Mecânica. Cinemática Vetorial
|
|
- Lorenzo Mendonça Fortunato
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Mecânica Cinemática Vetorial
2 Mecânica» Cinemática Vetorial 1 Referenciais Do ponto de vista estritamente da localização de um ponto no espaço, temos muitas possibilidades. Isso significa que temos várias opções de escolha tanto de referenciais quanto de coordenadas. Em geral, um referencial é baseado na escolha de elementos da geometria plana e espacial adotados como um sistema de referência. Podemos empregar: tanto um conjunto de pontos quanto curvas no plano ou superfícies no espaço Todos eles servem como referência para localizar um ponto no espaço, além de ser possível adotar também uma combinação desses elementos. A partir dessas referências, de natureza geométrica, introduzimos um algoritmo por meio do qual podemos especificar um ponto do espaço a partir de um conjunto ordenado de valores, aos quais damos o nome de coordenadas. Atenção Ao número de coordenadas damos o nome de dimensionalidade do sistema de referência. Um referencial pode ser apenas um conjunto de pontos. Por exemplo, poderíamos adotar três pontos no plano como referência. Temos, nesse caso, um referencial constituído a partir desses três pontos. Para identificá-los, é necessário que haja pontos materiais nele localizados. Podemos especificar um ponto do plano a partir da especificação da distância entre esses três pontos. Isso requer a introdução de 3 coordenadas (os raios dos círculos a partir dos pontos de referência). Adotamos, portanto, 3 coordenadas para esse tipo de referencial. Analogamente, dados quatro pontos no espaço, podemos, a partir da especificação das distâncias entre esses pontos (quatro valores para os raios das superfícies esféricas), determinar a posição de qualquer ponto no espaço. Determinando a posição no plano adotando-se três pontos como referência.
3 Mecânica» Cinemática Vetorial No caso do plano, podemos também fazer uso de sistemas de referência baseados no uso de: retas; retas orientadas; semirretas; segmentos de reta; circunferências e; cônicas. Saiba mais O sistema cartesiano é o mais simples entre todos. Ele faz uso, no caso do plano, de duas retas orientadas e ortogonais entre si. Para ilustrar a riqueza de alternativas, consideremos dois exemplos simples. Podemos adotar, como referencial no plano, um segmento de reta cujo comprimento é tal que suas extremidades se situam nos pontos A e B. Qualquer ponto do plano pode ser determinado a partir da especificação das coordenadas φ e θ definidas como ângulos de visão do segmento AB. Tal referencial recebe o nome de referencial bipolar. Bernoulli, matemático suíço, parece ter sido o primeiro a introduzir um segmento de reta como referencial. Nesse caso, consideramos um segmento de reta a partir de um ponto de origem até o ponto P - o segmento OP. Nesse sistema de referência, adotamos as coordenadas (, θ) para determinar a posição do ponto no plano. A coordenada especifica o tamanho do segmento OP, enquanto a coordenada θ especifica a inclinação do segmento de reta em relação ao eixo x. Tais coordenadas recebem o nome de coordenadas polares. No espaço tridimensional é comum o emprego de superfícies como sistemas de referência. Assim, sabemos que: o referencial cartesiano faz uso de superfícies planas; o sistema de referência cilíndrico faz uso de um plano, um semiplano e um cilindro; o referencial esférico faz uso de um cone, um semiplano e uma esfera. A escolha de um referencial e de um conjunto de coordenadas para especificar um ponto do espaço não é, no entanto, suficiente para encarar várias questões que envolvem a formulação das leis físicas, e isso porque as leis são formuladas em termos de grandezas vetoriais e grandezas escalares. Coordenadas bipolares e coordenadas polares.
4 Mecânica» Cinemática Vetorial 3 Atenção A escolha de um sistema de coordenadas pressupõe que saibamos determinar as componentes de um vetor naquele referencial. Necessário se faz, assim, uma definição mais geral de referencial. A seguir veremos que três vetores, quando escolhidos adequadamente, se constiuem num referencial muito útil para representar grandezas vetoriais arbitrárias. Por se tratar de um novo tipo de referencialnos referimos a essa base de vetores, comoreferencial generalizado. Referencial Cartesiano Generalizado Tendo introduzido o conceito de vetores, podemos agora redefinir o conceito de referencial. Para tanto, seguiremos as ideias do matemático alemão Hermann Weyl, que abordou esse tema em seu livro famoso espaço, tempo e matéria. De acordo com Weyl, um referencial pode ser constituido por um ponto O, e três vetores denominados vetores da base do referencial. É como se vê em uma definição formal, baseada no conceito de vetores. Vamos introduzir, primeiramente, o referencial cartesiano generalizado. De acordo com Weyl, esse novo referencial cartesiano é constituído por um ponto O e três vetores muito especiais,denominados i, j e k ( 1 ) Esses vetores têm a mesma orientação dos eixos x, y e z e sentido indicado na Figura ao lado. Eles têm módulo 1, e tal propriedade pode ser escrita assim: i = j = k =1 Vetores de módulo unitário são denominados versores. ( ) Referencial cartesiano generalizado, utilizando três vetores.
5 Mecânica» Cinemática Vetorial 4 Tendo em vista que os eixos são ortogonais entre si, eles também exibem tal propriedade. Em termos do produto escalar de dois vetores, o fato de serem ortogonais entre si se escreve como: i j = i k = j k =0 ( 3 ) Ademais, são válidas as seguintes relações envolvendo produtos vetoriais: ( i i )=( j j)= ( k k)= 0 ( i j)= ( j i )= k ( k i )= ( i k)= j ( j k)= ( k j)= i ( 4 ) Observe que, nesse contexto simples, estamos apenas trocando o conceito de três eixos orientados por três vetores que têm a direção e o sentido dos eixos. Nesse novo referencial, um vetor qualquer ( V ) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores i, j e k: V = Vxi + Vy j + Vzk ( 5 ) onde V x, V y e V z são as componentes cartesianas do vetor V. Utilizando esse referencial, fica muito fácil lidar com vetores, uma vez que as operações com tais grandezas se simplificam muito. Por exemplo, a soma (ou diferença) de dois vetores se escreve como: V1 ± V = V1xi + V1y j + V1zk ± Vxi ± Vy j ± Vzk = V ±V i V V j V V k ( ) + ± 1x ( ) + ± ( ) x 1y y 1z z Consideremos agora o produto escalar de dois vetores. Utilizando o novo referencial cartesiano, o produto escalar de dois vetores se escreve como: V1 V = ( V1xi + V1y j + V1zk) ( Vxi + Vy j + Vzk) = ( V 1 xi ) ( V xi + V y j + V zk)+ ( V 1 y j) ( V xi + V y j + V zk)+ V k V i V j V k ( 1 z ) x + y + z ( ) ( 6 ) ( 7 )
6 Mecânica» Cinemática Vetorial 5 Efetuando o produto escalar de cada um dos termos acima, utilizando as propriedades dos vetores da base (), obtemos para o produto escalar: V V = VV + VV + VV ( ) 1 1x x 1y y 1z z ( 8 ) E isso mais ilustra, mais uma vez, a enorme utilidade do uso de um referencial baseado em vetores com as propriedades apresentadas em (1). As grandezas V x, V y e V z são denominadas componentes do vetor V no referencial cartesiano. Tais componentes são definidas como produtos escalares do mesmo pelos vetores da base. Ou seja: Vx = i V Vy = j V V = k V z A definição acima mostra que, pela definição do produto escalar de vetores, as componentes são as projeções dos vetores ao longo dos respectivos eixos. Por exemplo, sendo a posição uma grandeza vetorial, o vetor posição no referencial cartesiano considerado é dado por: ( 9 ) r = xi + yj + zk ( 10 ) Estabelecendo, assim, um novo sentido o de projeção do vetor posição ao longo dos eixos para as coordenadas x, y e z. Das propriedades (8) resulta que o módulo de um vetor é definido como: V V V = V + V + V x y z ( 11 ) Finalmente, utilizando a base de vetores (1), podemos introduzir uma nova definição do produto vetorial de dois vetores, ou seja, o produto vetorial dos vetores A e B é um terceiro vetor, C, definido por: C = A B ( 1 )
7 Mecânica» Cinemática Vetorial 6 É tal que o vetor C pode, igualmente, ser definido a partir do determinante: i j k C = det Ax Ay Az Bx By B z Assim, temos um método formal de introduzir grandezas vetoriais, além da posição, por meio do uso de um referencial cartesiano baseado no uso de vetores. ( 13 ) exercícios resolvidos Referenciais Gerais O referencial cartesiano definido em termos de três vetores da base não é único. Um referencial arbitrário, nessa nova definição de referencial, consiste de um ponto de origem O e três vetores da base, não necessariamente ortogonais entre si. Isso nos levará a entender a definição de componentes do vetor posição, força, velocidade e aceleração e de outros vetores em novos referenciais. Designando os vetores da base de um referencial arbitrário por e 1, e e e 3, podemos então definir um vetor arbitrário como a combinação linear entre os vetores da base: V = Ve + V e + V e ( 14 ) onde, agora, V 1, V e V 3 são as componentes do vetor nesse referencial. Por exemplo, o vetor posição se escreve, num referencial arbitrário, como: r = xe + x e + x e ( 15 ) onde x 1, x e x 3 são as coordenadas do vetor posição nesse novo referencial. No sentido mais geral,apresentado acima, quando utilizamos coordenadas diferentes das coordenadas cartesianas, coordenadas essas representadas agora por Q 1, Q e Q 3, tal conjunto de coordenadas nos leva a uma nova escolha de referencial. Ou seja, o uso de novas coordenadas pressupõe a introdução de uma nova base de vetores que depende das coordenadas. Assim, quando Mediante uma escolha mais geral de coordenadas somos levados a uma nova base de vetores. E isso nos leva a um novo referencial generalizado.
8 Mecânica» Cinemática Vetorial 7 empregamos as novas coordenadas, devemos utilizar uma nova base de vetores, e 1, e e e 3, dependentes das coordenadas Q 1, Q e Q 3, a qual escrevemos sob a forma de funções vetoriais: e = e ( Q, Q, Q ), e = e ( Q, Q, Q ) e e = e ( Q, Q, Q ) ( 16 ) Uma vez definidas as coordenadas, existem métodos matemáticos que nos permitem determinar os vetores da base como função das mesmas. A seguir, isso será ilustrado no caso do referencial polar. Componentes de um vetor numa base generalizada. Vetores em Coordenadas Polares As coordenadas polares são definidas a partir das coordenadas cartesianas de acordo com as expressões: ou, analogamente, x = cosϕ y = sen ϕ = x + y ϕ = arctan y x ( 17 ) ( 18 ) Coordenadas polares φ e. No caso das coordenadas polares, os vetores da base (no caso, de módulo 1- versores, portanto) serão denominados e e e ϕ, os quais são definidos como: e = cosϕi + senϕj e = senϕi + cosϕj ϕ Observe que tais vetores indicam, em cada ponto de uma circunferência, a direção perpendicular a ela por aquele ponto e a direção tangencial à circunferência por esse mesmo ponto. ( 19 ) Vetores da base do referencial polar.
9 Mecânica» Cinemática Vetorial 8 Assim, um vetor V será escrito no referencial polar, como uma soma: V = V e + V e ϕ ϕ ( 0 ) onde V e V φ são as componentes polares do vetor. Antes de enunciar as leis de Newton, fazendo uso dessas coordenadas, devemos escrever a velocidade e a aceleração em coordenadas polares. Vetores Velocidade e Aceleração em coordenadas cartesianas Na cinemática vetorial, procuramos definir as grandezas vetoriais velocidade e aceleração a partir do conceito de referencial. Definimos, primeiramente, o vetor deslocamento entre dois instantes de tempo, que diferem por Δt, como a diferença entre os vetores de posição entre esses instantes (vide Figura ), ou seja: r r t+ t r t ( ) () ( 1 ) A velocidade média, v (), t é definida como o quociente entre o vetor deslocamento e o intervalo de tempo associado a ele: r() t r t t r t vt ()= ( + ) () ( ) t t O vetor velocidade é definido como a taxa de variação instantânea do vetor posição, isto é: dr () t r t+ t r t vt () = lim 0 t t ( ) () ( 3 ) O Vetor deslocamento, Δ r, é definido para dois instantes de tempo. Tendo em vista que os vetores da base são vetores constantes, observa-se que, num referencial cartesiano, o vetor velocidade é determinado derivando-se o vetor posição em relação ao tempo. Assim, escreve-se: dx v = i + dy j + dz k ( 4 )
10 Mecânica» Cinemática Vetorial 9 Assim, as componentes do vetor velocidade no sistema cartesiano são dadas por: v dx dy dz =, v = e v = x y z ( 5 ) exercícios resolvidos Vetor aceleração A fim de definir o vetor aceleração, consideremos a variação de velocidade. Definimos dois instantes de tempo que diferem por Δt. Tal variação é dada pela diferença entre os vetores velocidades entre esses instantes, ou seja: v v t+ t v t ( ) () ( 6 ) A aceleração média, a (), t é definida como o quociente entre a diferença de velocidades e o intervalo de tempo associado a ela: v() t v t+ t v t at ()= t t ( ) () O vetor aceleração é definido como a taxa de variação instantânea do vetor velocidade, isto é: dv () t v t v t t v t at () = () + lim lim t 0 t t 0 t ( ) () ( 7 ) ( 8 ) Assim, o vetor aceleração é dado pela taxa de variação instantânea do vetor velocidade: dv t at ()= () ( 9 )
11 Mecânica» Cinemática Vetorial 10 Observando que os vetores da base são vetores constantes, verificamos que num referencial cartesiano o vetor aceleração é determinado derivando-se as componentes do vetor velocidade com respeito ao tempo: dv dv a ( 30 ) i dv dv = = x + y j + z k Como resultado, as componentes do vetor aceleração podem ser escritas, no sistema cartesiano, de duas formas equivalentes, dvx d x ax = = dvy d y ( 31 ) ay = = dvz d z az = = Ou seja: d x d y d z at ()= i + j + k ( 3 ) onde o símbolo d / significa derivar duas vezes a mesma função. exercícios resolvidos
12 Mecânica» Cinemática Vetorial 11 Vetor posição e vetor velocidade em Coordenadas Polares No caso das coordenadas polares, o vetor posição é dado pela expressão: r =e ( 33 ) onde e é um dos dois vetores da base polar, dado pela expressão (17). Ele tem a mesma direção e sentido do vetor posição. O vetor velocidade é sempre dado pela taxa com que o vetor posição muda com o tempo. Derivando a expressão: r =e com relação ao tempo e utilizando a regra da cadeia para a derivada do produto de funções, temos: dr d v = + e de ( 34 ) Vetor posição no referencial polar. Derivando e com relação ao tempo, utilizando o resultado do Exercício Resolvido sobre Vetor Aceleração e a expressão (34), vemos que: dr d v = + ( 35 ) e d ϕ e ϕ Assim, as componentes do vetor velocidade em coordenadas polares são: d d v = v ϕ = ϕ ( 36 ) As expressões (36) ilustram, quando comparadas a (5), o fato de que vetores como a velocidade podem ter diferentes coordenadas em diferentes referenciais. exercícios resolvidos
13 Mecânica» Cinemática Vetorial 1 Vetor posição e vetor velocidade em Coordenadas Cilíndricas O referencial cilíndrico difere muito pouco do referencial polar, pois tudo que devemos fazer é adicionar o vetor k, já definido para o referencial cartesiano, aos dois vetores da base polar. Assim, os vetores da base nesse referencial são: e = cosϕi + senϕj ( 37 ) eϕ = senϕi + cosϕj e = k z A adição do vetor k permite-nos estudar movimentos em 3 dimensões (e não apenas no plano). O vetor posição, no referencial cilíndrico, assume a forma: r = e + zk ( 38 ) A velocidade se escreve nesse referencial como: d v = + + e d e dz ϕ k ϕ ( 39 ) Componentes de um vetor no referencial cilíndrico. Vetor aceleração em Coordenadas Polares e Cilíndricas Calculando a taxa de variação do vetor velocidade em função do tempo, verificamos, a partir de (35), que a aceleração em coordenadas polares é dada por: dv d dde d ϕ d de d d a = e + + e + ϕ ϕ + ϕ ( 40 ) ϕ. e ϕ Utilizando agora as expressões do exemplo 04 e agrupando-as, encontramos: d d d d d a e ϕ ϕ ϕ + + e ϕ ( 41 )
14 Mecânica» Cinemática Vetorial 13 Definimos a componente normal da aceleração como a que é dada pelo termo a d dϕ Definimos a aceleração centrípeta como a componente da aceleração dada por: a centrípeta dϕ e ( 4 ) ( 43 ) Finalmente, em coordenadas cilíndricas, a aceleração se escreve como: d d d d d a e ϕ ϕ ϕ d z + + eϕ + k ( 44 ) exercícios resolvidos
15 Mecânica» Cinemática Vetorial 14 Exercícios resolvidos: Referencial Cartesiano Generalizado Exercício Dados os vetores A= Axi + Ay j+ Az k e B= Bxi + By j+ Bz k, mostre que as componentes do produto vetorial V = A B são aquelas dadas pelas equações de Vetores (15). Resolução Para mostrar que as componentes do produto vetorial são aquelas dadas por a b = a b cosθ, devemos substituir os vetores A e B na equação de definição do produto vetorial V = A B e realizar as operações de multiplicação das componentes dos vetores envolvidos, ou seja, V = A B= ( Axi + Ay j+ Azk) Bxi + By j+ Bzk ( ) Aplicando a propriedade distributiva das multiplicações, temos: V = Axi ( Bxi + By j+ Bzk)+ Ay j ( Bxi + By j+ Bzk)+ Azk ( Bxi + B y j+ B z k ) = Ai x Bi x + Ai x By j+ Ai x Bk z + Ay j Bi + x A j B j A j B k y y + y z + + Ak z Bi x + Ak z By j+ Ak z Bk z. ( 45 ) ( 46 ) Multiplicando (multiplicação de escalares) os coeficientes e efetuando o produto vetorial dos vetores de base i, j, k, obtemos: V = AxBx( i i )+ AxBy( i j)+ AxBz( i k) AyBx j i Ay B + ( )+ y( j j)+ AB y z ( j k) ( 47 ) + AB z x( k i )+ AB z y( k j)+ AB z z( k k ). Considerando agora as propriedades resumidas em (4), podemos escrever: V = AxBx( 0)+ AxBy( k)+ AB x z( j) AyBx k AB y y AB y z i + ( )+ ( 0 )+ ( ) + AB ( j)+ A B ( i )+ AB ( ) z x z y z z 0. ( 48 )
16 Mecânica» Cinemática Vetorial 15 Desprezando os coeficientes multiplicados por zero, o produto vetorial é dado por: V = AyBz A B z y i + [ AB x z + AB z x] j+ AxBy AyB x k. ( 49 ) Invertendo a posição dos coeficientes de j, temos: V = AyBz A B z y i + [ AB z x AB x z] j+ AxBy AyB x k. ( 50 ) Essa expressão indica que as componentes de V são: ( ) V = A B A B x y z z y ( ) V = A B A B y z x x z ( ) V = A B A B z x y y x ( 51 ) Conforme definido em Vetores, equação (15). Outra forma de se determinar o produto escalar entre dois vetores expressos analiticamente em termos das componentes dos mesmos, é por meio do usodo determinante de uma matriz 3 3, ou seja, o produto vetorial pode ser escrito nesse novo referencial, como: i j k A A V A B A A A B B i A A y z A x z x Ay = = det x y z = det det j y z Bx B B z x B k + det y Bx By Bz ( 5 ) = ( AB y z AB z y) i ( AxBz AzBx) j+ ( AB x y AB y x) k = AB AB i A B A B j AB AB k ( ) + ( ) ( ) + y z z y z x x z x y y x
17 Mecânica» Cinemática Vetorial 16 Exercício Determine o produto vetorial V = A B, sendo A = 10 i+ 40 j e B = 30 i 50 j dois vetores pertencentes ao plano xy (pois as componentes z são nulas). Resolução Por meio do determinante, temos: i j k V = A B = det = det i det j+ det k = 0 i+ 0 j k ( ) ( 53 ) Portanto, V = 1700k ( 54 ) O produto vetorial V = A B é ortogonal ao plano definido pelos vetores A e B; como eles estão contidos no plano xy, o vetor V tem a direção do eixo z. No caso, V = 1700 k, ou seja, o seu módulo é e o seu sentido, de acordo com o gráfico, é oposto ao sentido positivo do eixo 0z (portanto, penetrando na folha do papel). Vetores A e B pertencentes ao plano xy. O eixo 0z, nesse caso, está saindo do plano do papel e é perpendicular a ele.
18 Mecânica» Cinemática Vetorial 17 Exercício Resolução Dados os vetores c = 5i + 6 j e d = 8i 5 j, determine: a. o produto escalar c d. b. o ângulo θ entre c e d. a. Efetuando a Multiplicação escalar dos vetores c e d, tem-se: c d = ( 5i+ 6j) ( 8i 5j) = 5i ( 8i 5j)+ 6j ( 8i 5 j) = 40 ( i i )+ 5 ( i j )+ 48 ( j i ) 30( j j) Mas, ( i i )=( j j)= 1, pois, além de i = j, o ângulo entre eles é 0 e cos0 = 1 ( i i )=( j j) = 0, pois o ângulo entre eles é 90 e cos90 = 0. Portanto: c d = 40 ( i i)+ 5 ( i j)+ 48 ( j i) 30 ( j j)= = 10 c d = 10 ( 55 ) ( 56 ) b. Do produto escalar c d c = c d cosθ temos cosθ= d. O produto escalar c d = 10 (determinado anteriormente); c d ( ) = c = = 61 e d = ; portanto, cos θ= c d 10 = 0, 136 θ 0, 136 8, c d arccos ( )( ) = = ( )= ( 57 )
19 Mecânica» Cinemática Vetorial 18 Exercícios Resolvidos: Vetores Velocidade e Aceleração em coordenadas cartesianas Exercício Uma partícula em movimento num referencial cartesiano ocupa posições P(x, y, z) com x = x(t), y = y(t) e z = z(t). No caso em que as coordenadas variem com o tempo (em unidades do SI) de acordo com as expressões: x(t) = t²; y(t) = 10 t²; z(t) = 0, ( 58 ) determine: a. vetor posição da partícula em função do tempo; b. as posições e os vetores posições nos instantes t = 0,1, e 3 s; c. equação da trajetória da partícula. Resolução a. O vetor posição mais geral possível, é dado por r() t = xt () i + y() t j + z() t k ( 59 ) Substituindo as coordenadas em função do tempo, obtemos: r t t² i 10 t² j () = [ ] + [ ] ( 60 ) Como z(t) = 0, a partícula move-se no plano xy.
20 Mecânica» Cinemática Vetorial 19 b. A tabela mostra os vetores posições e as posições P(x, y, z) para os instantes solicitados: t Vetor posição Posição P 0 r 0 0 i 10 j 0k ( ) = + + P0 (0, 10, 0) 1 r 1 1i 8j 0k ()= + + P 1 (1, 8, 0) r( )= 4 i + j + 0k P (4,, 0) 3 r( 3)= 9 i 8j + 0k P 3 (9, 8, 0) O gráfico ao lado esquematiza a trajetória num referencial cartesiano plano. Ele mostra que os pontos P que a partícula ocupa pertencem a uma reta, ou seja, que a trajetória da partícula é retilínea. c. Nesse caso (movimento no plano), a equação da trajetória pode ser obtida eliminando-se o parâmetro t das equações x = t² e y = 10 t². Como t² = x, substituindo-o em y temos: Vetor posição em diferentes instantes de tempo. O segmento em azul representa a trajetória da partícula. y = 10 (x), ( 61 ) que é a equação de uma reta no plano xy (Segmento em azul no gráfico).
21 Mecânica» Cinemática Vetorial 0 Exercício Considere o vetor posição dado por r t t² i 10 t² j 0 k ()=[ ] + [ ] + [ ] ( 6 ) que descreve o movimento da partícula mencionada no Exercício Resolvido sobre Referencial Cartesiano Generalizado. Com base nessas informações, determine: a. O vetor velocidade da partícula em função do tempo; b. O módulo da velocidade no instante t = 0. Resolução Vetor velocidade: O vetor velocidade é obtido tomando-se a derivada de primeira ordem do vetor posição em relação ao tempo: Portanto, vt ()= dr() t d t d t = ( ) 10 i + ( ) j ( 63 ) vt ti 4t j ti 4tj ()= + ( ) = ( 64 ) módulo do vetor velocidade instantânea O módulo de um vetor cujas componentes sejam V x, V y e V z pode ser determinado pela expressão: V = ( Vx) + ( Vy) + ( Vz ). ( ) No caso em tela, V x = t, V y = 4t e V z = 0; logo, v()= t ( t) + 4t Portanto, para t = 0, a velocidade é v = 0.. Portanto, V()= t ( 0 ) t (s; m/s).
22 Mecânica» Cinemática Vetorial 1 Exercícios Resolvidos: Vetor Aceleração Exercício Uma partícula move-se de tal forma que o vetor posição varia com o tempo da forma: r t 0i 60t j 80t 5 t² k ()= +[ ] + [ ] ( 65 ) Adotando o sistema de unidades SI, determinar: a. a expressão cartesiana do vetor velocidade em função do tempo. b. a aceleração da partícula no mesmo referencial. Resolução Conhecido o vetor posição r = r () t tem-se que: O vetor velocidade é a derivada de primeira ordem do vetor posição com respeito ao tempo ( dr v = ). A aceleração é a derivada de primeira ordem, com respeito ao tempo, do vetor velocidade dv d ( a = ) ou, analogamente, a derivada de segunda ordem do vetor posição (a = ( r )) [derivar o vetor posição vezes seguidas]. Assim, obtemos: a. Para o vetor velocidade dr() t vt ()= = ( 60) j + ( t ) k ( 66 ) b. E para o vetor aceleração: at ()= dv() t = 10 k ( 67 )
23 Mecânica» Cinemática Vetorial Exercícios Resolvidos: Vetor posição e vetor velocidade em Coordenadas Polares Exercício As expressões cartesianas dos vetores da base são dadas em (19). Notamos que os vetores da base polar ( e e e ϕ ) são perpendiculares entre si. Com o movimento da partícula, o ângulo φ muda com o tempo. O mesmo ocorre com os vetores de base polares. Apesar de terem módulo igual a 1, as suas direções variam com o tempo, pois φ = φ(t). a. Mostre que de dϕ e = ϕ ( 68 ) b. E que d e ( ϕ ) = dϕ e ( 69 ) Vetores da base e e e ϕ num ponto P do plano. Projeções cartesianas dos vetores da base.
24 Mecânica» Cinemática Vetorial 3 Resolução Os vetores i e j são constantes em relação ao tempo: di dj = = 0. O argumento das funções cosφ e senφ varia com o tempo; logo, as suas derivadas em relação ao tempo são expressas como o produto da derivada da função pela derivada do argumento. Assim, de d d d d i j ( 70 ) d i ϕ ϕ ϕ ϕ d ϕ dϕ = ( cos ) + ( sen ) = ( cos ) + ( sen ) j = ϕ dϕ d d d i j i + senϕ ϕ cosϕ ϕ = ϕ senϕ + cosϕj O fator entre colchetes é a expressão cartesiana de e ϕ. Portanto, conclui-se que, de dϕ e = ϕ ( 71 ) Consideremos agora a derivada do versor e ϕ em relação ao tempo. Com base na expressão (19) e lembrando que os versores i e j são constantes no tempo, deduzimos que de d d d ϕ ϕ ϕ ϕ = ( sen ) i + ( cos ) j = cosϕi sen ϕj ( ) ( 7 ) O último termo, de acordo com (19), é e. Portanto, d e ( ϕ ) = dϕ e ( 73 )
25 Mecânica» Cinemática Vetorial 4 Exercício O movimento de uma partícula é descrito, em coordenadas polares, pelas expressões: = + cosφ φ = π.t ( 74 ) em unidades do SI. A partir dos dados acima, determine: O vetor posição em coordenadas polares. A velocidade V () t em coordenadas polares. Quais as componentes polares da velocidade? Resolução a. Vetor posição Como = + cosφ e φ = π t, obtemos r = ( + cosπt) e ( 75 ) b. Vetor velocidade em coordenadas polares. Por definição a velocidade é dada por: d d d V = ( t e t e t + ) = ( + ) cosπ cosπ + ( + cos π ) e ( 76 ) Efetuando as derivadas e utilizando o resultado do Exemplo 06, e lembrando que φ = πt, tem-se que V = πsenπt e π πcos πt e ( ) + ( + ) ϕ ( 77 ) c. Componentes polares De acordo com a definição das componentes polares, e da expressão acima, resulta que: V = πsenπt(componente de V na direção radial) Vφ = + (π + πcosπt) (componente de V na direção polar) ( 78 ) As coordenadas polares, bem como os vetores da base, variam com o tempo durante o movimento.
26 Mecânica» Cinemática Vetorial 5 Exercícios Resolvidos: Vetor aceleração em Coordenadas Polares e Cilíndricas Exercício Um satélite geoestacionário tem órbita circular de raio R concêntrica ao globo terrestre e tem período igual ao da Terra, ou seja, completa uma volta no plano que contém o equador terrestre em 4 horas. dϕ Adotando um sistema de coordenadas polares (, φ) e considerando ω = = velocidade angular do vetor posição do satélite, determinar (em coordenadas polares): a. O vetor posição r b. A velocidade V c. A aceleração a (a) Referencial polar: definido pelas coordenadas polares e pelos vetores da base. (b) Uso do referencial polar na descrição de movimentos circulares adotando a origem do referencial de tal forma a fazê-lo coincidir com o centro da Terra.
27 Mecânica» Cinemática Vetorial 6 Resolução O esquema da Figura (a) representa o movimento circular do satélite geoestacionário e as coordenadas polares. Na Figura (b) apresentamos o referencial polar, constituído de dois vetores característicos desse referencial. a. Para um movimento circular,de raio fixo ( = R), o vetor posição é dado por: r = e = Re ( 79 ) Observe que r varia com o tempo, uma vez que o vetor da base e muda de direção no decorrer do movimento. b. A velocidade é a taxa de variação instantânea do vetor posição. Portanto, dr d d R v Re e R de R d e = = ( )= ( ) ϕ + = 0 + Como, nesse caso, d ϕ = ω, obtemos que a velocidade é dada por: v ωr e = ( ) ϕ ϕ ( 80 ) ( 81 ) Por definição, o vetor da base e ϕ é tangencial à órbita. O módulo de V é V = ωr sendo, portanto, constante, pois ω e R são invariáveis para o satélite geoestacionário. c. A aceleração vetorial é a taxa de variação instantânea da velocidade: d a Re R d d = ( e R ω )= ( ω ) ( )= ( ω ) ϕ e Re = ω ϕ ϕ ( 8 ) Portanto, no movimento circular, a aceleração vetorial é dada por: a = ω Re ( 83 )
28 Mecânica» Cinemática Vetorial 7 Logo, o módulo da aceleração é a = ωr; sua direção é radial, ou seja, da reta que passa pelo centro da Terra e pelo satélite, e a aceleração é um vetor dirigido para o centro da órbita circular. Por isso, essa aceleração é também denominada aceleração centrípeta.
29 Mecânica» Cinemática Vetorial 8 Como usar este ebook Orientações gerais Caro aluno, este ebook contém recursos interativos. Para prevenir problemas na utilização desses recursos, por favor acesse o arquivo utilizando o Adobe Reader (gratuito) versão 9.0 ou mais recente. Botões Indica pop-ups com mais informações. Sinaliza um recurso midiático (animação, áudio etc.) que pode estar incluído no ebook ou disponível online. Ajuda (retorna a esta página). Créditos de produção deste ebook. Indica que você acessará um outro trecho do material. Quando terminar a leitura, use o botão correspondente ( ) para retornar ao ponto de origem. Bons estudos!
30 Mecânica» Cinemática Vetorial 9 Créditos Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP). Autoria: Gil da Costa Marques. Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura. Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro. Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru. Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira. Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S. Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein. Fotografia: Jairo Gonçalves.
Dinâmica do Movimento dos Corpos CINEMÁTICA VETORIAL5. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques
CINEMÁTICA VETORIAL5 Gil da Costa Marques 5.1 Referenciais 5. Vetores e Referenciais Cartesianos 5.3 Referenciais Gerais 5.4 Vetores em Coordenadas Polares 5.5 Vetores Velocidade e Aceleração em coordenadas
Leia maisTÓPICO. Fundamentos da Matemática II GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS1. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques
GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS1 TÓPICO Gil da Costa Marques Fundamentos da Matemática II 1.1 Grandezas Escalares e Vetoriais 1.2 Representando vetores 1.3 Operação com vetores 1.3.1 Multiplicação por
Leia mais1: Grandezas vetoriais e grandezas escalares
1 1: Grandezas vetoriais e grandezas escalares A Física lida com um amplo conjunto de grandezas Dentro dessa gama enorme de grandezas existem algumas cuja caracterização completa requer tão somente um
Leia maisEletromagnetismo. Eletrostática: O campo elétrico
Eletromagnetismo Eletrostática: O campo elétrico Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico Introdução A eletrostática é a área do eletromagnetismo na qual se estuda o comportamento e as consequências
Leia maisTÓPICO. Fundamentos da Matemática II INTRODUÇÃO AO CÁLCULO VETORIAL. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO VETORIAL Gil da Costa Marques TÓPICO Fundamentos da Matemática II.1 Introdução. Funções vetoriais de uma variável. Domínio e conjunto imagem.4 Limites de funções vetoriais de uma
Leia maisRelatividade O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz
Relatividade O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 1 Introdução O segundo postulado da teoria de
Leia maisMOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: MECÂNICA E TERMODINÂMICA MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES Prof. Bruno Farias Introdução Neste módulo
Leia maisTÓPICO. Fundamentos da Matemática II APLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques
APLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA 4 Gil da Costa Marques TÓPICO Fundamentos da Matemática II 4.1 Geometria Analítica e as Coordenadas Cartesianas 4.2 Superfícies 4.2.1 Superfícies planas 4.2.2 Superfícies
Leia maisMecânica. Outras Coordenadas
Mecânica Outras Coordenadas Mecânica» Outras Coordenadas 1 Coordenadas mais gerais Exceto em casos especiais, como naqueles localizados ao longo de curvas, na grande maioria das vezes, estamos interessados
Leia maisCinemática em 2D e 3D
Cinemática em 2D e 3D o vetores posição, velocidade e aceleração o movimento com aceleração constante, movimento de projéteis o Cinemática rotacional, movimento circular uniforme Movimento 2D e 3D Localizar
Leia maisVETORES4. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques
VETORES4 Gil da Costa Marques Dinâmica do Movimento Título da dos Disciplina Corpos 4.1 Introdução 4.2 Grandezas Vetoriais e Grandezas Escalares 4.3 Representação Gráfica de Vetores 4.4 Representação Analítica
Leia maisTÓPICO. Fundamentos da Matemática II FUNÇÕES VETORIAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques
FUNÇÕES VETORIAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS 5 Gil da Costa Marques TÓPICO Fundamentos da Matemática II 5. Introdução 5. Funções vetoriais de duas variáveis 5.3 Representação gráfica de funções vetoriais 5.4
Leia maisAPLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA
4 APLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA Gil da Costa Marques 4.1 Geometria Analítica e as Coordenadas Cartesianas 4. Superfícies 4..1 Superfícies planas 4.. Superfícies limitadas e não limitadas 4.3 Curvas
Leia maisInstituto de Física Universidade Federal do Rio de Janeiro. Cap. 1 - Vetores. Prof. Elvis Soares - Física I
Instituto de Física Universidade Federal do Rio de Janeiro Cap. 1 - Vetores Prof. Elvis Soares - Física I 2014.1 Vetores são descrições matemáticas de quantidades que possuem intensidade, direção e sentido.
Leia maisCAPÍTULO 11 ROTAÇÕES E MOMENTO ANGULAR
O que vamos estudar? CAPÍTULO 11 ROTAÇÕES E MOMENTO ANGULAR Seção 11.1 Cinemática do corpo rígido Seção 11.2 Representação vetorial das rotações Seção 11.3 Torque Seção 11.4 Momento angular Seção 11.5
Leia maisFísica. Física Módulo 1 Velocidade Relativa, Movimento de Projéteis, Movimento Circular
Física Módulo 1 Velocidade Relativa, Movimento de Projéteis, Movimento Circular Velocidade Relativa Um Gedankenexperiment Imagine-se agora em um avião, a 350 km/h. O destino (a direção) é por conta de
Leia maisMecânica. Dinâmica do Corpo Rígido
Mecânica Dinâmica do Corpo Rígido Mecânica» Dinâmica do Corpo Rígido 1 Introdução A equação básica descrevendo o movimento de rotação estabelece a relação entre um torque aplicado ao corpo e a variação
Leia mais1 Vetores no Plano e no Espaço
1 Vetores no Plano e no Espaço Definimos as componentes de um vetor no espaço de forma análoga a que fizemos com vetores no plano. Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas retangulares no
Leia maisCap. 3 - Cinemática Tridimensional
Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física I IGM1 2014/1 Cap. 3 - Cinemática Tridimensional Prof. Elvis Soares 1 Cinemática Vetorial Para determinar a posição de uma partícula no
Leia maisCapítulo 11 Rotações e Momento Angular
Capítulo 11 Rotações e Momento Angular Corpo Rígido Um corpo rígido é um corpo ideal indeformável de tal forma que a distância entre 2 pontos quaisquer do corpo não muda nunca. Um corpo rígido pode realizar
Leia maisFísica para Zootecnia
Física para Zootecnia Rotação - I 10.2 As Variáveis da Rotação Um corpo rígido é um corpo que gira com todas as partes ligadas entre si e sem mudar de forma. Um eixo fixo é um eixo de rotação cuja posição
Leia maisCENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I ROTAÇÃO. Prof.
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I ROTAÇÃO Prof. Bruno Farias Introdução Neste capítulo vamos aprender: Como descrever a rotação
Leia maisCálculo Vetorial / Ilka Rebouças Freire / DMAT UFBA
Cálculo Vetorial / Ilka Rebouças Freire / DMAT UFBA 1. Funções Vetoriais Até agora nos cursos de Cálculo só tratamos de funções cujas imagens estavam em R. Essas funções são chamadas de funções com valores
Leia maisUniversidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física. Física I IGM1 2014/1. Cap. 1 - Vetores. Prof. Elvis Soares
Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física I IGM1 2014/1 Cap. 1 - Vetores Prof. Elvis Soares Vetores são descrições matemáticas de quantidades que possuem intensidade, direção e
Leia maisCENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I ROTAÇÃO. Prof.
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I ROTAÇÃO Prof. Bruno Farias Introdução Neste capítulo vamos aprender: Como descrever a rotação
Leia maisDeduza a Equação de Onda que representa uma onda progressiva unidimensional, numa corda de massa M e comprimento L.
Deduza a Equação de Onda que representa uma onda progressiva unidimensional, numa corda de massa M e comprimento L. Esquema do problema Consideremos uma corda longa, fixa nas extremidades, por onde se
Leia maisRelatividade. Vetores, Escalares e Tensores
Relatividade Vetores, Escalares e Tensores Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 1 Grandeas Vetoriais e Grandeas Escalares A física lida com uma gama muito grande de grandeas físicas. Na mecânica
Leia maisFísica aplicada à engenharia I
Física aplicada à engenharia I Rotação - I 10.2 As Variáveis da Rotação Um corpo rígido é um corpo que gira com todas as partes ligadas entre si e sem mudar de forma. Um eixo fixo é um eixo de rotação
Leia maisEletromagnetismo. A Lei de Ampère
Eletromagnetismo A Lei de Ampère Eletromagnetismo» A Lei de Ampère 1 O Campo Magnético O conceito de campo desempenha um papel central no eletromagnetismo bem como em relação às demais interações. Isso
Leia mais2 Cinemática 2.1 CINEMÁTICA DA PARTÍCULA Descrição do movimento
2 Cinemática A cinemática tem como objeto de estudo o movimento de sistemas mecânicos procurando descrever e analisar movimento do ponto de vista geométrico, sendo, para tal, irrelevantes os fenómenos
Leia maisCapítulo 9 - Rotação de Corpos Rígidos
Aquino Lauri Espíndola 1 1 Departmento de Física Instituto de Ciências Exatas - ICEx, Universidade Federal Fluminense Volta Redonda, RJ 27.213-250 1 de dezembro de 2010 Conteúdo 1 e Aceleração Angular
Leia maisSistema de Coordenadas Intrínsecas
Sistema de Coordenadas Intrínsecas Emílio G. F. Mercuri a a Professor do Departamento de Engenharia Ambiental, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, Paraná Resumo Depois da introdução a cinemática
Leia maisCURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Vetores. Mateus Barros 3º Período Engenharia Civil
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2018.1 Vetores Mateus Barros 3º Período Engenharia Civil Definição O que é um vetor? Um vetor é um segmento de reta orientado, que representa uma grandeza
Leia maisMecânica. Colisões de Duas Partículas
Mecânica Colisões de Duas Partículas Mecânica» Colisões de Duas Partículas 1 Colisões de Duas Partículas A situação experimental mais simples é aquela em que, no estágio inicial, temos duas partículas
Leia maisVETOR POSIÇÃO 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
VETOR POSIÇÃO r = xi + yj + zk VETOR DESLOCAMENTO Se uma partícula se move de uma posição r 1 para outra r 2 : r = r 2 r 1 r = x 2 x 1 i + y 2 y 1 j + z 2 z 1 k VETORES VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA
Leia maisFísica Geral Grandezas
Física Geral Grandezas Grandezas físicas possuem um valor numérico e significado físico. O valor numérico é um múltiplo de um padrão tomado como unidade. Comprimento (m) Massa (kg) Tempo (s) Corrente elétrica
Leia maisMovimento em duas ou mais dimensões. Prof. Ettore Baldini-Neto
Movimento em duas ou mais dimensões Prof. Ettore Baldini-Neto A partir de agora, generalizamos a discussão que fizemos para o movimento retilíneo para mais dimensões. A grande diferença é que o cálculo
Leia maisNesta aula, continuaremos a estudar a parte da física que analisa o movimento, mas agora podem ser em duas ou três dimensões.
Parte 1 Movimento em 2 ou 3 dimensões Nesta aula, continuaremos a estudar a parte da física que analisa o movimento, mas agora podem ser em duas ou três dimensões. 1 - Posição e Deslocamento A localização
Leia maisQUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-5)
Física I para a Escola Politécnica (4323101) - P1 (10/04/2015) [16A7]-p1/6 QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-5) ando necessário, use g=10 m/s 2 (1) [1,0 pt] A figura abaixo representa dois blocos 1 e 2,
Leia maisA Derivada. Derivadas Aula 16. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil
Derivadas Aula 16 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 04 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014104 - Engenharia Mecânica A Derivada Seja x = f(t)
Leia maisLista 8 : Cinemática das Rotações NOME:
Lista 8 : Cinemática das Rotações NOME: Turma: Prof. : Matrícula: Importante: i. Nas cinco páginas seguintes contém problemas para se resolver e entregar. ii. Ler os enunciados com atenção. iii. Responder
Leia maisTranslação e Rotação Energia cinética de rotação Momentum de Inércia Torque. Física Geral I ( ) - Capítulo 07. I. Paulino*
ROTAÇÃO Física Geral I (1108030) - Capítulo 07 I. Paulino* *UAF/CCT/UFCG - Brasil 2012.2 1 / 25 Translação e Rotação Sumário Definições, variáveis da rotação e notação vetorial Rotação com aceleração angular
Leia mais1. Seja θ = ang (r, s). Calcule sen θ nos casos (a) e (b) e cos θ nos casos (c) e (d): = z 3 e s : { 3x + y 5z = 0 x 2y + 3z = 1
14 a lista de exercícios - SMA0300 - Geometria Analítica Estágio PAE - Alex C. Rezende Medida angular, distância, mudança de coordenadas, cônicas e quádricas 1. Seja θ = ang (r, s). Calcule sen θ nos casos
Leia maisMovimento Circular e Uniforme
A principal característica desse tipo de movimento é que a partícula ou o corpo no qual estamos considerando tem o módulo da velocidade constante na sua trajetória circular. Exemplos: - Satélites na órbita
Leia maisFEP2195-Física Geral e Exp. para a Engenharia I - 1 a Prova - Gabarito 11/04/2013
FEP2195-Física Geral e Exp. para a Engenharia I - 1 a Prova - Gabarito 11/04/2013 1) Sabendo-se que a posição de uma partícula, em relação à origem O do plano xy, é determinada pelo vetor: ( ) 1 m r (t)
Leia maisDinâmica do Movimento dos Corpos
2 Outras coordenadas Gil da Costa Marques 2.1 Coordenadas mais gerais 2.2 Superfícies e curvas generalizadas 2.3 Coordenadas Cartesianas 2.4 Coordenadas Cilíndricas 2.5 Coordenadas Polares 2.6 Coordenadas
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ Pró-Reitoria de Graduação - PRG Coordenação de Processos Seletivos COPS
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ Pró-Reitoria de Graduação - PRG Coordenação de Processos Seletivos COPS PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR 28/06/2015 Física
Leia maisFísica Geral Grandezas
Física Geral Grandezas Grandezas físicas possuem um valor numérico e significado físico. O valor numérico é um múltiplo de um padrão tomado como unidade. Comprimento (m) Massa (kg) Tempo (s) Corrente elétrica
Leia maisO Triedro de Frenet. MAT Cálculo Diferencial e Integral II Daniel Victor Tausk
O Triedro de Frenet MAT 2454 - Cálculo Diferencial e Integral II Daniel Victor Tausk Seja γ : I IR 3 uma curva de classe C 3 definida num intervalo I IR. Assuma que γ é regular, ou seja, γ (t) 0 para todo
Leia maisObservação: i.e. é abreviação da expressão em latim istum est, que significa isto é.
Um disco de raio R rola, sem deslizar, com velocidade angular ω constante ao longo de um plano horizontal, sendo que o centro da roda descreve uma trajetória retilínea. Suponha que, a partir de um instante
Leia maisAULA 43 RELAÇÃO ENTRE O MOVIMENTO HARMÔNICO E O MOVIMENTO CIRCULAR
AULA 43 RELAÇÃO ENTRE O MOVIMENTO HARMÔNICO E O MOVIMENTO CIRCULAR OBJETIVOS: ESTUDAR A RELAÇÃO DO MOVIMENTO HARMÔNICO COM O CIRCULAR, MOSTRANDO QUE ESTE É UMA COMPOSIÇÃO DE DOIS MOVIMENTOS HARMÔNICOS
Leia maisAlexandre Diehl Departamento de Física UFPel
- 6 Alexandre Diehl Departamento de Física UFPel Características do movimento Módulo do vetor velocidade é constante. O vetor velocidade muda continuamente de direção e sentido, ou seja, existe aceleração.
Leia mais21/Fev/2018 Aula 2. 19/Fev/2018 Aula 1
19/Fev/018 Aula 1 1.1 Conceitos gerais 1.1.1 Introdução 1.1. Unidades 1.1.3 Dimensões 1.1.4 Estimativas 1.1.5 Resolução de problemas - método 1.1.6 Escalares e vetores 1. Descrição do movimento 1..1 Distância
Leia maisImagine que estamos observando a formiguinha abaixo:
1 INTRODUÇÃO À Imagine que estamos observando a formiguinha abaixo: Sabemos que ela caminha com uma determinada velocidade v, com uma aceleração a e que a cada instante t, ela avança sua posição x. Se
Leia maisn. 9 VERSOR_EXPRESSÃO CARTESIANA_PARALELISMO_COPLANARIDADE_ COLINEARIDADE Como o versor é um vetor unitário, temos que v = 1
n. 9 VERSOR_EXPRESSÃO CARTESIANA_PARALELISMO_COPLANARIDADE_ COLINEARIDADE Definição Dado um vetor u 0, chama-se versor do vetor u, um vetor unitário, paralelo e de mesmo sentido que u. Logo, se considerarmos
Leia maisResposta: (A) o traço é positivo (B) o determinante é negativo (C) o determinante é nulo (D) o traço é negativo (E) o traço é nulo.
MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO 201/2018 EIC0010 FÍSICA I 1º ANO, 2º SEMESTRE 12 de junho de 2018 Nome: Duração 2 horas. Prova com consulta de formulário e uso de computador. O formulário
Leia maisFunções Vetoriais. Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
13 Funções Vetoriais Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 1 13.4 Movimento no Espaço: Velocidade e Aceleração Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Movimento no
Leia maisFundamentos de Matemática II DERIVADAS PARCIAIS7. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques
DERIVADAS PARCIAIS7 Gil da Costa Marques 7.1 Introdução 7. Taas de Variação: Funções de uma Variável 7.3 Taas de variação: Funções de duas Variáveis 7.4 Taas de Variação: Funções de mais do que duas Variáveis
Leia maisJ. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
178 Capítulo 10 Equação da reta e do plano no espaço 1. Equações paramétricas da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que
Leia maisMecânica. Movimento: Conceitos Cinemáticos
Mecânica Movimento: Conceitos Cinemáticos Mecânica» Movimento: Conceitos Cinemáticos 1 Movimentos no Universo O movimento é o fenômeno mais evidente no mundo físico, pois convivemos com ele no dia a dia.
Leia mais1. Sobre uma mesa sem atrito, um objeto sofre a ação de duas forças F 1 9 N e F2
1. Sobre uma mesa sem atrito, um objeto sofre a ação de duas forças F 1 9 N e F2 15 N, que estão dispostas de modo a formar entre si um ângulo de 120. A intensidade da força resultante, em newtons, será
Leia maisLista de Exercícios de Cálculo 3 Terceira Semana
Lista de Exercícios de Cálculo 3 Terceira Semana Parte A 1. Reparametrize as curvas pelo parâmetro comprimento de arco medido a partir do ponto t = 0 na direção crescente de t. (a) r(t) = ti + (1 3t)j
Leia maisMecânica Analítica. Dinâmica Hamiltoniana. Licenciatura em Física. Prof. Nelson Luiz Reyes Marques MECÂNICA ANALÍTICA PARTE 2
Mecânica Analítica Dinâmica Hamiltoniana Licenciatura em Física Prof. Nelson Luiz Reyes Marques Princípio de Hamilton O caminho real que uma partícula percorre entre dois pontos 1 e 2 em um dado intervalo
Leia maisMOVIMENTO RETILÍNEO. Prof. Bruno Farias
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I MOVIMENTO RETILÍNEO Prof. Bruno Farias Introdução Por que estudar mecânica? Porque o mundo,
Leia maisFigura 9.1: Corpo que pode ser simplificado pelo estado plano de tensões (a), estado de tensões no interior do corpo (b).
9 ESTADO PLANO DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES As tensões e deformações em um ponto, no interior de um corpo no espaço tridimensional referenciado por um sistema cartesiano de coordenadas, consistem de três componentes
Leia maisApresentaremos as equações do plano: Equação vetorial e Equação geral do. = AB e v. C A u B. ) não-colineares do plano.
CAPÍTULO VIII PLANO Consideremos em V 3 o sistema de referência (O, i, j, k ), onde E = ( i, j, k ) é base ortonormal positiva e O(0, 0, 0). 8.1. EQUAÇÕES DO PLANO plano. Apresentaremos as equações do
Leia maisGeometria Analítica II - Aula 5 108
Geometria Analítica II - Aula 5 108 IM-UFF Aula 6 Superfícies Cilíndricas Sejam γ uma curva contida num plano π do espaço e v 0 um vetor não-paralelo ao plano π. A superfície cilíndrica S de diretriz γ
Leia maisAnálise Vetorial. Capítulo Sejam os dois segmentos de reta AB e CD, com AB = B A tal que:
Capítulo 1 Análise etorial 1.1 ejam os dois segmentos de reta AB e CD, com AB = B A e CD = D C, tal que: AB = î 2ĵ ˆk CD = 3î 6ĵ 3ˆk Para verificar que AB e CD são paralelos basta verificar que AB CD =
Leia maisObservação: i.e. é abreviação da expressão em latim istum est, que significa isto é.
Um disco de raio R rola, sem deslizar, com velocidade angular ω constante ao longo de um plano horizontal, sendo que o centro da roda descreve uma trajetória retilínea. Suponha que, a partir de um instante
Leia maisMaterial Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Produto Vetorial. Terceiro Ano - Médio
Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3 Produto Vetorial Terceiro Ano - Médio Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto Nesta aula, estudaremos uma operação definida
Leia maisFundamentos da Eletrostática Aula 02 Cálculo Vetorial: derivadas
Campo Escalar e Gradiente Fundamentos da Eletrostática Aula 02 Cálculo Vetorial: derivadas Prof. Alex G. Dias (alex.dias@ufabc.edu.br) Prof. Alysson F. Ferrari (alysson.ferrari@ufabc.edu.br) Um campo escalar
Leia maisCap. 9 - Rotação do Corpo Rígido. 1 Posição, Velocidade e Aceleração Angulares
Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física I IGM1 2014/1 Cap. 9 - Rotação do Corpo Rígido Prof. Elvis Soares Para nós, um corpo rígido é um objeto indeformável, ou seja, nesse corpo
Leia mais6.1 equações canônicas de círculos e esferas
6 C Í R C U LO S E E S F E R A S 6.1 equações canônicas de círculos e esferas Um círculo é o conjunto de pontos no plano que estão a uma certa distância r de um ponto dado (a, b). Desta forma temos que
Leia maisCapítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que
Capítulo 11 1. Equações da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que AP = t AB Fig. 1: Reta r passando por A e B. Como o ponto
Leia maisNotação Científica. n é um expoente inteiro; N é tal que:
Física 1 Ano Notação Científica n é um expoente inteiro; N é tal que: Exemplos: Notação Científica Ordem de Grandeza Qual a ordem de grandeza? Distância da Terra ao Sol: Massa de um elétron: Cinemática
Leia maisDerivadas Parciais Capítulo 14
Derivadas Parciais Capítulo 14 DERIVADAS PARCIAIS 14.6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente Nesta seção, vamos aprender como encontrar: As taxas de variação de uma função de duas ou mais variáveis
Leia maisLista 3: Geometria Analítica
Lista 3: Geometria Analítica A. Ramos 25 de abril de 2017 Lista em constante atualização. 1. Equação da reta e do plano; 2. Ângulo entre retas e entre planos. Resumo Equação da reta Equação vetorial. Uma
Leia maisraio do arco: a; ângulo central do arco: θ 0; carga do arco: Q.
Sea um arco de circunferência de raio a e ângulo central carregado com uma carga distribuída uniformemente ao longo do arco. Determine: a) O vetor campo elétrico nos pontos da reta que passa pelo centro
Leia maisNey Lemke. Departamento de Física e Biofísica
Revisão Matemática Ney Lemke Departamento de Física e Biofísica 2010 Vetores Sistemas de Coordenadas Outline 1 Vetores Escalares e Vetores Operações Fundamentais 2 Sistemas de Coordenadas Coordenadas Cartesianas
Leia maisEletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza. Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho
de Carvalho Revisão Analise Vetorial e Sist. de Coord. Revisão básica álgebra vetorial e Sist. de Coordenadas (Páginas 1 a 22 no Livro texto) Objetivo: Introduzir notação que será usada neste e nos próximos
Leia maisJ. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
76 Capítulo 4 Distâncias no plano e regiões no plano 1. Distância de um ponto a uma reta Dados um ponto P e uma reta r no plano, já sabemos calcular a distância de P a cada ponto P r. Definição 1 Definimos
Leia maisGeometria Analítica. Prof Marcelo Maraschin de Souza
Geometria Analítica Prof Marcelo Maraschin de Souza Vetor Definido por dois pontos Seja o vetor AB de origem no ponto A(x 1, y 1 ) e extremidade no ponto B(x 2, y 2 ). Qual é a expressão algébrica que
Leia maisAula do cap. 10 Rotação
Aula do cap. 10 Rotação Conteúdo da 1ª Parte: Corpos rígidos em rotação; Variáveis angulares; Equações Cinemáticas para aceleração Angular constante; Relação entre Variáveis Lineares e Angulares; Referência:
Leia mais14 AULA. Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais LIVRO
1 LIVRO Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais 14 AULA META Definir o vetor gradiente de uma função de duas variáveis reais e interpretá-lo geometricamente. Além disso, estudaremos a derivada direcional
Leia maisBacharelado Engenharia Civil
Bacharelado Engenharia Civil Física Geral e Experimental I Prof.a: Érica Muniz 1 Período Lançamentos Movimento Circular Uniforme Movimento de Projéteis Vamos considerar a seguir, um caso especial de movimento
Leia mais28/Fev/2018 Aula Aplicações das leis de Newton do movimento 4.1 Força de atrito 4.2 Força de arrastamento Exemplos.
28/Fev/2018 Aula 4 4. Aplicações das leis de Newton do movimento 4.1 Força de atrito 4.2 Força de arrastamento Exemplos 5/Mar/2018 Aula 5 5.1 Movimento circular 5.1.1 Movimento circular uniforme 5.1.2
Leia maisMETA 2 CINEMÁTICA VETORIAL
META 2 CINEMÁTICA VETORIAL As grandezas da cinemática escalar (posição, deslocamento, velocidade e aceleração) ganham nova cara. Agora não importa mais somente o módulo da grandeza, mas também sua direção
Leia maisMovimento em duas e três dimensões
Movimento em duas e três dimensões Professor: Carlos Alberto Disciplina: Física Geral I Objetivos de aprendizagem Ao estudar este capítulo você aprenderá: Como representar a posição de um corpo em duas
Leia maisComponente Química 11ºAno Professora Paula Melo Silva Unidade 1 Mecânica 1.1. Tempo, posição e velocidade
Referencial e posição: coordenadas cartesianas em movimentos retilíneos Componente Química 11ºAno Professora Paula Melo Silva Unidade 1 Mecânica 1.1. Tempo, posição e velocidade Distância percorrida sobre
Leia maisChamaremos AC de vetor soma (um Vetor resultante) dos vetores AB e BC. Essa soma não é uma soma algébrica comum.
Vetores Uma partícula que se move em linha reta pode se deslocar em apenas uma direção, sendo o deslocamento positivo em uma e negativo na outra direção. Quando uma partícula se move em três dimensões,
Leia maisRotação de Corpos Rígidos
Fisica I IO Rotação de Corpos Rígidos Prof. Cristiano Oliveira Ed. Basilio Jafet sala 202 crislpo@if.usp.br Rotação de Corpos Rígidos Movimentos de corpos contínuos podiam em muitos casos ser descritos
Leia maisCurvas Planas em Coordenadas Polares
Curvas Planas em Coordenadas Polares Sumário. Coordenadas Polares.................... Relações entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas...................... 6. Exercícios........................
Leia maisPontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Departamento de Engenharia Mecânica. ENG1705 Dinâmica de Corpos Rígidos.
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Departamento de Engenharia Mecânica ENG1705 Dinâmica de Corpos Rígidos (Período: 2016.1) Notas de Aula Capítulo 1: VETORES Ivan Menezes ivan@puc-rio.br
Leia maisMecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785
Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785 rrpela@ita.br www.ief.ita.br/~rrpela Onde estamos? Nosso roteiro ao longo deste capítulo Cinemática retilínea: movimento contínuo
Leia maisFísica III IQ 2014 ( )
Atividade de treinamento - Introdução: Esta atividade tem dois objetivos: 1) Apresentar os conceitos de distribuições contínuas de carga e momento de dipolo ) Revisar técnicas de cálculo e sistemas de
Leia maisMecânica 1. Guia de Estudos P2
Mecânica 1 Guia de Estudos P2 Conceitos 1. Cinemática do Ponto Material 2. Cinemática dos Sólidos 1. Cinemática do Ponto Material a. Curvas Definição algébrica: A curva parametriza uma função de duas ou
Leia maisAula 7: Geometria das superfícies bidimensionais II; gravitação e geometria
Aula 7: Geometria das superfícies bidimensionais II; gravitação e geometria A C Tort 1 1 Departmento de Física Teórica Instituto Física Universidade Federal do Rio de Janeiro 18 de Maio de 2010 Tort (IF
Leia maisDisciplina de Mecânica Geral II. CINEMÁTICA e DINÂMICA de CORPOS RÍGIDOS
isciplina de Mecânica Geral II CINEMÁTIC e INÂMIC de CORPOS RÍGIOS CINEMÁTIC é o estudo da geometria em movimento, utilizada para relacionar as grandezas de deslocamento, velocidade, aceleração e tempo.
Leia mais