Movimento de Corpos Rígidos e

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1 Capítulo 2 Movimento de Corpos Rígidos e Transformações Homogêneas Boa parte do estudo em cinemática dos manipuladores preocupa-se em definir sistemas de coordenadas de forma que se possa representar posições e orientações de corpos rígidos com relação a estes sistemas. Ainda, transformações entre estes sistemas de coordenadas também são necessárias. De fato, a geometria do espaço tridimensional e a mecânica de corpos rígidos têm um papel central em todos os aspectos durante o estudo de manipuladores robóticos. Neste capítulo serão estudadas operações de rotação e translação entre sistemas de coordenadas tridimensionais, através da introdução do conceito de transformações homogêneas. 2. Sistemas de coordenadas tridimensionais Um sistema de coordenadas tridimensional O n x n y n z n (ou simplesmente n) é descrito pela sua origem O n e pelos três eixos cartesianos: x n, y n e z n. Estes eixos são perpendiculares entre si. A este sistema de coordenadas associa-se uma base ortonormal, formada pelos vetores i n, j n e k n, respectivamente na direção de x n, y n e z n (Figura 2.). Cada vetor tem dimensão unitária e pode ser escrito na forma vetorial como: i n = j n = k n = Figura 2.: Vetores i n, j n e k n que formam a base ortonormal. A ordenação relativa dos eixos é dada pela regra da mão direita, mostrada na Figura 2.2. O sentido positivo do ângulo de rotação também é dado pela mesma regra (Figura 2.). 7

2 8 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO DE CORPOS RÍGIDOS E TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS Figura 2.2: Regra da mão direita para formação de sistemas de coordenadas tridimensionais. O dedo polegar corresponde ao eixo z, o indicador ao eixo x e o dedo médio ao eixo y. Figura 2.: Regra da mão direita: o sentido do fechamento dos dedos na mão indica o sentido positivo do ângulo de rotação. Umpontop R deumcorporígido, pertencenteaoespaço cartesianotridimensional, podeserrepresentado por um vetor que parte da origem do sistema de coordenadas. Assim, em um sistema O x y z, p é descrito como uma combinação linear dos vetores da base ortonormal {i,j,k } (Figura 2.4): p = p x i +p y j +p z k, (2.) ou, na forma vetorial, p = p x p y (2.2) p z Figura 2.4: Ponto p descrito como combinação linear dos vetores da base ortonormal no sistema. Os vetores em vermelho representam i, j e k.

3 2.2. ROTAÇÃO 9 O subscrito associado ao nome do vetor indica com relação a qual sistema de coordenadas o ponto está representado. Assim, p é a representação do ponto p com relação ao sistema O x y z. Da mesma forma, p representa p com relação a um sistema O x y z, p 2 representa p com relação a um sistema O 2 x 2 y 2 z 2, e assim por diante. Naexpressão(2.2),ocomponentep x éaprojeçãodovetorp noeixox. Estaprojeçãopodeserrepresentada matematicamente através do produto interno: p x = p i (2.) O operador indica o produto interno entre dois vetores: onde p representa o módulo do vetor p : p = possui magnitude unitária, a expressão (2.4) resume-se a p i = p cosθ. Os componentes em y e em z de p são, respectivamente, p i = p i cosθ, (2.4) p 2 x +p2 y +p2 z, e θ é o ângulo entre p e i. Como i p y = p j (2.5) p z = p k (2.6) 2.2 Rotação Considere agora a existência de um segundo sistema de coordenadas O x y z (ou simplesmente sistema ) cuja origem é coincidente com a origem do sistema (O = O ). De forma semelhante ao que foi desenvolvido anteriormente, o ponto p pode ser descrito pela combinação linear dos vetores da base ortonomal do sistema : p = p x i +p y j +p z k (2.7) Figura 2.5: Ponto p descrito como combinação linear dos vetores da base ortonormal no sistema. Ou, na forma vetorial, p = [p x p y p z ] T. Observa-se então que os vetores p e p descrevem o mesmo ponto no espaço tridimensional, só que representados em sistemas de coordenadas diferentes, como mostra a Figura 2.5. Assim, substituindo p por p nas expressões (2.) a (2.6): p x = p i p y = p j p z = p k

4 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO DE CORPOS RÍGIDOS E TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS Substituindo p por (2.7) nas três expressões acima, tem-se que: p x = p i = (p x i +p y j +p z k ) i (2.8) = p x i i +p y j i +p z k i p y = p j = (p x i +p y j +p z k ) j (2.9) = p x i j +p y j j +p z k j p z = p k = (p x i +p y j +p z k ) i (2.) = p x i k +p y j k +p z k k Temos então o seguinte conjunto de três equações: p x = p x (i i )+p y (j i )+p z (k i ) p y = p x (i j )+p y (j j )+p z (k j ) p z = p x (i k )+p y (j k )+p z (k k ) As expressões (2.8) a (2.) podem também ser reescritas matricialmente como: p = R p, (2.) com p = p x p y, R = i i j i k i i j j j k j e p = p x p y (2.2) p z i k j k k k p z A matriz R é chamada matriz de rotação. Ela representa a rotação do sistema de coordenadas com relação ao sistema. A mesma dedução pode ser feita se considerarmos o sistema de coordenadas como referência, ou seja, podese determinar a rotação do sistema com relação ao sistema, através da matriz de rotação R. Lembrando que p = p e que p x = p i, p y = p j e p z = p k tem-se que: p x = p i = (p x i +p y j +p z k ) i = p x i i +p y j i +p z k i p y = p j = (p x i +p y j +p z k ) j = p x i j +p y j j +p z k j

5 2.2. ROTAÇÃO p z = p k = (p x i +p y j +p z k ) i = p x i k +p y j k +p z k k Pode-se escrever as expressões acima na forma matricial: p = R p, (2.) onde R = i i j i k i i j j j k j i k j k k k (2.4) A expressão (2.) pode ser obtida a partir de (2.). Dada uma matriz identidade I e sabendo que, para toda e qualquer matriz M, M M = I e que para um vetor a, Ia = a, tem-se que: p = R p ( ) R p = ( R ) R p ( R ) p = Ip ( R ) p = p Pode-se dizer então que R = ( R ), ou seja, p = ( R ) p Ainda, comparando as matrizes R e R (expressões (2.2) e (2.4)), e considerando que o produto interno é comutativo (i i = i i ), nota-se que a matriz inversa é igual à sua transposta: R = ( R ) ( ) = R T Uma matriz onde a condição acima é satisfeita é dita ortogonal. Esta propriedade é válida para toda e qualquer matriz que representa a rotação entre dois sistemas de coordenadas cartesianos. Outra importante propriedade que decorre dos sistemas de coordenadas cartesianos tridimensionais é que o determinante de uma matriz de rotação será sempre unitário. Para o caso de sistemas descritos pela regra da mão direita (Figura 2.2), o determinante será, inclusive, positivo. Propriedade 2.. Uma matriz R que representa a rotação entre dois sistemas de coordenadas cartesianos é ortogonal, ou seja, a matriz inversa de uma matriz de rotação é igual à sua transposta: R = R T Propriedade 2.2. O determinante de uma matriz de rotação R para sistemas de coordenadas cartesianos descritos pela regra da mão direita é sempre positivo e unitário: det(r) =, visto que o módulo de qualquer linha ou coluna de R é sempre positivo e unitário.

6 2 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO DE CORPOS RÍGIDOS E TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS Exemplo 2. Como saber se as matrizes abaixo representam matrizes de rotação? R = R 2 = / 2 / 2 R 4 = / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 R é uma matriz de rotação, já que seu determinante é unitário e todas as linhas e colunas possuem módulo unitário; R 2 possui todas as linhas e colunas com módulo unitário, mas o seu determinante é igual a,5. Logo, R 2 não é uma matriz de rotação; R 4 possui uma linha e uma coluna com módulos nulos e seu determinante também é nulo. Logo, R 4 não representa uma matriz de rotação Matrizes básicas de rotação Matrizes básicas de rotação são as matrizes cuja rotação ocorre em torno de um dos três eixos cartesianos: x, y ou z. Da definição do produto interno, temos que, para o primeiro elemento da matriz da expressão (2.2): i i = i i cos(θ), onde θ é o ângulo entre i e i. Como i = i = (vetores de magnitude unitária) a expressão acima resume-se a i i = cos(θ) A mesma análise é válida para os outros elementos de uma matriz de rotação. Considera-se agora a existência de dois sistemas de coordenadas, chamados de sistema (fixo) e sistema (móvel). Ambos possuem as origens O e O coincidentes. O sistema sofre uma rotação de θ em torno do eixo x. Esta operação está representada na Figura 2.6. Figura 2.6: Rotação do sistema móvel em torno do eixo x do sistema fixo. Observa-se então que os eixos x e x são paralelos e coincidentes. Logo, os vetores i e i são paralelos e coincidentes, visto que a rotação ocorre sobre x. Assim, o ângulo de rotação entre i e i é nulo e i i = i i cos( ) = Independente do ângulo de rotação entre os dois sistemas, j e i serão sempre perpendiculares. Logo, i j = i j cos(9 ) =

7 2.2. ROTAÇÃO O mesmo vale para j i, k i e i k. Assim, j i = k i = i k = Da Figura 2.6, observa-se que j j = cos(θ) e k k = cos(θ). Também, tem-se que: k j = cos(9 +θ) = sin(θ) j k = cos(9 θ) = sin(θ) Logo, a matriz que representa a rotação entre dois sistemas de coordenadas em torno do eixo x por um ângulo θ é R x,θ = cos(θ) sin(θ) sin(θ) cos(θ) (2.5) A mesma análise pode ser feita para uma rotação em torno de y ou em torno de z, como mostrado na Figura 2.7. (a) (b) Figura 2.7: Rotações básicas em torno do eixo y (a) e em torno do eixo z (b). Assim, as matrizes de rotação básicas em torno dos eixos y e z são, respectivamente, R y,θ = R z,θ = cos(θ) sin(θ) sin(θ) cos(θ) cos(θ) sin(θ) sin(θ) cos(θ) (2.6) (2.7) Pode-se facilitar a escrita das matrizes através de uma notação simplificada. Por exemplo: cos(θ) torna-se c θ ; da mesma forma, sin(α) torna-se s α ; Ainda, cos(θ +α) torna-se c θ+α. Daqui por diante será utilizada esta notação sempre que se fizer conveniente conveniente. As matrizes básicas de rotação possuem as seguintes propriedades: Propriedade 2.. Para um ângulo de rotação nulo, uma determinada matriz de rotação é igual à identidade.

8 4 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO DE CORPOS RÍGIDOS E TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS Prova. Substituindo θ por em (2.5), obtém-se: R x, = cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) Obviamente, o mesmo é válido para R y,θ e R z,θ. = = I Propriedade 2.4. A multiplicação de duas matrizes, R e,α e R e,θ, cujas rotações ocorrem no mesmo eixo e é igual à uma matriz com rotação total sobre o eixo e de α+θ. R e,α R e,θ = R e,α+θ Prova. Tomando como exemplo a matrix de rotação no eixo z e as seguintes propriedades trigonométricas: cos(α)cos(θ) sin(α)sin(θ) = cos(α±θ) sin(α)cos(θ)±cos(α)sin(θ) = sin(α±θ), tem-se que: c α s α c θ s θ R z,α R z,θ = s α c α s θ c θ = = c α c θ s α s θ c α s θ s α c θ s α c θ +c α s θ s α s θ +c α c θ c α c θ s α s θ (s α c θ +c α s θ ) s α c θ +c α s θ c α c θ s α s θ c α+θ s α+θ = s α+θ c α+θ = R z,α+θ Propriedade 2.5. A inversa de uma matriz de rotação R e,θ é R e, θ. (R e,θ ) = R e, θ Prova. Tomando como exemplo a matriz de rotação no eixo x e utilizando a Propriedade 2., tem-se que: R x, θ = c θ s θ s θ c θ = c θ s θ s θ c θ = (R x,θ ) T = (R x,θ ) Uma matriz de rotação representa a rotação entre um sistema fixo e um móvel, mas também pode ser

9 2.2. ROTAÇÃO 5 utilizada para transformar a representação de um ponto entre dois sistemas de coordenadas, como visto nas expressões (2.) e (2.): p = R p p = R p Exemplo 2.2 Dados p e R, calcular p. p = 2 8 R = R representa a rotação do sistema com relação ao sistema. Como se deseja calcular p a partir de p, e através da Propriedade 2., tem-se que R = ( R ) T. Assim: p = R p = ( R T ) p = = Composição de rotações Nas seções anteriores foram discutidas rotações de um sistema de coordenadas móvel com relação a um sistema fixo. Assim, amatrizr representaarotaçãodosistemao x y z comrelaçãoaosistemao x y z. Considerase agora a existência de um terceiro sistema de coordenadas O 2 x 2 y 2 z 2 (ou simplesmente sistema 2) e que as origens dos três sistemas são coincidentes. Um dado ponto p no espaço cartesiano tridimensional pode ser representado nos três sistemas, sendo ele então chamado de p, p ou p 2. A relação de p entre os três sistemas dá-se por: p = R p (2.8) p = R 2 p 2 (2.9) p = R 2 p 2 (2.2) As matrizes R e R 2 representam rotações relativas ao sistema, enquanto que R 2 representa a rotação do sistema 2 com relação ao sistema. Substituindo (2.2) em (2.8), obtém-se: Comparando (2.9) e (2.2), tem-se a seguinte identidade: p = R R 2 p 2 (2.2) R 2 = R R 2 (2.22) A equação (2.22) representa a regra para a composição de rotações. Ela diz que, para se transformar as coordenadas de p da sua representação no sistema 2 (p 2 ) para a representação no sistema (p ), deve-se, primeiro, transformar p 2 para o sistema através de R 2 e após transformar p em p através de R.

10 6 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO DE CORPOS RÍGIDOS E TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS Pode-se também interpretar (2.2) da seguinte forma: Considera-se inicialmente que os três sistemas de coordenadas são coincidentes. Então, o sistema é rotacionado com relação ao sistema de acordo com R. Após, o sistema 2 sofre uma rotação com relação ao sistema conforme R 2. A este tipo de operação - quando as rotações ocorrem de forma sucessiva, dá-se o nome de rotação em sistemas correntes. Exemplo 2. Determinar a matriz de rotação total R que representa uma rotação φ em torno do eixo y e depois uma rotação θ em torno do eixo z corrente. R = R y,φr z,θ c φ s φ c θ s θ = s θ c θ s φ c φ c φc θ c φs θ s φ = s θ c θ s φc θ s φs θ c φ É importante destacar que multiplicações matriciais em geral não são comutativas, ou seja, no caso de uma composição de rotações, a ordem de multiplicação das matrizes deve ocorrer de acordo com a ordem com que as rotações acontecem. A isto segue o próximo exemplo. Exemplo 2.4 Determinar a matriz de rotação total R que representa uma rotação θ em torno do eixo z e depois uma rotação φ em torno do eixo y corrente. R = R z,θr y,φ c θ s θ = s θ c θ c φ s φ c φc θ s θ s φc θ = c φs θ c θ s φs θ s φ c φ s φ c φ A partir dos exemplos anteriores, nota-se claramente que R R, o que fica mais evidente ainda através da análise das Figuras 2.8 e 2.9. Figura 2.8: Resultado da composição R = R y,φ R z,θ.

11 2.2. ROTAÇÃO 7 Figura 2.9: Resultado da composição R = R z,θ R y,φ. Assim, como regra geral de composição de rotações em sistemas correntes, teremos: onde n > m. R n m = R m+ m R m+2 m+ Ri i R n n 2 Rn n, (2.2) Exemplo 2.5 Determinar a fórmula para a composição de quatro rotações, inciando-se pelo sistema 2, e considerando sistemas correntes. Fazendo m = 2 e n = 6 em (2.2), tem-se que: R 6 2 = R 2R 4 R 5 4R 6 5 Em muitas aplicações, deseja-se que as rotações sejam efetuadas sempre com relação a um mesmo sistema de coordenadas, ao invés de sistemas sucessivos. Por exemplo, pode ser necessário realizar uma rotação em torno de x, seguida de uma rotação em y (e não em y ). A este tipo de rotação dá-se o nome de rotação em sistemas fixos. No caso do exemplo, O x y z é o sistema fixo (ou inercial) com relação ao qual todas as rotações serão realizadas. Neste caso, a expressão (2.2) não é válida. Entretanto, pode ser mostrado que as sucessivas matrizes de rotação devem ser mulitplicadas na ordem inversa à mostrada por (2.2). Exemplo 2.6 Considera-se três sistemas de coordenadas, inicialmente coincidentes: (sistema fixo), e 2. Uma matriz R representa uma rotação φ do sistema em torno do eixo y, seguido de uma rotação θ do sistema 2 em torno de z. Sejam p, p e p 2 representações do ponto p. Inicialmente, os sistemas e são coincidentes. Logo, pode-se escrever que: p = R y,φp (2.24) Agora, como a segunda rotação é com relação ao sistema e não ao sistema, é incorreto afirmar que p = R z,θp 2, já que esta expressão só seria válida se R z,θ fosse uma rotação em torno de z. A solução é fazer com que z e z sejam coincidentes, e isto pode ser obtido se a primeira rotação dada por R y,φ for desfeita, com R y, φ. Após isto, esta rotação precisa ser reinserida. Assim: p = R y, φr z,θr y,φp 2 (2.25) Esta é expressão correta, neste caso, para rotações em sistemas fixos, e não (2.2). Agora, substituindo (2.25) em

12 8 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO DE CORPOS RÍGIDOS E TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS (2.24), tem-se que: p = R y,φp = R y,φr y, φr z,θr y,φp 2 = R z,θr y,φp 2 Assim, pode-se sumarizar as rotações que ocorrem em sistemas correntes ou sistemas fixos da seguinte forma: Dado um sistema fixo e um sistema móvel (corrente), a matriz de rotação que relaciona os dois sistemas é R. Dado um terceiro sistema móvel 2, a matriz de rotação que relaciona o sistema 2 ao sistema é dada por R 2. Se o sistema 2 é obtido com relação ao sistema (sistema corrente), R é pós-multiplicada por R 2 para se obter R 2 : R 2 = R R 2 Esta expressão corresponde à regra dada por (2.2). Se o sistema 2 é obtido com relação ao sistema (sistema fixo), R é pré-multiplicada por R 2 para se obter R 2 : R 2 = R 2 R Assim, a regra geral para rotações que ocorrem em sistemas fixos é dada por: onde n > m. R n m = R n n R n n 2 Ri i R m+2 m+ Rm+ m, (2.26) Exemplo 2.7 Determinar a fórmula para a composição de quatro rotações, inciando-se pelo sistema 2, e considerando sistemas fixos. Fazendo m = 2 e n = 6 em (2.26), tem-se que: R 6 2 = R 6 5R 5 4R 4 R 2 Exemplo 2.8 Calcular a matriz de rotação R 2 resultante da sequência de duas rotações, R = R z, e R 2 = R y,6, considerando (a) sistemas correntes e (b) sistemas fixos. (a) Para sistemas correntes, sabe-se que R 2 = R R 2. Assim, R 2 = R R 2 / 2 / 2 = / 2 / 2 =,4,5,75,25,87,4,87,5 / 2 / 2 / 2 / 2

13 2.2. ROTAÇÃO 9 (b) Para sistemas fixos, R 2 = R 2 R. Assim, R 2 = R 2 R / 2 = = / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2,4,25,87,5,87,75,4,5 Como era de se esperar, (a) e (b) apresentam resultados diferentes Ângulos de Euler O método de ângulos de Euler foi introduzido pelo matemático Leonhard Euler. Através deste método é possível descrever a rotação de um corpo rígido no espaço tridimensional através da composição de três grandezas (ângulos) independentes. Dado um sistema fixo e um sistema móvel, pode-se descrever a rotação de com relação a através de três rotações sucessivas, como segue: primeiro rotacione φ em torno do eixo z, depois rotacione θ em torno do eixo y corrente, e por último rotacione novamente em torno do eixo z corrente por ψ. Esta é a chamada combinação ZYZ. Existem outras combinações possíveis, mas esta é a mais utilizada em robótica (como será visto no estudo da cinemática inversa). A matriz de rotação resultante para a combinação ZYZ é dada por: R = R z,φ R y,θ R z,ψ c φ s φ = s φ c φ c θ s θ c ψ s ψ s ψ c ψ s θ c θ c φ c θ c ψ s φ s ψ c φ c θ s ψ s φ c ψ c φ s θ = s φ c θ c ψ +c φ s ψ s φ c θ s ψ +c φ c ψ s φ s θ s θ c ψ s θ s ψ c θ (2.27) Ângulos RPY Uma matriz de rotação pode também ser descrita como o produto de sucessivas rotações em torno dos eixos do sistema fixo: x, y e z. Estas rotações são chamadas, respectivamente, de guiagem (yaw), arfagem (pitch) e rolamento (roll). As rotações ocorre na seguinte ordem: primeiro uma rotação ψ em torno de x, seguida de θ em torno de y e por último φ em torno de z. Considerando que as rotações são obtidas sempre com relação a um sistema fixo, a matriz resultante neste caso é:

14 2 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO DE CORPOS RÍGIDOS E TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS R = R z,φ R y,θ R x,ψ c φ s φ c θ s θ = s φ c φ c ψ s ψ (2.28) s θ c θ s ψ c ψ c φ c θ s φ c ψ +c φ s θ s ψ s φ s ψ +c φ s θ c ψ = s φ c θ c φ c ψ +s φ s θ s ψ c φ s ψ +s φ s θ c ψ s θ c θ s ψ c θ c ψ Obviamente que, além da matriz de rotação RPY da expressão (2.28), o mesmo resultado poderia ser obtido considerando-se uma matriz YPR com relação aos sistemas correntes, ou ainda através de ângulos de Euler ZYX. 2. Transformações homogêneas Até o momento, a composição de diversos sistemas de coordenadas foi realizada de forma que as origens eram sempre coincidentes (O = O = O 2...). Considera-se agora dois sistemas: O x y z e O x y z. Os dois sistemas são ditos paralelos entre si, ou seja, não existe rotação relativa entre eles. Adiciona-se então uma translação entre as duas origens, fazendo com que O não seja mais coincidente com O. Esta transformação é mostrada na Figura 2. e à distância de O com relação a O dá-se o nome de d. Figura 2.: Translação pura entre os sistemas e. Nota-se que x é paralelo a x, y é paralelo a y e z é paralelo a z. d é um vetor da origem O até a origem O, expresso com relação ao sistema de coordenadas. O mesmo pode ser escrito também como d = [d x d y d z ] T, onde d x, d y e d z são, respectivamente, componentes de d nos eixos x, y e z. Considera-se agora um ponto p no sistema de coordenadas tridimensional. A Figura 2. mostra este ponto descrito com relação ao sistema com o vetor p. Figura 2.: Ponto p representado com relação ao sistema.

15 2.. TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS 2 Como os dois sistemas de coordenadas são paralelos (não há rotação entre eles), pode-se obter p com relação ao sistema através de uma simples soma vetorial, ou seja: p = d +p (2.29) Figura 2.2: Ponto p representado com relação ao sistema (vetor vermelho) e ao sistema (vetor verde). Quando existe uma rotação entre os dois sistemas, a soma vetorial da expressão (2.29) não pode ser realizada diretamente. Ao invés disto, deve-se multiplicar p pela matriz de rotação entre os dois sistemas para depois realizar a soma. Ou seja, p = d +R p (2.) Esta transformação é representada na Figura 2.. A expressão (2.) representa a combinação de uma rotação pura e uma translação pura, e é o caso mais geral do chamado movimento de corpos rígidos. Figura 2.: Composição de translação e rotação. A multiplicação por R faz com que a representação do vetor p torne-se paralela ao sistema, podendo assim ser somado a d como em (2.29). Exemplo 2.9 Dados d, p e R abaixo, calcular p. p = 2, d = 8 5 e R = R y,

16 22 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO DE CORPOS RÍGIDOS E TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS Substituindo os dados acima em (2.), obtem-se: p = d +R p = , = 6 7,7,87,5,5, Representações homogêneas É comum o uso da seguinte representação: p = H p, onde p = p x p y p z, p = p x p y p z e H = r r 2 r d x r 2 r 22 r 2 d y r r 2 r d z p e p são representações homogêneas dos vetores p e p, e são obtidas simplesmente aumentando-se a dimensão do vetor em uma linha com o elemento igual a. H é a chamada matriz de transformação homogênea, e pode ser reescrita como: H = [ R d ] (2.) Nota-se então que as duas transformações básicas (translação d e rotação R ) estão contidas dentro da matriz H. A última linha de uma matriz de transformação homogênea é sempre composta de [ ]. De forma a simplificar a notação, o apóstrofe no nome do vetor será eliminado e a representação homogênea do vetor será utilizada sempre que necessário em uma expressão do tipo p = H p. Assim, a matriz H representa a transformação homogênea do sistema de coordenadas com relação ao sistema. Seguindo a notação, logo conclui-se que: p = H p, onde H é a matriz de transformação homogênea do sistema com relação ao sistema. Assim, H = [ R d onde R e d são, respectivamente, a rotação e a translação do sistema com relação ao sistema. H pode também ser obtida através da matriz inversa de H : ] Sabe-se da Propriedade 2. que R = R T. Assim, H = ( H )

17 2.. TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS 2 [ ( ) R H = ( ) d R [ ( ) R T = ( ) R T ] d [ ] R d = ] (2.2) Da expressão (2.2), conclui-se que d = ( R ) T d (2.) Observando a expressão (2.), é interessante perceber o que a mesma significa. O sinal de negativo indica que a distância d deve ser revertida para se obter d, mas, antes disto, esta grandeza deve ser escrita com relação ao sistema, por isso a multiplicação pela transposta de R, que é igual a R. Exemplo 2. Através de transformações homogêneas, calcular p, dados: Sabe-se de (2.2) que d = ( R ) T d, logo: 4 p = 2, d = 5 e R = R z,9 6 d = = Então, [ R p = H d p = 5 = = ] Ainda, diferente das matrizes de rotação, a inversa de uma matriz de transformação homogênea não corresponde à sua transposta, ou seja, ( H ) ( H ) T.

18 24 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO DE CORPOS RÍGIDOS E TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS Exemplo 2. Dada a matriz H, a sua inversa é: 2 H =, ( H ) = 2 Nota-se que a última linha da matriz é [ ], o que não poderia deixar de ser já que ( H) = H, que ainda é uma matriz de transformação homogênea. Calculando a transposta de H, chega-se a: ( H ) T =, 2 logo, ( H) ( H) T. Ainda, a última linha de ( H )T é diferente de [ ], logo esta não é uma matriz de transformação homogênea Matrizes básicas de transformação homogênea Na Seção 2.2. foram vistas as matrizes básicas de rotação, ou seja, matrizes que representam rotações em torno de um dos três eixos cartesianos. Nota-se em(2.) que para as matrizes de transformação homogênea existem duas operações (rotação e translação) que podem ocorrer, cada uma, em um dos eixos cartesianos. Logo, agora o total de matrizes que representam operações básicas é de seis (três para rotação e três para translação). Assim, as matrizes básicas de transformação homogênea que representam cada uma das rotações são: Rot x,θ = c θ s θ s θ c θ Rot y,θ = c θ s θ s θ c θ c θ s θ Rot z,θ = s θ c θ E as matrizes básicas que representam cada uma das translações são: d Trans x,d = Trans y,d = d Trans z,d = d Nota-se então que, para Rot x,θ, Rot y,θ e Rot z,θ o vetor de translação é nulo, e para Trans x,d, Trans y,d e Trans z,d a matriz de rotação é igual à matriz identidade. 2.. Composição de transformações homogêneas Sejam três sistemas de coordenadas no espaço cartesiano tridimensional, O x y z, O x y z e O 2 x 2 y 2 z 2. As origens destes sistemas não são coincidentes e os mesmos não sao paralelos, como indica a Figura 2.4.

19 2.. TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS 25 Figura 2.4: Três sistemas de coordenadas tridimensionais. Seja d a distância de O para O, com relação ao sistema. Da mesma forma, tem-se que d 2 é a distância de O 2 para O, com relação ao sistema e d 2 é a distância de O 2 para O, com relação ao sistema. Um ponto p pode ser descrito com relação a qualquer um dos três sistemas e as seguintes transformações existem: p = d +R p (2.4) p = d 2 +R 2 p 2 (2.5) p = d 2 +R 2 p 2 (2.6) Substituindo (2.6) em (2.4), tem-se que: Comparando as equações (2.5) e (2.7), conclui-se que: p = d +R d 2 +R R 2 p 2 (2.7) d 2 = d +R d 2 R 2 = R R 2 Usando representações homogêneas para os vetores e matrizes, obtém-se: p = H 2 p 2, onde H 2 = [ R 2 d 2 ] O mesmo resultado pode ser obtido através da multiplicação H H 2. Assim, tem-se que a composição de várias transformações homogêneas pode ser obtida por: H n m = H m+ m H m+2 m+ Hi i H n+ n H n n, (2.8) onde n > m. A expressão (2.8) é semelhante à (2.2), obtida para composição de rotações para sistemas correntes. De fato, a expressão acima só pode ser utilizada considerando-se sistemas correntes, o que em sistemas robotizados é mais comum, visto que um robô é descrito através de vários sistemas de coordenadas móveis com relação a um sistema fixo, ou inercial. A composição de transformações homogêneas para sistemas fixos não será estudada.

20 26 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO DE CORPOS RÍGIDOS E TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS Exemplo 2.2 Determinar a matriz de transformação homogênea H que representa a rotação α em torno do eixo x, seguido de uma translação b sobre o eixo x corrente, depois sofrendo uma translação d sobre o eixo z corrente, e por último seguido de uma rotação θ em torno do eixo z corrente. H = Rot x,αtrans x,btrans z,drot z,θ b = c α s α s α c α c θ s θ b = c αs α c αc θ s α s αd s αs θ s αc θ c α c αd d c θ s θ s θ c θ Exemplo 2. Calcular a distância da origem do sistema 2 com relação ao sistema, conforme os dados abaixo. d = 2 8 d 2 = 6 R = R 2 = d 2 : d 2 pode ser calculado com d 2 = d + R d 2. Como os dados do exercício dão apenas d 2, é necessário calcular d 2 = ( R T 2) d 2 = R 2 d 2 = 6 = 6 Então, d 2 = d +R d 2 = = 4 8 8

21 2.4. EXERCÍCIOS Exercícios. Dois sistemas de coordenadas O x y z e O x y z são inicialmente coincidentes. O sofre uma rotação em torno do eixo y de θ, e depois uma rotação em torno do novo eixo z de φ. Determine a matriz de rotação R. 2. Dois sistemas de coordenadas O x y z e O x y z são inicialmente coincidentes. O sofre uma rotação em torno do eixo z de φ, e depois uma rotação em torno do eixo y de θ. Determine a matriz de rotação R.. Para a matriz de rotação do exercício 2, determine R para θ = e φ = Sejam três sistemas de coordenadas O x y z, O 2 x 2 y 2 z 2 e O x y z. Suponha que R 2 = / 2 / 2 / 2 / 2 R = (a) Calcule R 2; (b) Determine o eixo e o ângulo de rotação da matriz R 2 ; (c) Determine o eixo e o ângulo de rotação da matriz R. 5. No exercício 4, seja p = [ 2 ] T. Calcule: (a) p 2 ; (b) p. 6. Suponha que um sistema móvel O x y z sofre uma rotação em apenas um eixo, com relação a um sistema fixo O x y z. Calcule R e determine eixo e ângulo de rotação para: (a) p = [ ] T e p = [ ] T ; (b) p = [ 4 5] T e p = [ 5 4] T. 7. Seja R e,a a matriz que representa a rotação em torno do eixo e por um ângulo a. Mostre que R x, = R y, = R z, = 8. Mostre que R z,θ R z,φ = R z,θ+φ. 9. Mostre que (R z,θ ) = R z, θ.. Determine a matriz de rotação dada por R y,α R x,θ R y, α.. Escreva a matriz de rotação que representa a transformação por ângulos de Euler ZYZ R ZYZ = R z,φ R y,θ R z,ψ.

22 28 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO DE CORPOS RÍGIDOS E TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS 2. Dados: p = 4 H = 4 Sendo que H é uma matriz de transformação homogênea. Calcule p e interprete o resultado.. Dados: p = 7 d = 5 R = R z, Calcule p e desenhe o gráfico desta transformação, considerando os eixos z e z perpendiculares à folha. Compare o resultado numérico ao seu desenho. 4. Calcule p, conforme p e H abaixo: p = H = 6 / 2 / 2 8 / 2 / Determine a matriz de transformação homogênea H e o vetor p, conforme os dados abaixo abaixo: p = 5 R =,6,8,8,6 d = 6. Calcule a matriz de transformação homogênea que representa uma translação de unidades ao longo do eixo x, seguida de uma rotação de 9 graus em torno do eixo z corrente e seguida de uma translação de uma unidade ao longo do eixo y corrente. 7. No exercício 6, calcule p, sendo que p = [ 2 9] T. 8. Qual a matriz de transformação homogênea H que representa uma rotação de α graus em x, seguido de uma translação de b unidades ao longo de x, seguido de uma translação de d unidades ao longo de z, e por último uma rotação em z de θ graus? Assuma eixos correntes. 9. Encontre a matriz de transformação homogênea H descrita pelo desenho da figura abaixo.

23 2.4. EXERCÍCIOS Considere a figura abaixo: O é a origem do sistema fixo de coordenadas do manipulador (base), O G é a origem do sistema da garra, O M é a origem do sistema da mesa e O F é a origem do sistema da ferramenta ou peça a ser manipulada. Pela figura, as seguintes transformações homogêneas são conhecidas: H G, H M e H F M. Determine, através da composição de transformações homogêneas, a matriz que representa a transformação homogênea da ferramenta com relação ao centro da garra. 2. A figura abaixo mostra três sistemas de coordenadas que possuem transformações homogêneas entre eles. (a) Determine as matrizes de transformação homogênea H, H 2 e H 2 ; (b) Mostre que H 2 = H H A figura abaixo representa um robô manipulador com um sistema de coordenadas da base (O x y z ) e três sistemas de coordenadas móveis, localizados nas juntas (O x y z, O 2 x 2 y 2 z 2 e O x y z ). Em cada sistema de coordenadas, os eixos x, y e z estão representados por vetores de cor azul, vermelho e verde, respectivamente. Determine as matrizes de transformação homogênea H, H 2, H 2 e H.

24 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO DE CORPOS RÍGIDOS E TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS RESPOSTAS. Para sistemas correntes, temos que: R = R y,θ R z,φ = c θ c φ c θ s φ s θ s φ c φ s θ c φ s θ s φ c θ 2. Para sistemas fixos, temos que: R = R y,θ R z,φ = c θ c φ c θ s φ s θ s φ c φ s θ c φ s θ s φ c θ. R =,6,6,5,7,7,5,5,87 4. (a) R 2 = / 2 / 2 / 2 / 2 (b) Rotação em x; 6 ( π / rad); (c) Rotação em y; 9 ( π / 2 rad). 5. (a) p 2 =,6,2

25 2.4. EXERCÍCIOS (b) p = 2 6. (a) Rotação em z; 8 (π rad); (b) Rotação em x; 9 ( π / 2 rad). 7. R z,θ = c θ s θ s θ c θ Como cos() = e sin() =, temos que: Obviamente, o mesmo vale para R x, e R y,. R z, = 8. R z,θ R z,φ = c θ s θ s θ c θ c φ s φ s φ c φ = c θ c φ s θ s φ c θ s φ s θ s φ s θ c φ +c θ s φ s θ s φ +c θ c φ Utilizando as identidades trigonométricas abaixo, temos que: R z,θ R z,φ = cosθcosφ±sinθsinφ = cos(θ φ) cosθsinφ±sinθcosφ = sin(θ ±φ) c θ c φ s θ s φ (c θ s φ +s θ s φ ) s θ c φ +c θ s φ s θ s φ +c θ c φ = c θ+φ s θ+φ s θ+φ c θ+φ = R z,θ+φ 9. Como sin( θ) = sinθ, temos que R z, θ = c θ s ( θ) s ( θ) c θ Sabe-se também que (R z,θ ) = (R z,θ ) T. Logo, Logo, conclui-se que (R z,θ ) = R z, θ. (R z,θ ) = = c θ s θ s θ c θ c θ s θ s θ c θ

26 2 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO DE CORPOS RÍGIDOS E TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS. R y,α R x,θ R y, α = c 2 α +c θ s 2 α s α s θ c α c θ s α c α s α s α s θ c θ c α s θ c α c θ s α c α s α c α s θ c θ c 2 α +s 2 α. R ZYZ = R z,φ R y,θ R z,ψ = c ψ c φ c θ s ψ s φ c ψ s φ c φ c θ s ψ s φ s θ c φ s ψ +c ψ c θ s φ c ψ c φ c θ s ψ s φ s φ s θ c ψ s θ s ψ s θ c θ 2. p = 4 4 =. p = / 2 / 2 6,6 / 2 / 2 9, 7 = 7,6,77 4. p = 66 9, 49 27, H = [ ( ) R T ( ) R T d ] =,6,8,4,8,6,2 2, p =,6,2 6. H = Trans x, Rot z,9 Trans y, = 2 7. p = 2 = 9

27 2.4. EXERCÍCIOS 8. H = Rot x,α Trans x,b Trans z,d Rot z,θ b = c α s α s α c α d c θ s θ s θ c θ Dica: no Matlab, utilize variáveis simbólicas para realizar multiplicações deste tipo. Exemplo: syms ca sa ct st b d cria 6 variáveis simbólicas correspondentes a cosα, sinα, cosθ, sinθ, b e d. Após, basta escrever as matrizes e multiplicá-las. Atenção: a resposta deste exercício está incompleta. 9. H = 2. H F G = ( H G O) H M O H F M. 2. (a) d = d 2 = d 2 =, R = R x,9 R z, 9 =, R 2 = R x,9 R z,9 =, R 2 = R z, 9 R x,9 =, H =, H 2 =, H 2 = (b) H H 2 = = H2 22. d = 76, R = R z,9 R x,9 =, H = 76 Atenção: resposta incompleta.

28 4 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO DE CORPOS RÍGIDOS E TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS 2. Exercício 2.

29 Referências Bibliográficas [] Jorge Angeles, Fundamentals of robotic mechanical systems: theory, methods and algorithms, Springer, New York, NY, 27. [2] John J. Craig, Introduction to robotics: mechanics and control, Prentice Hall, Upper Saddle River, 25. [] M. P. Groover, Automação industrial e sistemas de manufatura, Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2. [4] Felipe Kühne, Web site da disciplina, 22, ~ fkuhne. [5] Bruno Siciliano Lorenzo Sciavicco, Modelling and control of robot manipulators, Springer, London, 25. [6] M. Vidyasagar Mark. W. Spong, Robot dynamics and control, John Wiley, New York, NY, 989. [7] N. S. Nise, Engenharia de sistemas de controle, LTC, Rio de Janeiro, 22. [8] João Maurício Rosário, Princípios de mecatrônica, Pearson Prentice Hall, São Paulo, 25. 5

30 6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS