II. MODELAGEM MATEMÁTICA (cont.)

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "II. MODELAGEM MATEMÁTICA (cont.)"

Transcrição

1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA MP-272: CONTROLE E NAVEGAÇÃO DE MULTICÓPTEROS II. MODELAGEM MATEMÁTICA (cont.) Prof. Davi Antônio dos Santos (davists@ita.br) Departamento de Mecatrônica Março/2017 São José dos Campos

2 2 Sumário II. MODELAGEM MATEMÁTICA (cont.) II.3.1. Sistemas de Coordenadas II.3.2. Representação de Atitude II.3.3. Cinemática de Atitude II.3.4. Dinâmica de Atitude

3 3 II.3.1. Sistemas de Coordenadas Nesta seção, considere o SCC do corpo S B = x B, y B, z B e o SCC de referência S R = x R, y R, zr. (Vide Seção II.2.1) CM z R x R z B y B x B y R vertical local

4 4 II.3.2. Representação de Atitude Como representar a atitude de S B em relação a S R? z R z B y B CM y R x B x R

5 5 Matriz de Atitude: Escrevendo os versores de S B em termos dos versores de S R, obtêm-se: z R z B y B x B, z R y R onde. x R x B, x R x x B, y R B Dessas equações, conclui-se que: Os cossenos diretores C ij descrevem completamente a atitude de S B em relação a S R.

6 6 Logo, a atitude pode ser representada pela chamada Matriz de Atitude: que também é chamada de Matriz de Cossenos Diretores (sigla em inglês: DCM) Matriz de Rotação

7 7 Transformação de Representações: Seja um vetor arbitrário v. Suas representações v B em S B e v R em S R se relacionam por z R z B CM y B v y R x B x R

8 8 Rotações Sucessivas: Sejam as seguintes representações de rotação: De S A para S C : D C/A De S A para S B : D B/A De S B para S C : D C/B S A D B/A S B D C/A D C/B S C Pode-se mostrar que [Ref. 1, Apêndice B]:

9 9 Ortonormalidade: Uma matriz de atitude qualquer D B/R é dita ser ortonormal, pois suas linhas e colunas são ortogonais e possuem norma Euclidiana unitária. Essa propriedade implica em

10 10 Eixo/Ângulo de Euler: Teorema de Euler: O deslocamento angular geral de um corpo rígido com um ponto fixo pode ser descrito por uma rotação φ em torno de um eixo a que passa por esse ponto. z R z B y B a φ x R x B y R ponto fixo

11 11 A atitude de S B em relação a S R pode ser representada pelo par: em que φ é o chamado ângulo principal de Euler e a, que consiste numa representação de a (em S B ou em S R ), é o chamado eixo principal de Euler.

12 12 Relação com a Matriz de Atitude: Represente a atitude de S B em relação a S R por φ, a. A matriz de atitude D B/R pode ser expressa como [Ref. 1, Capítulo 2]: onde

13 13 Por outro lado, dada a matriz D B/R, os parâmetros a e φ correspondentes são dados por Se tr D B/R = 3: a é indefinido. Se tr D B/R = 1:

14 14 Se tr D B/R 1 e tr D B/R 3:

15 15 Observação: 1. Há ambiguidade na representação de atitude por Eixo/Ângulo de Euler, pois, por exemplo, φ, a e φ, a representam a mesma atitude.

16 16 Parâmetros de Euler (quaternion): Os parâmetros de Euler são, por definição, os componentes do vetor onde

17 17 Relação com a Matriz de Atitude: Represente a atitude de S B em relação a S R por η, ε. A matriz de atitude D B/R pode ser expressa como Por outro lado, dada a matriz D B/R,

18 18 Rotações Sucessivas: Sejam as seguintes representações de rotação: De S A para S C : q B/A S B q C/B De S A para S B : S A q C/A S C De S B para S C : Pode-se mostrar que:

19 19 Observações: 1. O vetor q apresenta norma unitária, i.e. 2. Há ambiguidade na representação de atitude por parâmetros de Euler, pois q e q representam a mesma atitude.

20 20 Vetor de Gibbs: O Vetor de Gibbs g R 3 é, por definição, Na literatura, o g é ainda conhecido como: Parâmetros de Euler-Rodrigues Parâmetros de Rodrigues

21 21 Relação com a Matriz de Atitude: Represente a atitude de S B em relação a S R por g. A matriz de atitude D B/R pode ser expressa como Por outro lado, dada a matriz D B/R,

22 22 Rotações Sucessivas: Sejam as seguintes representações de rotação: De S A para S C : g B/A S B g C/B De S A para S B : S A g C/A S C De S B para S C : Pode-se mostrar que:

23 23 Observações: 1. Não há ambiguidade na representação de atitude por Vetor de Gibbs. 2. O vetor g se torna infinito para um ângulo de rotação múltiplo ímpar de 180 o.

24 24 Ângulos de Euler: Rotações Elementares: Uma rotação elementar consiste numa rotação em torno de um eixo coordenado. Denote por D i ρ a matriz de rotação elementar de um ângulo ρ em torno do eixo coordenado i 1,2,3. Pode-se mostrar que:

25 25 Representação de Atitude Tridimensional: A atitude tridimensional pode ser representada por uma sequência de três rotações elementares, tal que cada rotação seja diferente da rotação anterior. Há 12 possíveis sequências: 313, 212,121, 131, 323, , 321, 132, 312, 231, 213 Adotaremos as sequências: 123 e 321

26 26 Relação com a Matriz de Atitude (321): Represente a atitude de S B em relação a S R pelos ângulos de Euler ψ, θ e φ tomados na sequência de eixos 321. A matriz de atitude D B/R pode ser expressa como

27 27 Por outro lado, dada a matriz D B/R, obtêm-se

28 28 Relação com a Matriz de Atitude (123): Represente a atitude de S B em relação a S R pelos ângulos de Euler φ, θ e ψ tomados na sequência de eixos 123. A matriz de atitude D B/R pode ser expressa como

29 29 Por outro lado, dada a matriz D B/R, obtém-se

30 30 Observações: 1. Os ângulos de Euler consistem na melhor escolha de representação de atitude no que concerne à visualização. 2. Os ângulos de Euler consistem na pior escolha de representação de atitude no que concerne ao custo computacional.

31 31 II.3.3. Cinemática de Atitude Denote o vetor velocidade angular de S B em relação a S R por Ω B/R. Ω B/R z R z B y B CM y R x B x R

32 32 Como descrever o movimento rotacional de S B em relação a S R em função de Ω B/R? Ω B/R z R z B y B CM y R x B x R

33 33 Cinemática em Matriz de Atitude: Seja Ω B B/R a representação de Ω B/R em S B. Pode-se mostrar que a cinemática de atitude de S B em relação a S R é modelada em matriz de atitude por [2]:

34 34 Cinemática em Eixo/Ângulo de Euler: Seja Ω B B/R a representação de Ω B/R em S B. Pode-se mostrar que a cinemática de atitude de S B em relação a S R é descrita em eixo/ângulo de Euler por [Ref. 1, p.24-25]:

35 35 Cinemática em Quaternion: Seja Ω B B/R a representação de Ω B/R em S B. Pode-se mostrar que a cinemática de atitude de S B em relação a S R é modelada em quaternion por onde

36 36 Cinemática em Vetor de Gibbs: Seja Ω B B/R a representação de Ω B/R em S B. Pode-se mostrar que a cinemática de atitude de S B em relação a S R é descrita em Vetor de Gibbs por

37 37 Cinemática em Ângulos de Euler 321: Seja Ω B B/R a representação de Ω B/R em S B. Pode-se mostrar que a cinemática de atitude de S B em relação a S R é descrita em Ângulos de Euler 321 por onde

38 38 Cinemática em Ângulos de Euler 123: Seja Ω B B/R a representação de Ω B/R em S B. Pode-se mostrar que a cinemática de atitude de S B em relação a S R é descrita em Ângulos de Euler 123 por onde

39 39 II.3.4. Dinâmica de Atitude Como descrever a variação temporal de Ω B/R em função de T? Ω B/R CM z R x R z B y B x B y R T

40 40 Considere que O veículo seja um corpo rígido. O momentum angular resultante da rotação dos rotores seja desprezível.

41 41 A variação temporal da velocidade angular Ω B/R em função dos torques externos de controle T c e de perturbação T p é descrita em S B pela Equação de Dinâmica: onde J B é a matriz de inércia do veículo.

42 42 Referências 1. HUGHES, P. C. Spacecraft Attitude Dynamics. Dover, SCHUSTER, M. A Survey of Attitude Representations. The Journal of Astronautical Sciences, 41(4), 1993,

43 43 Obrigado pela presença e atenção!

31/05/2017. Corpo rígido. 4 - A Dinâmica do corpo rígido TÓPICOS FUNDAMENTAIS DE FÍSICA. Coordenadas do corpo rígido. Coordenadas do corpo rígido

31/05/2017. Corpo rígido. 4 - A Dinâmica do corpo rígido TÓPICOS FUNDAMENTAIS DE FÍSICA. Coordenadas do corpo rígido. Coordenadas do corpo rígido Corpo rígido Sistema de partículas sujeitas aos vínculos holonômicos 4 - A Dinâmica do corpo rígido TÓPICOS FUNDAMENTAIS DE FÍSICA Embora um corpo com Npartículas possa ter 3Ngraus de liberdade, os vínculos

Leia mais

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA MP-272: CONTROLE E NAVEGAÇÃO DE MULTICÓPTEROS IV. ESTIMAÇÃO ÓTIMA Prof. Davi Antônio dos Santos (davists@ita.br) Departamento de Mecatrônica

Leia mais

APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA

APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA MP-272: CONTROLE E NAVEGAÇÃO DE MULTICÓPTEROS APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA Prof. Davi Antônio dos Santos (davists@ita.br) Departamento

Leia mais

Revisão II: Sistemas de Referência

Revisão II: Sistemas de Referência Revisão II: Sistemas de Referência sistema terrestre fixo (ex.: NED) origem: ponto fixo sobre a superfície da Terra zi : vertical, apontando para o centro da Terra xi e y I : repousam sobre o plano horizontal

Leia mais

II. MODELAGEM MATEMÁTICA

II. MODELAGEM MATEMÁTICA INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA MP-7: CONTROLE E NAVEGAÇÃO DE MULTICÓPTEROS II. MODELAGEM MATEMÁTICA Prof. Davi Antônio dos Santos (davists@ita.br) Departamento de Mecatrônica

Leia mais

II. MODELAGEM MATEMÁTICA

II. MODELAGEM MATEMÁTICA INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA MP-7: CONTROLE E NAVEGAÇÃO DE MULTICÓPTEROS II. MODELAGEM MATEMÁTICA Prof. Davi Antônio dos Santos (davists@ita.br) Departamento de Mecatrônica

Leia mais

VI. MÉTODO DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES

VI. MÉTODO DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA-AERONÁUTICA MPS-43: SISTEMAS DE CONTROLE VI. MÉTODO DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES Prof. Davi Antônio dos Santos (davists@ita.br) Departamento

Leia mais

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA MP-272: CONTROLE E NAVEGAÇÃO DE MULTICÓPTEROS VI. NAVEGAÇÃO Prof. Davi Antônio dos Santos (davists@ita.br) Departamento de Mecatrônica

Leia mais

MOVIMENTO 3D REFERENCIAL AUXILIAR EM TRANSLAÇÃO. QUESTÃO ver vídeo 1.1

MOVIMENTO 3D REFERENCIAL AUXILIAR EM TRANSLAÇÃO. QUESTÃO ver vídeo 1.1 MOVIMENTO 3D REFERENCIAL AUXILIAR EM TRANSLAÇÃO INTRODUÇÃO ESTUDO DE CASO À medida que o caminhão da figura ao lado se retira da obra, o trabalhador na plataforma no topo do braço comanda o giro do braço

Leia mais

Modelagem Cinemática de Robôs Industriais. Prof. Assoc. Mário Luiz Tronco

Modelagem Cinemática de Robôs Industriais. Prof. Assoc. Mário Luiz Tronco Modelagem Cinemática de Robôs Industriais Prof. Assoc. Mário Luiz Tronco Mário Prof. Mário Luiz Tronco Luiz Tronco Transformação direta de coordenadas θ 1 θ 2... θ N Variáveis de junta Variáveis cartesianas

Leia mais

Vibrações e Dinâmica das Máquinas Aula - Cinemática. Professor: Gustavo Silva

Vibrações e Dinâmica das Máquinas Aula - Cinemática. Professor: Gustavo Silva Vibrações e Dinâmica das Máquinas Aula - Cinemática Professor: Gustavo Silva 1 Cinemática do Movimento Plano de um Corpo Rígido 1 Movimento de um corpo rígido; 2 Translação; 3 Rotação em torno de um eixo

Leia mais

Segundo Exercício de Modelagem e Simulação Computacional Maio 2012 EMSC#2 - MECÂNICA B PME 2200

Segundo Exercício de Modelagem e Simulação Computacional Maio 2012 EMSC#2 - MECÂNICA B PME 2200 Segundo Exercício de Modelagem e Simulação Computacional Maio 01 EMSC# - MECÂNICA B PME 00 1. ENUNCIADO DO PROBLEMA Um planador (vide Fig. 1) se aproxima da pista do aeroporto para pouso com ângulo de

Leia mais

Universidade Federal de Alagoas UFAL Centro de Tecnologia - CTEC Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - PPGEC

Universidade Federal de Alagoas UFAL Centro de Tecnologia - CTEC Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - PPGEC Universidade Federal de Alagoas UFAL Centro de Tecnologia - CTEC Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - PPGEC Introdução à Mecânica do Contínuo Tensores Professor: Márcio André Araújo Cavalcante

Leia mais

Sistemas de Controle (CON) Modelagem de Sistemas de Rotação e Eletromecânicos

Sistemas de Controle (CON) Modelagem de Sistemas de Rotação e Eletromecânicos Universidade do Estado de Santa Catarina UDESC Centro de Ciências Tecnológicas CCT Departamento de Engenharia Mecânica DEM Sistemas de Controle (CON) Modelagem de Sistemas de Rotação e Eletromecânicos

Leia mais

Equações do Movimento

Equações do Movimento Equações do Movimento João Oliveira Departamento de Engenharia Mecânica Área Científica de Mecânica Aplicada e Aeroespacial Instituto Superior Técnico Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial João Oliveira

Leia mais

MOVIMENTO 3D: REFERENCIAL EM TRANSLAÇÃO

MOVIMENTO 3D: REFERENCIAL EM TRANSLAÇÃO MOVIMENTO 3D: REFERENCIAL EM TRANSLAÇÃO INTRODUÇÃO ESTUDO DE CASO À medida que o caminhão da figura ao lado se retira da obra, o trabalhador na plataforma no topo do braço gira o braço para baixo e em

Leia mais

Modelagem Cinemática de Robôs Industriais. Prof. Assoc. Mário Luiz Tronco

Modelagem Cinemática de Robôs Industriais. Prof. Assoc. Mário Luiz Tronco Modelagem Cinemática de Robôs Industriais Prof. Assoc. Mário Luiz Tronco Transformação direta de coordenadas 1 2... N Variáveis de junta Variáveis cartesianas Transformação inversa de coordenadas Transformação

Leia mais

FIS 26. Mecânica II. Aula 3: Corpo rígido. Momento angular.

FIS 26. Mecânica II. Aula 3: Corpo rígido. Momento angular. FIS 26 Mecânica II Aula 3:. Momento angular. - Roteiro Resumo das últimas aulas Momento de Inércia - Momento angular no movimento planar - Momento de inércia em relação a um eixo - Raio de giração - Teorema

Leia mais

Mini_Lista11: Rotação de Corpos Rígidos: Eixo Fixo

Mini_Lista11: Rotação de Corpos Rígidos: Eixo Fixo Mini_Lista11: Rotação de Corpos Rígidos: Eixo Fixo Lembrete 11.1 Em equações rotacionais, deve usar ângulos expressos em radianos. Lembrete 11.2 Na resolução de problemas de rotação, deve especificar um

Leia mais

Profº Carlos Alberto

Profº Carlos Alberto Rotação Disciplina: Mecânica Básica Professor: Carlos Alberto Objetivos de aprendizagem Ao estudar este capítulo você aprenderá: Como descrever a rotação de um corpo rígido em termos da coordenada angular,

Leia mais

Mecânismos A06. Prof. Nilton Ferruzzi. Prof. Nilton Ferruzzi 1

Mecânismos A06. Prof. Nilton Ferruzzi. Prof. Nilton Ferruzzi 1 Mecânismos A06 Prof. Nilton Ferruzzi Prof. Nilton Ferruzzi 1 Definição de Vibração Mecânica: É qualquer movimento que se repete, regular ou irregularmente, depois de um intervalo de tempo. O movimento

Leia mais

Mecânica Clássica Curso - Licenciatura em Física EAD. Profº. M.Sc. Marcelo O Donnell Krause ILHÉUS - BA

Mecânica Clássica Curso - Licenciatura em Física EAD. Profº. M.Sc. Marcelo O Donnell Krause ILHÉUS - BA Mecânica Clássica Curso - Licenciatura em Física EAD Profº. M.Sc. Marcelo O Donnell Krause ILHÉUS - BA Aula 1 : Cinemática da partícula Aula 1 : Cinemática da partícula Exemplos Um tubo metálico, retilíneo

Leia mais

MOVIMENTO 3D: EQUAÇÕES DE MOVIMENTO. No instante em que a válvula borboleta é aberta, qual é a aceleração angular

MOVIMENTO 3D: EQUAÇÕES DE MOVIMENTO. No instante em que a válvula borboleta é aberta, qual é a aceleração angular INTRODUÇÃO ESTUDO DE CASO MOVIMENTO 3D: EQUAÇÕES DE MOVIMENTO Um motor de dois cilindros roda em vazio, a 1000 rpm, quando a válvula borboleta (que regula o fluxo de ar e altera a carga de trabalho) é

Leia mais

Manufatura assistida por computador

Manufatura assistida por computador Manufatura assistida por computador Cinemática Direta em Manipuladores Robóticos Professor: Mário Luiz Tronco Aluno Doutorado: Luciano Cássio Lulio Engenharia Mecânica Orientação e sistemas de referência

Leia mais

MODELAGEM MATEMÁTICA E CONTROLE DE ATITUDE E POSIÇÃO DO QUADROTOR.

MODELAGEM MATEMÁTICA E CONTROLE DE ATITUDE E POSIÇÃO DO QUADROTOR. MODELAGEM MATEMÁTICA E CONTROLE DE ATITUDE E POSIÇÃO DO QUADROTOR. Tayara Crystina Pereira Benigno 1 ; Milena Carolina dos Santos Mangueira 2 ; Nallyson Tiago Pereira da Costa 3 ; Francisca Joedna Oliveira

Leia mais

Rotações de corpos rígidos

Rotações de corpos rígidos Rotações de corpos rígidos Alexandre Furlan Fundamentos de Mecânica - FIS065 Turmas E1 E2 E3 29 de outubro de 2018 Alexandre Furlan (Aula 18) Fundamentos de Mecânica 29 de outubro de 2018 1 / 10 Objetivos

Leia mais

CAPíTULO 1. Vetores e tensores Notação indicial

CAPíTULO 1. Vetores e tensores Notação indicial CAPíTULO 1 Vetores e tensores 1.1. Notação indicial A notação indicial é uma simplificação da notação de uma somatória. Por exemplo, seja a somatória de 3 monômios a i b i (a i multiplicado por b i ) com

Leia mais

Translação e Rotação Energia cinética de rotação Momentum de Inércia Torque. Física Geral I ( ) - Capítulo 07. I. Paulino*

Translação e Rotação Energia cinética de rotação Momentum de Inércia Torque. Física Geral I ( ) - Capítulo 07. I. Paulino* ROTAÇÃO Física Geral I (1108030) - Capítulo 07 I. Paulino* *UAF/CCT/UFCG - Brasil 2012.2 1 / 25 Translação e Rotação Sumário Definições, variáveis da rotação e notação vetorial Rotação com aceleração angular

Leia mais

Equações do Movimento

Equações do Movimento Equações do Movimento João Oliveira Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial 1 Ângulos de Euler 1.1 Referenciais Referenciais: fixo na Terra e do avião (Ox E y E z E ) : referencial «inercial», fixo na Terra;

Leia mais

Introdução aos Fluidos em Movimento Tipos de Escoamentos

Introdução aos Fluidos em Movimento Tipos de Escoamentos Introdução aos Fluidos em Movimento Tipos de Escoamentos Aula 3 de PME3230 Descrição Euleriana e Lagrangeana Linhas de Corrente e de Trajetória Aceleração Prof. Marcos Tadeu Pereira Classificações possíveis

Leia mais

Modelagem Cinemática de Robôs Industriais. Prof. Assoc. Mário Luiz Tronco

Modelagem Cinemática de Robôs Industriais. Prof. Assoc. Mário Luiz Tronco Modelagem Cinemática de Robôs Industriais Prof. Assoc. Mário Luiz Tronco Transformação direta de coordenadas 1 2... N Variáveis de junta Variáveis cartesianas Transformação inversa de coordenadas Transformação

Leia mais

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Departamento de Engenharia Mecânica

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Departamento de Engenharia Mecânica ESCA PITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃ PAU Avenida Professor Mello Moraes, nº 31. cep 558-9, São Paulo, SP. Telefone: (xx11) 391 5337 Fax: (xx11) 3813 188 MECÂNICA II - PME 3 Primeira Prova de abril de 17

Leia mais

Apresentação Outras Coordenadas... 39

Apresentação Outras Coordenadas... 39 Sumário Apresentação... 15 1. Referenciais e Coordenadas Cartesianas... 17 1.1 Introdução... 17 1.2 O Espaço Físico... 18 1.3 Tempo... 19 1.3.1 Mas o Tempo é Finito ou Infinito?... 21 1.3.2 Pode-se Viajar

Leia mais

Transformação de Coordenadas

Transformação de Coordenadas Geração de Malhas SME5827 Transformação de Coordenadas Afonso Paiva ICMC-USP 28 de agosto de 2013 Cálculo Vetorial Revisitado Notação de Einstein Cálculo Vetorial Revisitado Notação de Einstein Índices

Leia mais

Problemas de Duas Partículas

Problemas de Duas Partículas Problemas de Duas Partículas Química Quântica Prof a. Dr a. Carla Dalmolin Massa reduzida Rotor Rígido Problemas de Duas Partículas Partícula 1: coordenadas x 1, y 1, z 1 Partícula 2: coordenadas x 2,

Leia mais

ANÁLISE DE MOVIMENTO RELATIVO USANDO UM SISTEMA DE EIXOS EM ROTAÇÃO (Sec. 16.8) Na descrição dos movimentos de pontos de um único corpo rígido, ou de

ANÁLISE DE MOVIMENTO RELATIVO USANDO UM SISTEMA DE EIXOS EM ROTAÇÃO (Sec. 16.8) Na descrição dos movimentos de pontos de um único corpo rígido, ou de ANÁLISE DE MOVIMENTO RELATIVO USANDO UM SISTEMA DE EIXOS EM ROTAÇÃO (Sec. 16.8) Na descrição dos movimentos de pontos de um único corpo rígido, ou de pontos em corpos rígidos articulados, as análises de

Leia mais

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I ROTAÇÃO. Prof.

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I ROTAÇÃO. Prof. CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I ROTAÇÃO Prof. Bruno Farias Introdução Neste capítulo vamos aprender: Como descrever a rotação

Leia mais

Sistema de Coordenadas Intrínsecas

Sistema de Coordenadas Intrínsecas Sistema de Coordenadas Intrínsecas Emílio G. F. Mercuri a a Professor do Departamento de Engenharia Ambiental, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, Paraná Resumo Depois da introdução a cinemática

Leia mais

Sumário e Objectivos. Mecânica dos Sólidos não Linear Capítulo 2. Lúcia Dinis 2005/2006

Sumário e Objectivos. Mecânica dos Sólidos não Linear Capítulo 2. Lúcia Dinis 2005/2006 Sumário e Objectivos Sumário: Deformações. Sólido Uniaxial. Descrição Lagrangeana e Euleriana. Gradiente de Deformação. Decomposição Polar. Tensores das Deformações de Green e Lagrange. Deformação de Corte.

Leia mais

MOVIMENTO 3D REFERENCIAL AUXILIAR EM ROTAÇÃO

MOVIMENTO 3D REFERENCIAL AUXILIAR EM ROTAÇÃO MOVIMENTO 3D REFERENCIAL AUXILIAR EM ROTAÇÃO INTRODUÇÃO ESTUDO DE CASO Um ventilador em funcionamento está oscilando em torno de um eixo vertical. Uma mosca insuspeita voa em direção ao ventilador e se

Leia mais

Capítulo 4 PRELIMINARES MATEMÁTICOS: TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS

Capítulo 4 PRELIMINARES MATEMÁTICOS: TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS Preliminares Matemáticos: Transformação de Coordenadas Capítulo 4 PELIMINAES MATEMÁTICOS: TANSFOMAÇÃO DE COODENADAS Para o estudo de robôs manipuladores é necessário um conhecimento prévio das técnicas

Leia mais

2 Descrição do Sistema

2 Descrição do Sistema 31 2 Descrição do Sistema O giroscópio mecânico foi largamente utilizado como um instrumento de navegação em navios e aviões [34]. A tecnologia mecânica vem aos poucos sendo substituída por dispositivos

Leia mais

Tópicos de Física Clássica I Aula 9 O teorema de Noether; constantes de movimento

Tópicos de Física Clássica I Aula 9 O teorema de Noether; constantes de movimento Tópicos de Física Clássica I Aula 9 O teorema de Noether; constantes de movimento a c tort Suponha um lagrangiano associado a uma partícula que tem apenas um grau de liberdade (g = 1): L = L(q, q, t).

Leia mais

MOVIMENTO 3D: EQUAÇÕES DE MOVIMENTO

MOVIMENTO 3D: EQUAÇÕES DE MOVIMENTO MOVIMENTO 3D: EQUAÇÕES DE MOVIMENTO INTRODUÇÃO ESTUDO DE CASO Um motor de dois cilindros roda em vazio a 1000 rpm quando a válvula borboleta é aberta. Como a forma assimétrica da árvore de manivelas e

Leia mais

MOVIMENTO ROTACIONAL E MOMENTO DE INÉRCIA

MOVIMENTO ROTACIONAL E MOMENTO DE INÉRCIA MOVIMENTO ROTACIONAL E MOMENTO DE INÉRCIA 1.0 Definições Posição angular: utiliza-se uma medida de ângulo a partir de uma direção de referência. É conveniente representar a posição da partícula com suas

Leia mais

MODELAGEM DINÂMICA DE UM VEÍCULO AÉREO NÃO TRIPULADO DO TIPO QUADRICÓPTERO

MODELAGEM DINÂMICA DE UM VEÍCULO AÉREO NÃO TRIPULADO DO TIPO QUADRICÓPTERO MODELAGEM DINÂMICA DE UM VEÍCULO AÉREO NÃO TRIPULADO DO TIPO QUADRICÓPTERO Gabriela Vieira Lima, Rafael M. J. A. de Souza, Aniel Silva de Morais, Josué Silva de Morais Laboratório de Automação, Servomecanismos

Leia mais

CAPÍTULO 9 CINEMÁTICA DO MOVIMENTO ESPACIAL DE CORPOS RÍGIDOS

CAPÍTULO 9 CINEMÁTICA DO MOVIMENTO ESPACIAL DE CORPOS RÍGIDOS 82 CPÍTULO 9 CINEMÁTIC DO MOVIMENTO ESPCIL DE CORPOS RÍGIDOS O estudo da dinâmica do corpo rígido requer o conhecimento da aceleração do centro de massa e das características cinemáticas do corpo denominadas

Leia mais

Halliday & Resnick Fundamentos de Física

Halliday & Resnick Fundamentos de Física Halliday & Resnick Fundamentos de Física Mecânica Volume 1 www.grupogen.com.br http://gen-io.grupogen.com.br O GEN Grupo Editorial Nacional reúne as editoras Guanabara Koogan, Santos, Roca, AC Farmacêutica,

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 10. 2) O que ocorre com o ioiô inicialmente estacionário da Figura 2 se este é excitado por uma força (a) F 2, (b)

LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 10. 2) O que ocorre com o ioiô inicialmente estacionário da Figura 2 se este é excitado por uma força (a) F 2, (b) LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 10 Questões 1) Na Figura 1, 3 forças de mesma magnitude são aplicadas em uma partícula que encontra-se na origem do sistema de referência. Ordene as forças de acordo com as magnitudes

Leia mais

Trabalho: Dinâmica da vibração de árvores

Trabalho: Dinâmica da vibração de árvores Trabalho: Dinâmica da vibração de árvores Professor: Emílio Graciliano Ferreira Mercuri, D.Sc. Departamento de Engenharia Ambiental - DEA, Universidade Federal do Paraná - UFPR mercuri@ufpr.br As árvores

Leia mais

Trabalho: Dinâmica da vibração de árvores

Trabalho: Dinâmica da vibração de árvores Trabalho: Dinâmica da vibração de árvores Professor: Emílio Graciliano Ferreira Mercuri, D.Sc. Departamento de Engenharia Ambiental - DEA, Universidade Federal do Paraná - UFPR mercuri@ufpr.br As árvores

Leia mais

Aluno Data Curso / Turma Professor

Aluno Data Curso / Turma Professor Apostila Modelagem e Simulação de Sistemas Dinâmicos Aluno Data Curso / Turma Professor 24/10/09 Engenharia Industrial Mecânica / 2006-1 MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS Everton Farina, Eng.º

Leia mais

*Exercícios de provas anteriores escolhidos para você estar preparado para qualquer questão na prova. Resoluções em simplificaaulas.com.

*Exercícios de provas anteriores escolhidos para você estar preparado para qualquer questão na prova. Resoluções em simplificaaulas.com. MECÂNICA 1 - RESUMO E EXERCÍCIOS* P2 *Exercícios de provas anteriores escolhidos para você estar preparado para qualquer questão na prova. Resoluções em. CENTRO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO (CIR) 1 o ) Escolher

Leia mais

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I ROTAÇÃO. Prof.

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I ROTAÇÃO. Prof. CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I ROTAÇÃO Prof. Bruno Farias Introdução Neste capítulo vamos aprender: Como descrever a rotação

Leia mais

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I EQUILÍBRIO. Prof.

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I EQUILÍBRIO. Prof. CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I EQUILÍBRIO Prof. Bruno Farias Introdução Neste capítulo vamos aprender: As condições que

Leia mais

Conceitos Matemáticos & Notações

Conceitos Matemáticos & Notações Conceitos Matemáticos & Notações Apêndice A: Notações - x,δx: uma pequena mudança em x - t : a derivada parcial em relação a t mantendo as outras variáveis fixadas d - : a derivada no tempo de uma quantidade

Leia mais

Robótica. Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário FEI 2016

Robótica. Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário FEI 2016 Robótica Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário FEI 2016 5 a Aula Pós Graduação - IECAT Objetivos desta aula Velocidade e Aceleração de corpo rígido. Matrizes de inércia. Bibliografia Capítulos 5

Leia mais

Universidade de Aveiro Departamento de Electrónica, Telecomunicações e Informática. Transformações 2D

Universidade de Aveiro Departamento de Electrónica, Telecomunicações e Informática. Transformações 2D Universidade de Aveiro Departamento de Electrónica, Telecomunicações e Informática Transformações 2D Computação Visual Beatriz Sousa Santos, Joaquim Madeira Transformações 2D Posicionar, orientar e escalar

Leia mais

Terceira Lista de Exercício de Dinâmica e Controle de Veículos Espaciais

Terceira Lista de Exercício de Dinâmica e Controle de Veículos Espaciais Terceira Lista de Exercício de Dinâmica e Controle de Veículos Espaciais Questão 1 Considerando os momentos de inércia de um corpo no sistema de eixos principais de inércia com origem no centro de massa

Leia mais

11 Cinemática de partículas 605

11 Cinemática de partículas 605 SUMÁRIO 11 Cinemática de partículas 605 11.1 Introdução à dinâmica 606 Movimento retilíneo de partículas 607 11.2 Posição, velocidade e aceleração 607 11.3 Determinação do movimento de uma partícula 611

Leia mais

v CM K = ½ I CM a CM

v CM K = ½ I CM a CM ENGENHARIA 1 ROLAMENTO O rolamento é um movimento que associa translação e rotação. É o caso, por exemplo, de uma roda que, ao mesmo tempo que rotaciona em torno de seu eixo central, translada como um

Leia mais

Geometria Analítica. Prof. M.Sc. Guilherme Schünemann

Geometria Analítica. Prof. M.Sc. Guilherme Schünemann Geometria Analítica Prof. M.Sc. Guilherme Schünemann Ponto de partida Um ponto é a unidade básica de toda a geometria analítica. A partir dele, definem-se retas, segmentos, vetores, planos, etc. Reta definida

Leia mais

Cap. 9 - Rotação do Corpo Rígido. 1 Posição, Velocidade e Aceleração Angulares

Cap. 9 - Rotação do Corpo Rígido. 1 Posição, Velocidade e Aceleração Angulares Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física I IGM1 2014/1 Cap. 9 - Rotação do Corpo Rígido Prof. Elvis Soares Para nós, um corpo rígido é um objeto indeformável, ou seja, nesse corpo

Leia mais

2 Cinemática 2.1 CINEMÁTICA DA PARTÍCULA Descrição do movimento

2 Cinemática 2.1 CINEMÁTICA DA PARTÍCULA Descrição do movimento 2 Cinemática A cinemática tem como objeto de estudo o movimento de sistemas mecânicos procurando descrever e analisar movimento do ponto de vista geométrico, sendo, para tal, irrelevantes os fenómenos

Leia mais

FEP Física Geral e Experimental para Engenharia I

FEP Física Geral e Experimental para Engenharia I FEP195 - Física Geral e Experimental para Engenharia I Prova P3 - Gabarito 1. Três partículas de massa m estão presas em uma haste fina e rígida de massa desprezível e comprimento l. O conjunto assim formado

Leia mais

Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785

Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785 Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785 rrpela@ita.br www.ief.ita.br/~rrpela Onde estamos? Nosso roteiro ao longo deste capítulo Cinemática retilínea: movimento contínuo

Leia mais

Física II (Química) FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 4. O Pêndulo Físico

Física II (Química) FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 4. O Pêndulo Físico 591036 Física II (Química) FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 4 O Pêndulo Físico O chamado pêndulo físico é qualquer pêndulo real. Ele consiste de um corpo rígido (com qualquer forma) suspenso por um

Leia mais

Equação de Schrödinger em 3D

Equação de Schrödinger em 3D Equação de Schrödinger em 3D Conteúdo básico: extensão do que foi feito em 1D: p 2 /2m + V(x,y,z) = E; Equação independente do tempo: 2m 2 ψ +V(x, y, z)ψ = Eψ A interpretação probabilística envolve a integração

Leia mais

2 Propagação de ondas elásticas em cilindros

2 Propagação de ondas elásticas em cilindros 2 Propagação de ondas elásticas em cilindros 2.1 Elastodinâmica Linear As equações que governam o movimento de um corpo sólido, elástico e isotrópico são: τ ij,j + ρf i = ρ ü i (2-1) τ ij = λ ε kk δ ij

Leia mais

Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785

Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785 Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785 rrpela@ita.br www.ief.ita.br/~rrpela Onde estamos? Nosso roteiro ao longo deste capítulo Cinemática retilínea: movimento contínuo

Leia mais

MOVIMENTO ROTACIONAL DE SATÉLITES ARTIFICIAIS

MOVIMENTO ROTACIONAL DE SATÉLITES ARTIFICIAIS MOVIMENTO ROTACIONAL DE SATÉLITES ARTIFICIAIS Maria Cecília Zanardi UNESP Campus de Guaratinguetá Departamento de Matemática Faculdade de Engenharia cecilia@feg.unesp.br 1. INTRODUÇÃO O movimento de um

Leia mais

5 Equacionamento do Filtro de Kalman

5 Equacionamento do Filtro de Kalman 5 Equacionamento do Filtro de Kalman As implementações do filtro de Kalman para a fusão do GPS com o sensor inercial são classificadas na literatura principalmente como: acopladas, utilizando como informação

Leia mais

Parte 3 - Produto Interno e Diagonalização

Parte 3 - Produto Interno e Diagonalização Parte 3 - Produto Interno e Diagonalização Produto Escalar: Sejam u = (u 1,..., u n ) e v = (v 1,..., v n ) dois vetores no R n. O produto escalar, ou produto interno euclidiano, entre esses vetores é

Leia mais

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica PME 3100 - Mecânica I - Segunda Prova- Duração 110 minutos 14 de outubro de 014 Obs. Não é permitido o uso de dispositivos eletrônicos, como calculadoras, tablets e celulares. C QUESTÃO 1 (3,0 pontos).

Leia mais

Apontamentos III. Espaços euclidianos. Álgebra Linear aulas teóricas. Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico

Apontamentos III. Espaços euclidianos. Álgebra Linear aulas teóricas. Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico Apontamentos III Espaços euclidianos Álgebra Linear aulas teóricas 1 o semestre 2017/18 Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico Índice Índice i 1 Espaços euclidianos 1 1.1

Leia mais

FIS 26. Mecânica II *****

FIS 26. Mecânica II ***** * ** FIS 26 Mecânica II *** * https://def.fe.up.pt/dinamica/movimento_curvilineo.html ** http://www.met.reading.ac.uk/pplato2/h-flap/phys5_3.html *** http://www.esquerda.net/artigo/como-explicar-ondas-gravitacionais-tua-avo/41226

Leia mais

Dinâmica das Máquinas

Dinâmica das Máquinas Dinâmica das Máquinas Conceito de grau de liberdade Visão geral do processo de análise de mecanismos Prof. Juliano G. Iossaqui Engenharia Mecânica Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Londrina,

Leia mais

Universidade Federal do Rio de Janeiro Departamento de Engenharia Mecânica Análise Dinâmica de Estruturas - Lista de exercícios Prof.

Universidade Federal do Rio de Janeiro Departamento de Engenharia Mecânica Análise Dinâmica de Estruturas - Lista de exercícios Prof. Universidade Federal do Rio de Janeiro Departamento de Engenharia Mecânica Análise Dinâmica de Estruturas - ista de exercícios Prof. Daniel Questão 1. Considere que a função ϕ : B B t descreve o movimento

Leia mais

MP-208: Filtragem Ótima com Aplicações Aeroespaciais

MP-208: Filtragem Ótima com Aplicações Aeroespaciais MP-208: Filtragem Ótima com Aplicações Aeroespaciais Capítulo 1: Introdução Davi Antônio dos Santos Departamento de Mecatrônica Instituto Tecnológico de Aeronáutica davists@ita.br São José dos Campos,

Leia mais

FIS 26. Mecânica II. Aula 2: Corpo rígido - cinemática. Exercícios.

FIS 26. Mecânica II. Aula 2: Corpo rígido - cinemática. Exercícios. FIS 26 Mecânica II Aula 2: - cinemática. Exercícios. Movimentos do corpo rígido Translação: Rotação: trajetória de translação retilínea¹ rotação em torno de um eixo¹ trajetória de translação curvilínea¹.

Leia mais

Sistemas de Referência

Sistemas de Referência Sistemas de Referência 1. Sistemas de Referência Terrestre deal:.: Espaço euclidiano afim munido de uma base ortogonal fixa à Terra, de escala unitária e origem no centro de massa da Terra. 2. Sistemas

Leia mais

ROBÓTICA CINEMÁTICA. Prof a. Dra. GIOVANA TRIPOLONI TANGERINO Tecnologia em Automação Industrial

ROBÓTICA CINEMÁTICA. Prof a. Dra. GIOVANA TRIPOLONI TANGERINO Tecnologia em Automação Industrial SP CAMPUS PIRACICABA ROBÓTICA Prof a. Dra. GIOVANA TRIPOLONI TANGERINO Tecnologia em Automação Industrial CINEMÁTICA https://giovanatangerino.wordpress.com giovanatangerino@ifsp.edu.br giovanatt@gmail.com

Leia mais

Figura 9.1: Corpo que pode ser simplificado pelo estado plano de tensões (a), estado de tensões no interior do corpo (b).

Figura 9.1: Corpo que pode ser simplificado pelo estado plano de tensões (a), estado de tensões no interior do corpo (b). 9 ESTADO PLANO DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES As tensões e deformações em um ponto, no interior de um corpo no espaço tridimensional referenciado por um sistema cartesiano de coordenadas, consistem de três componentes

Leia mais

QUESTÕES DISCURSIVAS

QUESTÕES DISCURSIVAS QUESTÕES DISCURSIVAS Questão 1. (3 pontos) Numa mesa horizontal sem atrito, dois corpos, de massas 2m e m, ambos com a mesma rapidez v, colidem no ponto O conforme a figura. A rapidez final do corpo de

Leia mais

Introdução à Robótica Industrial p. 1/25

Introdução à Robótica Industrial p. 1/25 Introdução à Robótica Industrial Adriano A. G. Siqueira Aula 5 Introdução à Robótica Industrial p. 1/25 Espaço das juntas e Espaço das posições e orientações Espaço das juntas: q = q 1 q 2. { q i = θ i,

Leia mais

MOVIMENTO 3D: REFERENCIAL EM ROTAÇÃO

MOVIMENTO 3D: REFERENCIAL EM ROTAÇÃO MOVIMENTO 3D: REFERENCIAL EM ROTAÇÃO INTRODUÇÃO ESTUDO DE CASO Um ventilador em funcionamento está oscilando em torno de um eixo vertical. Uma mosca insuspeita voa em direção ao ventilador e se choca com

Leia mais

Física 1. Rotação e Corpo Rígido Resumo P3

Física 1. Rotação e Corpo Rígido Resumo P3 Física 1 Rotação e Corpo Rígido Resumo P3 Fórmulas e Resumo Teórico Momento Angular - Considerando um corpo de massa m a um momento linear p, temos: L = r p = r mv Torque - Considerando uma força F em

Leia mais

Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785

Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785 Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785 rrpela@ita.br www.ief.ita.br/~rrpela Onde estamos? Nosso roteiro ao longo deste capítulo Cinemática retilínea: movimento contínuo

Leia mais

Notas sobre Mecânica Clássica

Notas sobre Mecânica Clássica Notas sobre Mecânica Clássica Hildeberto Eulalio Cabral 1 Cinemática do corpo rígido Em mecânica clássica, um corpo rígido é um sistema de pontos materiais cuas distâncias entre dois quaisquer deles mantem-se

Leia mais

CSE-MME Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia

CSE-MME Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia CSE-MME Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia Engenharia e Tecnologia Espaciais ETE Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais L.F.Perondi Engenharia e Tecnologia Espaciais ETE Engenharia

Leia mais

FIS-15 Mecânica I. Ronaldo Rodrigues Pela

FIS-15 Mecânica I. Ronaldo Rodrigues Pela FIS-15 Mecânica I Ronaldo Rodrigues Pela Objetivos Referenciais não inerciais Cinética Movimento de rotação Exemplos Resumo F. de Einsten Força de Euler Força centrífuga Força de Coriolis Teor. Trab. En.

Leia mais

SUMÁRIO VOLUME II 8 MODELAGEM MATEMÁTICA COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SÉRIES INFINITAS CURVAS PARAMÉTRICAS E POLARES; SEÇÕES CÔNICAS 692

SUMÁRIO VOLUME II 8 MODELAGEM MATEMÁTICA COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SÉRIES INFINITAS CURVAS PARAMÉTRICAS E POLARES; SEÇÕES CÔNICAS 692 SUMÁRIO VOLUME II 8 MODELAGEM MATEMÁTICA COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 561 8.1 Modelagem com equações diferenciais 561 8.2 Separação de variáveis 568 8.3 Campos de direções; método de Euler 579 8.4 Equações

Leia mais

Revisão III: Dinâmica Estrutural Linear: Superposição Modal

Revisão III: Dinâmica Estrutural Linear: Superposição Modal Revisão III: Dinâmica Estrutural Linear: Superposição Modal Como calcular a parcela elástica da posição do elemento de massa: p d Hipótese: flexibilidade moderada pequenos deslocamentos elásticos comportamento

Leia mais

Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785

Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785 Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785 rrpela@ita.br www.ief.ita.br/~rrpela Onde estamos? Nosso roteiro ao longo deste capítulo Cinemática retilínea: movimento contínuo

Leia mais

UD V. Orientação Exterior

UD V. Orientação Exterior UD V Orientação Exterior Conceitos Básicos Matriz de Rotação Resseção Espacial Condição de Colinearidade Modelo Matemático Ajustamento pelo MMQ Aproximações Iniciais Implementação do Algoritmo UD V - Orientação

Leia mais

aula6 Curvas de Hermite 2016/2 IC / UFF Criadas por Charles Hermite ( ) https://pt.wikipedia.org/wiki/charles_hermite

aula6 Curvas de Hermite 2016/2 IC / UFF Criadas por Charles Hermite ( ) https://pt.wikipedia.org/wiki/charles_hermite Criadas por Charles Hermite (1822-1901) https://pt.wikipedia.org/wiki/charles_hermite aula6 Vetor é : Na matemática - um elemento com de um espaço vetorial Em Física em oposição as grandezas escalares,

Leia mais

Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá. 12 de março de 2013

Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá. 12 de março de 2013 DINÂMICA Mecânica II (FIS-6) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 1 de março de 013 Roteiro 1 Roteiro 1 : caso geral Componente do momento angular ao longo do eixo de rotação é L = I ω Mas o momento

Leia mais