Mecânica Analítica. Dinâmica Hamiltoniana. Licenciatura em Física. Prof. Nelson Luiz Reyes Marques MECÂNICA ANALÍTICA PARTE 2

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1 Mecânica Analítica Dinâmica Hamiltoniana Licenciatura em Física Prof. Nelson Luiz Reyes Marques

2 Princípio de Hamilton O caminho real que uma partícula percorre entre dois pontos 1 e 2 em um dado intervalo de tempo, de t 1 a t 2, é tal que a integral de ação t 1 S = L q, q, t dt t 1 é estacionária, quando considerada ao longo do caminho real. O movimento executado por um sistema mecânico é aquele que minimiza a ação. Todas as leis físicas podem ser expressas num principio variacional.

3 Princípio de Hamilton Um caminho de uma partícula é determinado pela 2º lei de Newton F = ma. O caminho é determinado pelas três equações de Lagrange, pelo menos em coordenadas cartesianas. = d y dt y e = d z dt z = d x dt x O caminho é determinado pelo princípio de Hamilton..,

4 Princípio de Hamilton De todos os caminhos possíveis nos quais um sistema dinâmico pode se mover de um ponto a outro em um intervalo de tempo específico (consistente com quaisquer restrições), o caminho real seguido é aquele que minimiza a integral de tempo da diferença entre as energias cinética e potenciais. t 2 δs = δ T V dt = 0 t 1 δs = δ L(q 1,, q n, q 1,, q n, t)dt = 0 t 2 t 1

5 Momentos generalizados (canônicos) Para qualquer sistema holonômico, a segunda lei de Newton é equivalente a n equações de Lagrange q = d dt q i = 1,, n e as equações de Lagrange são, por sua vez, equivalentes ao princípio de Hamilton. Se q i = 0, logo, d dt q = 0 Conclui-se que q i = CTE

6 Momentos generalizados (canônicos) q i = CTE T V q i = T q i = mq i = p i = CTE Isto ocorre quando o sistema é conservativo e a energia potencial V depende somente das coordenadas generalizadas. p i = T q i Escrevendo em termos do lagrangeano L = T V, temos p i = q i

7 Momentos generalizados (canônicos) Resumidamente, podemos escrever que o i-ésimo momento generalizado p i é definido pela derivada p i = q i Se q i = 0, então dizemos que a coordenada q i é ignorável ou cíclica (sistema fechado) e o momento correspondente é constante. Se a lagrangiana de um sistema (não necessariamente fechado) é invariável em relação à translação em uma certa direção, então a quantidade de movimento linear p do sistema naquela direção é constante no tempo.

8 Momentos generalizados (canônicos) Retomado a equação de Lagrange d dt q q = 0 d dt p i q = 0 p i q = 0 p i = q Estas equações podem ser chamadas de equação de movimento de Lagrange p i = q i p i = q i

9 Equações de Hamilton A descrição hamiltoniana envolve a substituição das variáveis q, q por q, p em todas as grandezas mecânicas, e a introdução de uma função H q, p, t em lugar da lagrangiana L q, q, t para gerar a dinâmica. Tal mudança de descrição realiza-se mediante uma transformação de Legendre (largamente utilizadas na termodinâmica), que no presente contexto consiste na substituição das velocidades generalizadas pelos momentos canônicos como variáveis básicas e na introdução da função de Hamilton ou, simplesmente hamiltoniano H q, p, t definida por n H q, p, t = q ip i L q, q, t i=1

10 Equações de Hamilton Se um sistema for conservativo, o hamiltoniano H pode ser interpretado como a energia total (cinética e potencial) do sistema. H = T + V Considerando que L = L q, q, t, temos dl = i q i dq i + i q i dq i + i t dt como p i = q i Podemos escrever dl = i q i dq i + p i dq i i + i t dt

11 Equações de Hamilton Tendo em conta que podemos escrever p i dq i = d p i q i q idp i, temos, dl = i q i dq i + d p i q i q idp i i + i t dt d p i q i i dh = i L = q idp i q idp i i i q i dq i i t dt q i dq i Como p i = q i Podemos escrever dh = q idp i i t dt i p idq i t dt

12 Equações de Hamilton dh = i q idp i i p idq i t dt Por outro lado, como H = H q, p, t, podemos escrever dh = i H q i dq i + i H p i dp i + i H t dt Comparando as relações, temos q i = H p i e como subproduto, H t = t p i = H q i

13 As equações q i = H p i p i = H q i são conhecidas como equações de movimento de Hamilton ou equações canônicas de Hamilton e formam um conjunto de 2n equações diferenciais de primeira ordem equivalentes ao sistema de n equações de segunda ordem de Lagrange. As quantidades p, q são chamadas variáveis canônicas e o espaço cartesiano de 2n dimensões cujos pontos são representados pelas 2n uplas q, p q 1,, q n, p 1,, p n é chamado de espaço de fase. Um ponto no espaço de fase define o estado do sistema (posições e velocidade das partículas) num dado instante.

14 Exemplo 1 Considere uma conta deslizando em um fio rígido reto e sem atrito, o qual está sobre o eixo x, conforme a figura. A conta tem massa m e está sujeita a uma força conservativa, com energia potencial V(x). Obtenha a Lagrangiana e a equação de Lagrange para o movimento. Determine a Hamiltoniana e as equações de Hamilton e compare os dois métodos.

15 Vamos considerar a coordenada generalizada q a coordenada x. L = T V = 1 2 mx 2 V(x) A equação de Lagrange correspondente é d dt x x = 0 x = d dt x x = d dt x d dt x = mx ou dv dx = mx que é justamente a equação de Newton, F = ma, como esperávamos.

16 Para obter o formalismo Hamiltoniano, devemos primeiramente encontrar o momento generalizado. p = x = mx Como era esperado, esse é o momento convencional p = mv. Essa equação pode ser resolvida, resultando em x = p, que pode ser m substituída na Hamiltoniana, levando a H = px L = p2 m p2 2m V x = p2 2m + V(x) onde L = T V = 1 2 mx 2 V x = p2 2m V x

17 H = px L = p2 m p2 2m V x = p2 2m + V(x) A expressão da hamiltoniana corresponde a energia total. As equações de Hamilton são x = H p = p m e p = H x = dv dx A primeira dessas é, do ponto de vista Newtoniano, justamente a definição tradicional do momento e, quando substituímos essa definição na segunda equação, ela nos leva, outra vez, a mx = dv dx. Como tinha de ser para ocaso, Newton, Lagrange e Hamilton conduzem à mesma equação familiar. Neste exemplo simples, nem Lagrange nem Hamilton tem qualquer vantagem sobre Newton.

18 Exemplo 2 Considere a máquina de Atwood da figura. Pelos dados da figura, temos T = 1 2 m 1x m 2 2x V = m 1 gx m 2 g l x Desprezando o termo constante, temos V = m 1 gx + m 2 gx L = T V

19 L = T V L = 1 2 m 1 + m 2 x 2 + m 1 m 2 gx A expressão do hamiltoniano é dada por H = q ip i L = px L H = px L = px 1 2 m 1 + m 2 x 2 + m 1 m 2 gx O hamiltoniano deve ser escrito apenas em termos de coordenadas e momentos, eliminando as velocidades. p = x = (m 1 + m 2 )x

20 Substituindo a equação no hamiltoniano p = x = (m 1 + m 2 )x H = px 1 2 m 1 + m 2 x 2 + m 1 m 2 gx obtemos H = p 2 2 m 1 + m m 1 m 2 gx

21 H = p 2 2 m 1 + m m 1 m 2 gx Calculando as equações de Hamilton q i = H p i x = H p = p m 1 + m 2 p i = H q i p = H x = m 1 m 2 g Combinando as duas expressões, obtemos a expressão para a aceleração com que as massas se deslocam x = m 1 m 2 m 1 + m 2 g

22 Exemplo 3 Utilizando o método hamiltoniano para encontrar as equações de movimento de uma partícula de massa m restringido para mover na superfície de um cilindro definido por x 2 + y 2 = R 2. A partícula está sujeita à força direcionada diretamente à origem e é proporcional à distância da partícula da origem: F = kr.

23 O potencial correspondente a força F = kr é V = 1 2 kr2 = 1 2 k x2 + y 2 + z 2 = 1 2 k R2 + z 2 O quadrado da velocidade em coordenadas cilíndricas é v 2 = R 2 + R 2 θ 2 + z 2 Neste caso, R é uma constante, então a energia cinética é T = 1 2 m R2 θ z Podemos escrever, agora, a lagrangiana, como L = T V = 1 2 m R2 θ 2 + z k R2 + z 2

24 As coordenadas generalizadas são θ e z, e as quantidades de movimento generalizadas são p θ = θ = mr 2 θ e p z = z = mz Neste caso a hamiltoniana é somente a energia total e como não ocorre explicitamente, temos H z, p θ, p z = T + V = p θ 2 2mR 2 + p 2 z 2m kz2 onde o termo constante 1 2 kr2 foi suprimido.

25 H z, p θ, p z = p θ 2 2mR 2 + p 2 z 2m kz2 As equações de movimento são encontradas pelas equações canônicas p θ = H θ = 0 θ = H p θ = p θ mr 2 p z = H z = kz z = H = p z p z m

26 Observe que as equações de movimento generalizadas e as equações de movimento obtidas pelas equações canônicas levam aos mesmos resultados p θ = θ p z = z = mr 2 θ e θ = H p θ = = mz e z = H = p z p z m p θ mr 2 Resulta que p θ = mr 2 θ = constante

27 Exemplo 4 Utilize o método de Hamilton para encontrar as equações do movimento para um pêndulo esférico de massa m e comprimento b.

28 As coordenadas generalizadas são θ e φ. A energia cinética é T = 1 2 mb2 θ mb2 sin 2 θφ 2 A única força que age no pêndulo (além do ponto do suporte) é a gravidade, e definimos o potencial zero como estando no ponto de conexão do pêndulo. V = mgb cos θ Podemos escrever, agora, a lagrangiana, como L = T V L = 1 2 mb2 θ mb2 sin 2 θφ 2 + mgb cos θ As quantidades de movimento generalizadas são, então p θ = θ = mb 2 θ e p φ = φ = mb 2 sen 2 θφ

29 Podemos determinar a hamiltoniana pela equação H q, p, t = q ip i L q, q, t ou por H = T + V n i=1 H = T + V = 1 2 p θ 2 mb2 mb mb 2 sen 2 2 θp φ 2 mb 2 sen 2 2 mgb cos θ H = p θ 2 2mb p φ 2mb 2 sen 2 θ mgb cos θ

30 2 p φ H = p θ 2 2mb 2 + 2mb 2 sen 2 mgb cos θ θ As equações de movimento são φ = H = p φ θ = H p θ = p θ mb 2 p φ mb 2 sen 2 θ p θ = H θ = p φ 2 cos θ mb 2 sen 3 θ mgb sen θ p φ = H φ = 0 Porque φ é cíclico, a quantidade de movimento p φ sobre o eixo de simetria é constante.

31 Exemplo 5 Reconsiderando o Exemplo 13 da parte 1. Uma conta desliza ao longo de uma haste retilínea lisa que gira com velocidade angular constante num plano horizontal. Descreva seu movimento pelo formalismo de Lagrange, obtenha a hamiltoniana e estude a sua conservação, assim como a da energia.

32 Seja xy o plano horizontal que contém a haste e usemos as coordenadas polares para localizar a massa m. As varáveis r, θ não podem ser tomadas como coordenadas generalizadas porque θ é forçada a obedecer à restrição θ ωt = 0, que é um vínculo holônomo da forma f q 1,, q n, t = 0, onde ω é a velocidade angular da haste, suposta conhecida. O sistema possui somente um grau de liberdade (movimento radial) e podemos escolher q 1 = r como coordenada generalizada. A energia cinética pode ser escrita na forma T = m 2 r 2 + r 2 θ 2 = m 2 r 2 + ω 2 r 2 Onde usamos θ = ω.

33 Adotando o nível zero do potencial gravitacional no plano do movimento, a lagrangiana do sistema se reduz à energia cinética: L = T V = m 2 r 2 + ω 2 r 2 Dispondo da lagrangiana expressa exclusivamente em função de r e r, a equação de movimento do sistema é imediatamente obtida: d dt r r = 0 d dt mr mω2 r = 0 r = ω 2 r Conclui-se que a conta tende a se afastar do eixo de rotação em consequência da força centrifuga, que é o resultado bem conhecido.

34 Como a lagrangiana do sistema é L = T V = m 2 r 2 + ω 2 r 2 que coincide com a energia cinética da conta. Neste caso, p r = mr e H = T + V H = T = p r 2 2m mω2 2 r2 que não é a energia total (puramente cinética) da conta. Entretanto, H é constante de movimento porque H = 0. Por outro lado a energia total E = T = p r 2 t 2m + mω2 2 r2 não se conserva porque a força de vínculo realiza trabalho por ocasião do deslocamento real da partícula.

35 H é a energia total do sistema de referência girante. H = T + V H = T = p r 2 2m mω2 2 r2 Também pode acontecer casos em que a H coincide com a energia total mas não se conserva devido a uma dependência temporal explicita (Goldstein 1980)

36 Exemplo 6 Construa a lagrangiana e as equações de Hamilton para o oscilador harmônico unidimensional, com massa m e constante da força k. A energia cinética é T = 1 2 mx 2 e a energia potencial é V = 1 2 kx2 = 1 2 mω2 x 2 se introduzimos a frequência natural ω = k m. L = T V = 1 2 mx kx2 ou L = 1 2 mx mω2 x 2

37 O momento generalizado é p = T energia cinética como x T = 1 2 mx 2 = p2 2m = mx, podemos escrever a e a Hamiltoniana (escrita como função de x e p) é H = T + V = p2 2m + mω2 x 2 Logo, as equações de Hamilton são x = H p = p m e p = H x = mω2 x

38 Exemplo 7 Para o pêndulo de comprimento L que se move no plano vertical, vinculado a uma mola de constante elástica k, que se move somente no plano vertical, obtenha as equações de Hamilton para o movimento do sistema.

39 Para esse problema, vamos escolher as coordenadas generalizadas (y, ), pois descreve o movimento da massa em relação ao ponto de apoio e y descreve a variação desse ponto de apoio, em relação ao teto, por exemplo, que vamos tomar como ponto de referencia. Com isso, podemos escrever a energia cinética e a energia potencial como: T = m 2 y 2 + L 2 θ 2 V = k 2 y y 0 2 mg y + L cos θ Assim, a Lagrangeana fica L = T V = m 2 y 2 + L 2 θ 2 k 2 y y mg y + L cos θ p θ = θ = ml 2 θ e p y = y = my

40 Assim, a Hamiltoniana fica H= T + V = m 2 y 2 + L 2 θ 2 + k 2 y y 0 2 mg y + L cos θ H = p 2 θ 2mL 2 + p 2 y 2m + k 2 y y 0 2 mg y + L cos θ Logo, as equações de Hamilton são θ = H = p θ p θ ml 2 e p θ = H θ = mgl sin θ y = H = p y p y m e p y = H y = k y y 0 + mg

41 Outra Solução: já conhecemos a Lagrangiana L = m 2 y 2 + L 2 θ 2 k 2 y y mg y + L cos θ p θ = θ p y = y A hamiltoniano definida por = ml 2 θ θ = p θ ml 2 = my y = p y m n H q, p, t = q ip i i=1 L q, q, t H = p θ ml 2 p θ + p y m p y m 2 y 2 + L 2 θ 2 k 2 y y mg y + L cos θ H = p θ 2 2mL 2 + p 2 y 2m + k 2 y y 0 2 mg y + L cos θ

42 H = p θ 2 2mL 2 + p 2 y 2m + k 2 y y 0 2 mg y + L cos θ Logo, as equações de Hamilton são θ = H = p θ p θ ml 2 e p θ = H θ = mgl sin θ y = H = p y p y m e p y = H y = k y y 0 + mg

43 Partícula Carregada num Campo Eletromagnético Exemplo 8: Determinar hamiltoniana de uma partícula carregada em um campo eletromagnético externo. Como visto anteriormente, a lagrangeana da partícula é L = T U = mv2 2 eφ + e c e o momento canônico é dado por p i = x i v A = mx i + e c A i r, t, i = 1, 2,3 p = mv e c A

44 Partícula Carregada num Campo Eletromagnético logo, a correspondente hamiltoniana é H = p v L = p + e c A v 1 2 mv2 + eφ e c A v = = 1 2 mv2 + eφ = 1 2 mv 2 + eφ H = 1 2m p + e c A + eφ

45 Partícula Livre Relativística Exemplo 9: Determinar hamiltoniana de uma partícula livre relativística. Como visto anteriormente, a lagrangeana da partícula é L = αc 1 v2 c 2 = mc2 1 v2 c 2

46 Partícula Livre Relativística e o momento canônico é dado por p i = x i = mc 2 x 1 = mc j x 2 j c 2 j 1 x 2 j 12 c 2 2x i c = p i = mx i 1 v2 c 2 p = m 1 v2 c 2 v i = 1, 2, 3

47 Partícula Livre Relativística Logo, a energia desta partícula é identificada com a sua hamiltoniana (note que a lagrangiana desta partícula não depende explicitamente do tempo e, então, a sua hamiltoniana é uma constante de movimento). Temos: H = p v L = mv2 1 v2 c 2 + mc 2 1 v2 c 2 H = mc2 1 v2 c 2