Transformações Geométricas

Transcrição

1 Transformações Geométricas Profª. Alessandra Martins Coelho março/2013

2 Objetivos Entender os princípios das transformações geométricas do tipo translação, rotação e escalamento. Efetuar transformações geométricas utilizando coordenadas homogêneas.

3 Fundamentos Transformações geométricas envolvem operações com vetores e matrizes, do tipo soma e multiplicação, além de conhecimentos básicos de álgebra e geometria.

4 O que é uma matriz? A matriz é um conjunto de elementos, organizados em linhas e colunas.

5 Operações Básicas Adição, subtração, multiplicação

6 AB=BA? Multiplicação

7 Multiplicação AB=BA? A multiplicação não é comutativa

8 AI = A AA -1 = I Identidade

9 Inversa

10 Inversa L1 = L1 + L2*(-1) L2 = L2 + L1*(-1) L3 = L2+ L1*(-2)

11 Inversa L3=L3+L2*(-3) L3=L3*(-1) L2 = L2 + L3*(-1)

12 Inversa

13 Determinante

14 Determinante

15 Matrizes Homogêneas Problema: como incluir translações em transformações (e fazer transformações em perspectiva) Solução: adicionar uma dimensão extra

16 Bases ortonormais X, Y, Z é uma base ortonormal. Podemos descrever qualquer ponto 3D como uma combinação linear destes vetores.

17 Transformações básicas - OpenGL Translação gltranslatef(dx, dy, dz); Escalamento glscalef(sx, sy, sz); Rotação glrotatef(ang, x, y, z);

18 Para facilitar a visualização dos processos geométricos envolvidos, vamos iniciar o nosso estudo de transformações no R 2

19 uma transformação T no R 2 é uma função que associa a cada ponto p do plano um novo ponto p' tal que: p'= T(p) ou

20 Transformação no R²

21 Um exemplo de uma transformação genérica pode ser ilustrada por

22 Uma transformação é dita linear quando a transformada de uma combinação linear for sempre igual à combinação linear dos vetores transformados. para quaisquer p 1, p 2 pertencentes ao plano ou ao espaço e quaisquer que sejam a 1, a 2 pertencentes aos reais quaisquer que sejam a1, a2 pertencentes aos reais, T (a 1 p 1 + a 2 p 2 ) = a 1 T( p 1 ) + a 2 T(p 2 ) T(p)=Ap

23 Para determinar a matriz associada basta observar que se tomarmos

24 Basta Aplicar T aos Vetores da Base ) ( ) ( ) ( (0,0,1,0,..,0), = = = = = = = n i i i i n i i i i n i i u v T v u T v T u v u v = = ' 23 ' 13 ' 32 ' 22 ' 12 ' 31 ' 21 ' 11 ' )) ( ), ( ), ( ( ) ( v v v u u u u u u u u u v v v u T u T u T v T

25 Transformações Lineares Bidimensionais A origem é o único ponto fixo. Logo, a translação não é uma transformação linear. São representadas por matrizes 2 x 2. T = a b c d x y = ax bx + + cy dy

26 Translação É uma operação que desloca pontos em uma determinada direção. Define-se através da equação: P =P+T tal que, para o caso 2D Onde: x, y são os pontos originais; x, y são os pontos deslocados; e dx, dy correspondem ao deslocamento nas direções x e y, respectivamente.

27 Exemplo 2D Translação

28 Escala Escalamento pode tornar um objeto maior ou menor. A equação P =S.P define essa operação. tal que, para o caso 2D

29 Exemplo

30 Rotação Rotaciona (gira) um objeto de um determinado ângulo θ. É dada pela equação: P = R.P tal que, para o caso 2D.

31 Exemplo

32 Rotação/Escala as operações de escalamento e rotação também deslocam o objeto, pois foram definidas a partir de um ponto na origem. para que não ocorra translação desnecessária no objeto é preciso realizar as seguintes etapas:

33 Rotação/Escala

34 Coordenadas homogêneas As operações matriciais diferem entre adição (translação) e multiplicação (rotação/escala). P = R P P = S P P = P + T Uma forma de tratar as transformações através da mesma operação é expressar os pontos em COORDENADAS HOMOGÊNEAS.

35 Coordenadas homogêneas Em coordenadas homogêneas, uma terceira coordenada é adicionada (caso 2D) E as transformações são escritas na forma

36 Transformações 3D Matrizes de transformações para o caso 3D

37 Transformações 3D

38 Transformações 3D Z Y X

39 Outras Transformações 3D Cisalhamento Reflexão

40 Transformações - OpenGL O OpenGL trabalha com matrizes de transformações As operações são efetuadas via multiplicação de matrizes, de acordo com o estado existente Portanto, é necessário carregar a matriz identidade glloadidentity();

41 OpenGL trabalha com matrizes de transformações... Utiliza-se o comando glmatrixmode Parâmetro GL_PROJECTION antes dos comandos que especificam o tipo de projeção (glortho, por exemplo). Parâmetro GL_MODELVIEW antes de transformações geométricas.

42 Uma transformação pode alterar todos os objetos na sequência: não desejado, dependendo da aplicação OpenGL: escopo das transformações... São utilizados comando glpushmatrix() e glpopmatrix() para definir início e fim do bloco de objetos onde será(ão) efetuada(s) a(s) transformação(ões).

43

44 void display(void){ glclear (GL_COLOR_BUFFER_BIT); glpushmatrix(); /* Cubo 1 */ glpushmatrix(); gltranslatef (-2.0, 0.0, 0.0); glscalef (2.0, 1.0, 4.0); glutwirecube (1.0); glpopmatrix(); /* Cubo 2 */ glpushmatrix(); glrotatef (25.0, 0.0, 0.0, 1.0); gltranslatef (2.0, 0.0, 0.0); glscalef (2.0, 1.0, 4.0); glutwirecube (1.0); glpopmatrix(); /* Cubo 3 */ glpushmatrix(); gltranslatef (0.0, 2.0, 0.0); glscalef (2.0, 1.0, 4.0); glutwirecube (1.0); glpopmatrix(); /* Cubo 4 */ glpushmatrix(); gltranslatef (0.0, -2.0, 0.0); glscalef (2.0, 1.0, 4.0); glutwirecube (1.0); glpopmatrix(); glpopmatrix(); glutswapbuffers();

45 Referências GOMES, Jonas; VELHO, Luiz. Fundamentos da Computação gráfica. Rio de Janeiro: IMPA, GUHA, S. Computer Graphics through OpenGL: from theory to experiments Chapman & Hall/CRC. Taylor & Francis Group, 2011 CARVALHO. M. A. G. Computação Gráfica: Transformações Geométricas. Notas de Aula Disponível em: 09_Transformacoes.pdf. Acesso em: 18 fev 2013.