Descrições Espaciais e Transformações

Transcrição

1 Descrições Espaciais e ransformações 1998 Mario Campos 1 Descrições Espaciais e ransformações Descrever objetos no espaço 3D; Formulação matemática consistente; Sistema coordenado universal 1998 Mario Campos 2

2 Notação Vetores e Matrizes Letra Maiúscula Escalares Letra Minúscula Referenciais Sobrescrito e Subscrito precedentes P R vetor de posição P descrito no referencial {} matriz de rotação que especifica a relação entre os referenciais {} e {} 1998 Mario Campos 3 Notação Inverso, transposição R -1, R Subscritos suscedentes nenhuma convenção específica. P bolt posição de um parafuso Funções trigonométricas cos θ 1 cθ 1 c Mario Campos 4

3 Descrições: Posição, Orientação e Referenciais Descrição de Posição Descrição Orientação 1998 Mario Campos 5 Descrição de Posição POSIÇÃO Definida em relação a um referencial pelo vetor P (3 x 1), denominado Vetor de Posição, que é o vetor P descrito em relação ao referencial {}: P Px P y Pz 1998 Mario Campos 6

4 Descrição de Posição Z P P {} Y X 1998 Mario Campos 7 Descrição de Orientação ORIENÇÃO de um referencial afixado num corpo, descrita pela Matriz de Rotação (3 x 3), composta pelos vetores unitários das direções principais de um referencial {}, representados no referencial{}: r r r R [ X Y Z ] r r r r r r R 1998 Mario Campos 8

5 Descrição de Orientação Cosenos Diretores X X Y X Z X R X Y Y Y Z Y X Z Y Z Z Z a b a b cos θ Como a b 1, então, a b cos θ Mario Campos 9 Descrição de Orientação R [ X Y Z ] Portanto, pode-se afirmar que: R R Isto sugere que o inverso da matriz de rotação é igual a sua transposta, como mostrado a seguir. X Y Z 1998 Mario Campos 10

6 Descrição de Orientação R R X Y Z [ ] X Y Z I 3 Onde I 3 é a matriz identidade 3x3. Portanto: 1 R R R pela comutatividade do produto escalar Mario Campos 11 Posição e Orientação X {} Z Z X {} Y P Y 1998 Mario Campos 12

7 Descrição de um referencial REFERENCIL um par constituído de: {ORIENÇÃO, POSIÇÃO} { } { R, Porg} Z {} Y Z P org X {} Y X 1998 Mario Campos 13 Descrição de um referencial Um referencial (frame) é uma entidade composta de 4 vetores que fornecem informação de posição e orientação. Na figura a seguir, um desses vetores indica a posição das pontas dos dedos da garra, e três outros indicam a sua orientação. Por outro lado, um referencial nada mais é do que um sistema coordenado, ao qual, além da orientação, é fornecido um vetor de posição que descreve sua origem em relação a um outro referencial Mario Campos 14

8 Representação Gráfica de Referenciais Z {} Y Z C Z U X Z X C {C} Y C X U {U} Y U X {} Y 1998 Mario Campos 15 Mapeamentos Utilizados para mudar descrições de um referencial para outro referencial. Mapeamentos envolvendo referenciais transladados (sem rotação relativa): P P+ P org 1998 Mario Campos 16

9 Referenciais ransladados Z Z P P X {} Y P org X {} Y 1998 Mario Campos 17 Referenciais Rotacionados Colunas da matriz de rotação são vetores unitários e mutuamente ortogonais. Como consequência: e 1 R R R R [ X Y Z ] X Y Z 1998 Mario Campos 18

10 # # # Referenciais Rotacionados {} " Z {} Z P! Y Y X X 1998 Mario Campos 19 Referenciais Rotacionados Projeções dos componentes do vetor P sobre os vetores unitários: px X P py Y P p substituindo, temos: P Z P z R P 1998 Mario Campos 20

11 Referenciais Rotacionados z x w u θ θ v y R x i i i j i k,θ j i j j j k k i k j k k x u x v x w y u y v y w z u z v z w 1998 Mario Campos 21 Referenciais Rotacionados i i i j i k R x,θ j i j j j k k i k j k k x u x v x w y u y v y w z u z v z w R x, θ cosθ senθ 0 0 senθ cosθ 1998 Mario Campos 22

12 $ Referenciais Rotacionados Exemplo: Referencial {} rotacionado em relação a {} de Z de θ30 o : R P P R P Mario Campos 23 Referenciais Genéricos Descrever P em relação a um frame intermediário, cuja orientação seja a mesma e {}, e cuja origem seja coincidente com {}. Realizar a soma vetorial para descontar a translação: P R P+ P org De maneira mais compacta: P P 1998 Mario Campos 24

13 ransformação Homogênea P R Porg P Um 1 é adicionado como último elemento dos vetores 4x1. 2. Uma linha com [ ] é adicionada como última linha da matriz 4x4. descrição de {} relativo a {} é: 1998 Mario Campos 25 ransformação Genérica ) Z {} % Z {} P P ( Y ' X & Y P org % X 1998 Mario Campos 26

14 + *, ransformação Genérica Exemplo: Sendo {} rotacionado 30 graus em torno de Z, e transladado de 10 unidades ao longo de Y e de 5 unidades ao longo de X, encontre P, sendo que P [ ]. {} pode ser definido como: Mario Campos 27 ransformação Genérica Sendo P, em relação a {}: emos, finalmente, que: 3. 0 P P P Mario Campos 28

15 Operadores s mesmas formas matemáticas que utilizamos para mapear pontos entre referenciais, também podem ser interpretados como operadores que transladam pontos, rotacionam vetores, ou ambos Mario Campos 29 Operador ranslacional Operador translacional move um ponto no espaço de uma distância finita, ao longo da direção de um dado vetor. penas um sistema coordenado; Mesma matemática de mapeamento de pontos entre referenciais; Mover um vetor para frente em relação a um determinado referencial pode ser vista como:» O vetor movendo para frente, ou» O referencial movendo para trás Mario Campos 30

16 Operador ranslacional - Z {} P 1 P 2 P 1 / X. Y Q 1998 Mario Campos 31 Operador ranslacional Da figura tem-se que: ou, de outra maneira: onde: P 2 P 1 + Q P 2 D Q (q) P 1 q magnitude (com sinal) da translação 0 Q vetor ao longo do qual ocorre a translação 1998 Mario Campos 32

17 Operador ranslacional D Q (q) pode ser considerado como uma transformação homogênea do tipo simples: D Q qx qy ( q) qz onde q x, q y, q z são componentes do vetor Q e: q q + q + q x y z 1998 Mario Campos 33 Operador Rotacional Operador rotacional muda um vetor P 1 em um novo vetor P 2, através de uma rotação R: ou: P 2 R P 1 P 2 R K (θ) P 1 onde R K (θ) refere-se ao operador rotacional 1998 Mario Campos 34

18 2 Operador Rotacional Um operador rotacional R Z (θ) que produz uma rotação de θ graus em torno de um eixo direcional Z, pode ser escrito em coordenadas homogêneas: cosθ senθ 0 0 senθ cosθ R z ( θ) Mario Campos 35 Operador Rotacional matriz de rotação que rotaciona vetores por meio de alguma rotação R, é equivalente à matriz de rotação que descreve um referencial rotacionado de R relativo a um referencial de referência Mario Campos 36

19 3 Operador Rotacional Exemplo: Calcular o novo vetor P 2 obtido através da rotação de 30 graus do vetor P 1 em torno de Z R Z ( θ ) P P2 RZ ( θ) P Mario Campos 37 Operador Rotacional P 1 P 2 θ 4 Y {} 5 X 1998 Mario Campos 38

20 Operador de ransformação Operador de transformação Como no caso de vetores de posição e matrizes de rotação, um referencial também pode ter uma outra interpretação. O operador rotaciona e translada o vetor P 1 para produzir um novo vetor P 2 : P 2 P Mario Campos 39 Operador de ransformação Uma transformação que rotaciona de R e translada de Q é equivalente à transformação que descreve um referencial rotacionado de R e transladado de Q em relação ao referencial de referência Mario Campos 40

21 Operador de ransformação Exemplo: Deseja-se rotacionar o vetor P 1 [ ] de 30 graus em torno 8 do eixo 6Z, e transladá-lo de 10 unidades em X e 5 unidades em 7Y. Determinar P P P P Mario Campos 41 Operador de ransformação 9 Y {} P 1 P 2 R P1 : X Q 1998 Mario Campos 42

22 Resumo das interpretações ransformações Homogêneas: 1.Descrição de um referencial. descreve o referencial {} relativo ao referencial {}. Mais especificamente, as colunas de são vetores unitários que definem as direções dos eixos principais de {}, e P org localiza a posição da origem de {} Mario Campos 43 Resumo das Interpretações 2. ransformação de mapeamento. mapeia ; P P. 3. Operador de transformação. opera em P 1 para produzir P 2. Referencial usado para descrições ransformação usado mapeamentos ou operadores 1998 Mario Campos 44

23 ransformações Compostas Na figura a seguir, o referencial {C} é conhecido em relação ao referencial {}, e o referencial {} é conhecido em relação ao referencial {}. Pode-se transformar C P em P: e transformar P em P: P P C C P P definindo: C C 1998 Mario Campos 45 ransformações Compostas {}? Z {C} Z C C P < Y C {} < <Z Y X C X < X > Y 1998 Mario Campos 46

24 ransformações Compostas Em termos das descrições de {} e {C}, temos: C RCR R PCorg + Porg 1998 Mario Campos 47 Invertendo uma ransformação Inverter a matriz 4x4 mais caro Fazer uso da estrutura da transformada: pode ser encontrado a partir de e de P org P R P P org ( org ) org + R Porg R Porg R P org 1998 Mario Campos 48

25 Invertendo uma ransformação Logo, pode-se escrever: R R Porg E, como consequência: Mario Campos 49 Equações de transformações {} {D} {U} {} {C} 1998 Mario Campos 50

26 Equação de ransformações Da figura anterior temos que: ou, também: U D U D U D U U D igualando-se as duas expressões acima, tem-se: C U C D C C D 1998 Mario Campos 51 Equação de ransformações {} {} {G} {S} 1998 Mario Campos 52

27 Representações de Orientação Matrizes de rotação: odas as colunas são mutuamente ortogonais; Colunas possuem magnitude 1; Matrizes ortonormais próprias (det +1); É possível representar rotações em 3D com menos do que 9 parâmetros? 1998 Mario Campos 53 Representações de Orientação Formula de Cayley para matrizes ortonormais: Para qualquer matriz ortonormal própria R, existe uma matriz S, uma matriz skewsymmetric, tal que: R (I 3 S) -1 (I 3 +S) 1998 Mario Campos 54

28 Representações de Orientação Uma matriz skew-symmetric (S S ) de dimensão 3 é especificada por 3 parâmetros (s x, s y, s z ): S 0 sz s y s 0 s x z s y sx 0 Como consequência, qualquer matriz de rotação 3x3 pode ser especificada apenas por 3 parâmetros Mario Campos 55 Representações de Orientação Mais fácil visualizar translações. Mais difícil especificar e visualizar rotações. Rotações não são comutativas: R R C C R R 1998 Mario Campos 56

29 Representações de Orientação Exemplo: R Z ( 30) R X ( 30) RZ ( 30) RX ( 30) RX ( 30) RZ ( 30) Mario Campos 57 Representações de Orientações Convenções de conjuntos de ângulos: 24 Sequências de 3 rotações 12 ângulos fixos 12 ângulos de Euler Dualidade reduz o número de parametrizações únicas para rotação para apenas Mario Campos 58

30 Ângulos Fixos X-Y-Z Ângulos Fixos X-Y-Z Iniciar com o referencial {} coincidente com um referencial conhecido {}. Primeiramente, rotacione {} em torno de X de um ângulo γ, rotacione, então, em torno de Y de um ângulo β, e finalmente rotacione em torno de Z de um ângulo α. ambém conhecido como roll, pitch e yaw Mario Campos 59 Ângulos Fixos X-Y-Z D Z Z C Y I Z F Z H Y M Z I Z α L Y X Y γ β EX G X J X F Y K X N X I Y 1998 Mario Campos 60

31 Ângulos Fixos X-Y-Z R ( γ, β, α ) R ( α ) R ( β) R ( γ ) XYZ Z Y X cα sα 0 cβ 0 sβ sα cα cγ sγ sβ 0 cβ 0 sγ cγ cαcβ cαsβsγ sαcγ cαsβcγ + sαsγ sαcβ sαsβsγ + cαcγ sαsβcγ cαsγ sβ cβsγ cβcγ 1998 Mario Campos 61 Ângulos Fixos X-Y-Z Problema inverso: 9 equações e 3 incógnitas. cαcβ cαsβsγ sαcγ cαsβcγ + sαsγ sαcβ sαsβsγ + cαcγ sαsβcγ cαsγ sβ cβsγ cβcγ r r r r r r r r r Mario Campos 62

32 Ângulos Fixos X-Y-Z cβ r + r ( r31, r21 2 r21 2 ) β tan2 + r r α tan2 21, 11 ; cβ cβ ( se cβ 0) r r γ tan2, ; cβ cβ ( se cβ 0) 1998 Mario Campos 63 Ângulos Fixos X-Y-Z tan2 (y,x) calcula tan -1 (y/x), mas utiliza o sinal de x e y para determinar o quadrante que contém o ângulo resultante. Exemplo: tan2( -2.0, -2.0) -135 o tan2(2.0,2.0) 45 o 1998 Mario Campos 64

33 Ângulos Fixos X-Y-Z Múltiplas soluções podem existir, nesse caso calcula-se o resultado de forma que β Se β ± 90. 0, a solução anterior degenera. Nesses casos, a diferença entre α e γ pode ser calculada. ssume-se que α 0.0 o. Se β 90.0 o tem-se que: Se β 90.0 o β 90.0 o ; α 0.0 o ; γ tan2(r 12,r 22 ) β 90.0 o ; α0.0 o ; γ tan2(r 12,r 22 ) 1998 Mario Campos 65 Ângulos de Euler Z-Y-X Ângulos de Euler Z-Y-X Iniciar com o referencial {} coincidente com um referencial conhecido {}. Primeiramente, rotacione {} em torno de Z de um ângulo α, rotacione, então, em torno de Y de um ângulo β, e finalmente rotacione em torno de X de um ângulo γ. Rotações realizadas em torno dos eixos do referencial móvel Mario Campos 66

34 O R P P O P O Q P P O P O P P O Ângulos de Euler Z-Y-X S X α Z Z X Y R Y Z Z X β Y Y X Z γ Z X X Y Y 1998 Mario Campos 67 Ângulos de Euler Z-Y-X ( ) ( ) ( ) RZ Y X (,, ) R R R RZ RY RX α β γ α β γ cα sα 0 cβ 0 sβ sα cα cγ sγ sβ 0 cβ 0 sγ cγ cαcβ cαsβsγ sαcγ cαsβcγ + sαsγ sαcβ sαsβsγ + cαcγ sαsβcγ cαsγ sβ cβsγ cβcγ 1998 Mario Campos 68

35 Ângulos de Euler Z-Y-X rês rotações em torno de ângulos fixos produzem a mesma orientação das mesmas três rotações realizadas em ordem oposta em torno dos eixos dos referenciais móveis Mario Campos 69 Ângulos de Euler Z-Y-Z Ângulos de Euler Z-Y-Z Iniciar com o referencial {} coincidente com um referencial conhecido {}. Primeiramente, rotacione {} em torno de Z de um ângulo α, rotacione, então, em torno de Y de um ângulo β, e finalmente rotacione em torno de Z de um ângulo γ. Rotações realizadas em torno dos eixos do referencial móvel Mario Campos 70

36 V W V V U V V Ângulos de Euler Z-Y-Z X X α Z Z X Y W Y Z Z X β Y Y X Z Z γ X Y X 1998 Mario Campos 71 Ângulos de Euler Z-Y-Z ( ) ( ) ( ) R α β γ R α R β R γ Z Y Z (,, ) Z Y Z cα sα 0 cβ 0 sβ cγ sγ 0 sα cα sγ cγ sβ 0 cβ cαcβcγ sαsγ cαsβsγ sαcγ cαsβ sαcβcγ + cαsγ sαsβsγ + cαcγ sαsβ sβcγ sβsγ cβ 1998 Mario Campos 72

37 Ângulos de Euler Z-Y-Z R α β γ Z Y Z (,, ) cαcβcγ sαsγ cαsβsγ sαcγ cαsβ r r r sαcβcγ + cαsγ sαsβsγ + cαcγ sαsβ r r r sβcγ sβsγ cβ r r r Se sβ 0 β tan2 + ( r31 2 r32 2, r ) 33 ( r23 s, r13 s ) ( sβ, r sβ) α tan2 β β γ tan2 r Mario Campos Ângulos de Euler Z-Y-Z Múltiplas soluções podem existir, nesse caso calcula-se o resultado de forma que 0. 0 β Se β 0. 0 ou β , a solução anterior degenera. Nesses casos, a diferença entre α e γ pode ser calculada. ssume-se que α 0.0. Se β 0.0 o tem-se que: β 0.0 o ; α 0.0 o ; γ tan2( r 12,r 11 ) Se β o tem-se que: β o ; α 0.0 o ; γ tan2(r 12, r 11 ) 1998 Mario Campos 74

38 Ângulo-eixo Equivalentes Ângulo-eixo equivalente Iniciar com o referencial {} coincidente com um referencial conhecido {}. Rotacione {} em torno de um vetor K Y de um ângulo α, seguindo a regra da mão direita. Qualquer orientação pode ser descrita por meio de uma rotação em torno de um eixo genérico Mario Campos 75 Ângulo-eixo Equivalentes {} {} Z Z Z Z K [ θ [ Y [ Y Z X \ X 1998 Mario Campos 76

39 ] ] Ângulo-eixo Equivalentes R Z ( θ) kxkxvθ + cθ kxkyvθ kzsθ kxkzvθ + kysθ kxkyvθ + kzsθ kykyvθ + cθ kykzvθ kxsθ kxkzvθ kysθ kykzvθ + kxsθ kzkzvθ + cθ [ x y z] onde vθ 1 cosθ K k k k e 1998 Mario Campos 77 Ângulo-eixo Equivalentes R K ( θ) r r r r r r r r r r r r θ cos ; K 2 r 1 r 2 senθ r r r r Mario Campos 78

40 Ângulo-eixo Equivalentes Problemas: solução anterior calcula o valor de θ entre 0 e 180 graus. Existe um outro par, ( K^, θ) que resulta na mesma orientação no espaço. Pequenas rotações angulares resultarão em um eixo mal-definido. No limite, quando a rotação tende para zero, o eixo de rotação se torna indefinido. solução anterior falha para θ 0 o ou θ 180 o Mario Campos 79 Ângulo-eixo Equivalentes Exemplo: Referencial {} inicialmente coincidente com {}. Rotacione {} em torno do vetor K^ [ ] (passando pela origem), de um ângulo θ 30 o. Qual a descrição do referencial {}? Mario Campos 80

41 Ângulo-eixo Equivalentes Exemplo: Referencial {} inicialmente coincidente com {}. Rotacione {} de um ângulo θ 30 o em torno do vetor K _ [ ], passando pelo ponto P [ ]. Qual a descrição do referencial {}? Definem-se, dois referenciais intermediários { } e { }, com a mesma orientação de {} e {}, mas transladados em relação a {} de um off-set que coloca as duas origens no eixo de rotação Mario Campos 81 Ângulo-eixo Equivalentes { } { } ` K {} P {} 1998 Mario Campos 82

42 Ângulo-eixo Equivalentes emos, a seguir, { } relativo a {} e {} relativo a { }: Mario Campos 83 Ângulo-eixo Equivalentes Pode-se, agora, rotacionar { } relativo a { }, em torno de um eixo que passa pela origem, sabendo-se que não houve translação: Mario Campos 84

43 a Ângulo-eixo Equivalentes Finalmente, pode-se escrever a equação que calcula a transformação que descreve o referencial {} em relação ao referencial {}: Mario Campos 85 Parâmetros de Euler Uma outra representação de orientação. Em termos do eixo equivalente K kx ky kz e do ângulo equivalente θ, os parâmetros [ de ] Euler são dados por: ε ε ε ε θ kx sen 2 θ ky sen 2 θ kz sen 2 θ cos Mario Campos 86

44 Parâmetros de Euler s quatro quantidades não são independentes, mas pode-se escrever que: ε1 2 + ε ε ε que pode ser visualizado como uma hiper-esfera unitária no espaço quadri-dimensional. Visto como um vetor 4x1, os parâmetros de Euler são conhecidos como quatérnios unitários 1998 Mario Campos 87 Parâmetros de Euler matriz de rotação Rε, equivalente ao conjunto de ângulos de Euler é dada por: ε 2ε 2 ε ε ε ε 2 ε ε ε ε R ε ( ) ( ) ( ε1ε 2 + ε 3ε 4) ε1 2 ε 3 2 ( ε 2ε 3 + ε1ε 4 ) ( ε1ε 3 + ε 2ε 4) ( ε 2ε 3 + ε1ε 4) ε 2 2 ε Mario Campos 88

45 Parâmetros de Euler Dada uma matriz de rotação, os parâmetros de Euler equivalentes são dados por: ε ε 1 3 r32 r23 r r ; ε 2 4ε 4ε 4 r r 4ε ; ε Não é muito útil, computacionalmente falando, se representar rotações de 180 o (ε 4 0). odos os ε i permanecem no intervalo [-1,1] r + r + r Mario Campos 89 ransformação de Vetores Livres Vetores como velocidade e força serão transformados de maneira diferente. Dois vetores são iguais, se tiverem a mesma dimensão, magnitude e direção. Podem, no entanto, possuir diferentes linhas de ação, como mostrado na figura a seguir. Dois vetores são equivalentes segundo certa capacidade, quando produzem o mesmo efeito nessa capacidade Mario Campos 90

46 ransformação de Vetores Livres b Z V 1 V 2 V 3 b Y b X 1998 Mario Campos 91 ransformação de Vetores Livres Um vetor de linha refere-se a um vetor que, juntamente com a magnitude e direção, é dependente de sua linha de ação, no tocante a definição de seu efeito. Um vetor livre refere-se a um vetor que pode ser posicionado em qualquer lugar do espaço sem perda ou mudança em seu significado, enquanto sua magnitude e direção forem preservadas Mario Campos 92

47 c ransformação de Vetores Livres Um vetor de momento é sempre um vetor livre. Se tivermos um vetor de momento N, pode-se calcular esse mesmo vetor em termos do referencial {}: N R N ou seja, apenas a matriz de rotação é necessária para mapeá-lo Mario Campos 93 ransformação de Vetores Livres Da mesma maneira, o vetor velocidade descrito em relação a {}, V, pode ser descrito em relação a {} como: V R V velocidade de um ponto é um vetor livre. Na c figura a seguir, se, então. V 5 X V 5 Y 1998 Mario Campos 94

48 ransformação de Vetores Livres {} d Y V d Y d Z e X e Z d X {} 1998 Mario Campos 95 Considerações Computacionais ordem em que as transformações são aplicadas faz grande diferença em termos da computação necessária. Por exemplo, existem duas possibilidades básicas de se perfazer múltiplas rotações no vetor de posição P: P R R R P C D C D 1998 Mario Campos 96

49 Considerações Computacionais Multiplicar as três matrizes de rotação, e depois multiplicar pelo vetor: D R C D C P D R D P R R R Calcular D R requer 54 multiplicações e 36 adições, e a multiplicação final pelo vetor requer mais 9 multiplicações e 6 adições, perfazendo um total de 63 multiplicações e 42 adições Mario Campos 97 Considerações Computacionais Se multiplicarmos o vetor pelas matrizes, uma a uma: P P P C D C D C C P P R R R P R R P R P teremos um total de 27 multiplicações e 18 adições, menos da metade, se comparado com o método anterior Mario Campos 98

50 f f f f f g Considerações Computacionais Em alguns casos podem existir inúmeros D P i que serão transformados em P i. Neste caso será mais eficiente calcular-se D R apenas uma vez e utilizá-lo nos mapeamentos posteriores Mario Campos 99 Considerações Computacionais Um método mais eficiente de se calcular o produto de duas matrizes de rotação, com menos RC R de 27 multiplicações e 18 adições. Onde são as Li colunas de, e são as colunas da matriz C R Ci resultado. C C 1 RL1 2 RL2, f f f C C C requerendo 24 multiplicações e 15 adições., 1998 Mario Campos 100