Capítulo 9 Colisões. Num processo de colisão de 2 partículas muitas coisas podem acontecer:

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Jonathan Desconhecida Rico
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1 Capítulo 9 Colisões Num processo de colisão de 2 partículas muitas coisas podem acontecer: O processo de colisão pode ocorrer tanto por forças de contacto como no jogo de bilhar como por interação à distância via gravitação ou forças elétricas. Vejamos no caso da força entre duas bolas de bilhar Temos da 3ª. Lei de Newton Chamamos Impulso de uma força Da equação (1) temos: ou, chamando de e. Logo, teremos a conservação do Momento Linear total antes e depois da colisão As forças de contacto são de curta duração 1

2 Colisões Elásticas e Inelásticas Chamamos uma colisão de elástica se ela conserva energia cinética. Na prática é muito difícil ter uma colisão completamente elástica. Por exemplo, quando duas bolas de bilhar colidem ouve-se o som da batida e haverá um diminuto aumento da temperatura das bolas. Isso significa que parte da energia cinética se transformou, de maneira irreversível, em energia sonora e energia térmica. Como, porém, essa perda é muito pequena, da ordem de 3% ou 4%, podemos, para todos os efeitos, desprezá-la e considerar a colisão elástica. Quando não há conservação da energia cinética, a colisão é dita inelástica. Até hoje, a Física não precisou abrir mão do Princípio de Conservação de Energia: num sistema isolado a sua Energia Total (mecânica, térmica, sonora, eletromagnética, etc) se conserva. Colisões Elásticas Unidimensionais Suponhamos uma colisão unidimensional de 2 partículas (que rotularemos 1 e 2) na ausência de forças externas. Como só há forças internas na colisão o vetor momento linear total do sistema se conservará. Sejam e, o valor inicial (antes da colisão) e o valor final (depois da colisão), respectivamente. A conservação de momento linear nos fornece a equação A energia cinética pode ser escrita como A energia cinética inicial e a energia cinética final serão iguais A eq. (1) pode ser rescrita E a eq. (2) Dividindo (2 ) por (1 ) membro a membro, teremos Ou Numa colisão elástica unidimensional as velocidades relativas antes e depois da colisão se invertem. 2

3 Resolvendo o sistema de equações (1 ) e (3) para e, temos Ou, em termos de velocidades Casos Particulares: a) Massas Iguais Ou seja, as partículas trocam de momento e de velocidade. b) Alvo em repouso (partícula 2) i) Neste caso, O corpo incidente 1 praticamente reflete no corpo 2 e o corpo 2 recua com baixíssima velocidade. ii) Neste caso, O corpo 1 praticamente não é freado e o corpo 2 é lançado com aproximadamente 2 vezes a velocidade do 1. 3

4 Reator Nuclear As ideias acima podem ser usadas num reator atômico de U235. Neste reator, o núcleo do U235 absorve um nêutron lento, isto é, com energia entre 0,01 e 0,1 ev ( ) e fissiona seu núcleo em núcleos mais leves (o U235 tem fissão espontânea e induzida). Em geral, neste processo, ele libera 2 a 3 nêutrons rápidos, com energia da ordem de. Estes nêutrons rápidos precisam ser moderados, isto é precisam ter sua energia reduzida. Para isso, faz-se com que eles colidam com núcleos pesados como o Deutério (água pesada), ou o Berílio ou o Carbono (grafite). O Hidrogênio seria ideal, mas o seu núcleo também absorve nêutrons lentos. Pressão Outro conceito ligado ao choque elástico unidimensional é o da colisão de moléculas idênticas de massa m e velocidade v contra uma parede. A colisão de 1 molécula transfere momento. Se o número de colisões por unidade de tempo for então a força média será de área por unidade de tempo. Colisões Inelásticas: e a pressão será, onde é o número de colisões por unidade Não há conservação de energia cinética Pêndulo balístico: 4

5 Colisões Elásticas Bidimensionais Em 2D, as velocidades finais dos corpos 1 e 2 introduzem 4 incógnitas: as componentes x e y das velocidades finais 1 e 2. A conservação do vetor Momento Linear total em 2D nos fornece 2 equações e a conservação da energia cinética nos fornece mais 1 equação...logo é necessário que o experimento nos forneça mais 1 informação adicional para resolvermos integralmente a colisão elástica 2D. Na figura acima, o corpo 2 está inicialmente em repouso. A distância b é chamada de parâmetro de choque. A conservação de momento linear nos fornece Logo, os 3 vetores de momento linear estão no mesmo plano. A conservação da energia cinética nos fornece Portanto temos 4 incógnitas,, e e somente 3 equações. 5

6 a) Massas Iguais Neste caso,, e a eq. (3) fica Tomando o produto escalar de com ele mesmo teremos Logo, e são ortogonais. Donde e ( ) ( ) A colisão leva as partículas somente para o hemisfério dianteiro, pois teremos neste caso,. b) Caso Geral Da conservação de momento linear Da conservação de energia cinética Logo, Cujas soluções são: Como 6

7 1) Se Então somente a solução positiva é aceitável Neste caso, pode haver espalhamento para o hemisfério traseiro pois 2) Se teremos Logo, Então, como no caso, o espalhamento se faz somente no hemisfério dianteiro, mais precisamente, no cone. As 2 soluções são aceitáveis: Cada uma delas gera diferentes soluções para. Descrição no CM A descrição da colisão no CM é sempre mais fácil mesmo quando Teremos: E 7

8 Vejamos a relação entre a energia cinética no Laboratório e no CM Multiplicando os dois membros da equação por, somando em j e dividindo por 2 Ou seja Portanto, Em palavras, a energia cinética no referencial de Laboratório é igual à soma da energia cinética no referencial de CM mais a energia cinética do CM. Obviamente, quando T se conserva, T se conserva. Na construção de aceleradores de partículas busca-se atingir o maior valor possível de energia cinética no processo de colisão. Para essa tarefa, o referencial de CM é mais indicado do que o de Laboratório, pois este último tem um custo maior já que tem que acrescentar a energia cinética do CM. Vamos agora analisar a mudança de referencial CM e Lab. Ou seja, 8

9 Substituindo (5) em (1a), (2a), (3a) e (4a) teremos Como conhecemos podemos obter de (1b) e em seguida obter de (3b). Portanto, todos os vetores momentos lineares iniciais no CM, e, serão conhecidos e obtidos a partir do vetor momento linear do referencial de Laboratório. Vejamos agora, os vetores momentos lineares finais no CM. O vetor de (4b). Fazendo o produto escalar de (2b) com (2b) temos pode ser obtido de Ou Fazendo o produto escalar de (1b) com (2b) temos Ou Em resumo, 9

10 Colisões Inelásticas Bidimensionais Vamos supor uma colisão inelástica da partícula 1 sobre 2 (em repouso) e que podem sair (sem conservar energia cinética) as mesmas 2 ou 2 diferentes 3 e 4, como é comum acontecer em reações nucleares (veja figura abaixo). A conservação de momento linear nos fornece Teremos novamente um único plano de colisão! Definimos o fator Q de uma colisão inelástica como a variação da energia cinética do sistema Se A conservação de momento nos dá 2 equações (componentes x e y de geral, precisamos de e para determinarmos Q. ) e 4 incógnitas.em Supondo velocidades não relativísticas (em muitas reações nucleares essa hipótese é violada 1 ) temos Donde 1 Na relatividade especial, portanto, 10

11 Que substituindo em (1) nos dá Exemplo: A reação nuclear dêuteron + dêuteron gerando um próton e um tríton O deutério (trítio) é um átomo composto de 1 próton e 1 nêutron (2 nêutrons) no seu núcleo e 1 elétron orbitando. O dêuteron (tríton) é o seu núcleo. Bombardeando-se um alvo de deutério em repouso com um feixe de dêuterons de energia 4 Mev, verifica-se que os prótons que emergem a 90º da direção do feixe têm uma energia de 4 Mev. Qual o Q da reação? Onde 1 u.m.a é a unidade de massa atômica que é igual a 1/12 da massa do carbono 12 (que tem 6 prótons, 6 nêutrons e 6 elétrons). Substituindo em (2) obtemos Q = 4 Mev. Como Q > 0, o processo é exoérgico. Consideremos agora uma operação de captura ou colisão totalmente inelástica. Como Q < 0 o processo é endoérgico e é a chamada massa reduzida. 11

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