas, elas também não afetam uma força que só dependa destas distâncias. F = m a F ' = m' a ' F = F ' Logo, a lei básica da Dinâmica ( a Lei de Newton) não se altera!!!

7 1. INTRODUÇÃO Principio de Relatividade da Mecânica de Galileu Não existe sistema de referência absoluto pelo qual todos os outros movimentos possam ser medidos. Assim, em um referencial inercial é impossível determinar se um corpo está em repouso ou em movimento e este corpo continua em movimento uniforme a menos que sofra ação de alguma força. À época de Galileu, experiências feitas sob convés de um navio com as escotilhas fechadas, mostraram que elas eram incapazes de serem distinguidas se o navio estivesse ancorado ou em MRU).

8 1. INTRODUÇÃO Principio de Relatividade da Mecânica de Galileu O Princípio da Relatividade de Galileu deixa de valer para referenciais não-inerciais. Nos referenciais não-inerciais aparecem efeitos detectáveis nas leis da Mecânica através das forças de inércia. Exemplos de forças de inércia: - força centrífuga; - forças de Coriolis.

9 1. INTRODUÇÃO Principio de Relatividade da Mecânica de Galileu - força centrífuga; - forças de Coriolis.

10 1. INTRODUÇÃO Como ficam as Equações de Maxwell perante o Principio de Relatividade de Galileu? Das leis da Eletrodinâmica temos que a luz se propaga, no vácuo, com velocidade c. Admitindo que isso vale num dado referencial inercial, e que valem as leis da Mecânica Clássica, temos que num outro referencial inercial em MRU em relação ao primeiro com velocidade V, a velocidade da luz neste referencial pela lei de composição de velocidades de Galileu, seria: c ' c V = c ' c

11 1. INTRODUÇÃO Como ficam as Equações de Maxwell perante o Principio de Relatividade de Galileu? c ' = c V c ' Isto significa que a velocidade da luz poderia variar com a direção de propagação), contradizendo o principio de relatividade no caso da Eletrodinâmica. Admitindo como verdadeiro o Princípio da Relatividade de Galileu, a validade das Equações de Maxwell estaria restrita então a um referencial inercial privilegiado, onde a velocidade da luz é c em todas as direções. c

12 Problema 1. INTRODUÇÃO Existe uma aparente ambigüidade entre as Leis de Newton e as Equações de Maxwell. Ambas não podem ser validas simultaneamente em qualquer referencial inercial. Apenas uma destas grandes teorias deve valer para qualquer tipo de referencial inercial. Qual delas?

13 1. Introdução. O Experimento de Michelson-Morley 3. Postulados da Relatividade Restrita 4. Transformações de Lorentz 5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial 6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos

14 Solução. O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY Será possível projetar um experimento no qual esta ambigüidade pudesse ser levantada? Deveria ser possível usar o movimento da Terra em relação ao éter juntamente com o Princípio de Galileu de composição de velocidades. A velocidade da luz na Terra relativa ao éter deveria ser diferente em direções diferentes. Numa série de experiências realizadas entre 1881 e 1887, Michelson e Morley procuraram detectar esses desvios (muito pequenos) usando o interferômetro de Michelson.

15 . O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY O Experimento

16 . O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY O Resultado Esperado pelo Princípio de Galileu Cálculo da variação da fase das franjas de interferência com o interferômetro posicionado em duas direções ortogonais entre si. ( l l ) 1 1 δ = λ v 1 v 1 c c 1 + l 1 e l comprimento dos braços do interferômetro. λ comprimento de onda da luz utilizada (luz de lâmpada de Na). v velocidade de translação da Terra em relação ao éter.

17 . O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY O Resultado Esperado pelo Princípio de Galileu Aproximação devido a v << c: δ ( ) l1 + l v = λ c l 1 = l = 11 m. δ PG = λ = 560 nm. v/c = δ EXP = 0 0,4 À época, a precisão experimental para esta medida era 0,01, logo a variação de fase das franjas era possível de ser detectada.

18 . O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY Conclusões do Experimento A experiência foi repetida muitas vezes, com diferentes orientações da montagem. Deste experimento concluímos que a velocidade da luz é constante e que a hipótese de um éter estacionário estava incorreta. Assim as Equações de Maxwell são corretas e nesse caso a mecânica newtoniana e as Transformações de Galileu não podem estar corretas.

19 1. Introdução. O Experimento de Michelson-Morley 3. Postulados da Relatividade Restrita 4. Transformações de Lorentz 5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial 6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos

20 3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA O que fazer então diante deste fato experimental? Primeiro passo: formular princípios que estejam de acordo com os resultados experimentais. Postulados da Relatividade Restrita: 1. As leis físicas são as mesmas em todos os referenciais inerciais.. A velocidade da luz no vácuo é a mesma em todos os referenciais inerciais e é independente da velocidade da fonte.

21 3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA Conseqüências dos Postulados da Relatividade Restrita Esses dois princípios, porém, são incompatíveis com a mecânica newtoniana tornando necessário modificá-la. As modificações necessárias, tomando os dois postulados como pontos de partida, foram propostas por Albert Einstein em 1905.

22 3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA Simultaneidade

23 3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA Simultaneidade Se um evento 1 ocorre em P 1 no instante t 1, sendo marcado pela emissão de um sinal luminoso que parte de P 1 nesse instante, e o mesmo vale para P em t (evento ), dizemos que eles são simultâneos (t 1 = t ) quanto o ponto de encontro dos dois sinais luminosos é o ponto médio do segmento P 1 P.

24 3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA Simultaneidade Essa definição implica imediatamente que a simultaneidade de eventos distantes não tem caráter absoluto. Dois eventos simultâneos num particular referencial S podem não ser simultâneos noutro referencial inercial S que se move em relação a S com MRU.

25 1. Introdução. O Experimento de Michelson-Morley 3. Postulados da Relatividade Restrita 4. Transformações de Lorentz 5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial 6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos

26 4. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ Se a Transformação de Galileu não é mais válida, qual deve ser a transformação correta entre dois sistemas de referência inerciais? A transformação correta deve satisfazer: a) o conceito de simultaneidade de Einstein; b) um MRU em ralação a S também deve ser MRU em relação a S ; c) para V = 0 a transformação deve reduzir-se à identidade;

27 4. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ d) Se um sinal luminoso é enviado de O = O no tempo t = t = 0, a sua frente de onda deve propagar-se com velocidade c em ambos os referenciais, de modo que: x + y + z c t = 0 x ' + y ' + z ' c t ' = 0 e) Essa é uma transformação necessariamente linear.

28 4. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ Relações Matemáticas x' = γ ( x Vt) t' = t y' = y c v x γ V = 1 ( ) V 1 c z' = z

29 4. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ Relações Matemáticas A transformação inversa é obtida substituindo V por V, isto é, S se move em relação a S com velocidade V. x = γ ( x' + Vt' ) v t = t' + c y = y' z = z' x' t t O tempo não é mais absoluto, depende do referencial!!! '

30 1. Introdução. O Experimento de Michelson-Morley 3. Postulados da Relatividade Restrita 4. Transformações de Lorentz 5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial 6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos

31 5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL Quais são os efeitos cinemáticos das Transformações de Lorentz? 1) Dilatação Temporal: dois observadores, um em repouso e outro em um referencial em MRU medem o tempo de forma diferente!!! c. t v. t d t = M D c D 1 tj = c v 1 c

32 5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL 1) Dilatação Temporal t = γ t J M γ = 1 1 v c t γ t J M

33 5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL ) Contração Espacial: dois observadores, um em repouso e outro em um referencial em MRU medem comprimentos de forma diferente!!! L = L 1 V c 0 L L 0

34 A velocidade instantânea v (t ) do corpo em S tem as componentes dadas por: dx' dy' dz' v' x = v' y = v' z = dt' dt' dt' v x = 5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL Como fica a composição de velocidades com as Transformações de Lorentz? A velocidade instantânea v(t) do corpo em S tem as componentes dadas por: dx dt v y = dy dt v z = dz dt

35 5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL Como fica a composição de velocidades com as Transformações de Lorentz? As coordenadas x (t ), y (t ) e z (t ) estão relacionadas com as coordenadas x(t), y(t) e z(t) através da Transformação de Lorentz. ( ) dx ' = γ dx V dt v dt ' = γ dt dx c dy ' = dy dz ' = dz

36 CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL Como fica a composição de velocidades com as Transformações de Lorentz? Obtemos então: ' 1 x x x v V v v V c = ' 1 y y x v v v V c γ = ' 1 z z x v v v V c γ =

37 1. Introdução. O Experimento de Michelson-Morley 3. Postulados da Relatividade Restrita 4. Transformações de Lorentz 5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial 6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos

38 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS Quais são os efeitos dinâmicos das Transformações de Lorentz? Após substituir a cinemática newtoniana era preciso reformular a dinâmica newtoniana para que fosse compatível com a nova cinemática. Na mecânica newtoniana, admitem-se forças de interação entre partículas que ficam inteiramente determinadas pelas suas posições instantâneas, tais como a gravitação, dada pela lei de Newton da gravitação universal.

39 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS Quais são os efeitos dinâmicos das Transformações de Lorentz? Tais forças são inadmissíveis na mecânica relativística: o conceito de posições simultâneas das partículas de um sistema depende do referencial, e a velocidade limite de propagação das interações é c. Podemos admitir as forças eletromagnéticas cuja formulação é compatível com a relatividade, pois a velocidade de propagação no vácuo das interações eletromagnéticas é c.

40 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS Quais são os efeitos dinâmicos das Transformações de Lorentz? Um outro tipo de interação que podemos admitir são forças de contato que atuam apenas quanto duas partículas entram em contato numa colisão. Estas forças podem ser idealizadas como atuando apenas no instante e no ponto de contato, sendo portanto compatíveis com a relatividade.

41 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS O momento linear relativístico Na mecânica relativística o momento é da mesma forma proporcional a velocidade do corpo v e da sua massa m. Mas a massa m apesar de continuar sendo um escalar, não é mais necessariamente invariável, e pode depender da velocidade do corpo. p( v) = m( v) v

42 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS A massa relativística É possível mostrar que: m( v) = m 1 0 v c m 0 é a massa de repouso do corpo, quando sua velocidade é nula.

43 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS A massa relativística m( v) = m 0 v 1 c

44 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS O momento linear relativístico No limite de baixas velocidades, devemos obter a mecânica não-relativística (newtoniana), em que m representa a massa da partícula. Logo, m 0 é a massa de repouso, e a expressão relativística do momento deve ser dada por: m v 0 p = m( v) v = = m 0 v v 1 c γ

45 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS A energia relativística A partir do Teorema Trabalho-Energia é mostrar que: possível m c 0 E = = m 0 c v 1 c

46 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS A energia relativística Por sua vez, mesmo na Relatividade Restrita, a energia cinética de um corpo deve se anular quando sua velocidade é nula. Assim, temos que: T m c 1 = 0 v 1 c 1

47 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS Relação entre momento linear e energia Uma simples manipulação de equações nos leva a: 4 E = m c + p c No caso do fóton (luz), quando m = 0, temos que: E = p c

48 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS Velocidades de alguns feixes em aceleradores AGS/BNL SPS / CERN Tevatron / Fermilab RHIC / BNL LHC / CERN Pelletron Momento máximo que um próton pode ser acelerado: 11,6 Gev/c 450 Gev/c 3000Gev/c 100 Gev/c 1,5 Gev/c 0,016 Gev/c ,83 0,016

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