II. MODELAGEM MATEMÁTICA (cont.)
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- Aurélia Alessandra Brandt Aleixo
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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA MP-272: CONTROLE E NAVEGAÇÃO DE MULTICÓPTEROS II. MODELAGEM MATEMÁTICA (cont.) Prof. Davi Antônio dos Santos (davists@ita.br) Departamento de Mecatrônica Março/2017 São José dos Campos
2 2 Sumário II. MODELAGEM MATEMÁTICA (cont.) II.3.1. Sistemas de Coordenadas II.3.2. Representação de Atitude II.3.3. Cinemática de Atitude II.3.4. Dinâmica de Atitude
3 3 II.3.1. Sistemas de Coordenadas Nesta seção, considere o SCC do corpo S B = x B, y B, z B e o SCC de referência S R = x R, y R, zr. (Vide Seção II.2.1) CM z R x R z B y B x B y R vertical local
4 4 II.3.2. Representação de Atitude Como representar a atitude de S B em relação a S R? z R z B y B CM y R x B x R
5 5 Matriz de Atitude: Escrevendo os versores de S B em termos dos versores de S R, obtêm-se: z R z B y B x B, z R y R onde. x R x B, x R x x B, y R B Dessas equações, conclui-se que: Os cossenos diretores C ij descrevem completamente a atitude de S B em relação a S R.
6 6 Logo, a atitude pode ser representada pela chamada Matriz de Atitude: que também é chamada de Matriz de Cossenos Diretores (sigla em inglês: DCM) Matriz de Rotação
7 7 Transformação de Representações: Seja um vetor arbitrário v. Suas representações v B em S B e v R em S R se relacionam por z R z B CM y B v y R x B x R
8 8 Rotações Sucessivas: Sejam as seguintes representações de rotação: De S A para S C : D C/A De S A para S B : D B/A De S B para S C : D C/B S A D B/A S B D C/A D C/B S C Pode-se mostrar que [Ref. 1, Apêndice B]:
9 9 Ortonormalidade: Uma matriz de atitude qualquer D B/R é dita ser ortonormal, pois suas linhas e colunas são ortogonais e possuem norma Euclidiana unitária. Essa propriedade implica em
10 10 Eixo/Ângulo de Euler: Teorema de Euler: O deslocamento angular geral de um corpo rígido com um ponto fixo pode ser descrito por uma rotação φ em torno de um eixo a que passa por esse ponto. z R z B y B a φ x R x B y R ponto fixo
11 11 A atitude de S B em relação a S R pode ser representada pelo par: em que φ é o chamado ângulo principal de Euler e a, que consiste numa representação de a (em S B ou em S R ), é o chamado eixo principal de Euler.
12 12 Relação com a Matriz de Atitude: Represente a atitude de S B em relação a S R por φ, a. A matriz de atitude D B/R pode ser expressa como [Ref. 1, Capítulo 2]: onde
13 13 Por outro lado, dada a matriz D B/R, os parâmetros a e φ correspondentes são dados por Se tr D B/R = 3: a é indefinido. Se tr D B/R = 1:
14 14 Se tr D B/R 1 e tr D B/R 3:
15 15 Observação: 1. Há ambiguidade na representação de atitude por Eixo/Ângulo de Euler, pois, por exemplo, φ, a e φ, a representam a mesma atitude.
16 16 Parâmetros de Euler (quaternion): Os parâmetros de Euler são, por definição, os componentes do vetor onde
17 17 Relação com a Matriz de Atitude: Represente a atitude de S B em relação a S R por η, ε. A matriz de atitude D B/R pode ser expressa como Por outro lado, dada a matriz D B/R,
18 18 Rotações Sucessivas: Sejam as seguintes representações de rotação: De S A para S C : q B/A S B q C/B De S A para S B : S A q C/A S C De S B para S C : Pode-se mostrar que:
19 19 Observações: 1. O vetor q apresenta norma unitária, i.e. 2. Há ambiguidade na representação de atitude por parâmetros de Euler, pois q e q representam a mesma atitude.
20 20 Vetor de Gibbs: O Vetor de Gibbs g R 3 é, por definição, Na literatura, o g é ainda conhecido como: Parâmetros de Euler-Rodrigues Parâmetros de Rodrigues
21 21 Relação com a Matriz de Atitude: Represente a atitude de S B em relação a S R por g. A matriz de atitude D B/R pode ser expressa como Por outro lado, dada a matriz D B/R,
22 22 Rotações Sucessivas: Sejam as seguintes representações de rotação: De S A para S C : g B/A S B g C/B De S A para S B : S A g C/A S C De S B para S C : Pode-se mostrar que:
23 23 Observações: 1. Não há ambiguidade na representação de atitude por Vetor de Gibbs. 2. O vetor g se torna infinito para um ângulo de rotação múltiplo ímpar de 180 o.
24 24 Ângulos de Euler: Rotações Elementares: Uma rotação elementar consiste numa rotação em torno de um eixo coordenado. Denote por D i ρ a matriz de rotação elementar de um ângulo ρ em torno do eixo coordenado i 1,2,3. Pode-se mostrar que:
25 25 Representação de Atitude Tridimensional: A atitude tridimensional pode ser representada por uma sequência de três rotações elementares, tal que cada rotação seja diferente da rotação anterior. Há 12 possíveis sequências: 313, 212,121, 131, 323, , 321, 132, 312, 231, 213 Adotaremos as sequências: 123 e 321
26 26 Relação com a Matriz de Atitude (321): Represente a atitude de S B em relação a S R pelos ângulos de Euler ψ, θ e φ tomados na sequência de eixos 321. A matriz de atitude D B/R pode ser expressa como
27 27 Por outro lado, dada a matriz D B/R, obtêm-se
28 28 Relação com a Matriz de Atitude (123): Represente a atitude de S B em relação a S R pelos ângulos de Euler φ, θ e ψ tomados na sequência de eixos 123. A matriz de atitude D B/R pode ser expressa como
29 29 Por outro lado, dada a matriz D B/R, obtém-se
30 30 Observações: 1. Os ângulos de Euler consistem na melhor escolha de representação de atitude no que concerne à visualização. 2. Os ângulos de Euler consistem na pior escolha de representação de atitude no que concerne ao custo computacional.
31 31 II.3.3. Cinemática de Atitude Denote o vetor velocidade angular de S B em relação a S R por Ω B/R. Ω B/R z R z B y B CM y R x B x R
32 32 Como descrever o movimento rotacional de S B em relação a S R em função de Ω B/R? Ω B/R z R z B y B CM y R x B x R
33 33 Cinemática em Matriz de Atitude: Seja Ω B B/R a representação de Ω B/R em S B. Pode-se mostrar que a cinemática de atitude de S B em relação a S R é modelada em matriz de atitude por [2]:
34 34 Cinemática em Eixo/Ângulo de Euler: Seja Ω B B/R a representação de Ω B/R em S B. Pode-se mostrar que a cinemática de atitude de S B em relação a S R é descrita em eixo/ângulo de Euler por [Ref. 1, p.24-25]:
35 35 Cinemática em Quaternion: Seja Ω B B/R a representação de Ω B/R em S B. Pode-se mostrar que a cinemática de atitude de S B em relação a S R é modelada em quaternion por onde
36 36 Cinemática em Vetor de Gibbs: Seja Ω B B/R a representação de Ω B/R em S B. Pode-se mostrar que a cinemática de atitude de S B em relação a S R é descrita em Vetor de Gibbs por
37 37 Cinemática em Ângulos de Euler 321: Seja Ω B B/R a representação de Ω B/R em S B. Pode-se mostrar que a cinemática de atitude de S B em relação a S R é descrita em Ângulos de Euler 321 por onde
38 38 Cinemática em Ângulos de Euler 123: Seja Ω B B/R a representação de Ω B/R em S B. Pode-se mostrar que a cinemática de atitude de S B em relação a S R é descrita em Ângulos de Euler 123 por onde
39 39 II.3.4. Dinâmica de Atitude Como descrever a variação temporal de Ω B/R em função de T? Ω B/R CM z R x R z B y B x B y R T
40 40 Considere que O veículo seja um corpo rígido. O momentum angular resultante da rotação dos rotores seja desprezível.
41 41 A variação temporal da velocidade angular Ω B/R em função dos torques externos de controle T c e de perturbação T p é descrita em S B pela Equação de Dinâmica: onde J B é a matriz de inércia do veículo.
42 42 Referências 1. HUGHES, P. C. Spacecraft Attitude Dynamics. Dover, SCHUSTER, M. A Survey of Attitude Representations. The Journal of Astronautical Sciences, 41(4), 1993,
43 43 Obrigado pela presença e atenção!
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