Transformações Geométricas
|
|
- Nathalie Bonilha Cortês
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Transformações Geométricas Computação Gráfica CG & 26 ISEL/DEETC/S Computação Gráfica
2 2
3 Sumário Transformações geométricas Translação Rotação Escala Shearing Coordenadas homogéneas Cálculo com matrizes Composição de transformações E: Window viewport transfom Matrizes de transformações em 3D Modelação hierárquica 3
4 Sumário Transformações geométricas Translação Rotação Escala Shearing Coordenadas homogéneas Cálculo com matrizes Composição de transformações E: Window viewport transfom Matrizes de transformações em 3D Modelação hierárquica 4
5 Transformações geométricas As transformações geométricas são essenciais nas aplicações gráficas A composição de cenas feitas à custa de símbolos (ou objectos) aplica massivamente transformações a cada um dos constituintes É possível posicionar, alterar a forma e animar objectos, luzes e câmaras Transformações mais comuns: Translação, rotação, escala Y Rotação Escala Translação (,) X 5
6 Transformações geométricas Como representar estas tranformações geométricas? 6
7 Transformações geométricas Translação A translação de um ponto, em 2D, é feita somando um deslocamento a cada uma das coordenadas (, ) d ' = + d (,) ' = + d d 7
8 Transformações geométricas Translação odemos representar a translação através de vectores coluna d d,, T ' ' ' ' T 8
9 Transformações geométricas Translação retende se aplicar a translação T(2,3) ao quadrado centrado na origem, com lado igual a 2 Aplicando a translação a cada um dos seus vértices Eemplo Y Y T(2,3) d =3 d =2 X X 9
10 Transformações geométricas Rotação Um ponto pode ser rodado de um determinado ângulo, em relação à origem Matematicamente, esta transformação é definida por: ' =.cos(α).sin(α) ' =.sin(α) +.cos(α) X r (, ) Note-se que as equações apresentadas são para ângulos positivos α β r (,) ara ângulos negativos, utilizam-se as equivalências cos(-α) = cos(α) sin(-α) = -sin(α) Y
11 Transformações geométricas Rotação X α r r (, ) (,) = r.cos(β) = r.sin(β) Dedução da epressão de rotação ' = r.cos(α+β) ' = r.sin(α+β) cos(a+b) = cos(a).cos(b) sin(a).sin(b) sin(a+b) = sin(a).cos(b) + cos(a).sin(b) β Y ' = r.[cos(α).cos(β) - sin(α).sin(β)] ' = r.cos(α).cos(β) r.sin(α).sin(β) ' = r.cos(β).cos(α) r.sin(β).sin(α) ' =.cos(α).sin(α) para ' é equivalente ' =.cos(α).sin(α) ' =.sin(α) +.cos(α)
12 Transformações geométricas Rotação odemos representar a rotação através de matrizes e vectores coluna, R cos( ) sin( ) sin( ) cos( ), ' ' ' ' R* 2
13 Transformações geométricas Rotação retende se aplicar a rotação R(45º) ao quadrado, centrado na origem, com lado igual a 2 Eemplo R(45º ) S: Novamente, foi aplicada a transformação de rotação a todos os vértices do objecto 3
14 Transformações geométricas Escala Um ponto pode ser epandido de uma quantidade real, em relação à origem Matematicamente, esta transformação é definida por ' s ' s É difícil pensar como é que um ponto pode ser epandido! Resposta: Dará sempre origem a outro ponto, noutras coordenadas No entanto, se esse ponto for, por eemplo, utilizado para representar o fim de um segmento de recta, rapidamente se compreende que a recta sofreu uma epansão (positiva ou negativa) pelo simples facto do ponto se ter deslocado 4
15 Transformações geométricas Escala odemos, mais uma vez, representar a escala através de matrizes e vectores coluna S s s,, ' ' ' ' S * 5
16 Transformações geométricas Escala Eemplo I escala uniforme, centrado retende se aplicar uma escala S(2,2) ao quadrado, centrado na origem, com lado igual a 2 S(2,2) S: Reparem, o quadrado passou a ter 4 unidades de lado (efeito de escala) 6
17 Transformações geométricas Escala Eemplo II escala não uniforme, centrado retende se aplicar uma escala S(.5,.5) ao quadrado, centrado na origem, com lado igual a 2 S(.5,.5) 7
18 Transformações geométricas Escala Eemplo III escala não uniforme, descentrado retende se aplicar uma escala S(.5,.5) ao quadrado, centrado em (2,2), com lado igual a 2 (, 3) (3, 3) S.5,.5 (.5,.5) (4.5,.5) (, ) (3, ) (.5,.5) (4.5,.5) 8
19 Transformações geométricas Escala Note-se que na escala acontece um fenómeno interessante Quando o valor é inferior a a forma aparece mais próima da origem Quando o valor é superior a, a forma afasta-se da origem Esta constatação vem realçar o facto das escalas (à semelhança das rotações) serem efectuadas em relação à origem 9
20 Transformações geométricas Shearing A operação de shearing aplica uma transformação a apenas um dos eios, com uma proporção função do outro eio Aplicando a um dado ponto, a transformação SH (2), obtemos ' a ' Aplicando a mesma transformação, mas agora sobre, obtemos ' ' a 2
21 Transformações geométricas Shearing odemos representar a escala através de matrizes e vectores coluna, SH SH a a, ' ' ' ' SH * 2
22 Transformações geométricas Shearing Eemplo retende se aplicar uma deformação, no eio do, de s unidades SH s s 22
23 Sumário Transformações geométricas Translação Rotação Escala Shearing Coordenadas homogéneas Cálculo com matrizes Composição de transformações E: Window viewport transfom Matrizes de transformações em 3D Modelação hierárquica 23
24 Coordenadas Homogéneas Resumindo as quatro transformação geométricas Translação ' T Rotação Escala Shearing ' R* ' S * ' SH * Fica claro que eiste um caso particular na forma de tratar as translações Esse caso particular vem dificultar a composição de transformações 24
25 Coordenadas Homogéneas O objectivo é conseguir que qualquer transformação de um ponto seja feita na forma '? Como? Coordenadas Homogéneas As coordenadas homogéneas foram inicialmente desenvolvidas na geometria e, posteriormente, foram utilizadas na computação gráfica (meados da década de 7) A ideia é acrescentar uma dimensão ao espaço que estamos a trabalhar. No caso de 2D, a representação de um ponto em coordenadas homogéneas é feita (,, w) 25
26 Coordenadas Homogéneas odemos dizer que os triplos (,, W) e (', ', W') representam o mesmo ponto, desde que sejam múltiplos E: (2, 3, 6) e (4, 6, 2) Isto quer dizer que um mesmo ponto pode ser representado com diferentes triplos em coordenadas homogéneas, desde que sejam diferentes do triplo (,, ) As coordenadas cartesianas de um ponto representado desta forma podem ser encontradas dividindo as coordenada sem e em por W ( W, W,) O que isto significa realmente? 26
27 Coordenadas Homogéneas Representação gráfica Se pegarmos em todos os triplos que representam o mesmo ponto, na forma (t, t, tw), com t, obtemos uma recta num espaço tridimensional Se o ponto for homogeneizado, obtém-se um nova representação na forma (', ', ) W Os pontos homogeneizados formam um plano no espaço (,, W), onde W é constante e igual a W= representam pontos no infinito lano W = 27
28 28 d d T Transformações geométricas Translação T ' Com coordenadas homogéneas, ' ' ',
29 29 Transformações geométricas Rotação cos sin sin cos R Com coordenadas homogéneas R ', ' ' ',
30 3 s s S Transformações geométricas Escala S ' Com coordenadas homogéneas, ' ' ',
31 3 a SH Transformações geométricas Shearing Com coordenadas homogéneas SH ', ' ' ',
32 32 Composição de transformações geométricas Vamos começar com uma composição muitos simples duas translações ), ( d d d d T ), ( d d d d T T T 2 '
33 33 Composição de transformações geométricas A matriz resultante da composição das duas translações é a seguinte d d d d d d d d T T ), ( ), ( ), ( d d d d T d d T d d T
34 34 Composição de transformações geométricas Seguindo o mesmo raciocínio, No entanto, a composição de transformações deve ser feita com cuidado, dado que a ordem interessa em muitos dos casos ) ( ) ( ) ( 2 R R R Rotação Escala ), ( ), ( ), ( s s s s S s s S s s S
35 Composição de transformações geométricas De facto, eiste uma ordem clara epressa na notação utilizada A ordem de aplicação das transformações é feita da direita para a esquerda, ou seja ontofinal nesimatr... 2ª Tr ª Tr ontoinicial Esta ordem é importante uma vez que a composição de transformações geométricas não goza da propriedade comutativa. or eemplo S( d, d ) R( ) R( ) S( d, d ) 35
36 Composição de transformações geométricas R S d, d R S d, d 36
37 Composição de transformações geométricas Rotação em torno de ponto arbitrário Como as rotações são sempre relativas à origem, a rotação de um ângulo Ө (seguinte casa), em torno do ponto, não tem o efeito esperado R Ө 37
38 Composição de transformações geométricas Rotação em torno de ponto arbitrário Original Translação para a origem 2 3 Ө Depois da translação para o ponto Depois da rotação 38
39 39 Composição de transformações geométricas cos sin sin cos p p p p ), ( ) ( ), ( p p p p T R T sin ) cos ( cos sin sin ) cos ( sin cos p p p p matriz resultante da composição
40 Composição de transformações geométricas E: Transformação Window-to-Viewport 4:3 Coordenadas do mundo - WC Viewport Como ficará esta transformação em termos de composição de transformações geométricas? 4
41 Composição de transformações geométricas ma, ma E: Transformação Window-to-Viewport min, min Coordenadas do mundo - WC Translação para a origem v u ma,v ma v 2 u mi,v mi 3 Translação para a posição final u Escala da janela para as dimensões do viewport u 4
42 42 min min min ma min ma min ma min ma min min v v u u v u min, min min ma min ma, min ma min ma min, min T v v u u S v u T M Composição de transformações geométricas E: Transformação Window-to-Viewport
43 43 min min ma min ma min min ma min ma min min ma min ma min min ma min ma v v v v v u u u u u Composição de transformações geométricas E: Transformação Window-to-Viewport
44 Sumário Transformações geométricas Translação Rotação Escala Shearing Coordenadas homogéneas Cálculo com matrizes Composição de transformações E: Window viewport transfom Matrizes de transformações em 3D Modelação hierárquica 44
45 Matrizes de transformações em 3D Os conceitos abordados para 2D continuam válidos A diferença reside na necessidade de mais uma coordenada para representar um ponto em 3D z W É necessário compatibilizar as matrizes utilizadas para representar as transformações 45
46 46 z d d d T z T ' ' ' ' ' z Com coordenadas homogéneas 3D Transformações geométricas Translação,,
47 Eios de coordenadas 3D Antes de falar na rotação, é necessário falar um pouco melhor sobre o sistema de coordenadas utilizado Eistem basicamente dois sistemas Mão direita SMD Mão esquerda SME Adoptaremos o sistema SMD para apresentar tudo o que diz respeito a 3D Note-se que, através de rotações, é possível converter um sistema utilizando a SMD noutro sistema SMD 47
48 Eios de coordenadas 3D Mão direita SMD z X 48
49 Eios de coordenadas 3D Y Mão esquerda SME Z X 49
50 Transformações geométricas - Rotação No SMD, os ângulos positivos são calculados ao contrário dos ponteiros do relógio, como é ilustrado na figura Temos agora 3 planos onde efectuar a rotação de um ponto z z z 5
51 Transformações geométricas - Rotação Com coordenadas homogéneas 3D lano XY Rotação 2D cos( ) sin( ) R sin( ) cos( ) z Eio de rotação R z ( ) cos sin sin cos 5
52 Transformações geométricas - Rotação Com coordenadas homogéneas 3D lano YZ Rotação 2D cos( ) sin( ) R sin( ) cos( ) z Eio de rotação R ( ) cos sin sin cos 52
53 Transformações geométricas - Rotação Com coordenadas homogéneas 3D lano ZX Eio de rotação Rotação 2D cos( ) sin( ) R sin( ) cos( ) z R ( ) cos sin sin cos 53
54 54 z s s s S Transformações geométricas - Escala S ' Com coordenadas homogéneas 3D z ' ' ' ' z,,
55 55 Transformações geométricas - Shearing S ' Com coordenadas homogéneas 3D z ' ' ' ' z,, ), ( sh sh sh sh SH
56 Transformações geométricas Transformações inversas T ( d, d, d ) T ( d, d, d ) R eio () R eio ( ) S( a, b, c) S( a, b, c) 56
57 Matriz resultante da composição A matriz resultante da multiplicação das várias matrizes que representam rotações, escalas e translações, é sempre da forma M rs rs rs 2 3 rs rs rs rs rs rs t t t z Note-se que a sub-matriz 3 por 3 do canto superior esquerdo, RS, é o resultado da agregação de rotações e escalas O vector coluna T é o resultado da agregação das várias translações 57
58 Características das transformações As matrizes de transformação aqui apresentas (translação, rotação, escala e shearing) têm em comum o facto de preservarem o paralelismo das linhas, mas não necessariamente os ângulos e dimensões dos objectos Estas matrizes designam-se de afins. Qualquer multiplicação de matrizes afins resultam numa outra matriz, também afim No entanto, certas matrizes, preservam o paralelismo das linhas, os ângulos e as distâncias or eemplo, quando se roda um objecto ou se move um objecto, apenas se alterou a orientação ou a localização - tudo o resto se mantém Este tipo de transformações designam-se de rigid-bod 58
59 Características das transformações É possível verificar se uma matriz representa uma transformação rigid-bod, observando-a M r r r 2 3 r r r r r r t t t Matriz A r r r 2 3 r r r r r r M é rigid-bod Se for ortogonal AA t I 59
60 Composição de transformações geométricas 3D 2 2 z z osição inicial osição final 6
61 Composição de transformações geométricas 3D São necessárias as seguintes transformações (por eemplo):. Translação de para a origem 2. Rotação sobre o eio, de forma a que e 2 fiquem no plano YZ 3. Rotação sobre o eio, para que e 2 fiquem sobre o eio zz 2 2 D 2 z z 2 2 ( 2, 2, z 2 ) Y 2 2 z z -(9-Ө) Ө D ( 2,, z 2 ) z 2 D 2 z 6
62 Sumário Transformações geométricas Translação Rotação Escala Shearing Coordenadas homogéneas Cálculo com matrizes Composição de transformações E: Window viewport transfom Matrizes de transformações em 3D Modelação hierárquica 67
63 Composição de transformações Uma cena é quase sempre resultado da composição de vários objectos, aos quais são aplicadas transformações Um tampo Quatro pernas 68
64 Composição de transformações Quando se modela um objecto, normalmente faz-se num sistemas de coordenadas diferentes do mundo: Coordenadas de modelação ou coordenadas do objecto Regra geral, o que muda são as unidades do que se modela (cm) z 69
65 Composição de transformações De acordo com o sistema onde o mundo virtual será efectuado, poderá ter que ser realizada uma mudança de escala e/ou de unidades (cm)! z! (m) z E. VRML cm m 7
66 Composição de transformações Além disso, por questões de simplicidade, a modelação dos objectos faz-se na origem No entanto, a composição das cenas pode não ser feita na origem, ou seja, são necessárias algumas transformações geométricas Modelação Hierárquica z z z 7
67 Composição de transformações Modelação Hierárquica ara que esta composição seja feita de uma forma sistemática, é utilizada uma composição hierárquica Esta modelação é realizada através de grafos dirigidos acíclicos, que se designam de grafos de cena Um grafo de cena não é mais do que a representação de objectos e nós de transformações, de forma a representar o aspecto final da cena, nas coordenadas do mundo Como ficará o grafo de cena para a modelação da mesa? 72
68 Grafos de cena Cena 2 (5,, ) T 2,2, T T T T z,5 S R R R R S S S S tampo perna perna perna perna 73
69 Grafos de cena Atenção: A ordem de eecução das transformações é da raiz para as folhas Cena T 4º - Translação T T T T 3º - Translação S R R R R 2º - Rotação S S S S º - Escala tampo perna perna perna perna 74
70 Grafos de cena z 2 S(.2,.,.2 ), 2 Tampo: MC WC 2.2 z tampo 75
71 Grafos de cena d=-.5 d=-.725 dz=.725 T(-.725, -.5,.725) z R (9) erna: MC WC.5.5 z,5 perna S(.5,.5,.) 76
72 Grafos de cena Cena mesa T(5,, ) pernatrans R (9) S(.5,.5,.) perna S(.2,.,.2) T T2 T3 T4 tampo pernatrans pernatrans pernatrans pernatrans T=T( ) T2=T( ) T3=T( ) T4=T( ) 77
73 Grafos de cena em VRML A passagem de um grafo de cena para VRML é bastante fácil Transform T Cena Transform T S Transform Shape Tampo S T R T T T R R R S R T Transform Shape é S S S S... S R T Shape é tampo perna perna perna perna 78
74 Grafos de cena em VRML Note que o eemplo aqui apresentado conduz a um grafo de cena onde o mapeamento para VRML é directo Em cada nó Transform, a ordem de eecução das possíveis três transformações é bastante clara e independente da ordem de declaração Escala -> Rotação -> Translação Como já foi referido, estas transformações não são comutativas, logo, eistem grafos de cena que têm de ser trabalhados na passagem para VRML A passagem não é directa 79
75 8 Transform R S Transform Transform B S C R T Transform Shape Shape R A T Shape Transform Transform Grafos de cena em VRML S S A B R T T R C Cena R Certo! Errado! Transform R S Transform Transform B S T C R T Transform Shape Shape Shape R A
76 Referências Computer Graphics: rinciples and ractice in C, James D. Fole, Andries van Dam, Steven K. Feiner, John F. Hughes, Addison-Wesle rofessional; 2nd edition (995) Capítulo 5 Real-time Rendering, Tomas Akenine-Möller and Eric Haines, A.K. eters Ltd, 2nd edition (22) Capítulo 3 M. róspero, FCT-UNL, Documentação da cadeira de computação gráfica, 25 Transformation Eploratories - 8
Transformações (Cap 4.3, 4.4 e 4.6 a 4.10)
4.6 a 4.) Transformações (Cap 4.3, 4.4 e 4.6 a 4.) Instituto Superior Técnico, 26/27 Sumário Revisões Transformações Elementares Coordenadas Homogéneas Composição de Transformações Transformações em OpenGL
Leia maisTransformações Geométricas
Transformações Geométricas 2D Carolina Watanabe Referências Bibliográficas FOLEY, J. D, DAM, A. V.; HUGHES, J. F. Computer Graphics Principle and dpractice, 2 a edição Material elaborado por Marcela X.
Leia maisTransformações Geométricas Grafos de Cena
Transformações Geométricas Grafos de Cena Edward Angel, Cap. 4 Instituto Superior Técnico Computação Gráfica 2009/2010 1 Na última aula... Transformações Geométricas Translação Escala Rotação Espaço Homogéneo
Leia maisUniversidade de Aveiro Departamento de Electrónica, Telecomunicações e Informática. Transformações 2D
Universidade de Aveiro Departamento de Electrónica, Telecomunicações e Informática Transformações 2D Computação Visual Beatriz Sousa Santos, Joaquim Madeira Transformações 2D Posicionar, orientar e escalar
Leia maisInstituto Tecnológico de Aeronáutica. Prof. Carlos Henrique Q. Forster Sala 121 IEC. ramal 5981
CC Visão Computacional Geometria Projetiva Instituto ecnológico de Aeronáutica Prof. Carlos Henrique Q. Forster Sala IEC ramal 598 ópicos da aula Rotação em D, Escala e Refleo Deformação do quadrado unitário
Leia maisTranslação. Sistemas de Coordenadas. Translação. Transformações Geométricas 3D
Translação Transformações Geométricas 3D Um ponto (objeto) é deslocado de uma posição para outra posição no mesmo espaço 3D Rosane Minghim Maria Cristina F. de Oliveira ICMC Universidade de São Paulo 26
Leia maisTransformações Geométricas
Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores Computação Gráfica Transformações Geométricas Edward Angel, Cap. 4 Questão 1, exame de 29/06/11 Considere o triângulo T={V 1, V 2, V 3 }, com V
Leia maisTransformações 2D. Prof. Márcio Bueno Fonte: Material do Prof. Robson Pequeno de Sousa e do Prof.
Transformações 2D Prof. Márcio Bueno {cgtarde,cgnoite}@marciobueno.com Fonte: Material do Prof. Robson Pequeno de Sousa e do Prof. Robson Lins Transformações 2D Transformações Geométricas são a base de
Leia mais1º Teste de Computação Gráfica 3º Ano
1º Teste de omputação Gráfica 3º no Licenciatura em Eng. Informática e de omputadores Prof. responsável risson Lopes 5 de Maio de 2000 Nº «Número» Nome: «Nome» Sala: «Sala» Responda às questões seguintes
Leia maisTransformações. 35T56 Sala 3E1 Bruno Motta de Carvalho DIMAp Sala 15 Ramal 227 DIM102
Transformações 35T56 Sala 3E Bruno Motta de Caralho DIMAp Sala 5 Ramal 7 DIM Transformações T Porquê usar transformações? Criar objetos em sistemas de coordenadas conenientes Reusar formas básicas árias
Leia maisTransformações Geométricas
Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores Computação Gráfica Transformações Geométricas Edward Angel, Cap. 4 Questão 1, exame de 29/06/11 [1.0v] Considere o triângulo T={V 1, V 2, V 3 },
Leia mais4. Curvas Paramétricas e Transformações 2D
4. Curvas Paramétricas e Transformações 2D Curvas Paramétricas (fonte: Wikipédia) Em matemática, uma equação paramétrica é uma forma de representar uma curva (ou, em geral, uma superfície) como a imagem
Leia maisTransformações de Pontos. Computação Gráfica Prof. Dr. Paulo Roberto Gomes Luzzardi Aluna: Karina da Silva Salles
Transformações de Pontos Computação Gráfica Prof. Dr. Paulo Roberto Gomes Luzzardi Aluna: Karina da Silva Salles Sumário Motivação Definição Translação Escala Rotação Reflexão Shearing Referências Motivação
Leia maisModelos Geométricos Transformações
Modelos Geométricos Transformações Edward Angel, Cap. 4 Instituto Superior Técnico Computação Gráfica 2009/2010 1 Aulas teóricas 11/03 Quinta-feira, dia 11 de Março Não vão ser leccionadas aula teóricas.
Leia maisTransformações Geométricas. Transformações Geométricas. Sistemas de Coordenadas. Translação: M.C.F. de Oliveira Rosane Minghim 2006
Transformações Geométricas Transformações Geométricas 2D M.C.F. de Oliveira Rosane Minghim 2006 Aplicadas aos modelos gráficos para alterar a geometria dos objetos, sem alterar a topologia Porque são necessárias:
Leia mais2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar Variação relativa do comprimento (Extensão)
Cap.. Deformação 1. Deslocamento. Gradiente de deformação.1 ranslação, rotação e deformação da vizinhança elementar 3. ensor de deformação de agrange 4. ensor das pequenas deformações 4.1 Caracter tensorial
Leia maisTransformações Geométricas
Transformações Geométricas Computação Gráfica DCC065 Prof. Rodrigo Luis de Souza da Silva, D.Sc. Sumário Tópicos da aula de hoje: Por que transformações? Classificação das transformações Transformações
Leia maisIntrodução à Computação Gráfica
Introdução à Computação Gráfica Desenho de Construção Naval Manuel Ventura Instituto Superior Técnico Secção Autónoma de Engenharia Naval 27 Sumário Entidades Geométricas Transformações Geométricas 2D
Leia maisCurso de CG 2019/1 IC / UFF
http://computacaografica.ic.uff.br/conteudocap2.html Curso de CG 2019/1 IC / UFF Transformações Geométricas no Plano e no Espaço Esse material estáno Livro do curso no cap 2. Definição Transformações geométricas
Leia mais2 Cinemática 2.1 CINEMÁTICA DA PARTÍCULA Descrição do movimento
2 Cinemática A cinemática tem como objeto de estudo o movimento de sistemas mecânicos procurando descrever e analisar movimento do ponto de vista geométrico, sendo, para tal, irrelevantes os fenómenos
Leia mais4. Tensores cartesianos em 3D simétricos
4. Tensores cartesianos em D simétricos 4.1 Valores e vectores próprios ou valores e direcções principais Em D não é possível deduzir as fórmulas que determinam os valores e as direcções principais na
Leia maisDepartamento de Matemática e Ciências Experimentais FÍSICA 12.º Ano
Departamento de Matemática e Ciências Eperimentais FÍSICA 12.º Ano Teto de apoio n.º 1 Assunto: Calculo vectorial O vector é uma entidade matemática caracteriada por três elementos: módulo, (magnitude
Leia maisTransformações Geométricas em C.G.
Transformações Geométricas em C.G. Cap 2 (do livro texto) Aula 3, 4 e 5 UFF - 214 Geometria Euclideana : 3D Geometria Axiomas e Teoremas Coordenadas de pontos, equações dos objetos Geometria Euclideana
Leia maisCurso de CG 2018/2 IC / UFF
http://computacaografica.ic.uff.br/conteudocap2.html Curso de CG 2018/2 IC / UFF Transformações Geométricas no Plano e no Espaço Esse material estáno Site do curso como : CG-Aula5-2017.pdf CG-Aula8-2016.pdf
Leia maisCap. 0. Cálculo tensorial
Cap. 0. Cálculo tensorial 1. Quantidades físicas 1.1 ipos das quantidades físicas 1. Descrição matemática dos tensores 1.3 Definição dos tensores. Álgebra tensorial 3. ensores cartesianos em D simétricos
Leia maisSumário COMPUTAÇÃO GRÁFICA E INTERFACES. Modelos e modelagem. Modelos e modelagem. Transformações Geométricas e Visualização 2D
Sumário COMPUTAÇÃO GRÁFICA E INTERFACES Transformações Geométricas e Visualização D Transformações geométricas Pipeline de visualização D Transformação de coordenadas Window-Viewport Recorte (Clipping)
Leia maisaula8 Transformações Geométricas no Plano e no Espaço 2016/2 IC / UFF
http://computacaografica.ic.uff.br/conteudocap2.html aula8 Transformações Geométricas no Plano e no Espaço 2016/2 IC / UFF Definição Transformações geométricas são operações que podem ser utilizadas para
Leia maisIntrodução ao Processamento e Síntese de imagens Transformações de Visualização: Matrizes Homogêneas
Introução ao rocessamento e íntese e imagens ransformações e Visualiação: Matries Homogêneas Júlio Kioshi Hasegawa Fontes: Esperança e Cavalcanti UFRJ; raina e Oliveira 4 U; e Antonio Maria Garcia ommaselli
Leia maisficha 5 transformações lineares
Exercícios de Álgebra Linear ficha 5 transformações lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 5 Notação
Leia maisComputação Gráfica I. Conteúdo: Professor: - Transformações geométricas no plano. Instituto de Computação - UFF
Computação Gráfica I Professor: Anselmo Montenegro www.ic.uff.br/~anselmo Conteúdo: - Transformações geométricas no plano. Transformações geométricas: Introdução Na Computação Gráfica é essencial poder
Leia maisÁLGEBRA LINEAR A FICHA 2
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 7/Out/3 ÁLGEBRA LINEAR A FICHA SOLUÇÕES SUMÁRIAS DOS EXERCÍCIOS ÍMPARES Matrizes: Inversão e Formas
Leia mais1º Teste de Computação Gráfica
1º Teste de Computação Gráfica LEIC/LESIM/LCI Prof. João Brisson Lopes Prof. Mário Rui Gomes 15 de Abril de 23 Nº Nome: Responda às questões seguintes justificando adequadamente todas as respostas. O teste
Leia maisaula6 2018/2 IC / UFF Como representar objetos 3D em dispositivos 2D?
http://computacaografica.ic.uff.br/conteudocap2.html aula6 Como representar objetos 3D em dispositivos 2D? 2018/2 IC / UFF Projeções Planas O P p 2018/2 IC / UFF aula6: Projeções Planas Material disponível
Leia maisaula6 Projeções Planas 2017/2 IC / UFF
http://computacaografica.ic.uff.br/conteudocap2.html aula6 P p O Projeções Planas 2017/2 IC / UFF Relembrando Transformações De corpo rígido (semelhança). Distância entre 2 pontos quaisquer é inalterada.
Leia maisLaboratório de Programação com Games. Conteúdo: Professor: - Transformações no plano. Instituto de Computação - UFF
Laboratório de Programação com Games Professor: Anselmo Montenegro www.ic.uff.br/~anselmo Conteúdo: - Transformações no plano Transformações geométricas: Introdução Na Computação Gráfica é essencial poder
Leia maisCAPíTULO 1. Vetores e tensores Notação indicial
CAPíTULO 1 Vetores e tensores 1.1. Notação indicial A notação indicial é uma simplificação da notação de uma somatória. Por exemplo, seja a somatória de 3 monômios a i b i (a i multiplicado por b i ) com
Leia maisaula9 Coordenadas homogêneas e projeções 2016/2 IC / UFF
http://computacaografica.ic.uff.br/conteudocap2.html aula9 P p O Coordenadas homogêneas e projeções 2016/2 IC / UFF 2D TODAS AS Transformações Lineares Bidimensionais São representadas por matrizes 2 x
Leia maisVisualização por Computador: Teoria, Prática e Aplicações
Visualização por Computador: Teoria, Prática e Aplicações Noções de Geometria e Álgebra Linear Claudio Esperança Programa de Engenharia de Sistemas e Computação COPPE / UFRJ Master of Information Management,
Leia maisUNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL REGIME NOCTURNO - º SEMESTRE - º ANO - 7 / 8 ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA º FREQUÊNCIA de Janeiro de 8 Duração:
Leia maisFigura 9.1: Corpo que pode ser simplificado pelo estado plano de tensões (a), estado de tensões no interior do corpo (b).
9 ESTADO PLANO DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES As tensões e deformações em um ponto, no interior de um corpo no espaço tridimensional referenciado por um sistema cartesiano de coordenadas, consistem de três componentes
Leia maisAula9 e 10. Projeções Planas. Como representar objetos 3D em dispositivos 2D? 2019/1 IC / UFF. Paginas 91 a 101 livro texto de computacao grafica
Aula9 e 10 Como representar objetos 3D em dispositivos 2D? Projeções Planas 2019/1 IC / UFF P p O Paginas 91 a 101 livro texto de computacao grafica Como desenhar o mundo 3D no planos? Fazendo as projeções
Leia maisCapítulo 2 Vetores. 1 Grandezas Escalares e Vetoriais
Capítulo 2 Vetores 1 Grandezas Escalares e Vetoriais Eistem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As grandezas escalares são aquelas que ficam definidas por apenas um número real, acompanhado
Leia maisProjecção. Computação Gráfica. CG, JS & 2006 ISEL/DEETC/SP Computação Gráfica
rojecção Computação Gráfica CG, JS & ND @ 26 ISEL/DEETC/S Computação Gráfica ietro erugino's usage of perspective in this fresco at the Sistine Chapel (48 82) helped bring the Renaissance to Rome. 2 Sumário
Leia mais1. Considere a seguinte matriz dos vértices dum triângulo D = 0 2 3
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 7 a LISTA DE PROBLEMAS E EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark, LERCI, LEGI, LEE 1 o semestre 2006/07 - aulas práticas de 2006-12-04 e 2006-12-06
Leia maisAULA Exercícios. DETERMINAR A EXPRESSÃO GERAL E A MATRIZ DE UMA TL CONHECIDAS AS IMAGENS DE UMA BASE DO
Note bem: a leitura destes apontamentos não dispensa de modo algum a leitura atenta da bibliografia principal da cadeira Chama-se a atenção para a importância do trabalho pessoal a realizar pelo aluno
Leia maisIluminação e Sombreamento
luminação e Sombreamento Computação Gráfica Carlos Guedes @ 2006 SEL/DEETC/SP Computação Gráfica 1 Computação Gráfica Carlos Guedes @ 2006 SEL/DEETC/SP Computação Gráfica http://www.oyonale.com/ldc/english/classroom.htm
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA COM 2º E 3º CICLOS ANSELMO DE ANDRADE
ESCOLA SECUNDÁRIA COM 2º E 3º CICLOS ANSELMO DE ANDRADE ANO LECTIVO 2010-2011 MATEMÁTICA 8º ANO DE ESCOLARIDADE NOME: Nº: DATA: / / Isometria ISOMETRIA: Transformação geométrica que preserva as distâncias
Leia maisCoordenadas Homogêneas no Plano e no Espaço
http://computacaografica.ic.uff.br/conteudocap2.html Curso de CG 2019/1 IC / UFF Coordenadas Homogêneas no Plano e no Espaço (AB) T = B T A T Esse material estáno Livro do curso no cap 2. Resumindo transformações
Leia maisTensores cartesianos. Grandezas físicas como funções de posição e/ou de tempo
ensores cartesianos Quantidades (grandeas) físicas: Classificação: Escalares Vectores ensores de segunda ordem... ensores de ordem ero ensores de primeira ordem ensores de segunda ordem... Relacionadas
Leia mais2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar. 4.3 Significado físico das pequenas deformações
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 Cap. 4. Deformação 1. Deslocamento. Gradiente de deslocamento.1 ranslação, rotação e deformação da vizinhança elementar. Significado físico
Leia maisComputação Gráfica Módulo III Geometria
Computação Gráfica Módulo III Geometria UniverCidade - Prof. Ismael H F Santos April 5 Prof. Ismael H. F. Santos - ismael@tecgraf.puc-rio.br Considerações Gerais Objetivo: Discutir os principais conceitos
Leia maisTransformações Geométricas
Computação Gráfica Interativa - M. Gattass & L. F. Martha 8// Transformações Geométricas por Marcelo Gattass Departamento de Informática PUC-Rio (adaptado por Lui Fernando Martha para a disciplina CIV8
Leia maisCapítulo 1 Números Reais
Departamento de Matemática Disciplina MAT154 - Cálculo 1 Capítulo 1 Números Reais Conjuntos Numéricos Conjunto dos naturais: N = {1,, 3, 4,... } Conjunto dos inteiros: Z = {..., 3,, 1, 0, 1,, 3,... } {
Leia maisUniversidade dos Açores Departamento de Matemática Curso de Informática Redes e Multimédia Cálculo II
Universidade dos Açores Departamento de Matemática Curso de Informática Redes e Multimédia Cálculo II Tema : Cálculo diferencial de funções de duas variáveis Este teto foi retirado do manual de apoio à
Leia maisMÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: BARRAS BI-ARTICULADAS 3D
MÉODO DOS DESOCAMENOS: BAAS BI-AICUADAS D Consideremos a estrutura constituida or duas barras bi-articuladas e submetida a uma acção força P alicada no nó e a um assentamento de aoio δ V. Persectiva P
Leia maisTransformações Geométricas 2D e 3D
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO - USP Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação ICMC Departamento de Ciências de Computação SCC Seminário para a Disciplina SCE 5799 Computação Gráfica Profa. Dra. Rosane
Leia maisModelos Globais de Iluminação
Modelos Globais de Iluminação Radiosidade e Ray-tracing Computação Gráfica Carlos Guedes @ 2006 ISEL/DEETC/SP Computação Gráfica 1 Agenda Modelos de iluminação Modelos locais Phong Modelos globais Ray-tracing
Leia maisTransformações Geométricas em C.G. Claudio Esperança Paulo Roma Cavalcanti
Transformações Geométricas em C.G. Claudio Esperança Paulo Roma Cavalcanti Geometria Euclideana Geometria Sintética: Axiomas e Teoremas Por coordenadas: Álgebra Linear Geometria Euclideana Espaço Vetorial
Leia maisTIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 2. Questão 3. Questão 4. alternativa A. alternativa B. alternativa D
TIPO DE PROVA: A Questão Se o dobro de um número inteiro é igual ao seu triplo menos 4, então a raiz quadrada desse número a) b) c) d) 4 e) 5 Sendo o número inteiro em questão, temos: 4 4 Logo a raiz quadrada
Leia maisDescrições Espaciais e Transformações
4 o Engenharia de Controle e utomação FCI / 29 rof. Maurílio J. Inácio Descrição de posição e orientação O estudo de robótica envolve constantemente a localização de objetos (as partes e ferramentas) em
Leia maisCurso de Computação Gráfica (CG) 2014/2- Cap 2 parte 2 Transformações no espaço e projeções Trabalho 5 (individual) - Gabarito
Curso de Computação Gráfica (CG) 2014/2- Cap 2 parte 2 Transformações no espaço e projeções Trabalho 5 (individual) - Gabarito 1- Mostre porque a matriz de rotação 3D em torno do eixo y precisa ter o valor
Leia maisFUNÇÃO QUADRÁTICA. Vamos fazer agora o estudo da função, tendo em conta a sua representação geométrica.
FUNÇÃO QUADRÁTICA Definição: Uma função quadrática é uma função f definida por f () a b c, a 0 a, b e c são números reais. - O domínio de uma função quadrática é o conjunto dos números reais. - O gráfico
Leia maisEscola Básica Integrada c/ Jardim de Infância da Malagueira SÍNTESE DO TÓPICO ISOMETRIAS. rotaçã
Escola Básica Integrada c/ Jardim de Infância da Malagueira Ficha informativa nº9 Matemática Nome: Nº: Ano: 8º Turma: Data: 11 SÍNTESE DO TÓPICO ISOMETRIAS ISOMETRIAS I - Transformações geométricas: reflexão,
Leia maisFicha de Exercícios nº 3
Nova School of Business and Economics Álgebra Linear Ficha de Exercícios nº 3 Transformações Lineares, Valores e Vectores Próprios e Formas Quadráticas 1 Qual das seguintes aplicações não é uma transformação
Leia maisCâmara Virtual. Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores Computação Gráfica. Edward Angel, Cap. 5 Apontamentos CG
Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores Computação Gráfica Câmara Virtual 2 Corpo docente de Computação Gráfica / CG&M / DEI / IST / UTL Edward Angel, Cap. 5 Apontamentos CG Câmara Virtual
Leia maisGeometria Analítica. Geometria Analítica 28/08/2012
Prof. Luiz Antonio do Nascimento luiz.anascimento@sp.senac.br www.lnascimento.com.br Conjuntos Propriedades das operações de adição e multiplicação: Propriedade comutativa: Adição a + b = b + a Multiplicação
Leia maisResistência dos Materiais 2003/2004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial
1/14 Resistência dos Materiais 00/004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial ª ula Duração - Horas Data - 5 de Setembro de 00 Sumário: Tensões numa Barra Traccionada. Conceito de Tensão. Tensor das Tensões.
Leia maisROBÓTICA (ROB74) AULA 2. TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS E COORDENADAS HOMOGÊNEAS PROF.: Michael Klug
ROBÓTICA (ROB74) AULA 2 TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS E COORDENADAS HOMOGÊNEAS PROF.: Michael Klug PROGRAMA Transformações Geométricas e Coordenadas Homogêneas Notações Introdutórias Vetores, matrizes, pontos
Leia maisComputação Gráfica. Prof. MSc. André Yoshimi Kusumoto
Computação Gráfica Prof. MSc. André Yoshimi Kusumoto andrekusumoto.unip@gmail.com Transformações Geométricas São operações que podem ser utilizadas visando a alteração de algumas características como posição,
Leia maisRobótica Experimental
UNVERSDADE FEDERAL DO RO GRANDE DO NORTE Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia Dept o de Engenharia de Computação e Automação DCA Robótica Eperimental Material didático Adelardo
Leia maisForma Canônica de Matrizes 2 2
Forma Canônica de Matrizes Slvie Olison Kamphorst Departamento de Matemática - ICE - UFMG Versão. - Novembro 5 a b Seja A c d induzida por A uma matriz real e seja T a transformação operador linear de
Leia maisTransformações Geométricas para Visualização 3D
Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Transformações Geométricas para Visualiação 3D por Marcelo Gattass Departamento de Informática PUC-Rio (adaptado por Lui Fernando
Leia maisGeometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido
Módulo 2 Geometria Analítica Números Reais Conjuntos Numéricos Números naturais O conjunto 1,2,3,... é denominado conjunto dos números naturais. Números inteiros O conjunto...,3,2,1,0,1, 2,3,... é denominado
Leia maisFísica Geral I. 1º semestre /05. Nas primeiras seis perguntas de escolha múltipla indique apenas uma das opções
Física Geral I 1º semestre - 2004/05 2 TESTE DE AVALIAÇÃO 2668 - ENSINO DE FÍSICA E QUÍMICA 1487 - OPTOMETRIA E OPTOTECNIA - FÍSICA APLICADA 9 de Dezembro 2004 Duração: 2 horas + 30 min tolerância Nas
Leia maisMECÂNICA GERAL VETORES POSIÇÃO E FORÇA
MECÂNICA GERAL VETORES POSIÇÃO E FORÇA Prof. Dr. Daniel Caetano 2019-1 Objetivos Recordar o conceito de vetor posição Recordar o conceito de vetor força Recordar as operações vetoriais no plano Atividade
Leia maisCoordenadas Homogêneas
Coordenadas Homogêneas André Tavares da Silva andre.silva@udesc.br Capítulo 5 de Foley Capítulo 2 de Azevedo e Conci Coordenadas Homogêneas Promovem uniformidade no tratamento de qualquer transformação
Leia maisModelação de Formas Geométricas
Modelação de Formas Geométricas Computação Gráfica Inverno 2012/2013 Parcialmente adaptado de Hanspeter Pfister, Harvard / MERL Carlos Guedes @ 2012 ISEL/ADEETC Computação Gráfica 1 2 http://hof.povray.org/images/villarceau_circles-csg.jpg
Leia mais-INF Aula 17 Visualização 3D: Projeções
Visualiação 3D -INF147- Aula 17 Visualiação 3D: Projeções Modelo geométrico Pipeline de visualiação Imagem Modificado de M.M. Oliveira Visualiação 3D Projeções paralelas e perspectiva câmera Projeção ortográfica
Leia maisCapítulo O espaço R n
Cálculo - Capítulo 1. - O espaço R n - versão 0/009 1 Capítulo 1. - O espaço R n 1..1 - Espaço R 3 1.. - Espaço R n Vamos, agora, generaliar o conceito de um espaço R primeiro para R 3 e depois para R
Leia maisInstituto Superior de Engenharia de Lisboa Engenharia Informática e de Computadores
Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Engenharia Informática e de Computadores Teoria dos Sinais e dos Sistemas O procedimento de Gram-Schmidt: definição, exemplos e aplicações Artur Ferreira {arturj@isel.pt}
Leia maisProva Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 06 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I. Como P A B ) P A B ) P A B), temos que: P A B ) 0,6 P A B) 0,6 P A B) 0,6 P A B) 0,4 Como P A B) P A) + P B) P A B) P A
Leia maisBiologia Estrutural. Espaço Recíproco e a Esfera de Ewald. Prof. Dr. Walter Filgueira de Azevedo Jr. wfdaj.sites.uol.com.br
Biologia Estrutural Espaço Recíproco e a Esfera de Ewald Prof. Dr. Walter Filgueira de Azevedo Jr. Resumo Índices de Miller Índices de Direções Espaço Recíproco Esfera de Ewald Esfera Limite Número de
Leia maisVectores e Geometria Analítica
Capítulo 1 Vectores e Geometria Analítica 1.1 Vectores em R 2 e R 3. Exercício 1.1.1 Determine um vector unitário que tenha a mesma direcção e sentido que o vector u e outro que que tenha sentido contrário
Leia maisSecção 2. Equações diferenciais de primeira ordem
. Equações diferenciais de primeira ordem Secção. Equações diferenciais de primeira ordem (Farlow: Sec..,.) Vamos nesta secção analisar como podem ser resolvidos diferentes tipos de EDOs de primeira ordem.
Leia maisTransformações Gráficas Tridimensionais (3D) Antonio L. Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro
Transformações Gráficas Tridimensionais (3D) Antonio L. Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro Introdução A manipulação, visualiação e a construção de imagens gráficas tridimensionais
Leia maisMatemáticaI Gestão ESTG/IPB Departamento de Matemática 28
Cap. Funções Reais de variável Real MatemáticaI Gestão ESTG/IPB Departamento de Matemática 8. Conjuntos de Números,,3 Números Naturais,,, 0,,, Números Inteiros a : a, b, b 0 Números Racionais b Irracionais
Leia maisITA 2004 MATEMÁTICA. Você na elite das universidades! ELITE
www.elitecampinas.com.br Fone: () -7 O ELITE RESOLVE IME PORTUGUÊS/INGLÊS Você na elite das universidades! ITA MATEMÁTICA www.elitecampinas.com.br Fone: () -7 O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA GABARITO ITA
Leia maisAgrupamento de Escolas O Rouxinol Escola Básica 2, 3 de Corroios Matemática 8ºAno: Translações. Translações
Translações 1 Se reparares com atenção, podes observar que certos elementos se repetem periodicamente, numa determinada direcção e sentido. 2 Nos azulejos, por exemplo, podes observar essa repetição. 3
Leia mais1 Axiomatização das teorias matemáticas 30 2 Paralelismo e perpendicularidade de retas e planos 35 3 Medida 47
ÍNDICE Números e operações Geometria e medida Relação de ordem em R 4 Intervalos de números reais 8 Valores aproimados de resultados de operações Eercícios resolvidos 6 Eercícios propostos 0 Eercícios
Leia maisCálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo
Cálculo I IM UFRJ Lista : Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão 7.03.05 Para o Aluno O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio que chamaremos de pré-cálculo.
Leia mais3D no OpenGL. Visualização e Transformações Perspectiva. Transformações do Modelview. Processo
Visualização e Transformações Perspectiva 3D no OpenGL Para gerar imagens de um objeto 3D, é necessário compreender transformações perspectiva Foley & van Dam - Cap. 6 Notas de aula do Prof. Mount: aulas
Leia maisCâmara Virtual Simples
Câmara Virtual Simples Edward Angel, Cap. 5 Instituto Superior Técnico Computação Gráfica 29/2 Na última aula... Pipeline de Visualiação 3D Câmara Virtual 2, CG&M/IST e Figuras Addison Wesley Sumário Câmara
Leia maisÁ lgebra para intermedia rios Ma ximos, mí nimos e outras ideias u teis
Á lgebra para intermedia rios Ma imos, mí nimos e outras ideias u teis 0) O que veremos na aula de hoje? Máimos e mínimos em funções do º grau Máimos e mínimos por trigonometria Máimos e mínimos por MA
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 11º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 2
ESL SEUNÁRI M º IL. INIS IMR º N E ESLRIE MTEMÁTI FIH E VLIÇÃ Nº Grupo I s cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está
Leia maisUnidade 5 Diferenciação Incremento e taxa média de variação
Unidade 5 Diferenciação Incremento e taa média de variação Consideremos uma função f dada por y f ( ) Quando varia de um valor inicial de para um valor final de, temos o incremento em O símbolo matemático
Leia maisFísica I 2010/2011. Aula 13 Rotação I
Física I 2010/2011 Aula 13 Rotação I Sumário As variáveis do movimento de rotação As variáveis da rotação são vectores? Rotação com aceleração angular constante A relação entre as variáveis lineares e
Leia maisUniversidade de Aveiro Departamento de Electrónica, Telecomunicações e Informática. Visualização 3D
Universidade de Aveiro Departamento de Electrónica, Telecomunicações e Informática Visualização 3D Computação Visual Beatriz Sousa Santos, J. Madeira Visualização 3D Os processos envolvidos na obtenção
Leia maisUC: Análise Matemática II. Representação geométrica para Integrais Múltiplos - Volumes
ETI / EI, 1 o Ano UC: Análise Matemática II Representação geométrica para Integrais Múltiplos - Volumes Elaborado de: Diana Aldea Mendes e Rosário Laureano Departamento de Métodos Quantitativos Fevereiro
Leia mais