Relatividade. Vetores, Escalares e Tensores

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1 Relatividade Vetores, Escalares e Tensores

2 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 1 Grandeas Vetoriais e Grandeas Escalares A física lida com uma gama muito grande de grandeas físicas. Na mecânica lidamos, por exemplo, com grandeas vetoriais e escalares. Nessa seção, explicaremos o que são essas grandeas, sem defini-las como aquelas que têm uma direção um módulo e um sentido : essa definição é de um curso do segundo grau. Grandeas vetoriais são, na verdade, melhor definidas considerando-se a questão da rotação de dois sistemas de referência. Isso porque, como veremos no próximo capítulo, o uso de vetores permite que se mantenha a forma das leis físicas quando escritas em um e outro sistemas de referências. Além disso, essa definição permite determinar novas grandeas físicas definidas como produtos de vetores. É importante classificar grandeas físicas em categorias, ou tipos. A forma utiliada para efetuar essa classificação tem a ver com as propriedades dessas grandeas (ou de suas componentes) sob rotações. É exatamente aqui que surge o conceito de grandeas vetoriais e grandeas escalares. Assim, uma definição mais precisa e, ao mesmo tempo, uma generaliação de vetores (como grandeas tensoriais) fa uso das propriedades de transformação de grandeas físicas quando efetuamos rotações. Lidamos na física com grandeas designadas genericamente como tensores. Os tensores se distinguem uns dos outros por seus postos. A um tensor de posto ero, designamos usualmente como grandea escalar. Um tensor de posto 1, denominamos vetor. Momentos de inércia, por exemplo, são componentes de tensores de posto 2. Grandeas Escalares Definimos uma grandea física como escalar se, ao efetuarmos uma rotação no sistema de coordenadas, essa grandea não sofrer qualquer alteração. Ou seja, uma grandea escalar é invariante por rotações. Assim, se T for uma tal grandea física, encontraremos que, quando medida em um referencial ou em outro sistema de referência, ela terá como resultado o mesmo valor. Para tal grandea, escrevemos: T(x, y, ) = T(x, y, ) ( 1 ) Figura 1: Grandeas escalares.

3 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 2 A temperatura é um exemplo de grandea física escalar. O tempo é outra grandea escalar, pois não importa a orientação do sistema de coordenadas, o intervalo de tempo medido quando estamos em um sistema ou no outro é o mesmo. A distância entre dois pontos é uma grandea invariante sob rotações. Ou seja, se considerarmos a distância de um ponto até a origem, escrevemos: x 2 + y = x 2 + y ( 2 ) Utiliando a notação introduida no último capítulo, escrevemos: r r = r r ( 3 ) Adiante, ainda nesse capítulo, ampliaremos o conjunto de grandeas escalares. Grandeas Vetoriais Grandeas vetoriais são grandeas que requerem três atributos para serem inteiramente caracteriadas ou especificadas: módulo, direção e sentido. Figura 2: Campo de velocidades e o campo gravitacional da Terra. Uma definição mais geral parte do conceito de componentes. Ou seja, uma grandea vetorial é especificada a partir da atribuição do valor de cada uma das três componentes de um vetor.

4 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 3 Faendo uso de um sistema cartesiano (em relação ao qual podemos agora especificar direções e sentidos), uma grandea vetorial é especificada através das componentes (V x, V y, V ) ( 4 ) Na notação simplificada que faremos, utiliamos a notação (V 1, V 2, V 3 ) ( 5 ) No entanto, o fato de agruparmos grandeas em trincas não as transforma em grandeas vetoriais. Definimos um vetor como sendo um ente físico definido por três quantidades v 1, v 2, v 3 (denominadas componentes da grandea vetorial), de tal forma que, sob uma rotação, as componentes do vetor se transformam, de maneira análoga às coordenadas. Isto é, V = R v ( 6 ) em que V 1 = V V 2 V 3 V1 V = V 2 V 3 ( 7 ) ou seja, cada coordenada do vetor se transforma, sob uma rotação, como = Vi RV ij j ( 8 ) Portanto, uma grandea vetorial é um conjunto de três grandeas componentes que se transformam de uma maneira bem definida sob uma rotação.

5 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 4 Podemos agora verificar que, de fato, a velocidade de uma partícula e sua aceleração são grandeas vetoriais. Das definições, segue que a velocidade média e aceleração média, por exemplo, têm componentes dadas por: x vx vx ax t t y vy vy ay t t v v a t t Assim, como o tempo é um invariante, a velocidade se transforma exatamente como as coordenadas. Trata-se, portanto, de uma grandea vetorial. Sendo a velocidade um vetor, e como o tempo é invariante, a aceleração também é uma grandea vetorial. Em geral, podemos construir vetores a partir de outros, por meio da multiplicação ou divisão por grandeas escalares. Grandeas Tensoriais Grandeas tensoriais são generaliações de grandeas escalares. Para entendermos isso, consideremos o produto de componentes de um vetor. Analisaremos o caso do produto de duas componentes. Seja o produto T ij de duas componentes de um vetor: ( 9 ) T ij = V i V j ( 10 ) Tais produtos geram uma nova grandea física. Uma tal grandea pode ser relevante ou útil, o que acontece em muitos casos. Essa nova grandea tem agora nove componentes e propriedades bem definidas de transformação sob uma rotação. Isto é, a grandea acima se transforma: T T ( 11 ) De tal forma que as componentes dessa grandea se transformam, sob uma rotação, de acordo com: 3 3 T = R RT ij ik jl kl k= 1 l= 1 ( 12 )

6 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 5 É muito comum uma notação convencionando que, quando dois índices são iguais, fica implícita a soma. Nessa notação, escrevemos apenas: T = R RT ij ik jl kl ( 13 ) Uma grandea física que tenha nove componentes e que se transforma como (000) é definida como um tensor de posto 2. Tendo em vista a propriedade da matri de rotação ser uma matri tal que sua transposta é igual à sua matri inversa, podemos escrever a transformação (000) anterior sob a forma: T = RTR 1 ( 14 ) Transformações como essa são denominadas transformações de semelhança. Mais geralmente, definimos um tensor de posto S como uma grandea física que possui 3S de componentes, de tal forma que essas componentes se transformam: T = R R R T ij... m ik jl mn kl... n ( 15 ) Objetos que se transformam como a matri R 1 também são vetores. Para diferenciá-los do outro tipo de vetores, introduimos índices em cima. Nessa definição: ij... m T = R R R T ik jl mn kl... n ( 16 ) Assim, as componentes de um vetor se transformam sob uma rotação inversa (a qual também é uma rotação), como: i V = R 1 V ij j ( 17 ) Figura 3: A métrica do espaço e as tensões são grandeas tensoriais. De modo geral, o tensor é caracteriado por um posto, que é um número inteiro positivo ou ero. Um tensor de posto ero é uma grandea escalar. Um tensor de posto 1 é um vetor. Um exemplo curioso de tensor de posto 3 é o tensor de Levi-Civita, definido da seguinte forma: 1 se i = 1, j = 2, k = 3 ε ijk = 0 se dois ou tres indices forem iguais ( 18 )

7 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 6 Além disso, esse tensor é totalmente antissimétrico: ε ijk = ε ikj ( 19 ) Pode-se verificar que este ente, assim definido, é um tensor, pois se transforma : ijk ε = R R R ε il jm kn lmn ( 20 ) Produtos de componentes de Vetores Vimos na seção precedente que, a partir do produto de componentes de um vetor, podemos gerar novas grandeas físicas. Em particular, a partir de grandeas vetoriais, podemos construir tensores de posto arbitrário. Consideremos três produtos de componentes de vetores. Já se sabe que o produto F ij = A i B j ( 21 ) Define uma nova grandea física, com um caráter de tensor. Agora consideremos outro produto S A i B i ( 22 ) Lembrando nossa convenção sobre índices iguais representarem uma soma, essa expressão, na verdade, significa: S A i Bi Na notação do capítulo anterior, a grandea S se escreve como 3 i= 1 ( 23 ) S A B ( 24 )

8 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 7 Portanto, como em uma rotação preservamos ângulos, a grandea S é uma grandea escalar, isto é, invariante por rotações. Isso acontece porque i k 1 i S A B = A R R B = AB S i ik ji j i ( 25 ) Em que demonstra-se que a grandea S definida através de (000) é, de fato, uma grandea escalar. O produto de componentes de um vetor 3 i= 1 i AB i A B Resulta ser uma grandea física escalar. Por isso, damos o nome de produto escalar de dois vetores. ( 26 ) Consideremos outro tipo de produto de componentes de dois vetores; seja a grandea física definida pela combinação de produtos Por exemplo, a distância entre dois pontos, definida a partir do produto escalar de dois vetores, é uma grandea física invariante sob rotações. Logo, a distância entre dois pontos é uma grandea escalar. O produto de componentes de dois vetores T ij = A i B j ( 27 ) transforma-se como um tensor de posto 2. Consideremos agora outro tipo de produto de componentes de uma grandea vetorial. Definimos um conjunto de três grandeas físicas tomando o seguinte produto: C i ε ijk A B j k ( 28 ) Em que está implícita a soma nos índices j e k e o símbolo ε ijk é um tensor de Levi-Civita. De (000), concluímos que o objeto definido em (000) é um vetor, pois de (000) e (000), temos que: i ijk ljk C ε A B = R R R R R ε AB = R ε A B j k il jm kn ja kb lmn j k il j k ( 29 )

9 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 8 A conclusão é que podemos definir uma nova grandea vetorial a partir do produto de componentes de vetores. As componentes são definidas como: C = A B B A C = AB B A C = AB B A Damos o nome de produto vetorial de dois vetores ao vetor que resulta dos produtos de componentes, de acordo com a regra apresentada. ( 30 ) O produto vetorial de dois vetores é um pseudovetor. Por tal afirmação, entendemos que um vetor é tal que, sob reflexão espacial, suas componentes se transformam: V i V i ( 31 ) Em uma notação mais simples, declaramos que um tensor de 3 N componentes se transforma, como: ( ) T T = R R... RT ( 32 ) O Grupo das Rotações O conjunto de matries 3 3 associadas às rotações têm uma estrutura de grupo. Trata-se do grupo das rotações, denominado SO(3), que constitui um conjunto de matries ortogonais cujo determinante é igual a 1. A estrutura de grupo decorre do fato de que o produto de duas rotações define uma nova rotação, sendo, portanto, um outro elemento do grupo (propriedade do fechamento). Além disso, valem as seguintes propriedades: 1. Propriedade associativa: Se R 1, R 2 e R 3 são rotações, então vale a propriedade associativa: (R 1 R 2 )R 3 = R 1 (R 2 R 3 ) ( 33 )

10 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 9 2. Existência do elemento identidade O elemento identidade desse grupo é a matri identidade: = ( 34 ) Existência do elemento inverso Grupos podem ser discretos ou contínuos. No último caso, cada elemento é caracteriado por um conjunto de parâmetros. Como já visto anteriormente, o elemento inverso da matri de rotação é a sua matri transposta: R t = R 1 ( 35 ) O conjunto de todas as matries 3 3 ortogonais constitui o grupo conhecido como grupo 0(3). Uma matri ortogonal é tal que seu determinante se restringe a apenas dois valores: t RR = 1 ( det R) = 1 2 ( 36 ) O subgrupo para o qual o detr = 1 é o grupo SO(3). O símbolo S, nesse caso, quer dier especial (do inglês special). O grupo das rotações é, portanto, o grupo das matries (3 3) ortogonais com determinante igual a + 1. O grupo SO(3) é um grupo de três parâmetros (os ângulos de Euler). Figura 4: Rotações não comutam, isto é, dependem da ordem em que são implementadas.

11 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 10 Grupo de Translações O grupo de translações é um grupo de três parâmetros, de tal forma que satisfa à propriedade associativa T( a1) T( a2) T( a3) r = T( a1) T( a2) ( r + a3)= T( a1) r + a2 + a = ( r + a1+ a2 + a3 )= T ( a1) T( a2) T( a3 ) r Tem o elemento identidade É o elemento inverso de cada translação T( a) r = r + a T 0 r r ( ) = T( a) r = r a T a T a r r ( ) ( ) = ( ) 3 ( 37 ) ( 38 ) ( 39 ) ( 40 ) Figura 5: Transladando pontos, podemos transladar objetos.

12 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 11 Representações Irredutíveis: o Produto Vetorial de dois Vetores Um produto de N matries da forma: R R... R ( 41 ) constitui uma representação do grupo SO(3) de dimensão 3 N. Para N > 1, essas representações são redutíveis. É possível decompor uma representação redutível em uma soma direta de representações irredutíveis de dimensão menor do que 3 N. Isto é, podemos escrever formalmente: R R... R= R1 R2... R n ( 42 ) O produto direto de duas matries pode ser decomposto em duas representações irredutíveis de dimensões 6 e 3. Formalmente, escrevemos: R R= R 6 R 3 ( 43 ) Um exemplo de representação irredutível do grupo de rotações é dado pelo produto vetorial de dois vetores. Lembramos primeiramente que o produto das componentes de dois vetores quaisquer se transforma como um tensor de posto 2. Podemos assim definir o tensor T ij A i B j ( 44 ) Sob uma rotação, tal tensor se transforma, como: t T T = RR AB = RABR = RABR ij ij il jk l k il l k 1 kj il l k kj ( 45 ) Ou seja, T T = RTR 1 ( 46 )

13 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 12 Qualquer tensor pode ser decomposto em uma parte simétrica e outra parte antissimétrica: 2T = T S + T A ( 47 ) No caso em análise, as componentes simétrica e antissimétrica são: s T ij ( AB i j + BiAj)= T A T ij ( AB i j BiAj)= T A matri antissimétrica tem componentes, a menos do fator meio, dadas por: A matri antissimétrica, definida em (000), tem portanto apenas três componentes. Ela se transforma como uma representação irredutível de dimensão 3. A s matries definidas em (000) são dadas por M Z = 1 0 0, M y = 0 0 0, M x = ( 50 ) Elas são conhecidas como matries geradoras das transformações. Definimos as matries geradoras de rotações em torno do i-ésimo eixo, representadas por M i, como aquelas cujos elementos de matri são dados pela expressão geral: T A 0 = C C C 0 C C 3 2 C s ji A ji = CM 3 + CM 2 + CM 1 y x ( 48 ) ( 49 ) ( ) =ε ijk M i jk ( 51 ) Em que ε ijk é o tensor antissimétrico de Levi-Civita. Em termos do tensor de Levi-Civita, o produto vetorial de dois vetores C A B ( 52 ) As componentes do vetor resultante se escrevem como C C ε A B i ijk j k ε A B i ijk j k ( 53 )

14 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 13 Assim, o produto vetorial de dois vetores é uma grandea física obtida como produto de componentes de vetores, que se transforma, por sua antissimetria, como uma representação do grupo de rotações de dimensão 3. Ou seja, transforma-se como um vetor. Rotação em torno de um eixo Consideremos o caso de uma rotação em torno do eixo. No caso de uma rotação contrária ao sentido dos ponteiros do relógio, a matri de rotação é dada por: Uma rotação no sentido dos ponteiros do relógio é dada por cosθ senθ 0 R ( ) θ = senθ cosθ trocar gama por θ Daí infere-se que as coordenadas em um e outro sistemas de referência se relacionam de acordo com a seguinte relação: cosθ senθ 0 R ( ) θ = senθ cosθ ( 54 ) ( 55 ) r = R ( θ) r Uma grandea vetorial qualquer é tal que suas componentes se relacionam por meio das expressões: ( 56 ) Figura 6 F = R ( θ) F ( 57 ) Ou mais explicitamente: x cosθ senθ 0 x y = sen y θ cosθ x cosθ senθ 0 x y = senθ cosθ 0 y ( 58 )

15 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 14 Enquanto que as matries de rotação em torno dos eixos x e y para rotações contrárias ao ponteiro dos relógios são dadas, respectivamente, por R sen ( 59 ) x ( θ)= 0 cosθ θ 0 senθ cosθ e R y cosθ 0 senθ ( θ)= senθ 0 cosθ ( 60 ) Matries de Rotação em termos de Matries Geradoras Uma rotação em torno de qualquer um dos eixos pode ser escrita como i M R ( θ) = e, R ( θ) = e, R ( θ) = e x θ iθm x y iθm y ( 61 ) As matries geradoras são tais que seus elementos de matri são dados por: ( M i ) = ε jk ijk ( 62 ) O que pode ser demonstrado a partir das propriedades das matries geradoras, tais como: ( M Z ) = M 0 1 0, ( ) = M Z Bem como da expansão análoga à expansão de Taylor: iθm e 1 iθm iθ M iθ M 2! 3! 2 M 1 = 1 + ( i θ) +... M iθ iθ 2! 3! = + + ( ) + ( ) ( ) = ( M Z ) + + ( ) ( 63 ) ( 64 )

16 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 15 As matries geradoras são dadas, formalmente, pelas expressões: drx M x = jk ( θ) = ε1 dθ Rotação mais geral M M y θ= 0 dry = ( θ) = ε dθ θ= 0 dr ( θ) = = ε dθ θ=0 2 jk 3 jk ( 65 ) Uma rotação, a mais geral possível, pode ser parametriada em termos de três ângulos, denominados ângulos de Euler. Para o entendimento de tais ângulos, consideremos dois sistemas diferindo entre si por uma rotação pura. Ou seja, as origens dos dois sistemas cartesianos coincidem. Figura 7: Dois sistemas. São eles equivlentes? Figura 8: Diferenças de coordenadas quando efetuamos rotações. Consideremos agora esses sistemas de eixos cartesianos rotacionados da forma mais geral possível. Denotaremos os eixos do primeiro sistema cartesiano com as letras (x, y, ), ao passo que os eixos do segundo sistema será denotado por (x, y, ) (vide Figura 000).

17 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 16 Figura 9 Figura 10 Nessas circunstâncias, e como pode ser observado na Figura 000, o plano y, associado ao sistema antes da rotação, crua com aquele depois da rotação, o plano que denominamos x y, ao longo de um eixo conhecido como linha nodal. Um dos ângulos de Euler, representado pela letra θ, é formado pelos eixos e. Esse é o ângulo mais fácil de ser reconhecido. Para identificar os outros dois, devemos considerar a linha nodal. Figura 11 Note-se que o plano x y perfura o plano xy, determinando um segmento de reta: a linha nodal, mencionada anteriormente. Seu papel é muito importante, uma ve que dois ângulos de Euler são definidos tomando-se essa linha como referência. Assim, os ângulos de Euler, aqui representados pelas letras ϕ e ψ, são definidos como os ângulos entre os eixos e x e x, respectivamente, com a linha nodal. Figura 12

18 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 17 O fato é que podemos faer os três eixos coincidirem, faendo uma rotação em torno do eixo por um ângulo ϕ; em seguida, uma rotação do ângulo θ em torno da linha nodal; e, finalmente, uma rotação de um ângulo ψ em torno do eixo. Para faê-los coincidir, o ângulo ϕ deve ser formado pela linha nodal e o eixo x. Este é o primeiro dos ângulos de Euler, já referidos. Ao efetuarmos essa primeira rotação, os eixos (x, y, ) serão transformados em novos eixos, designados por (x, y, ). Em seguida, efetuamos uma rotação em torno da linha nodal por um ângulo θ, outro ângulo de Euler. Ao efetuarmos essa primeira rotação, os eixos (x, y, ) serão agora transformados em novos eixos, designados por (x, y, ). Como a linha nodal é perpendicular tanto a quanto a, podemos, por meio dessa rotação, faer os eixos e coincidirem. Essa coincidência se expressa como: = ( 66 ) Finalmente, efetuamos uma rotação do sistema (x, y, ), de tal forma que ele coincida com o sistema (x, y, ). Para isso, basta efetuar um rotação em torno do eixo, de modo que a linha nodal coincida com o eixo x. O ângulo de rotação agora é o terceiro ângulo de Euler, designado pela letra ψ. Podemos faer os dois sistemas coincidirem por meio de 3 (três) rotações sucessivas. Cada rotação será caracteriada por um ângulo diferente. A primeira rotação de um ângulo ϕ será em torno do eixo. Essa rotação fa com que o eixo x coincida com a linha nodal. Temos, portanto, que as coordenadas desse sistema se relacionam com as anteriores da seguinte forma: x cosϕ senϕ 0 x x cosϕ senϕ 0 x y = senϕ cosϕ 0 y y = senϕ cosϕ 0 y Portanto, o versor perpendicular ao plano de rotação será perpendicular ao plano x y, dado por: ( 67 ) k = ( 68 )

19 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 18 Assim, nessa primeira rotação, somos levados a um segundo conjunto de eixos, designados por duas linhas. Na notação anterior, temos que r = R ( ϕ) r ( 69 ) Em seguida, faemos uma rotação em torno da linha nodal de um ângulo θ. A linha nodal agora é o eixo x. Para uma rotação em torno desse eixo, temos, em primeiro lugar, que o versor ortogonal ao plano de rotação será dado por: i = x ( xy,, ) ( 70 ) Figura 13 De acordo com (000), esse versor é dado por: i = cosϕi + senϕj ( 71 ) Ao efetuarmos a segunda rotação em torno do eixo x, podemos escrever: r = R ( θ) x r Daí infere-se que a relação entre as coordenadas será dada por: r = R ( θ) r x ( 72 ) ( 73 ) Em que R x (θ) é dado por: R x ( θ)= 0 cosθ sin θ 0 sinθ cosθ ( 74 ) Consequentemente, podemos escrever: r = R ( ϕ) r = R ( ϕ) R ( θ) r x ( 75 ) Figura 14

20 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 19 Finalmente, quando efetuamos a última rotação em torno do eixo, de um ângulo ψ, obtemos r = R ( ϕ) r ( 76 ) Ou, de maneira equivalente: r = R ( ϕ) r ( 77 ) Obtemos finalmente que r = R ( ψ) R ( θ) R ( ϕ) r x ( 78 ) Portanto, a matri de rotação mais geral é dada pelo produto R( ψθϕ,, )= R ( ψ) R ( θ) R ( ϕ) x ( 79 ) A relação inversa é: r = R ( ϕ) R ( θ) R ( ψ) r x ( 80 ) Lembrando que a transposta de um produto de matries é igual ao produto das matries transpostas, mas na ordem inversa, isto é: T T T T R ( ψθϕ,, )= R ( ϕ) R ( θ) R ( ψ) = R ( ϕ) R ( θ) R ( ψ) x x ( 81 ) Pode-se facilmente verificar que a matri transposta é a matri inversa na rotação: ( ) ( )= ( ) ( )= T R ψθϕ,, R ψ, θϕ, R 1 ψθϕ,, R ψ, θϕ, 1 ( 82 ) Observe-se que o versor ortogonal ao plano de rotação será dado, nesse caso, por: k xy,, = ( ) ( 83 ) Figura 15

21 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 20 De acordo com (000), esse versor pode ser escrito em temos dos versores da base inicial, como: k xy,, = ( ) ( 84 ) Lembrando que r = R ( θ) R ( ϕ) r x ( 85 ) Obtemos: x cosϕ senϕ 0 x y = 0 cosθ senθ senϕ cosϕ 0 y 0 senθ cosθ De (000) e (000), segue que o versor ortogonal ao plano de rotação será dado por: k = senθsenϕi senθcosϕj + cosθk ( 86 ) ( 87 ) Figura 16

22 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 21 Como usar este ebook Orientações gerais Caro aluno, este ebook contém recursos interativos. Para prevenir problemas na utiliação desses recursos, por favor acesse o arquivo utiliando o Adobe Reader (gratuito) versão 9.0 ou mais recente. Botões Indica pop-ups com mais informações. Sinalia um recurso midiático (animação, áudio etc.) que pode estar incluído no ebook ou disponível online. Ajuda (retorna a esta página). Créditos de produção deste ebook. Indica que você acessará um outro trecho do material. Quando terminar a leitura, use o botão correspondente ( ) para retornar ao ponto de origem. Bons estudos!

23 Relatividade» Vetores, Escalares e Tensores 22 Créditos Este ebook foi produido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP). Autoria: Gil da Costa Marques. Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura. Coordenação de Produção: Beatri Borges Casaro. Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru. Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira. Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S. Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.