UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Escola de Engenharia de Lorena EEL

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Esola de Engenharia de Lorena EEL LOB0 - FÍSICA IV Prof. Dr. Dural Rodrigues Junior Departamento de Engenharia de Materiais (DEMAR Esola de Engenharia de Lorena (EEL Uniersidade de São Paulo (USP Polo Urbo-Industrial, Gleba AI-6 - Lorena, SP dural@demar.eel.usp.br ou (Página dos professores Rodoia Itajubá-Lorena, Km 74,5 - Caia Postal 6 CEP Lorena - SP Fa ( Tel. (Direto ( / USP Lorena Polo Urbo-Industrial Gleba AI-6 - Caia Postal 6 CEP Lorena - SP Fa ( Tel. (PABX (

2 UNIDADE 7 (Parte b - Teoria da Relatiidade Restrita II

3 OPCIONAL ESTUDE SE TIVER INTERESSE NO ASSUNTO. NÃO SERÁ PEDIDO EM AVALIAÇÕES.

4 As transformações de Lorentz Antes de Einstein os físios supunham que as oordenadas espaiais e temporais estiessem relaionadas segundo a transformação de Galileu: t t t d dt d dt S, S S S

5 As transformações de Lorentz O espaço e o tempo em diferentes refereniais deem sofrer modifiações para que a luz se propague om a mesma eloidade,, em todos eles. Se um sinal luminoso é emitido em OO 0 em tt 0, a sua frente de onda dee se propagar om a mesma eloidade,, em ambos os refereniais. Portanto, deemos ter:

6 As transformações de Lorentz P (, y, z, t y y P (, y, z, t z O z O r ˆ Frentes de ondas esférias

7 As transformações de Lorentz Para que se tenha frentes de ondas esférias, om eloidade, nos dois sistemas de oordenadas, pode-se demonstrar que as medidas de tempo e espaço nos dois sistemas de oordenadas deem satisfazer as Transformações de Lorentz: γ ( t ; y y ; z z t γ ( t Para << temos γ e a transformação de Lorentz reduz-se à transformação de Galileu. A transformação pode ser inertida se troarmos o sinal de e os índies linha: γ ( + t ; t γ ( t +

8 As transformações de Lorentz Se, no referenial S, dois eentos estão separados por uma diferença de oordenada ; e oorrem em dois instantes de tempo separados por, no referenial S teremos: Δ γ ( Δ Δt ; Δt γ ( Δt Δ Vemos que as noções de espaço e tempo, omo entes independentes, não têm mais sentido; o que temos é um ente únio: o espaço-tempo. Podemos também inerter as transformações aima: Δ γ ( Δ + Δt ; Δt γ ( Δt + Δ

9 As transformações de Lorentz Simultaneidade Se dois eentos oorrem no mesmo instante no sistema S, mas em pontos distantes, temos: S : Δt' 0 e Δ' 0 S : Δt γ ( Δt + Δ Δt γ Δ Eentos simultâneos em S não são simultâneos em S, se oorrem em pontos distintos.

10 As transformações de Lorentz Dilatação do tempo Vamos supor que dois eentos oorram no mesmo loal em S, mas em tempos diferentes, então: S : Δ' 0 e Δt' 0 S : Δt γ ( Δt + Δ Δt γ Δt Δt' Δt 0 (Este é o eemplo do relógio de luz, onde, o interalo de tempo próprio.

11 As transformações de Lorentz Contração das distânias Se uma régua está em repouso no sistema S o seu omprimento próprio é L 0. No sistema S a régua passa om uma eloidade, e o seu omprimento é determinado pela posição dos seus dois etremos num mesmo instante, então: Δt 0 Δ γ ( Δ Δt Δ' L Δ 0 γ γ

12 As transformações de Lorentz Vimos, no eemplo dos múons, que estes hegam a Terra om 0,998. Logo, no seu referenial, os 0,4 km perorridos na atmosfera (no referenial da Terra são istos omo: Esta é justamente a distânia que o múon é apaz de perorrer, em seu referenial, antes de deair:

13 As transformações de Lorentz Se, no referenial S, dois eentos estão separados por uma diferença de oordenada ; e oorrem em dois instantes de tempo separados por, no referenial S teremos: Δ γ ( Δ Δt Δt γ ( Δt Δ Vemos que as noções de espaço e tempo, omo entes independentes, não têm mais sentido; o que temos é um ente únio: o espaço-tempo. Podemos também inerter as transformações aima: ( + Δt Δ γ Δ Δt γ ( Δt + Δ

14 A relatiidade das eloidades Vimos que: dt γ ( dt d Δ γ ( Δ Δt Δt γ ( Δt Δ Portanto: d ( d dt γ Logo: u d dt u u Na transformação lássia de Galileu teríamos ( << : u d dt u

15 A relatiidade das eloidades Podemos ainda deduzir epressões para as eloidades nos outros eios: u y dy dt ( β u u y dz dt ( β u u As transformações podem ser inertidas, troando-se os índies linha e por. Então, se u + u teremos: u u + A transformação estará oerente om o fato da eloidade da luz ser a mesma em todos os refereniais, e que nenhuma eloidade pode eedê-la. u z z

16 Prob. 3: Uma espaçonae ujo omprimento próprio é 350 m está se moendo om uma eloidade de 0,8 em um erto referenial. Um mirometeorito, também om eloidade de 0,8 neste referenial, ruza om a espaçonae iajando na direção oposta. Quanto tempo o mirometeorito lea para passar pela espaçonae, do ponto de ista de um obserador a bordo da espaçonae? y L m 0,8 Veloidade do meteorito em relação à nae: u Δt u u L0 350 m 0 8,94 0 m/s S,9 μs L 0,64 0, 98 ( + (0,8 + 8,94 0 m/s

17 O efeito Doppler da luz No efeito Doppler do som é neessário distinguir as situações em que ele é ausado pelo moimento da fonte ou do obserador. Isto, porque o som propaga-se no ar, e ambos podem ter eloidades relatias a este. Já para a luz, que propaga-se no áuo, importa apenas a eloidade relatia entre a fonte e obserador.

18 O efeito Doppler da luz Se o obserador O em S desree uma onda eletromagnétia pela epressão sin( k ωt o obserador O em S deerá obserar sin( k ω t e, pelo prinípio da relatiidade, deemos ter k ωt k ω t Então, usando que podemos mostrar que: ω k k γ ( + t e t γ ( t + ω γ ω k γ e (

19 O efeito Doppler da luz Mas, omo: ω ω k k ω γ ω β k γ k( β e ( f f β + β Esta epressão é álida no aso do obserador e a fonte estarem se afastando. Se estierem se aproimando deemos troar por.

20 O efeito Doppler da luz Caso o moimento r relatio não seja na direção de propagação θ k r ω γ ω β osθ ( π Se θ, Doppler transerso. Note que aqui o objeto em moimento emite radiação om freqüênia onheida ω ω 0 β ω ω 0

21 O efeito Doppler na astronomia Vamos supor que uma estrela se afasta da Terra om uma eloidade relatiamente pequena,. Neste aso temos: Em termos dos omprimentos de onda, temos: Logo, sendo > 0 temos Se a estrela estier se aproimando ( < 0 teremos λ < λ 0 Desloamento da luz para o ermelho Desloamento da luz para o azul

22 Prob. 4: Uma espaçonae está se afastando da Terra a uma eloidade de 0,0. Uma fonte luminosa na popa da nae paree azul (λ 450 nm para os passageiros. Determine: (a o omprimento de onda e (b a or (azul, erde, amarela... da luz emitida pela nae, do ponto de ista de um obserador terrestre. Efeito Doppler da luz (se afastando: 0,0 a f λ λ f + β β β + β / 450 nm β λ λ + β, 0,8 / / 55nm b Luz "erde-amarelada":

23 Dinâmia relatiístia Colisão das partíulas a e b, de mesma massa, no referenial S. Por eemplo, o referenial do C.M. das partíulas y S r F et r 0 p onst. (depois r b m r (antes + m r (antes a b (antes r b (depois m r a + (depois m r b (antes r a (depois r a

24 Momento linear relatiístio Usando a fórmula para a transformação de Lorentz das eloidades: u d u + dt u + u dz ( β z dt u + u z u dy ( β y dt u + u y... podemos esreer as omponentes das eloidades no referenial S, que se moe em relação a S om eloidade onstante, -, ao longo do eio...

25 y antes by y antes ay antes b antes a Momento linear relatiístio / ( / ( / ( / ( depois b depois a antes b antes a y depois by y depois ay depois b depois a / ( / ( / ( / ( y depois by y depois ay y antes by y antes ay + + β β β β y S ( antes b r ( depois b r ( depois a r ( antes a r transformação de Lorentz das eloidades

26 Momento linear relatiístio r p r m não nos fornee uma epressão para o momento linear que seja inariante pelas transformações de Lorentz.

27 Colisões relatiístias Efeito Compton (será estudado no Cap. 38 p 0 θ p 3 E E p m 0 ( p 4? r p r r r + p p3 + p4 E + E E3 + E4