Óptica. Velocidade da luz

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1 Óptia Veloidade da luz

2 Óptia» Veloidade da luz 1 Introdução Ao inidir sobre um determinado meio, a luz tende a se propagar. No entanto, ao atingir materiais omo os metais, por exemplo, a luz se propaga muito pouo. Em um bom número de meios, espeialmente através de líquidos e gases, ela onsegue viajar. A veloidade om que a luz se propaga depende do meio material. É assim que a luz se propaga na água a uma veloidade menor do que no ar. A veloidade máxima de propagação da luz oorre em um meio do qual extraímos toda a matéria. Tal meio é o que denominamos váuo. Por exemplo, podemos onsiderar váuo o meio entre a Terra e o Sol ou entre a Terra e as estrelas. A relação entre a veloidade da luz em determinado meio e a veloidade da luz no váuo é dada por: V = n ( 1 ) Em que é a veloidade da luz no váuo e n é o índie de refração do meio. O índie de refração no váuo é igual a 1. O valor da veloidade da luz no váuo é: = m/s ( ) Figura 1: A luz demora era de oito segundos para viajar do Sol até a Terra.

3 Óptia» Veloidade da luz São muitas as questões envolvendo a veloidade da luz. As mais simples são aquelas envolvendo sua determinação. Nesse ontexto, surgem duas questões: a determinação experimental e a determinação teória da veloidade da luz. No entanto, essa questão susita problemas fundamentais para a Físia, bem omo para toda a iênia. Conquanto não pareça à primeira vista, o fato é que a veloidade da luz desempenha uma papel entral na teoria da relatividade. Duas questões fundamentais emergem dessa teoria: 1. A veloidade da luz no váuo é a veloidade limite;. A veloidade da luz tem um aráter absoluto. Finalmente, é importante apontar para o fato de a veloidade da luz ser uma onstante tida omo fundamental da físia, assim omo, por exemplo, a onstante de Plank (h), a arga elétria do elétron e a onstante da gravitação universal de Newton. Esses quatro aspetos serão analisados a seguir. Determinação experimental da veloidade da luz Qual é o valor da veloidade da luz? Muitos, omo Desartes e Kepler, areditavam que ela seria infinita. A suspeita de que a luz teria uma veloidade finita omeçou om Galileu. Em 1638, Galileu propôs uma experiênia para tirar essa dúvida: bastariam dois observadores portando duas lanternas obertas e loalizados a uma distânia onheida. Ele sugeriu que se poderia medir a veloidade da luz da seguinte forma: o primeiro observador desobria sua lanterna; a luz se propagaria até o segundo observador. Nesse instante, este também desobria sua lanterna. Observando-se o intervalo de tempo deorrido desde quando a luz partiu da primeira lanterna até o instante em que a luz da segunda lanterna atingisse o primeiro observador, teríamos omo medir a veloidade da luz. É um método baseado no tempo de voo. Basiamente, nesse método substituímos o segundo observador om sua lanterna por um espelho que faz a luz retornar. Para lanternas a quilômetros de distânia não foi possível deidir sobre a veloidade da luz por meio de experiênias levadas a abo em Ole Römer ( ) foi o primeiro a verifiar que a veloidade da luz é finita e sugeriu uma forma de determinar sua veloidade através da medida do intervalo entre elipses da lua Io de Júpiter. Io se move pratiamente no mesmo plano que o planeta Júpiter se move em torno do Sol. O interesse de Romer era determinar o intervalo de tempo entre a entrada de Io na região de sombra de Júpiter e o instante em que ela saía dessa região de sombra.

4 Óptia» Veloidade da luz 3 Usando um telesópio, Romer observou que quando a Terra está mais próxima de Júpiter, o intervalo de tempo neessário para a lua de Júpiter passar por trás do mesmo é de 4,5 horas nessas irunstânias. Observou, no entanto, que esse intervalo de tempo aumentava à medida que a Terra se afastava de Júpiter. Isso foi orretamente interpretado por ele omo sendo devido ao tempo extra neessário para a luz obrir uma distânia extra, distânia essa assoiada ao afastamento dos planetas. Pode oorrer igualmente a aproximação. Assim, se o elipse durar um intervalo T 0 depois de Júpiter se afastar uma distânia d, o novo intervalo será dado por uma das seguintes possibilidades: T T = 0 d ( 3 ) Nesse aso, os planetas estão se afastando. A determinação de d e dos tempos permite determinar. No aso em que eles se aproximam, temos: T 0 T = d ( 4 ) A medida pode fiar mais aurada se tomada nos instantes em que a distânia for máxima. Idealmente 6 meses depois da primeira, quando se tem a maior distânia possível. Com base nessas observações, Romer onluiu que a veloidade da luz seria de,310 8 m/s. Existem dois métodos astronômios para a determinação da veloidade de luz: o primeiro é aquele utilizado por Romer; o outro método é fazer uso da aberração estrelar. Figura Figura 3: O método experimental utilizado por Romer.

5 Óptia» Veloidade da luz 4 Aberração Estelar O fenômeno da aberração foi desoberto por Bradley no iníio do séulo 18. A partir de 175, James Bradley passou a efetuar observações relativamente preisas da variação (nesse aso aparente) da posição das estrelas ao longo das estações do ano. Notou que as estrelas, em geral, tinham posições perorrendo uma órbita elíptia. Dá-se a esse fenômeno o nome de aberração da luz estrelar. O máximo de aberração que oorre em estrelas loalizadas no Zênite é dado por a b tan α= v T ( 5 ) onde v T é a veloidade de translação da Terra em torno do Sol ( m/s). O ângulo da aberração α, no aso das estrelas loalizadas numa direção perpendiular ao movimento da Terra, é de aproximadamente 10 4 rad. Este é o ângulo que devemos inlinar o tubo do telesópio de forma a observar a estrela. Isso porque num erto intervalo de tempo dt, a luz perorre uma distânia dt, enquanto o telesópio se desloa a uma distânia v T dt. É omo querer aptar um perigo de huva em um arro em movimento. A partir da determinação do ângulo da aberração estelar e da veloidade de desloamento, podemos determinar a veloidade da luz. Outros métodos empregados na determinação de Figura 4 Em 1849, H. Fizeau efetuou a primeira medida da veloidade da luz utilizando métodos terrestres, tendo sido preursor do que lassifiamos hoje omo método do tempo de voo. O método do tempo de voo é determinado a partir do tempo neessário para a luz viajar até um espelho loalizado a uma grande distânia (8 quilômetros ou mesmo 30 quilômetros) e depois efetuar o perurso de volta. Apresentamos a seguir duas versões desse método. A primeira versão é aquela utilizada por Fizeau. Ela pode ser entendida a partir do esquema apresentado na Figura 00. Utilizamos um feixe de luz que se propaga até erto ponto onde se enontra um espelho que reflete a luz, de forma a voltar por um perurso idêntio ao da ida. Tanto no perurso de ida quanto no de volta, existe uma roda dentada que é oloada para girar a uma frequênia F (número de voltas por segundo). O feixe passa por uma das aberturas entre os dentes. No entanto, só onseguirá passar de volta pela abertura dos próximos dentes para

6 Óptia» Veloidade da luz 5 valores espeífios da frequênia (F), do número de dentes (N), da distânia até o espelho (L) e da veloidade da luz. Figura 5 Em função dos dados aima, a veloidade da luz é dada pela expressão: = 4Lf N ( 6 ) Em sua experiênia pioneira, Fizeau utilizou uma roda dentada om 70 dentes, que girava a 1,5 voltas por segundo, e o espelho se loalizava a uma distânia L = Conlui-se daí que a veloidade da luz seria de Km/s. Uma segunda versão do método de tempo de voo é aquele que substitui a roda dentada por um espelho girante (vide Figura 00). Nesse método, sugerido por Arago e utilizado por Fizeau e Fouault em 1850, determina-se a veloidade da luz em função do desloamento da imagem resultando da rotação do espelho girante. Figura 6

7 Óptia» Veloidade da luz 6 A determinação da frequênia e do omprimento de onda da radiação eletromagnétia nos ressonadores de avidade leva à determinação bastante preisa da veloidade da luz. Outro método utilizado na determinação da veloidade da luz é baseado na interferometria. Nesse método, empregamos um feixe de luz em uma frequênia bem determinada (v). Em seguida, o feixe é dividido em dois, perseguindo trajetórias distintas. No momento posterior, eles são reombinados. As diferenças de aminho óptio dos dois feixes levarão a um determinado padrão de interferênia, por meio do qual podemos inferir o omprimento de ondas. Para isso, é preiso determinar o omprimento de ada um dos dois aminhos. Observe-se que uma diferença do omprimento de um quarto do omprimento de onda leva de um padrão de interferênia onstrutiva a um padrão de interferênia destrutiva (vide Figura 00). Determinação teória da veloidade da luz Levando-se em onta a existênia da orrente de desloamento, pode-se demonstrar, a partir de manipulações não muito omplexas, que as equações de Maxwell no espaço podem ser esritas sob a forma: Figura 7: An interferometri determination of length. Left: onstrutive interferene; Right: destrutive interferene. + + Exyzt (,,, ) Exyzt (,,,) Exyzt (,,, ) E ( xyzt,,,) = µε x y z t H ( x, yzt,, ) H( x, yzt,,) H( x, yzt,, + + ) H( x, yzt,,) = µε x y z t ( 7 )

8 Óptia» Veloidade da luz 7 Portanto, os ampos elétrio e magnétio podem se propagar omo ondas no espaço. Os ampos são os omponentes da onda. A razão para a sua propagação, mesmo no váuo, tem a ver om o fenômeno da indução no eletromagnetismo. Um ampo elétrio variando om o tempo induz um ampo magnétio variando om o tempo. Esse último, por sua vez, induz um ampo elétrio que varia om o tempo e assim suessivamente. Tais ondas reebem o nome de ondas eletromagnétias. Sua veloidade de propagação é dada por: v = 1 εµ ( 8 ) em que µ e ε estão assoiadas a propriedades magnétias (µ) e elétrias (ε) do meio. São as onstantes denominadas permeabilidade magnétia e permitividade elétria do meio. As ondas eletromagnétias têm, portanto, uma veloidade de propagação que depende das propriedades eletromagnétias do meio. Para um meio no qual a magnetização é nula, obtemos: em que k é a onstante dielétria do meio. Daí inferimos que v 1 = = k εµ 0 0 n ( 9 ) k = n ; ( 10 ) e que: Ou seja, a teoria de Maxwell explia teoriamente o valor da veloidade da luz para qualquer meio material, inlusive o váuo. = 1 εµ 0 0 ( 11 ) O aráter absoluto da veloidade da luz A veloidade da luz tem um papel entral no desenvolvimento da teoria da relatividade de Einstein. Seu omportamento é bastante surpreendente, pois tem a mesma veloidade independentemente do estado de movimento do observador. Ao que se saiba esse é um aso únio. E isso se torna

9 Óptia» Veloidade da luz 8 verdade se, de fato, o fóton for a únia partíula aessível ( do ponto de vista experimental) dotada de massa zero. Para entendermos seu papel na formulação da teoria da relatividade espeial, imaginemos dois sistemas de referênia (podemos imaginar dois sistemas de referênia omo sendo duas naves espaiais). Consideremos agora esses refereniais em movimento relativo. Um determinado fenômeno pode ser investigado através de medidas realizadas pelos observadores loalizados em ada um dos refereniais. O resultado das medidas levadas a efeito em refereniais diferentes (em ada uma das naves) permite-nos lassifiar as grandezas físias em duas grandes ategorias. As grandezas absolutas são aquelas para as quais as medidas levam sempre ao mesmo resultado (ao mesmo valor), independentemente dos refereniais. As grandezas relativas são aquelas que, omo o nome india, dependem do sistema de referênia. O tempo, por exemplo, é absoluto? Isto é, intervalos de tempo dependem do referenial esolhido? Astronautas em naves diferentes registram intervalos de tempo iguais para um mesmo evento? Até o trabalho de Einstein, o tempo era tido omo absoluto, onforme propusera Newton. A questão entral da teoria da relatividade pode ser onentrada em três indagações: Que grandezas físias têm um aráter absoluto? Como se relaionam as diversas grandezas físias relativas (as oordenadas e o tempo de oorrênia de um evento, por exemplo) medidas em ada um dos sistemas de referênias? Como se esrevem as equações nos diversos refereniais? Einstein prourou dar respostas a estas questões a partir do que teria, na sua onepção, um aráter absoluto: sugeriu que a veloidade da luz e a forma das equações teriam um aráter absoluto. Sua teoria tem omo base para a formulação esses dois pressupostos (ou postulados). Primeiro Postulado A veloidade da luz no váuo é independente do sistema de referênia inerial e, onsequentemente, assume o mesmo valor () para qualquer observador. Na teoria da relatividade restrita, o objetivo de Einstein era desrever os fenômenos analisados a partir de sistemas de referênia, que se movem om veloidade onstante e em linha reta, um em relação ao outro. O fato de a veloidade destes ser onstante e o movimento retilíneo fazia om que a sua teoria da relatividade fosse mais restrita (daí o nome). Dez anos depois, Einstein elaborou uma teoria mais geral: a Teoria Geral da Relatividade). Figura 8: A veloidade de um objeto é a mesma nos dois sistemas?

10 Óptia» Veloidade da luz 9 No primeiro postulado, sobre a onstânia da veloidade da luz, Einstein revela sua genialidade, pois tratava-se de algo ompletamente inusitado e pouo intuitivo. Como se sabe hoje, em matéria de veloidade, isto se aplia apenas à veloidade da luz. Ele onferiu à veloidade da luz, e não ao tempo, um aráter absoluto. A Veloidade da Luz omo Veloidade limite O fato é que a teoria da relatividade de Einstein leva à ideia de que a veloidade da luz é a veloidade máxima de um objeto. Fato esse que ainda não foi desmentido pelas muitas experiênias posteriores. De aordo om a teoria da relatividade restrita, se dois refereniais se desloam um em relação ao outro om veloidade v ao longo do eixo x, as oordenadas do espaço e o tempo medido em ada referenial obedeem às seguintes relações, ou transformações: Observando o fator x = t = 1 ( x vt ) v 1 1 v t v x 1 y = y z = z 1 γ= v 1 ( 1 ) ( 13 ) Figura 9 Notamos que, no limite ultra-relativístio, ele tende a infinito: lim γ v ( 14 ) Além disso, as transformações de Lorentz não fazem sentido para v > ( 15 )

11 Óptia» Veloidade da luz 10 Dessa forma, entende-se que a teoria da relatividade implia um limite para a veloidade que os objetos podem atingir. Esse limite é a veloidade da luz. Partíulas destituídas de massa (isto é, têm massa nula) se propagam sempre om a veloidade da luz. O Fóton é uma das nove partíulas elementares que têm essa araterístia. Mas é a únia que pode ser enontrada livre. Efeito Cerenkov Uma partíula pode, no entanto, ter uma veloidade num determinado meio superior à veloidade da luz naquele meio. Quando isso aontee, a partíula emite uma radiação eletromagnétia araterístia. Suas araterístias foram eluidadas por Cerenkov, que foi agraiado pela desoberta om o prêmio Nobel de físia em É um efeito análogo à onda de hoque quando um avião ultrapassa a barreira do som. Trata-se de uma onda de hoque fotônia. A envoltória (plana) da frente de onda forma um ângulo θ, o qual pode ser determinado da seguinte forma: Em determinado intervalo de tempo δt, a radiação emitida perorrerá uma distânia dada pela veloidade da luz no meio (água, por exemplo), multipliada pelo intervalo de tempo. Isto é: d = v δ t = n δt Onde n é o índie de refração do meio. Tendo em vista que durante o intervalo de tempo δt, a partíula perorreu uma distânia dada por: ( 16 ) Figura 10 d = vδt = βt ( 17 ) O ângulo formado pela direção da propagação das ondas e da partíula em movimento é tal que: osθ d = = d 1 nβ ( 18 ) Figura 11

12 Óptia» Veloidade da luz 11 A veloidade da luz omo onstante fundamental Na físia, a veloidade da luz é uma onstante fundamental. Isso aarreta duas onsequênias. A primeira é que o metro hoje é definido a partir dela: O metro é o omprimento do trajeto perorrido pela luz no váuo durante um intervalo de tempo 1/ de segundo. A segunda é que várias grandezas físias dependem dessa onstante. A seguir, onsideraremos o aso da energia de partíulas. Demonstra-se, om base na teoria da relatividade, que a energia de uma partíula é dada por: E p +( m) ( 19 ) Ou ainda: E = p + m 4 ( 0 ) No aso de partíulas de massa zero, obtém-se: E = p ( 1 ) Tendo em vista a equivalênia desoberta por Einstein, os onstituintes dotados de massa representam uma forma de energia: a energia assoiada à massa. Assim, se um objeto tem massa m, a ele está assoiada uma quantidade equivalente de energia dada por E = m ( ) Onde é a veloidade da luz no váuo.

13 Óptia» Veloidade da luz 1 A luz muda de or: O efeito Dopler De aordo om a teoria da relatividade, se a luz é emitida om frequênia v emi em um referenial que se desloa om veloidade V, formando um ângulo θ om a direção da mesma, a frequênia da luz observada v obs, aquela determinada no referenial que observa a fonte em movimento, é dada por: V νobs = γνemi + θ γνemi β θ 1 os = 1+ os ( ) Esse efeito, reebe o nome de efeito Dopler relativístio. Para θ = 0, a frequênia é dada por: V β νobs = γνemi + νemi = β Este efeito reebe o nome de redshift. Enquanto que para θ = π, ( 3 ) ( 4 ) Figura 1 Redshift v ν = γν 1 ν = obs emi emi 1 β 1+ β Nesse aso, a frequênia diminui quando a fonte se afasta. Esse efeito reebe o nome de blueshift. O efeito Dopler transversal é aquele definido para o valor de θ = π/ νobs νobs = γνobs = V 1 ( 5 ) ( 6 ) Figura 13 Na astronomia e na osmologia, estamos interessados em determinar a veloidade de objetos que se aproximam ou que se afastam de nós. O última aso é aquele de maior interesse. Definimos o parâmetro redshift, representado pela letra z, omo ν z = emi ν ν obs obs λ z = λ λ obs emi emi ( 7 )

14 Óptia» Veloidade da luz 13 Ou, analogamente: νemi λ z+ 1= z+ 1= ν λ obs De aordo om o efeito Dopler, um objeto distante se afastando de nós (luz vindo em nossa direção), o redshift é dado por obs emi ( 8 ) No limite não relativístio, temos z + 1 = 1+ β 1 β ( 9 ) z β ( 30 ) Oorre assim o redshift (para galáxias ou estrelas) que se afastam de nós (v > v 0 ). Oorre o Blue Shift para objetos que se aproximam de nós v > v 0. Figura 14 Cada or se propaga numa veloidade diferente Um fenômeno interessante assoiado à veloidade da luz é a sua dispersão. Ela resulta do fato de que, a rigor, ada or se propaga om veloidade diferente. A frequênia de ada or é onstante. Ou seja, é a mesma frequênia que a luz de uma dada or tem no váuo. Portanto, o que muda é o seu omprimento de onda. O índie de refração de um determinado meio depende da frequênia da onda monoromátia. A essa dependênia do índie de refração damos o nome de dispersão. De maneira geral, esrevemos: n = n(ω) ( 31 )

15 Óptia» Veloidade da luz 14 Como resultado, o índie de refração aaba sendo diferente para ada omponente da luz. Por exemplo, a luz violeta é aquela que, em um meio omo o vidro, tem o maior índie de refração de todo o espetro luminoso. No outro extremo do espetro, a luz vermelha é aquela que tem o menor índie de refração. Como onseqüênia a luz solar, ao inidir sobre um dioptro plano. sofrerá uma dispersão da luz. Isto porque, ao inidir na superfíie de separação de dois meios, ada luz monoromátia (violeta, anil, azul, verde, amarela, alaranjada e vermelha) que ompõe a luz solar tomará direções diferentes dentro do vidro (ou em outro meio do qual o prisma é omposto). Assim, o desvio depende do omprimento de onda. Como resultado, temos uma deomposição da luz em diversos omponentes monoromátios que a onstituem. Essa é é a expliação para o fenômeno da dispersão da luz. A luz solar (luz brana) é omposta por ondas harmônias dos mais variados omprimentos. À luz omposta por ondas harmônias de apenas um omprimento de onda, damos o nome de luz monoromátia. Uma luz brana, omposta por ondas harmônias de vários omprimentos é uma luz poliromátia. Esse é o aso da luz solar.

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17 Óptia» Veloidade da luz 16 Como usar este ebook Orientações gerais Caro aluno, este ebook ontém reursos interativos. Para prevenir problemas na utilização desses reursos, por favor aesse o arquivo utilizando o Adobe Reader (gratuito) versão 9.0 ou mais reente. Botões India pop-ups om mais informações. Sinaliza um reurso midiátio (animação, áudio et.) que pode estar inluído no ebook ou disponível online. Ajuda (retorna a esta página). Créditos de produção deste ebook. India que voê aessará um outro treho do material. Quando terminar a leitura, use o botão orrespondente ( ) para retornar ao ponto de origem. Bons estudos!

18 Óptia» Veloidade da luz 17 Créditos Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Apliada (CEPA), Instituto de Físia da Universidade de São Paulo (USP). Autoria: Gil da Costa Marques. Revisão Ténia e Exeríios Resolvidos: Paulo Yamamura. Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro. Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru. Projeto Gráfio e Editoração Eletrônia: Daniella de Romero Peora, Leandro de Oliveira e Prisila Pese Lopes de Oliveira. Ilustração: Alexandre Roha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Mauríio Rheinlander Klein e Thiago A. M. S. Animações: Celso Roberto Lourenço e Mauríio Rheinlander Klein.