Mecânica. Colisões de Duas Partículas

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1 Mecânica Colisões de Duas Partículas

2 Mecânica» Colisões de Duas Partículas 1 Colisões de Duas Partículas A situação experimental mais simples é aquela em que, no estágio inicial, temos duas partículas que colidem. No caso de partículas compostas, como o próton e o nêutron, o resultado é encontrarmos, no estágio final, às vezes centenas de partículas. Tais colisões são denominadas profundamente inelásticas. Colisões de duas bolhas de bilhar, por outro lado, são mais simples. Duas bolas colidem de tal forma que, depois da colisão, temos estas mesmas duas bolas emergindo em direções diferentes das originais, direções essas previsíveis se fornecermos um conjunto mínimo de informações. O fato é que, em tais colisões, no estágio final encontramos as mesmas duas partículas que estavam presentes na etapa inicial. São colisões marcadas pelas interações das mesmas duas partículas. São colisões que envolvem sempre os mesmos objetos. Colisões duas a duas são importantes no domínio da Teoria cinética dos gases. Muitas das propriedades dos gases e líquidos, especialmente de fenômenos fora do equilíbrio, podem ser formuladas a partir do estudo de colisões de moléculas. A partir da colisão de duas partículas, como o próton e o antipróton, podemos produzir desde duas partículas até milhares delas. Tudo depende da energia das partículas que participam do processo de colisão. O fato é que, nos últimos anos têm-se desenvolvido aceleradores para produzir colisões de prótons com antiprótons bem como colisões de íons pesados. E, para entender a estrutura da matéria, estas duas partículas têm sido as mais utilizadas nos últimos anos. Durante algum tempo fizemos uso também de colisões de elétrons com prótons. Figura 1 Figura Figura 3: Ilustração de colisões entre núcleos de Urânio e de átomos de ouro. A seguir, analisaremos colisões de duas partículas.

3 Mecânica» Colisões de Duas Partículas Equações Gerais no caso não relativístico Consideraremos a situação mais geral possível de colisões que envolvem duas partículas no caso não relativístico. Por partícula, agora, estamos nos referindo a pontos materiais. Colisões de corpos rígidos, por exemplo, são bem mais complexas. No entanto, quando não temos problemas que envolvam rotações de corpos rígidos, elas podem ser tratadas da mesma forma que as colisões de partículas. Figura 4 Numa colisão típica de duas partículas temos a seguinte situação: inicialmente, temos uma partícula de massa m 1 com velocidade v 1, bem como outra partícula de massa m dotada de velocidade v. Muitas vezes v = 0, ou seja, como acontece num jogo de bilhar, uma delas se encontra em repouso. Trata-se de uma situação em que o alvo é fixo. Estas partículas entram numa região do espaço em que elas interagem, ou seja, a interação entre elas ocorre. Esta interação pode ser o resultado de as partículas se tocarem ou não. No entanto, como regra geral, numa colisão as partículas a rigor não chegam a se tocar porque a interação entre elas é uma interação à distância.

4 Mecânica» Colisões de Duas Partículas 3 Após a colisão, podemos ter duas situações levando, no entanto, a três tipos de colisões: 1. Na primeira situação, as mesmas duas partículas emergem da colisão com velocidades diferentes e com orientações diferentes. A primeira partícula sai com velocidade v 1. Esta velocidade é tal que a direção que o vetor forma com a horizontal é caracterizada pelo ângulo θ 1. A partícula de massa m sai, depois da colisão, com velocidade de v, formando agora um ângulo θ com a direção horizontal (veja Figura 000). Nesse caso, o choque pode ser tanto elástico quanto inelástico.. As duas partículas se fragmentam ou se fundem formando um bloco só. Nesse caso, a colisão é, certamente, inelástica. Figura 5 Quais são as equações básicas das colisões? A primeira equação, válida em qualquer dos casos, é aquela que expressa a conservação de momento linear. De acordo com essa lei de conservação, vemos que o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois. Escrevemos P antes = P depois ( 1 ) A equação básica, portanto, no primeiro caso é: mv + mv = mv + mv ( )

5 Mecânica» Colisões de Duas Partículas 4 Para colisão que ocorre no plano, esta equação se desdobra em duas equações, ou seja, temos uma equação para cada uma das componentes: mv + mv = mv + mv 1 1x x 1 1x x mv + mv = mv + mv 1 1y y 1 1y y ( 3 ) Estas equações podem ser escritas em termos de outras variáveis, ou seja, podemos utilizar o módulo dos vetores velocidades e os ângulos que eles formam com o eixo horizontal. Assim, lem- bramos que as componentes V 1 x e V 1 x podem ser escritas em termos dos respectivos módulos e direções de acordo com as expressões: O mesmo vale para a partícula. Para as componentes V 1 y e V 1 y escrevemos: Consequentemente, as equações (000) podem ser escritas, em termos desse novo conjunto de variáveis, sob a forma: A rigor, e em qualquer caso, temos quer seja na equação (000) ou na equação (000) um total de 8 incógnitas. Em geral, são fornecidos os dados relativos à situação inicial (quatro incógnitas). No entanto, a partir da conservação do momento linear podemos determinar apenas duas delas. Consequentemente, presume-se que sejam conhecidas mais duas incógnitas, ou seja, é necessário que se forneça um conjunto de 6 dados para que se possa resolver o problema. Com a escolha do eixo x podemos assegurar que V 1y = 0. Assim, uma escolha adequada de eixos elimina uma incógnita. Outra simplificação ocorre se uma delas estiver em repouso. Nesse caso, duas incógnitas são conhecidas e iguais a zero. Se a colisão for elástica, temos à disposição uma terceira equação, além das duas equações (000); acrescentamos a equação que envolve a conservação da energia cinética: V = V cosθ 1x 1 1 V = V cosθ 1x 1 1 V = V sen θ 1y 1 1 V = V sen θ 1y 1 1 V cosθ + V cosθ = V cosθ + V cosθ V senθ + V sen θ = V sen θ + V sen θ ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) Figura 6: Cinemática da colisão entre duas partículas. mv 1 1 mv mv 1 1 mv + = + ( 7 )

6 Mecânica» Colisões de Duas Partículas 5 Logo, se a colisão for elástica, temos à nossa disposição um conjunto de 3 equações, refletindo as leis de conservação. Consideremos o mesmo caso quando se trata de colisões inelásticas. Nesse caso, introduzimos uma constante característica das interações denominada coeficiente de restituição. Tal coeficiente é definido como: V V = V V 1 λ 1 ( 8 ) Assim, se a colisão for inelástica, podemos fazer uso de outra equação envolvendo agora o coeficiente de restituição. Ela só se torna útil se o mesmo for conhecido. A relação (000) introduz uma nova equação envolvendo, no entanto, o coeficiente de restituição. Essa equação substitui a equação (000) no caso de uma colisão inelástica. Finalmente, analisaremos o caso de uma colisão perfeitamente inelástica. Agora as duas partículas formam um objeto composto de massa M. O número de incógnitas se reduz, pois o objeto composto tem uma velocidade V que, em muitos casos, se torna a única incógnita do problema. Essa velocidade do conjunto pode ser determinada a partir da conservação do momento linear, ou seja, P1+ P = MV ( 9 ) Considerando-se que, no caso clássico M = m 1 + m, a velocidade do objeto composto é dada por P1+ P V = ( 10 ) m + m 1 Observe que há uma perda de energia cinética dada por: P P ( P P E = C m + m + ) 1 1 m + m 1 ( ) 1 ( 11 )

7 Mecânica» Colisões de Duas Partículas 6 Equações Gerais no Caso Relativístico Consideremos agora o caso de colisões relativísticas. Usualmente, considerando-se a questão da estrutura da matéria, a principal aplicação dessas colisões a grandes velocidades envolve o estudo de colisões entre partículas elementares ou entre partículas compostas a partir delas. Partículas elementares são aquelas que não têm uma estrutura, não são compostas por outras partículas; portanto, não precisamos, nesse caso, levar em conta uma energia de ligação das partículas que participam do processo de colisão. Um exemplo interessante de tais colisões é a colisão de um fóton com um elétron. Para analisar as colisões podemos adotar dois referenciais. Tais referenciais são denominados do laboratório e do centro de massa. O referencial do centro de massa, como o nome indica, é aquele cuja origem se encontra no centro de massa. Para distinguir grandezas visitas determinadas no referencial centro de massa adotamos o índice cm. Por exemplo, as velocidades das duas partículas antes e depois são escritas assim: V e V, V e V 1cm cm 1cm 1cm ( 1 ) Figura 7 No caso relativístico, é preferível trabalhar com a grandeza física momento linear em vez da velocidade. O centro de massa é definido como aquele referencial para o qual a soma dos momentos se anula, isto é: P + P = mv + mv = 1cm cm 1 1cm cm 0 ( 13 ) Figura 8

8 Mecânica» Colisões de Duas Partículas 7 No caso de colisões de partículas elementares, e tendo em vista que elas não têm uma energia de ligação, não se deformam, podemos fazer uso da conservação de energia. Assim, no caso relativístico também vale a equação: P antes = P depois ( 14 ) No caso de colisões que envolvem duas partículas no estágio final, temos: PA + PB = PC + PD ( 15 ) que expressa a lei de conservação da quantidade de movimento ou momento linear total. No entanto, no caso relativístico, é importante que se entenda a relação, não tão simples, entre momento e velocidade. Para uma partícula de massa m dotada de velocidade v, o seu momento linear é dado por: mv p = V 1 c ( 16 ) Figura 9 onde c é a velocidade da luz no vácuo. No caso do fóton, não vale tal relação, pois o fóton, a despeito de não ter massa, tem momento linear. Outra equação sempre válida no contexto relativístico é aquela que expressa a conservação da energia relativística, ou seja, EA + EB = EC + ED ( 17 ) sendo que a energia E de uma partícula dotada de massa pode tanto ser escrita em termos da massa e da velocidade quanto em termos do momento e da massa. Escrevemos: E = mc v 1 c = pc +( mc ) ( 18 )

9 Mecânica» Colisões de Duas Partículas 8 Para o fóton, que é uma partícula, se eu tiver um fóton para um fóton que não tem massa, eu relaciono esta energia. Digamos que a partícula c seja o fóton: E = pc ( 19 ) A energia cinética no caso relativístico é igual à energia da partícula menos sua energia de repouso, ou seja: K = E mc ( 0 ) No caso de colisões relativísticas, é fácil decidir se uma colisão é elástica ou não. Ela será elástica se, na etapa final, encontrarmos as mesmas duas partículas iniciais. Não é difícil verificar que, no caso da colisão de partículas elementares, esta colisão será elástica se A e B forem idênticas a C e D. Basta que sejam as mesmas duas partículas antes e depois da colisão. No caso relativístico, um choque é dito inelástico se C e D, ou outras partículas, forem diferentes de A e B. Para provar o que foi enunciado, analisemos a equação (000) depois de subtrairmos m A c + m B c de cada lado. Obtemos: E + E mc mc = E + E mc mc A B A B C D A B ( 1 ) E essa equação pode ser escrita como K + K = K + K A B A B ( ) só no caso em que a partícula C for igual a A (ou D é igual a A), e a partícula D for igual a B. Finalmente, devemos analisar colisões perfeitamente inelásticas. Nesse caso, temos na etapa final uma partícula só, uma partícula composta. A massa desta partícula (M) não é determinada de forma simples como no caso não relativístico. De qualquer maneira, continua valendo a conservação da energia. As equações são agora: P + P = P = A B MV V 1 c ( 3 )

10 Mecânica» Colisões de Duas Partículas 9 onde P é o momento da partícula composta e V é sua velocidade. Levando-se em conta a conservação da energia, temos: E + E = E A B ( 4 ) ou seja, 4 Pc + m c + Pc+ m c = Pc + M c ( 5 ) Colisões Frontais O caso mais simples que envolve colisões é aquele denominado frontal. Isso pode acontecer quando as duas partículas seguem ao longo da mesma trajetória retilínea ou quando uma delas está em repouso. O choque é frontal se, após a colisão, as partículas seguem ao longo da mesma linha reta. Por exemplo, quando as duas partículas colidem e depois da colisão se voltam sobre si mesmas, ou seja, a colisão é unidimensional. Tendo em vista que o movimento é unidimensional, a conservação da quantidade de movimento implica a equação: Figura 10 mv + mv = mv + mv A A B B A A B B ( 6 )

11 Mecânica» Colisões de Duas Partículas 10 Obtemos uma equação que envolve quatro incógnitas. No caso de choque frontal e elástico, escrevemos ainda a equação: mv mv mv mv + = + A A B B A A B B ( 7 ) Num choque elástico e frontal temos duas equações. Consequentemente, se soubermos v A e v B, por exemplo, temos como determinar v A e v B. Se a colisão for inelástica, podemos escrever uma equação, que substitui (000), envolvendo o coeficiente de restituição: ( v v )= v v λ( ) B A A B ( 8 ) A título de exercício, consideremos o caso em que a partícula B se encontra em repouso. A primeira equação agora é bem simples: m ( v v )= m v A A A B B ( 9 ) Se o choque for elástico, temos ainda outra equação à nossa disposição: m ( v v )= m v A A A B B ( 30 ) a qual pode ser escrita como: m ( v v )( v + v )= m v A A A A A B B ( 31 ) Combinando a equação (000) com a equação (000), resulta uma relação simples entre a velocidade final da partícula A em termos da velocidade inicial De (000) segue-se que v v B A ma m B = m m v A + B = v + A ( ) A ma mb m + m v A B A ( 3 ) ( 33 )

12 Mecânica» Colisões de Duas Partículas 11 Substituindo o resultado (000) em (000), obtemos uma relação entre a velocidade final da partícula B em função da velocidade inicial da partícula A, ou seja: v B ma = m + m v A B A ( 34 ) Tomando v A como positiva, temos 3 casos a considerar: Em primeiro lugar, se a partícula A tiver uma massa maior do que a partícula B, então v A terá, depois da colisão, uma velocidade positiva. É como se a massa grande atropelasse a pequena saindo na mesma direção e sentido em que ela vinha. A partícula B sairá em disparada com velocidade maior do que v A. As duas seguem no mesmo sentido, o sentido da partícula incidente. Se as duas partículas tiverem massas iguais, a partícula A atinge a partícula B e fica parada no lugar da partícula B e isso porque, de acordo com (000), ela tem velocidade igual a zero depois da colisão. A partícula B tem uma velocidade igual à velocidade da A, ou seja, v A. Tudo se passa como se uma partícula substituísse a outra no processo de colisão. Finalmente, se a partícula tem massa m B > m A, ou seja, se sua massa é grande, v A é negativo. Portanto, a partícula A bate naquela de massa grande e volta. A partícula B sairá com uma velocidade pequena no mesmo sentido da partícula A. Elas seguem depois da colisão em diferentes sentidos. Figura 10: Choques frontais.

13 Mecânica» Colisões de Duas Partículas 1 Colisões de duas Particulas de Massas Iguais Vejamos as equações básicas quando consideramos colisões de duas partículas de massas iguais. Escrevemos m = m 1 ( 35 ) A conservação do momento linear implica uma relação simples entre as velocidades v + v = v + v 1 1 ( 36 ) No caso de um choque elástico, podemos escrever a conservação da energia cinética da seguinte forma: P + P = P + P 1 1 ( 37 ) Portanto, em termos das velocidades, temos: v + v = v + v 1 1 ( 38 ) Consideremos o caso em que a partícula está em repouso. Neste caso, as duas equações para choques elásticos assumem a forma: v = v + v 1 1 v = v + v 1 1 Tomando o quadrado da equação (000) concluímos que ( 39 ) v = v + v + v v ( 40 ) Levando em conta as duas equações concluímos que: v v = 1 0 ( 41 )

14 Mecânica» Colisões de Duas Partículas 13 ou seja, independentemente dos detalhes da colisão, a partícula 1 vai sair com uma velocidade v 1, a partícula vai sair com velocidade v de modo que estas direções (Figura 000) sejam tais que o ângulo entre elas é igual a π/, ou seja, as partículas saem em direções ortogonais (Figura 000). Efeitos Compton O efeito Compton é um fenômeno associado à mudança da frequência ou do comprimento de onda da radiação eletromagnética monocromática (usualmente raios X ou raios γ) quando esta incide sobre certos materiais. Na realidade, o que ocorre é que uma onda monocromática que incide sobre um elétron altera seu comprimento de onda. Isso pode ser entendido, como proposto por Compton, quando consideramos a radiação sendo composta por fótons como resultado da colisão de fótons (compondo a radiação) com elétrons constituintes dos átomos do material (veja Figura 000). Figura 11 Figura 1 Figura 13 Compton partiu do pressuposto de que se pode considerar este efeito como o resultado da colisão de um fóton (estamos tratando agora de uma partícula elementar) com um elétron preso a um átomo constituindo a matéria. A ideia de tratar a radiação eletromagnética como composta por fótons foi lançada por Einstein em Consideremos a colisão de um fóton, representado pela letra γ, com um elétron em repouso (representado por e), produzindo no estágio final outro fóton, que representaremos por γ e o mesmo elétron representado por e. Nesse caso, a colisão é escrita assim: γ+ e γ + e ( 4 )

15 Mecânica» Colisões de Duas Partículas 14 Tal processo é entendido melhor à luz da eletrodinâmica quântica. Aqui ele será tratado apenas como um problema que envolve a colisão elástica de duas partículas elementares: o fóton e o elétron. Faremos uso das leis de conservação do momento e da energia. Tendo em vista que a velocidade da luz é muito alta, consideraremos que, no processo de colisão, o elétron se encontra em repouso. Tomamos assim, dentro de boa aproximação: P e = 0 ( 43 ) A conservação do momento linear total agora se escreve p+ 0 = P + p e ( 44 ) onde p e p são, respectivamente, os momentos do fóton antes e depois da colisão. P e é o momento do elétron após a colisão (veja Figura 000). Figura 14 A segunda equação é aquela que diz respeito à conservação da Energia, ou seja: E antes = E depois ( 45 ) Levando-se em conta o caráter relativístico da colisão, essa equação implica a seguinte relação: pc + mc = P 4 c + m c + pc e e e ( 46 ) Donde se conclui que: pc pc + mc = P c + m c 4 e e e ( 47 )

16 Mecânica» Colisões de Duas Partículas 15 De acordo com a teoria de Einstein, a energia de um fóton de energia pc pode ser expressa em termos da frequência da radiação eletromagnética da qual eles são os constituintes. Assim, escrevemos E = γ pc = hv ( 48 ) Substituindo a expressão (000) para a energia do fóton em (000), obtemos a seguinte relação entre as frequências da radiação eletromagnética: ( hν hν )+ mc e = Pc e + ( mc e ) ( 49 ) Elevando esta expressão ao quadrado, obtemos, Pc = h ( ν ν ) + m ch( ν ν ) e e ( 50 ) Considerando a conservação do momento ( P e = p p) e elevando a expressão (000) ao quadrado, encontramos: P = p + p p p i = p + p ppcosθ e ( 51 ) onde θ é o ângulo entre as direções do fóton incidente e do fóton emergente (veja Figura 000). Multiplicando o termo acima por c, encontraremos a seguinte relação entre os momentos: c P = c p + p c pc p ccosθ e ( 5 ) Considerando a relação entre momento e frequência do fóton na expressão acima, concluímos que: cp = h ν + h ν h ννcosθ e ( 53 ) Utilizando a expressão acima em (000), obtemos a seguinte igualdade entre as frequências: h ( ν ν ) + mec h( ν ν )= h ν + h ν h ννcosθ ( 54 )

17 Mecânica» Colisões de Duas Partículas 16 É fácil verificar que a expressão acima se simplifica depois de considerarmos, na equação acima, o termo (v v ), ou seja, o resultado é: h νν + mec h( ν ν )= h ννcosθ ( 55 ) Dividindo a expressão acima pelo produto vv, e cancelando o fator h que é comum a todos os termos, obtemos: mc e ν ν 1 θ h νν = ( cos ) ( 56 ) que pode ser escrita como: c c h = 1 cosθ ν ν mec ( ) ( 57 ) Finalmente, lembrando que c = λ ν ( 58 ) onde λ é o comprimento de onda da radiação eletromagnética, a equação (000) pode ser escrita como: h λ λ= cosθ mc e 1 ( ) ( 59 ) Esta ideia, com a comprovação do resultado (000), valeu o Prêmio Nobel para Compton, porquanto esta foi uma das primeiras evidências para a teoria corpuscular da luz, a luz composta por partículas denominadas fótons.

18 Mecânica» Colisões de Duas Partículas 17 Como usar este ebook Orientações gerais Caro aluno, este ebook contém recursos interativos. Para prevenir problemas na utilização desses recursos, por favor acesse o arquivo utilizando o Adobe Reader (gratuito) versão 9.0 ou mais recente. Botões Indica pop-ups com mais informações. Ajuda (retorna a esta página). Sinaliza um recurso midiático (animação, áudio etc.) que pode estar incluído no ebook ou disponível online. Créditos de produção deste ebook. Indica que você acessará um outro trecho do material. Quando terminar a leitura, use o botão correspondente ( ) para retornar ao ponto de origem. Bons estudos!

19 Mecânica» Colisões de Duas Partículas 18 Créditos Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP). Autoria: Gil da Costa Marques. Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura. Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro. Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru. Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira. Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S. Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein. Fotografia: Jairo Gonçalves.