Translação. Sistemas de Coordenadas. Translação. Transformações Geométricas 3D

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1 Translação Transformações Geométricas 3D Um ponto (objeto) é deslocado de uma posição para outra posição no mesmo espaço 3D Rosane Minghim Maria Cristina F. de Oliveira ICMC Universidade de São Paulo 26 P = (,, ) P = (,,) Sistemas de Coordenadas Representam uma forma de indear e localiar elementos no espaço (que é 3D). Eios com orientação formam o Sistema de Coordenadas Cartesianas Um ponto P é definido por uma tripla de coordenadas (,,) X P = (,,) P = ( +, +, + ) P = (,,) Translação Vetor Translação: ( ) = + = + = + Representação vetorial do ponto: ' ' = ' Ou P =T(,, )P

2 Rotação Em 2D, a rotação se dá em torno de um ponto (D). Em 3D é necessário especificar uma reta (2D), em torno da qual a rotação ocorrerá Um objeto é rotacionado de um ângulo específico em torno de um eio Rotação em torno do eio Rotação em torno do eio Rotação em torno do eio Rotação em torno de um eio generaliado Orientação Sentido Positivo da Rotação Em torno de Em torno de Em torno de Regras para o sentido positivo de rotação Regra da mão direita Sentido oposto ao do relógio, quando observado do topo do eio, olhando para o centro Regras Específicas: Recordando algumas relações envolvidas na Rotação Eio de Rotação Direção da Rotação Positiva para para para

3 P Rotação em Torno do Eio P É dada por: = cos(θ) - sen(θ) = sen(θ) + cos(θ) = ' cos( θ ) - sen( θ ) ' sen( θ) cos( θ ) ' = ou: P = R (θ)p P Rotação em torno do Eio É dada por: P = sen(θ) + cos(θ) = = cos(θ) - sen(θ) ' cos( θ ) sen( θ) ' = ' - sen( θ ) cos( θ ) ou: P = R (θ)p Rotação em Torno do Eio P P É dada por: = = cos(θ) - sen(θ) = sen(θ) + cos(θ) ' ' cos( θ ) - sen( θ ) ' = sen( θ) cos( θ ) ou: P = R (θ)p P P3 P 2 Escala Vetor de fator de escala: (S S S ) Para cada ponto P = (,,), o correspondente transformado é: = S = S = S ' S ' S = ' S Ou P =S(S,S,S )P

4 Composição de Transformações P = (,,) P Composição de Transformações É dada, como no caso 2D, pela sequência de transformações individuais Matematicamente, isto significa multiplicar as matries das transformação individuais. E: Deseja-se transformar um ponto P pelas operações de rotação em torno de de α, seguida de uma translação de (,, ), e então de uma rotação em torno de de β. P P Temos: P =R (α)p; () P = T(,, )P (2) P = R (β)p ; (3) Ou: P = R (β) T(,, ) R (α)p Isto é, a ordem da multiplicação das matries é inversa à ordem das transformações consecutivas!!! Composição de Transformações Eemplo Composição de Transformações: Eemplo. Translação de P = (,, ) para a origem. T (-,-,- ) = P =T P P2 =T P2 P3 =T P3

5 Eemplo (cont.) 2. Rotação de PP2 em torno do eio, colocando PP2 no plano. (lembrando que cos(θ-9) = sin(θ), e cos(θ-9) = -cos(θ)) Eemplo (cont.) 2. Rotação de PP2 em torno do eio, colocando PP2 no plano. R (-(9-θ)) = R (θ-9) cos (θ-9) = sen(θ) = 2 /D =( 2 - )/D sen(θ-9) = -cos (θ) = - 2 /D = -( 2 - )/D D = ' 2 + ' 2 = ( ) 2 + ( ) P2 = R (θ-9) P2 = ( 2 - D ) T P = R (θ-9) P = ( ) T = P P3 = R (θ-9) P3 = (?? Faça a mão??) Eemplo (cont.) 2. Rotação de PP2 em torno do eio, colocando PP2 no plano (Matri). cos( θ 9 ) sen( θ 9) R (θ-9) = -sen( θ 9 ) cos( θ -9) Eemplo(cont.) 3. Rotação de P P2 em relação ao eio, colocando P P2 sobre o eio. (2- )/D = (2- )/D - (2- )/D (2- )/D

6 Eemplo(cont.) 3. Rotação de P P2 em relação ao eio, colocando P P2 sobre o eio. 4. Rotação de P P3 em relação ao eio, colocando PP3 no plano. cos (Φ) = 2 /D 2 sen(φ) = 2 /D 2 D 2 = P P2 = PP2 = ( ) + ( ) + ( ) P2 = R (Φ) P2 = R (Φ) R (θ-9) P2 = = R (Φ) R (θ-9) T P2 =( PP2 ) T P3 =R (Φ) R (θ-9) T P3 4. Rotação de P P3 em relação ao eio, colocando PP3 no plano. Neste ponto, tem-se P3 = ( 3, 3, 3 ) cos (α) = 3 /D 3 sen(α) = 3 /D 3 D 3 = ''' 2 ''' P3 = R (α) P3 Assim, a matri de Composição M, capa de transformar a figura inicial na figura final, é: M = R (α) R (Φ) R (θ-9) T (-,-,- ) Para todos os pontos da figura: Rotação em Torno de Eios generaliados Quando paralelo a um dos eios de coordenadas: translade para o eio de coordenada rotacione faça a translação inversa Quando não é paralelo e nenhum dos eios: Faça uma translação de forma que o eio passe pela origem Faça quantas rotações forem necessárias até que o eio coincida com um dos eios de coordenadas Faça a rotação desejada Realie a transformação inversa às rotações de ajuste do eio Faça a translação inversa à primeira translação P final = MP inicial

7 Resumo Transformações eercem o papel, em CG, de apoiar o movimento de objetos ou câmeras: para mudar o sistema de coordenadas para apoiar interação para criar animações Transformações: Rotação Translação Escala Matries e Composição de Transformações em 3D Resumo dos Parâmetros envolvidos nas Transformações Translação > movimento positivo no eio < movimento negativo no eio Rotação Escala eio, ângulo > S S S Composição Sequência de Transformações movimento anti-horário ou pela regra da mão direita S=S=S escala uniforme caso contrário, ocorre deformação A ordem das transformações deve ser bem especificada Bibliografia Hearn, D. Baker, M. P. Computer Graphics, Prentice Hall, 994 Fole, J et. al - Introduction to Computer Graphics, Addison-Wesle, 993. Watt, A. - Fundamentals of Three-Dimensional Computer Graphics, Addison-Wesle, 989.