Relatividade O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz

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1 Relatividade O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz

2 Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 1 Introdução O segundo postulado da teoria de Einstein especifica que, sob as transformações de Lorentz, e não mais as de Galileu, as leis físicas devem manter a mesma forma. Essa é a ideia da covariância das leis físicas: invariância quanto à forma. A questão da covariância sempre foi considerada fundamental. Isso porque não se devem admitir leis que sejam válidas apenas em alguns sistemas especiais. Por trás desse princípio está a ideia de que as leis são as mesmas (na forma) para qualquer referencial inercial. De outra forma, as leis seriam diferentes em cada sistema de coordenadas. Neste capítulo, analisaremos como se pode formular uma teoria covariante. A base dessa formulação é a introdução de grandezas vetoriais, escalares e, mais geralmente, grandezas tensoriais. Não são, no entanto, os mesmos vetores em três dimensões. São vetores (ou tensores) num espaço quadridimensional. Figura 1

3 Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz O Espaço tempo quadridimensional Einstein percebeu, ao formular sua teoria, o que era essencial para a descrição da natureza. A partir dessas duas hipóteses, é possível fazer uma série de deduções. Deduz-se, por exemplo, que existe uma relação entre as coordenadas de um evento e o tempo de ocorrência num e noutro sistema de referências. Assim, a teoria da relatividade restrita introduz uma interdependência entre espaço e tempo. Essa interdependência faz com que, para caracterizar um evento, tenhamos que determinar as três coordenadas e o tempo de ocorrência desse evento. É como se o espaço tivesse mais uma dimensão (a do tempo). Daí a ideia de um espaço-tempo quadridimensional que emerge naturalmente da teoria de Einstein. O tempo perde o caráter absoluto. O tempo no qual um evento ocorre é relativo. Consequentemente, é também relativo o conceito de simultaneidade. Einstein trouxe, assim, novas concepções para o mundo físico, que permitiram entender algumas propriedades do Tempo, do Espaço e da Matéria. Assim, em termos das coordenadas hiperbólicas, uma transformação de Lorentz no espaço tempo pode ser escrita como: ct ' cosh φ sinh φ 0 0 ct x ' sinh φ cosh φ 0 0 = x y ' y z ' z ( 1 ) Como as coordenadas e o tempo se transformam na teoria da relatividade, como quatro grandezas interligadas, é natural propor as coordenadas do espaço e do tempo como um quadrivetor. Tal quadrivetor será definido pelo conjunto de quatro componentes; x μ = (x 0, x 1, x, x 3 ) (ct, x, y, z) ( ) Uma transformação de Lorentz é uma transformação de um evento no espaço tempo x μ x μ ( 3 )

4 Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 3 Que preserva a relação c t x y z = c t x y z ( 4 ) As transformações de Lorentz adquirem, utilizando as variáveis hiperbólicas, uma forma semelhante a uma rotação em torno de um eixo, desde que substituamos o seno (cosseno) pelo seu análogo hiperbólico. Observe-se que, no caso de uma rotação em torno do eixo z, a invariância do módulo de um vetor se expressa como: x + y + z = x + y + z ( 5 ) Ficando assegurada, de acordo com (000), pela relação: cos θ + sen θ = 1 ( 6 ) No caso das transformações de Lorentz que asseguram a invariância do produto escalar de quadrivetores, em especial do quadrivetor x μ : c t x y z = c t x y z ( 7 ) A invariância de um quadrivetor fica assegurada pela relação: cosh θ senh θ = 1 ( 8 )

5 Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 4 Figura O espaço de Minkowski É o espaço vetorial quadridimensional identificado com o espaço-tempo. As teorias da relatividade são formuladas nesse espaço. Este espaço é designado por M. Vetores são definidos nesse espaço e têm dois tipos de componentes. Podemos definir a soma e subtração, satisfazendo as regras usuais. A ± B ( 9 ) Bem como a multiplicação por um escalar. Definimos apenas um tipo de produto de dois vetores. O produto interno, ou produto escalar, é uma aplicação ƞ que leva M M R. As seguintes propriedades são válidas 1. Bilinear ƞ(au + v, w) = aƞ(u, w) + ƞ(v, w) para todo a R e u, v, w in M.. Simétrico ƞ(v, w) = ƞ(w, v) para todo v, w M. 3. Não degenerado se ƞ(v, w) = 0 Para todo w M, então v = 0.

6 Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 5 Dois vetores são ditos ortogonais se: ƞ(v, w) = 0 ( 10 ) Pode-se falar em uma base de vetores no espaço de Minkowski. Trata-se de uma base de vetores {e 0, e 1, e, e 3 } mutuamente ortogonais, de tal forma que (e 0 ) = (e 1 ) = (e ) = (e 3 ) ( 11 ) Por meio do uso dessa base, definimos a métrica como sendo o produto escalar: e μ e v = g μv ( 1 ) Coordenadas Covariantes e Contravariantes Outra diferença do caso tridimensional diz respeito à métrica do espaço. De fato, se considerarmos dois pontos de coordenadas x 1μ = (ct 1, x 1, y 1, z 1 ) x μ = (ct, x, y, z ) ( 13 ) Definindo agora o quadrivetor Δx μ = x μ x μ ( 14 ) Então, a distância entre esses dois eventos, ocorrendo no espaço-tempo, para valores muito próximos das coordenadas, é dada, em termos da métrica, por Δs g μv Δx μ Δx v ( 15 )

7 Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 6 A métrica está associada à noção de distância infinitesimal quando essa distância é expressa em termos de variações infinitesimais de coordenadas. Ou seja, quanto e como uma distância infinitesimal é alterada quando alteramos, de uma maneira mínima, as coordenadas do espaço. Tendo em vista a transformação de Lorentz, a métrica é dita ser uma métrica indefinida, pois Figura 3: Differential Geometry in Two Dimensions ds = cdt dx dy dz g dx dx g = ( 16 ) Isso requer que introduzamos vetores covariantes e vetores contravariantes. Assim, as componentes do vetor x μ dado em (000) formam um vetor covariante. Ao passo que as componentes do vetor contravariante x μ são dadas por: x μ g μv x v = (cdt, dx, dy, dz) ( 17 ) A métrica é uma grandeza física extremamente importante na teoria da relatividade. Na teoria da relatividade geral ela é a principal variável e é associada aos efeitos de uma distribuição de massa nas propriedades do espaço. Figura 4

8 Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 7 Escalares, Quadrivetores e Quadritensores de Lorentz A busca por uma formulação covariante se assemelha muito ao caso anterior, no qual analisamos as transformações sob rotações. Só que, nesse caso, tratam-se das transformações de Lorentz. Antes de introduzir essas transformações, faremos uma análise geral, introduzindo conceitos. Existem duas diferenças muito importantes entre esse caso e aquele associado às rotações. Em primeiro lugar, como o tempo passa a ser, por transformações de Lorentz, algo análogo a uma coordenada, decidiu-se tratar o espaço da teoria da relatividade como tempo, agora quatro dimensões. Os vetores seriam grandezas físicas não com 3 componentes mas com 4 componentes. Surge, assim, a ideia de um espaço quadridimensional (um espaço de 4 dimensões). Uma dessas dimensões abriga o tempo. Nessa linha de raciocínio, as grandezas físicas se transformariam como componentes de um quadrivetor. Assim, se uma determinada grandeza física for representada por um quadrivetor, Figura 5 A μ μ = 1,, 3, 4. ( 18 ) Essa grandeza tem 4 componentes e será denominada de vetor de Lorentz, para diferenciá-la dos vetores em 3 dimensões. Podemos, como no caso tridimensional, introduzir tensores de Lorentz. Uma tal grandeza tensorial teria 16 componentes. Utilizaremos dois índices para representá-la, F μv μ,v = 1,, 3, 4. ( 19 ) Uma grandeza escalar, escalar de Lorentz, é invariante por transformações de Lorentz. Será representada por uma letra sem índices. S ( 0 ) Assim, a principal diferença é que o espaço é, agora, quadridimensional. A outra diferença será explicada a seguir e diz respeito à métrica do espaço.

9 Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 8 Covariança das Leis Físicas Escrever as leis físicas considerando a teoria da relatividade de Einstein passou a ser uma preocupação para a Física Moderna. Na realidade, o que buscamos sempre é uma formulação necessária para assegurar a covariância das equações. A busca pela covariância nos leva a formular as leis físicas por meio do uso de grandezas que se transformam como quadrivetores ou quadritensores em geral (já que todas as grandezas são tensoriais, o que as distinguem é o posto do tensor). Na notação relativística, se uma lei física for escrita como: F μ = ma μ ( 1 ) então, tal equação num outro sistema de coordenadas, que se move em relação a esse com velocidade constante, será escrita como: F μ = ma μ ( ) As equações (000) e (000) resumem o sentido da covariança. As equações não envolvem necessariamente grandezas invariantes de Lorentz, mas são escritas de tal maneira a preservarem sua forma. Daí a relevância de definir vetores, escalares e tensores de posto maior ou igual a dois. Na última parte deste capítulo, escreveremos as leis de Newton de uma forma covariante. No próximo capítulo, abordaremos o eletromagnetismo. Analogamente, uma lei utilizando grandezas tensoriais deve ser formulada de tal forma que ambos os termos tenham as mesmas propriedades de transformação. Assim, se uma lei é escrita sob a forma: R 8πG R g = T c ab ab 4 ab ( 3 ) Em que R ab, g ab e T ab são grandezas tensoriais e as demais grandezas, sendo escalares, essa equação, escrita em um outro referencial, assumirá a forma: R 8πG R g = T ab ab 4 ab c ( 4 )

10 Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 9 Ou seja, ela é invariante na forma. As equações relevantes da física têm todos os termos das equações com a mesma propriedade sob transformações de Lorentz. Escalares de Lorentz e o Tensor Métrico Um passo importante é aquele no qual identificamos as grandezas vetoriais, escalares e as grandezas tensoriais da física. Dizemos que uma grandeza é um escalar de Lorentz se ela for invariante sob transformações de Lorentz. Veremos que a massa de uma partícula é uma dessas grandezas. Outras podem ser introduzidas a partir de grandezas vetoriais ou, em alguns casos, a partir de grandezas tensoriais. Trata-se de definir produtos de grandezas cujo resultado é um escalar. Como as coordenadas e o tempo se transformam, na teoria da relatividade, como quatro grandezas interligadas, é natural propor as coordenadas do espaço e o tempo como um quadrivetor na teoria da relatividade. Tal quadrivetor será definido pelo conjunto de quatro componentes covariantes da forma: x μ = (x 0, x 1, x, x 3 ) (ct, x, y, z) ( 5 ) Componentes infinitesimais desse quadrivetor também será um quadrivetor, dx μ = (dx 0, dx 1, dx, dx 3 ) (cdt, dx, dy, dz) ( 6 ) Notamos agora que, na teoria da relatividade, tendo em vista a Constância da velocidade da luz, a grandeza ds definida por: ds = c dt dx dy dz g μv dx μ dx v ( 7 )

11 Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 10 é um invariante de Lorentz. Definimos um invariante, denominado intervalo de tempo próprio, e representado por dτ = ds/c como sendo a grandeza ( 8 ) A partir disso, concluimos que dx dy dz dτ= 1 dt dt dt Este é o um invariante importante, uma grandeza escalar, na teoria da relatividade. ( 9 ) Vetores de Lorentz Tendo em vista que as coordenadas do espaço e o tempo se transformam como componentes de um quadrivetor, definimos quantidades que se transformam como x μ como quadrivetores. Assim, uma grandeza vetorial A μ se transforma, sob uma transformação de Lorentz, como A A = Λ A = Λ A α α ( 30 ) Ou, analogamente, A A = Λ A v v v = Λ A v ( 31 ) Em que, de forma análoga ao caso das coordenadas, é escrito como: A g da = A, A, A, A ( ) ( 3 )

12 Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 11 As matrizes Λ, que são matrizes 4X4, têm componentes dadas, de acordo com (000), por: 1 v v c v 1 1 c c v 1 1 Λ = 0 0 c v v 1 1 c c Λ 1 v v c v 1 1 c c v 1 1 = 0 0 c v v 1 1 c c ( 33 ) Em uma notação mais compacta, escrevemos Λ ( β)= ( ) ( ) ( ) ( ) γ β βγ β 0 0 βγ β γ β Λ ( ) ( ) γ β βγ β 0 0 β βγ( β) γ( β) ( )= ( 34 ) Λ Observe-se que as transformação inversas são dadas por: γ β βγ β 0 0 ( ) ( ) ( )= Λ ( )= βγ β γ β 0 0 β β ( 1) ( ) ( ) Λ ( 1) ( β)= Λ ( β)= γ( β) βγ( β) βγ( β) γ( β) ( 35 ) Em que, por definição, v β= e γ( β)= c 1 1 β ( 36 )

13 Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 1 Transformação das derivadas Parciais Derivadas de grandezas escalares se transformam como grandezas vetoriais. Se transformam, no entanto, de acordo com a transformação inversa. Para entendermos isso, consideremos uma função de escalar que depende das componentes espaço-temporais das coordenadas, ou seja, uma função da forma V(x μ ) ( 37 ) Consideremos agora as propriedades de transformação das derivadas dessa função: V( x ) ( 38 ) Mediante uma transfomação de Lorentz, a função depende das novas coordenadas, portanto, por essa transformação obtemos V(x μ ) V(x μ ) ( 39 ) E, consequentemente, para a derivada parcial, podemos escrever: V( x ) ( ) x V x x ( 40 ) Portanto, a derivada parcial tem componentes que se transformam: x x ( 41 ) Tendo em vista que x = ( ) Λ 1 ( 4 )

14 Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 13 Concluimos que as componentes da derivada parcial se transformam, sob uma transformação de Lorentz, de acordo com ( ) Λ 1 x ( 43 ) Definimos, portanto, duas componentes de um quadrivetor de acordo com as expressões: =,,,,,, ct x y z 0 1 3,,,,,, ct = x y z O produto Escalar de dois vetores ( 44 ) A partir de duas grandezas vetoriais podemos gerar uma grandeza escalar. Para tal, devemos recorrer à definição de produto escalar de dois vetores de Lorentz. Em analogia com o caso tridimensional, o produto escalar de dois vetores será definido como S A SA = Sg A = S V SV S V SV ( 45 ) Em que, A g da = A, A, A, A ( ) ( 46 ) O produto escalar é um invariante, uma vez que: T α = α = α = α ( ) α α A Λ A A Λ A Λ ( 47 ) Lembrando que: S A = Λ S α = Λ A α ( 48 )

15 Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 14 Obtemos para o produto escalar: β α β SA = Sg A = S Λ g Λ A β α β ( 49 ) Tendo em vista que: α β αβ Λ g Λ = Λ Λ = g β β α ( 50 ) Obtemos, finalmente: S A= S A ( 51 ) Podemos gerar grandezas escalares fazendo uso das derivadas. Assim, se um campo vetorial for função dos pontos do espaço, ( ) ( )= ( ) ( ) ( ) ( ) A x A x, A x, A x, A x ( 5 ) A grandeza definida por ( )= ( )= A x A x A x A + 1 A 1 + A 3 3 ( 53 ) Tensores de Lorentz Uma grandeza tensorial T μ1μ...uj de posto j é uma grandeza física contento j 4 componentes, de tal forma que essas componentes se transformam como: 1... j 1... j 1 j 1... j 1 j T T =Λ Λ... Λ T ( 54 ) Em que uma soma sobre índices iguais fica implícita. Por exemplo, o produto das componentes de dois quadrivetores dado por T = A B 1 1 ( 55 )

16 Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 15 É um tensor de Lorentz de posto, uma vez que: 1 T T =Λ Λ T ( 56 ) Pois, 1 A B 1 A B A B 1 =Λ Λ 1 1 ( 57 ) Um tensor arbitrário pode ser escrito como a soma de um tensor simétrico mais um tensor antisimétrico T = T + T + T T ( 58 ) Ou seja, podemos escrever: T = T S + T A ( 59 ) O traço de um tensor é uma grandeza escalar: T = trt = g T ( 60 ) No caso de tensores obtidos a partir de grandezas vetoriais, o traço é o produto escalar de dois vetores: T μ μ = A μ B μ ( 61 ) Mediante a derivação com respeito a componentes, podemos construir tensores de ordem mais alta ou de ordem mais baixa. Assim, se um campo Tensorial for função dos pontos do espaço, F μv (x v ) ( 6 )

17 Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 16 A grandeza definida por ( )= ( )+ ( )+ ( )+ ( ) F x 0F x 1F x F x 3F x ( 63 ) é um vetor de Lorentz.

18 Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 17 Como usar este ebook Orientações gerais Caro aluno, este ebook contém recursos interativos. Para prevenir problemas na utilização desses recursos, por favor acesse o arquivo utilizando o Adobe Reader (gratuito) versão 9.0 ou mais recente. Botões Indica pop-ups com mais informações. Sinaliza um recurso midiático (animação, áudio etc.) que pode estar incluído no ebook ou disponível online. Ajuda (retorna a esta página). Créditos de produção deste ebook. Indica que você acessará um outro trecho do material. Quando terminar a leitura, use o botão correspondente ( ) para retornar ao ponto de origem. Bons estudos!

19 Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 18 Créditos Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP). Autoria: Gil da Costa Marques. Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura. Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro. Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru. Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira. Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S. Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.