Teoria da Relatividade Restrita (1905) Parte III. Física Geral IV - FIS503

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1 Teoria da Relatividade Restrita (1905) Parte III Física Geral IV - FIS503 1

2 Nesta aula: Efeito Doppler da Luz Momento Relativístico Energia Relativística

3 Efeito Doppler do Som É a mudança na frequência da onda devida ao movimento relativo entre a fonte e observador. A variação na frequência da onda é notada, pois a altura do som muda.

4 O efeito Doppler da luz No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações em que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector, podem ter velocidades relativas a esse. Já para a luz, que se propaga no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o detector. λv Fonte v λa Detector 4

5 O efeito Doppler da luz No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações em que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector, podem ter velocidades relativas a esse. Já para a luz, que se propaga no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o detector. Detector λv Fonte v λa 5

6 As transformações de Lorentz P = ( x, y, z, t ) P = ( x, y, z, t ) y y v = v xˆ z O x Frentes de ondas esféricas x O' z E ( x, t ) = E 0 s in ( k x ω t ) E ( x, t ) = E 0 s in ( k x ω t ) 6

7 O efeito Doppler da luz Se o observador O, em S, descreve o campo E ( x, t ) = E 0 s in ( k x ω t ) de uma onda eletromagnética, o observador O, em S, deverá observar E ( x, t ) = E 0 s in ( k x ω t ). Pelo princípio da relatividade, devemos ter invariância de fase: k x ω t = k x ω t Então, usando que: x' = γ (x vt) e v t ' = γ (t x) c podemos mostrar que: k = γ k ' (1+ β ) e ω = γ ω ' (1+ β ) 7

8 O efeito Doppler da luz k = γ k ' (1+ β ) e ω = γ ω ' (1+ β ) Mas: ω ω c= = ; k k 1 β f = f 1+ β v ;β = c c f = λ λ, f Fonte v 8

9 As transformações de Lorentz P = ( x, y, z, t ) P = ( x, y, z, t ) y y v = v xˆ O x z z Frentes de ondas esféricas x O 1 β f = f 1+ β 9

10 O efeito Doppler da luz 1 β f = f 1+ β λ, f Fonte v f é medida em um referencial onde a fonte está em repouso. Chamaremos esta frequência de f0. f é medida em um referencial onde a fonte está em movimento. Chamaremos esta frequência de fobs. 10

11 O efeito Doppler da luz fobs = f0 1 β 1+ β λ, f Fonte v Esta expressão é válida no caso do observador ( f = fobs) e a fonte ( f = f0) estarem se afastando (β > 0). 11

12 O efeito Doppler da luz fobs = f0 1 β 1+ β Fonte v λ, f Esta expressão também é válida no caso do observador (f = fobs) e a fonte ( f = f0 ) estarem se aproximando. Mas neste caso, β < 0 (β = -v/c). 1

13 O efeito Doppler da luz Fonte k; f 0 Caso o movimento relativo não seja na direção de propagação: θ Observador k 'θ ; f 'obs f0 = γ fobs (1+ β cosθ ) Se θ = π Doppler transverso. fobs(90 ) = f0 1 β 13

14 O efeito Doppler da luz Se θ = π Doppler transverso fobs(90 ) = f0 1 β Note que neste caso, não há movimento relaavo entre a fonte e o observador na direção transversal. Por que então ocorre o efeito Doppler? Lembrando que 1 f= T 14

15 O efeito Doppler da luz Lembrando que 1 f= T Temos: 1 T0 = 1 β Tobs(90º) = Tobs(90º) T0 1 β 1 Tobs(90º) = γ T0 15

16 O efeito Doppler na Astronomia Vamos supor que uma estrela se afasta da Terra com uma velocidade relativamente pequena,. Neste caso temos: fobs = f0 1 β 1 β = f0 f0 (1 β ) 1+ β 1+ β Em termos dos comprimentos de onda, temos: c c v = 1 λ obs λ0 c Temos então: λobs λ0 Δλ v= c= c λobs λobs Δλ v= c λobs

17 O efeito Doppler para a luz fobs f0 (1 β ) Na astronomia, velocidade radial pequena: λobs λ0 Δλ v= c= c λobs λobs Deslocamento Doppler Se a estrela estiver se afastando ( v > 0 ) temos λobs > λ0 v Deslocamento da luz para o vermelho v Se a estrela estiver se aproximando (v < 0) teremos λobs< λ0 Deslocamento da luz para o azul 17

18 Observações experimentais e suas implicações para a Cosmologia: Em 199, Edwin Hubble propôs que o desvio para o vermelho observado para as linhas espectrais originadas de átomos de cálcio de galáxias distantes era devido ao efeito Doppler: as galáxias estariam se afastando de nós. 18

19 Observações experimentais e suas implicações para a Cosmologia: É possível medir a velocidade de recessão V de várias galáxias. Hubble encontrou V = H0 r, com H0 sendo a constante de Hubble = 71 ± 4 km/s/mpc. Esta é a primeira evidência experimental da expansão do Universo 19

20 Cosmologia: expansão acelerada do Universo hvp:// 0

21 Prob. : Uma espaçonave está se afastando da Terra a uma velocidade de 0,0c. Uma fonte luminosa na popa da nave parece azul ( λ= 450 nm) para os passageiros. Determine: (a) o comprimento de onda e (b) a cor (azul, verde, amarela...) da luz emitida pela nave, do ponto de vista de um observador terrestre. v = 0,0c 1

22 Dinâmica relativística Na Mecânica Newtoniana temos dp F= dt, onde o momento linear é definido por: F =0 p = mv p = co nst. Procuramos um análogo relativístico desta expressão que tenha as seguintes propriedades: a) O momento relativístico deve ser conservado em sistemas isolados, assim como na Mecânica Newtoniana. b) A expressão obtida deve se reduzir à forma newtoniana no limite.

23 Dinâmica relativística Colisão das partículas a e b, de mesma massa, no referencial S. Vamos definir o referencial S como aquele em que o momento total seja nulo (Ref. Centro de Momento=RCM). p = const. ( depois ) Se F ext = 0 vb y vb ( antes ) ( antes ) ( antes ) m v a m v = + b ( depois ) ( depois ) m va + m v b S x va ( antes ) va (depois ) 3

24 Momento linear relativístico Usando a fórmula para a transformação de Lorentz das velocidades: dx u x + v ux = = dt 1 + v u x c (1 β ) u z dz uz = = v u x dt 1+ c β ( 1 ) u y dy uy = = v u x dt 1+ c... podemos escrever as componentes das velocidades no referencial S, que se move em relação a S com velocidade constante, -v, ao longo do eixo x... 4

25 Momento linear relativístico p = mv Ø não fornece uma expressão tal que o momento linear total seja conservado na colisão. 5

26 Momento linear relativístico Mas, pode-se mostrar que o momento total será uma quantidade conservada se definirmos: p = γ mv = mv 1 v / c A força é, então, dada por: dp d F = = (mγ v) dt dt 6

27 Energia relativística (Supondo Epotencial = 0 ) A taxa de variação temporal da energia cinética de uma partícula continua sendo dada por: dk dr = F v = F dt dt SubsAtuindo dp d F = = (mγ v) e integrando em K, temos: dt dt K = (γ 1)mc 7

28 Energia relativística Energia Cinética: (Supondo Epotencial = 0 ) K = (γ 1)mc então: Energia Total: K + mc = γ mc E = γ mc Energia de repouso: E0 = mc

29 Relação energia-momento linear 4 E =m c +p c Se m0 = 0 E = pc Portanto, a radiação eletromagnética transporta um momento linear Δ p = Δ U / c Podemos imaginá-la como composta por corpúsculos de massa zero ( fótons ), como veremos mais adiante.

30 Transporte de momento linear: Pressão de radiação ΔU ˆ p= k c Momento linear transferido para um objeto em que incide a radiação ΔU k Δpabs = c ΔU Δprefl = k c p no caso de absorção total da radiação no caso de reflexão total da radiação (colisão elástica) p kˆ p Obs.: Δprefletido = ( p ) ( p ) = p = Δptransferido 30

31 Prob. 1: Qual deve ser o momento linear de uma partícula, de massa m, para que a energia total da partícula seja 3 vezes maior que a sua energia de repouso? Prob. : Uma certa partícula de massa m tem um momento linear cujo módulo vale mc. Determine o valor: (a) de β ; (b) de γ ; (c) da razão entre sua energia cinética e energia de repouso.. 31