ROBÓTICA (ROB74) AULA 2. TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS E COORDENADAS HOMOGÊNEAS PROF.: Michael Klug

Transcrição

1 ROBÓTICA (ROB74) AULA 2 TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS E COORDENADAS HOMOGÊNEAS PROF.: Michael Klug

2 PROGRAMA Transformações Geométricas e Coordenadas Homogêneas Notações Introdutórias Vetores, matrizes, pontos e referenciais Transformações Geométricas Elementares Coordenadas Homogêneas Matrizes de Transformação a 3 dimensões Orientação e Ângulos de Euler (RPY)

3 Ponto e Vetor Representado por um vetor coluna Vetor associado a um conceito de movimento ou deslocamento em dada direção e sentido

4 Operações Produto de um escalar por uma matriz Inversão de uma matriz Produto Interno (escalar) de vetores

5 Operações Produto Externo de vetores (produto vetorial) onde é a base ortonormal do sistema de coordenadas Obs: anti comutatividade

6 Referenciais Qualquer ponto no espaço pode ser visto de diferentes formas consoante o referencial utilizado Sejam os referenciais R e N, tem se: Relação: posição e orientação entre os dois referenciais, ou seja, da forma como se obtém um a partir do outro

7 Movimentação de Pontos Movimento de q1 para q2 (do mesmo referencial) translação Para um segmento de reta

8 Movimentação Complexa Translação de figuras mais complexas implica em recalcular todas as novas posições de todos os pontos relevantes. Alternativa: definição de um segundo referencial solidário com o objeto a mover

9 Transformações Geométricas Elementares Translação e Rotação: No espaço: 3 translações e 3 rotações elementares: Trans(x,a), Trans(y,a), Trans(z,a), Rot(x,α), Rot(y,α) e Rot(z,α)

10 Transformações Genéricas Notação Genérica: T p p/ Translação: T=I p/ Rotação

11 Transformações Genéricas Exemplo: Rotação de 90 graus Novos Pontos:

12 Coordenadas Homogêneas Forma aumentada de definir as coordenadas de um vetor: Matriz de transformação homogênea:

13 Transformações Compostas Uma sucessão de transformações traduz se na multiplicação das diversas transformações IMPORTANTE!!! A ordem das multiplicações (operação das transformações) não é necessariamente comutativa (apenas para os casos de translações e rotações puras)

14 Transformações a 3 dimensões Significados da matriz de Transformação: 1) movimentação de ponto: 2) relação de coordenadas em dois referenciais 3) transformação de referenciais

15 Transformações a 3 dimensões Rotações:

16 Pós e Pré Multiplicação Sejam T1=Rot(45) e T2=Trans(x,a) usadas para criar novos referenciais OBS: nestes casos as transformações foram realizadas em relação ao referencial original xy

17 Pós e Pré Multiplicação Alternativa: aplicar as transformações em relação a cada referencial recém criado. Ex: aplicar a rotação e depois a translação ao longo do referencial resultante da rotação Coincide com o segundo caso anterior, Tb. Conclusão: Pré: equivale a aplicar a segunda transformação no referencial global Pós: equivale a aplicar a segunda no novo referencial

18 Transformações a 3 dimensões Exercício: Determinar o novo referencial depois de translacionar o original de uma unidade em cada eixo, depois rodá lo90grausemtornodonovoeixodosyy,translacionar1 unidade no novo eixo dos xx, e depois translacionar 1 unidade negativa no eixo do zz da referência original. T=????

19 Transformações a 3 dimensões Solução: Obs: Passo 4 pré multiplicação (referencial global), Passos 2 e 3 pós multiplicação (novo referencial)

20 Transformações Inversas Obtenção de um ponto (original) a partir de outro (o que era designado de novo) RELAÇÕES

21 Transformações Inversas Propriedades Particulares: Se: Então:

22 Montagem e Grafos Referenciais: W: referencial global de trabalho (bancada ou sala), R: referencial da base do robo, H: referencial do endeffector, O: referencial do objeto a pegar, G: referencial do ponto de contato no objeto

23 Montagem e Grafos Exemplo: Determinar a transformação a aplicar no paralelepípedo, e do seu ponto de vista, de tal modo que encaixe na peça mãe ao longo das arestas assinaladas. Escolheram se os pontos A e B para origem dos referenciais respectivos e assinalaram se os eixos como indicado para satisfazer os requisitos de alinhamento final.

24 Exemplo (continuação): Montagem e Grafos Sabendo que e determinar a transformação necessária a aplicar à peça, do seu ponto de vista, para ela encaixar, isto é, determinar B T A. DICA:

25 Montagem e Grafos Solução: e portanto

26 Orientação e Ângulos de Euler Ângulos de Euler: ângulos de rotação em torno de cada um dos três eixos (seu significado depende da combinação de rotação utilizadas). Número de combinações distintas é 12. Mais Utilizada: Roll Pitch Yaw (RPY) rotação em relação a um referencial fixo, segundo os eixos x, y e z (nesta ordem).

27 Orientação e Ângulos de Euler Matematicamente: Resultando em Usualmente: