ROBÓTICA INDUSTRIAL Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores de Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

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1 ROBÓTICA INDUSTRIAL Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores de Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 1

2 FORMAÇÃO DA 1ª EMPRESA DE ROBOTICA George Devol and Joseph F. Engelberger encontram-se numa festa e têm a seguinte conversa: GD: 50 percent of the people who work in factories are really putting and taking. JE: Why are machines made to produce only specific items? GD: How about approaching manufacturing the other way around, by designing machines that could put and take anything? A Unimation, Inc., a 1ª empresa de robótica do mundo, nasce desta discussão. Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 2

3 EVOLUÇÃO 1961: primeiro robot Unimate instalado na General Motors em New Jersey. 1963: o primeiro robot industrial controlado por computador, desenvolvido em Rancho Los Amigos Hospital, California. No final de 2003: Japão: Estados Unidos: Alemanha: Itália: França: Espanha: Reino Unido: Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 3

4 REPRESENTAÇÃO DE PONTOS E VECTORES Sistemas de coordenadas: o 0 x 0 y 0 e o 1 x 1 y 1 p 0 = 5 6 p 1 = v 1 0 = 5 6 v 1 1 = Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 4

5 REPRESENTAÇÃO DE ROTAÇÕES NO PLANO R 1 0 = cos(θ) x 1 0 y 1 0 = sin(θ) -sin(θ) cos(θ) = x 1.x 0 y 1.x 0 x 1.y 0 y 1.y 0 Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 5

6 GRUPO ORTOGONAL ESPECIAL Conjunto de matrizes nxn designado por SO(n) tal que para qualquer R SO(n), temos: R T = R -1 (ortogonal) As colunas/linhas de R são ortogonais entre si Cada coluna/linha de R é um vector unitário det(r) = 1 (referencial right-handed) As matrizes de rotação pertencem a este grupo. Calcular a inversa de uma matriz de rotação é calcular a matriz de rotação do mesmo ângulo com sinal contrário. Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 6

7 REPRESENTAÇÃO DE ROTAÇÕES NO ESPAÇO Para dois sistemas de coordenadas o 0 x 0 y 0 z 0 e o 1 x 1 y 1 z 1, teremos a matriz de rotação: R 1 0 = x 1.x 0 y 1.x 0 z 1.x 0 x 1.y 0 y 1.y 0 z 1.y 0 x 1.z 0 y 1.z 0 z 1.z 0 Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 7

8 ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO Z R = cos(θ) -sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ) =: R z,θ Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 8

9 TRANSFORMAÇÕES ROTACIONAIS (mudança de sistema de coordenadas) p 1 = u x 1 + v y 1 + w z 1 p 0 = p.x 0 p.y 0 = R 1 p.z 0 0 p 1 Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 9

10 TRANSFORMAÇÕES ROTACIONAIS (rotação de pontos/vectores) Sendo: R 1 0 =R z,π, p b 0 =R z,π p b 1 = R z,π p a 0 Genericamente, temos: p b = R p a Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 10

11 TRANSFORMAÇÕES SIMILARES Seja A uma matriz que representa uma transformação linear no referencial o 0 x 0 y 0 z 0 e B a mesma transformação linear no referencial o 1 x 1 y 1 z 1, então temos: B = ( R 1 0 ) -1 A R 1 0 onde R 1 0 é a matriz de relação entre o referencial o 1 x 1 y 1 z 1 e o referencial o 0 x 0 y 0 z 0 Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 11

12 COMPOSIÇÃO DE ROTAÇÕES EM TORNO DO REFERENCIAL ACTUAL Sejam os sistemas de coordenadas o 0 x 0 y 0 z 0, o 1 x 1 y 1 z 1, e o 2 x 2 y 2 z 2, Relacionados pelas matrizes de rotação R 1 0 e R 2 1 Então teremos: p 0 = R 1 0 R 2 1 p 2 ou seja: R 2 0 = R 1 0 R 2 1 Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 12

13 COMPOSIÇÃO DE ROTAÇÕES EM TORNO DE UM REFERENCIAL FIXO Neste caso: R 2 0 = R R 1 0 Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 13

14 REGRAS DE COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES ROTACIONAIS Dado um referencial fixo o 0 x 0 y 0 z 0, e um referencial actual o 1 x 1 y 1 z 1 0 com uma matriz de rotação entre ambos R 1. Obtem-se um terceiro referencial o 2 x 2 y 2 z 2, caracterizado pela matriz R 2 1 relativa ao referencial actual, através de: R 2 0 = R 1 0 R 2 1 Se a segunda rotação R é feita em relação ao referencial fixo o 0 x 0 y 0 z 0, então: R 2 0 = R R 1 0 Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 14

15 PARAMETRIZAÇÃO DE ROTAÇÕES Um corpo rigido só tem 3 graus de liberdade para rotações e uma matriz R SO(3) tem 9 elementos, logo não são todos independentes: 2 r ij i = 1, j {1, 2, 3} (colunas são vectores unitários) r 1i r 1j + r 2i r 2j + r 3i r 3j = 0, i j (colunas ortogonais) resultam 6 equações com 9 incógnitas. Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 15

16 ÂNGULOS DE EULER-ZYZ R ZYZ = R z,φ R y,θ R z,ψ = c Φ -s Φ s Φ c Φ 0 c θ 0 s θ s θ 0 c θ c Ψ -s Ψ 0 s Ψ c Ψ = c Φ c θ c Ψ - s Φ s Ψ -c Φ c θ s Ψ - s Φ c Ψ c Φ s θ s Φ c θ c Ψ + c Φ s Ψ -s Φ c θ s Ψ + c Φ c Ψ s Φ s θ -s θ c Ψ s θ s Ψ c θ Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 16

17 ÂNGULOS ROLL, PITCH, YAW R = R z,φ R y,θ R x,ψ = c Φ -s Φ s Φ c Φ 0 c θ 0 s θ s θ 0 c θ c Ψ -s Ψ 0 s Ψ c Ψ = c Φ c θ -s Φ c Ψ + c Φ s θ s Ψ s Φ s Ψ + c Φ s θ c Ψ s Φ c θ c Φ c Ψ + s Φ s θ s Ψ -c Φ s Ψ + s Φ s θ c Ψ -s θ c Φ s Ψ c θ c Ψ Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 17

18 REPRESENTAÇÃO EIXO/ÂNGULO Vector em torno do qual se faz a rotação θ: k = k x k y k z Matriz de rotação que coloca o eixo z em k: R = R z,α R y,β Teremos então: R z,θ = R -1 R k,θ R R k,θ = R R z,θ R -1 R k,θ = R z,α R y,β R z,θ R y,-β R z,-α Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 18

19 REPRESENTAÇÃO EIXO/ÂNGULO Vector em torno do qual se faz a rotação θ: k = k x k y k z T R k,θ = k x 2 vθ + c θ k x k y v θ - k z s θ k x k z v θ + k y s θ k x k y v θ + k z s θ 2 k y vθ + c θ k y k z v θ - k x s θ, sendo v θ = 1 - c θ k x k z v θ - k y s θ k y k z v θ + k x s θ 2 k z vθ + c θ Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 19

20 REPRESENTAÇÃO EIXO/ÂNGULO A representação não é única: R k,θ = R -k,-θ Para uma matriz de rotação genérica R, teremos: Θ = cos -1 ( r 11 + r 22 + r ) e k = 1 2sinΘ r 32 - r 23 r 13 - r 31 r 21 - r 12 Pode-se representar através de um único vector não unitário: r = Θ k x Θ k y Θ k z T Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 20

21 MOVIMENTAÇÃO DE CORPOS RÍGIDOS O movimento de um corpo rígido é composto por uma translação e uma rotação. Ou seja é um par (d,r) com d R 3 e R SO(n) Grupo especial Euclidiano SE(3) = R 3 X SO(3) Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 21

22 MOVIMENTAÇÃO DE CORPOS RÍGIDOS Temos: p 0 = R 0 1 p d 0.1 e p 1 = R 1 2 p d 1.2 Por outro lado: p 0 = R 0 2 p d 0.2 Manipulando as equações: p 0 = R 0 1 R 1 2 p 2 + R 0 1 d d 0.1 Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 22

23 TRANSFORMAÇÕES HOMOGÉNEAS Temos: p 0 = R 0 1 R 1 2 p 2 + R 0 1 d d 0.1 Note-se que: R d R d = R 1 0 R 2 1 R 0 1 d d Ou seja o movimento (d,r) de um corpo pode ser representado por uma matriz na forma: H = R d 0 1 Sendo R uma matriz ortogonal, teremos: H -1 = R T -R T d 0 1 Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 23

24 TRANSFORMAÇÕES HOMOGÉNEAS Sejam os vectores: P 0 = p 0 1 e P 1 = p 1 1 Então teremos: P 0 = H 1 0 P 1 Uma matriz relativa a uma sequência de movimentos goza das mesmas propriedades das matrizes de rotação. Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 24

25 MANIPULADORES ROBÓTICOS Representação simbólica dos segmentos e articulações Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 25

26 MANIPULADOR ANTROPOMÓRFICO (RRR) Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 26

27 MANIPULADOR ESFÉRICO (RRP) Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 27

28 MANIPULADOR CILINDRICO (RPP) Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 28

29 MANIPULADOR CARTESIANO (PPP) Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 29

30 CINEMÁTICA DIRECTA Permite o cálculo das coordenadas e orientação da extremidade do manipulador a partir do valor de cada articulação. Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 30

31 MANIPULADOR PLANAR DE 2 ARTICULAÇÕES Posição da extremidade: x = a 1 cos(θ 1 ) + a 2 cos(θ 1 +θ 2 ) y = a 1 sin(θ 1 ) + a 2 sin(θ 1 +θ 2 ) Orientação da extremidade: R = cos(θ 1+θ 2 ) -sin(θ 1 +θ 2 ) sin(θ 1 +θ 2 ) cos(θ 1 +θ 2 ) Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 31

32 CONVENÇÕES 1 n articulações (1,2,,n) e n+1 segmentos (0,1,,n) 2 a articulação i liga o segmento i-1 ao segmento i 3 quando se actua na articulação i o segmento i move-se 4 o segmento 0 (base) é fixo e não se move 5 cada articulação é caracterizada por um valor: q i = θ - rotativa d - prismática 6 o referencial o i x i y i z i está ligado ao segmento i Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 32

33 CINEMÁTICA DIRECTA Seja A i = A i (q i ) as matrizes correspondentes às transformações homogéneas que relacionam os referenciais o i x i y i z i com os referenciais o i-1 x i-1 y i-1 z i-1, então: T i j = A i+1 A i+2...a j -1 A j, para i < j relaciona o referencial o j x j y j z j com o referencial o i x i y i z i. Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 33

34 MÉTODO DH (Denavit-Hartenberg) Qualquer transformação homogénea pode ser representada por 6 números: 3 para a rotação e 3 para a translação. O método DH reduz o número mínimo para 4 através de uma escolha apropriada dos referenciais. No método DH cada transformação homogénea tem a forma: A i = Rot z,θ i Trans z,d i Trans x,a i Rot x,α i = cθi -sθi 0 0 sθi cθi d i a i cαi -sαi 0 0 sαi cαi Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 34

35 MÉTODO DH Resulta: A i = cθi -sθi cαi sθi sαi a i cθi sθi cθi cαi -cθi sαi a i sθi 0 sαi cαi d i a i = comprimento do segmento (distância entre o i e z i-1 ) α i = torção do segmento (ângulo entre z i e z i-1 ) d i = desvio do segmento (distância entre x i e o i-1 ) θ i = ângulo da articulação (ângulo entre x i e x i-1 ) Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 35

36 MÉTODO DH DH1: x 1 deve ser perpendicular a z 0 DH2: x 1 deve intersectar z 0 Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 36

37 DH ATRIBUIÇÃO DOS REFERENCIAIS 1 atribuir o eixo z i como sendo o eixo de actuação da articulação i+1. 2 escolher x 0 e y 0 pela regra da mão direita. 3 iterativamente escolher o i x i y i z i em função de o i-1 x i-1 y i-1 z i-1 conforme os casos seguintes: a) z i e z i-1 não estão no mesmo plano: então existe um linha perpendicular a ambos que liga os dois pela menor distância. Esta linha define o eixo x i e o ponto onde intersecta z i a origem o i. Escolhe-se y i pela regra da mão direita. b) z i e z i-1 são paralelos: escolhe-se a linha perpendicular a ambos que passe por o i-1. c) z i intersecta z i-1 : o eixo x i é escolhido de forma a ser perpendicular ao plano formado por z i e z i-1. O sentido positivo é arbitrário. A escolha para a origem o i é o ponto de intersecção entre z i e z i-1. Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 37

38 FERRAMENTA o n x n y n z n - referencial da ferramenta o n centro da ferramenta colocado no meio dos dedos sentidos: a = aproximação, s = deslizamento, n = normal normalmente z n coincide com z n-1 Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 38

39 MÉTODO DH: EXEMPLO A 2D Segmento i a i α i d i θ i 1 a * θ 1 2 a θ 2 * * - variáveis Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 39

40 EXEMPLO: MANIPULADOR CILINDRICO Segmento i a i α i d i θ i d 1 θ 1 * º * d * d 3 0 * - variáveis Robótica Industrial MIEEC FEUP (8MAR2011) Pag. 40

41 PUNHO ESFÉRICO Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 41

42 MÉTODO DH PARA O PUNHO ESFÉRICO Segmento i a i α i d i θ i º 0 * θ º 0 θ 5 * d 6 θ 6 * * - variáveis Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 42

43 CINEMÁTICA INVERSA cosθ 2 = x2 + y 2 - a a 2 2a 1 a 2 θ 1 = tan -1y x - tan-1 a 2 sinθ 2 a 1 + a 2 cosθ 2 Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 43

44 Outra solução: CINEMÁTICA INVERSA θ 2 * = -θ 2 θ 1 * = tan -1y x - tan-1 a 2 sinθ 2 * a 1 + a 2 cosθ 2 * Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 44

45 CINEMÁTICA INVERSA CASO GERAL Dada a transformação homogénea: H = R d 0 1 Encontrar-se a solução: T n 0 (q 1, q 2,,q n ) = H Em que: T n 0 (q 1, q 2,,q n ) = A 1 (q 1 )A 2 (q 2 )... A n (q n ) Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 45

46 CINEMÁTICA INVERSA CASO GERAL Da expressão: T n 0 (q 1, q 2,,q n ) = H Resultam12 equaçóes com n incógnitas: T ij (q 1, q 2,,q n ) = h ij i = 1,2,3 j = 1,2,3,4 Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 46

47 CINEMÁTICA INVERSA SOLUÇÕES A cinemática directa tem sempre uma solução única enquanto a cinemática inversa pode ter ou não solução e não ser única. São preferíveis formas fechadas do tipo: q k = f k (h 12, h 12,...,h 33 ), k = 1, 2,..., n pois permitem ter-se uma solução rápida e no caso de múltiplas soluções permitem a escolha de uma delas. A existência de solução pode depender de considerações matemáticas e de construção (as articulações rotativas nem sempre rodam 360º) Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 47

48 CINEMÁTICA INVERSA DESACOPLAMENTO O problema geral é muito difícil mas para manipuladores com 6 eixos. Com pelo menos 3 eixos intersectando-se num ponto (o punho), é possível desacoplar-se o problema em dois mais simples: - cinemática inversa da posição do ponto central do punho. o 6 0 (q 1, q 2, q 3 ) = o - cinemática inversa da orientação do punho. R 6 3 (q 4, q 5, q 6 ) = (R 3 0 ) T R, sendo R= R6 0 Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 48

49 CINEMÁTICA INVERSA DESACOPLAMENTO - Sendo o c o ponto de intersecção das 3 últimas articulações (z 3, z 4 e z 5 ), as origens o 4 e o 5 estarão sempre no ponto central do punho (o c ). - Os movimentos dos 3 últimos segmentos não afectam a posição o c. Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 49

50 CINEMÁTICA INVERSA DESACOPLAMENTO Correspondendo a última coluna de R às coordenadas de z 6 no referencial de base, teremos: ou seja: o = o c 0 + d 6 R x c y c z c = o x - d 6 r 13 o y - d 6 r 23 o z - d 6 r 33 que depende apenas das 3 primeiras 0 articulações e determina R 3, sendo: R 6 3 = (R3 0 ) T R Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 50

51 CINEMÁTICA INVERSA Aprox. Geométrica Para se encontrar a variável q i projecta-se o manipulador no plano formado por x i-1 - y i-1. Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 51

52 CINEMÁTICA INVERSA Aprox. Geométrica Projecção no plano formado por x 0 -y 0. Soluções: θ 1 = Atan2(x c, y c ) ou θ 1 = π + Atan2(x c, y c ) Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 52

53 CINEMÁTICA INVERSA Aprox. Geométrica Problema quando o centro do punho está no eixo z 0 Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 53

54 CINEMÁTICA INVERSA Aprox. Geométrica Configuração com desvio no ombro (configuração braço esquerdo) θ 1 = Φ α, Φ = Atan2(x c, y c ), α = Atan2(r,d) = Atan2( x c 2 + yc 2 - d 2,d) Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 54

55 CINEMÁTICA INVERSA Aprox. Geométrica Configuração com desvio no ombro (configuração braço direito) θ 1 = α + β α = Atan2(x c, y c ), β = γ + π, sendo γ = Atan2(r,d) = Atan2( x c 2 + yc 2 - d 2,d) Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 55

56 CINEMÁTICA INVERSA Aprox. Geométrica Cálculo de θ 3 cos θ 3 = r2 + s 2 - a a3 2 2a 2 a 3,sendo r 2 = x c 2 + yc 2 - d 2 e s = z c d 1 Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 56

57 CINEMÁTICA INVERSA Aprox. Geométrica Cálculo de θ 2 θ 2 = Atan2(r,s) - Atan2(a 2 +a 3 cosθ 3, a 3 sinθ 3 ) Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 57

58 CINEMÁTICA INVERSA Aprox. Geométrica Resultam 4 soluções possíveis Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 58

59 CINEMÁTICA INVERSA (orientação) T 3 6 = A 4 A 5 A 6 = R 6 3 o = c 4 c 5 c 6 - s 4 s 6 -c 4 c 5 s 6 - s 4 c 6 c 4 s 5 c 4 s 5 d 6 s 4 c 5 c 6 + c 4 s 6 -s 4 c 5 s 6 + c 4 c 6 s 4 s 5 s 4 s 5 d 6 -s 5 c 6 s 5 s 6 c 5 c 5 d Euler: R ZYZ = R z,φ R y,θ R z,ψ = c Φ c θ c Ψ - s Φ s Ψ -c Φ c θ s Ψ - s Φ c Ψ c Φ s θ s Φ c θ c Ψ + c Φ s Ψ -s Φ c θ s Ψ + c Φ c Ψ s Φ s θ -s θ c Ψ s θ s Ψ c θ Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 59

60 CASO 1: r 13 e r 23 não são ambos nulos (s θ 0) R = c Φ c θ c Ψ - s Φ s Ψ -c Φ c θ s Ψ - s Φ c Ψ c Φ s θ s Φ c θ c Ψ + c Φ s Ψ -s Φ c θ s Ψ + c Φ c Ψ s Φ s θ -s θ c Ψ s θ s Ψ c θ 2 c θ = r 33 e s θ = 1 - r 33 2 c θ = r 33 e s θ = r θ = Atan2(r 33, 1 - r 33 ) θ = Atan2(r 33,- 1 - r 33 ) Φ = Atan2(r 13, r 23 ) Φ = Atan2(-r 13, -r 23 ) Ψ = Atan2(-r 31, r 32 ) Ψ = Atan2(r 31, -r 32 ) Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 60

61 CASO 2: r 13 e r 23 são ambos nulos (s θ =0) Com c θ = 1, resulta: R= c Φ c Ψ - s Φ s Ψ -c Φ s Ψ - s Φ c Ψ 0 s Φ c Ψ + c Φ s Ψ -s Φ s Ψ + c Φ c Ψ = c Φ+Ψ -s Φ+Ψ 0 s Φ+Ψ c Φ+Ψ ou seja, Φ + Ψ = Atan2(r 11, r 21 ) Com c θ = -1, resulta: R= -c Φ-Ψ -s Φ-Ψ 0 s Φ-Ψ c Φ-Ψ ou seja, Φ - Ψ = Atan2(-r 11, r 21 ) Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 61

62 CINEMÁTICA - VELOCIDADE Matematicamente a cinemática directa define uma função entre o espaço das posições e orientações no sistema de eixos cartesianos e o espaço das posições das articulações do Robô. As relações entre as velocidades são determinadas pelo Jacobiano desta função. Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 62

63 VELOCIDADE ANGULAR EIXO FIXO Quando um corpo rígido se move num movimento de rotação em torno de um eixo fixo, cada ponto desse corpo move-se em círculo. Os centros desses círculos localizam-se no eixo de rotação. Seja θ o ângulo medido na perpendicular ao eixo de rotação que passa num determinado ponto. Se k for um vector na direcção do eixo de rotação então a velocidade angular é dada por: w = θ. K Dada a velocidade angular, a velocidade linear de uma dado ponto é dada por: v = w x r onde r é um vector da origem (no eixo de rotação) para o ponto. Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 63

64 MATRIZES ANTI-SIMÉTRICAS Uma matriz nxn é anti-simétrica se: S + S T = 0 este grupo de matrizes é denominado por so(3). Pela definição concluímos que são matrizes do tipo: S = 0 -s 3 s 2 s 3 0 -s 1 -s 2 s 1 0 Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 64

65 MATRIZES ANTI-SIMÉTRICAS - PROPRIEDADES Dado um vector a = a x a y, define-se S(a) = a z 0 -a z a y a z 0 -a x -a y a x 0 Propriedades: 1) S(αa +βb)= αs(a) + βs(b) 2) S(a)p = a x p, para a,p R 3 3) RS(a)R T = S(Ra), para R SO(3) e a R 3 4) x T S x = 0, para S so(n) e x R n Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 65

66 DERIVADA DE UMA MATRIZ DE ROTAÇÃO Seja R(θ) SO(3), teremos então: Derivando-se ambos os termos: R(θ)R T (θ)= I d dθ R(θ)RT (θ) + R(θ) d dθ RT (θ) = 0 Definindo-se a matriz anti-simétrica, S = d dθ R(θ)RT (θ), resulta: d dθ R(θ)= SR(θ) ou seja a derivada de uma matriz de rotação é o produto de uma matriz anti-simétrica por essa matriz de rotação. Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 66

67 DERIVADA DE UMA MATRIZ DE ROTAÇÃO Seja R(θ) = R x,θ = c θ -s θ 0 s θ c θ então teremos: S = d dθ R(θ)RT (θ)= = S(i) em que i = [1 0 0] T ou seja d dθ R x,θ=s(i)r x,θ (também d dθ R y,θ=s(j)r y,θ e d dθ R z,θ=s(k)r z,θ ) no caso geral: d dθ R a,θ=s(a)r a,θ Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 67

68 VELOCIDADE ANGULAR CASO GENÉRICO Considere-se uma velocidade angular w(t) em torno de um eixo qualquer, estando este eixo em movimento. A matriz de rotação correspondente será variável no tempo, seja R(t) SO(3). Teremos então: Ṙ (t) = S(w(t))R(t) onde w(t) é um vector que representa a velocidade angular em relação ao referencial fixo no instante de tempo t. Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 68

69 VELOCIDADE ANGULAR VERIFICAÇÃO Seja p 1 um ponto fixo a um referencial que se está a mover, teremos: p 0 = R 1 0 p 1 Para se determinar a velocidade do ponto p derivamos em ordem ao tempo, obtendo-se: p. 0 = Ṙ 0 1 p 1 = S(w(t))R 0 1 p 1 = w(t)xr 0 1 p 1 = w(t)xp 0 Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 69

70 ADIÇÃO DE VELOCIDADES ANGULARES Sejam o 0 x 0 y 0 z 0, o 1 x 1 y 1 z 1 e o 2 x 2 y 2 z 2 três referenciais tais que: o 0 x 0 y 0 z 0 esteja fixo todos têm a mesma origem R 1 0 (t) e R 2 1 (t) representem as orientações relativas entre os e seja w i k referenciais o vector da velocidade angular correspondente a R i,j j (t) nas coordenadas do referencial o k x k y k z k. Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 70

71 ADIÇÃO DE VELOCIDADES ANGULARES Seja: Derivando: R 2 0 (t) = R 1 0 (t) R 2 1 (t) Ṙ 2 0 = Ṙ 1 0 R R 1 0 Ṙ 2 1 Ṙ 2 0 = S(w 0 0 Ṙ 2 0 = S(w 0 0 Ṙ 2 0 = S(w 0 0 S(w 0 0 w 0 0 )R 0,1 1R R S(w )R 1 1,2 2 )R 0,1 2 + R S(w )(R 0 1,2 1 ) T R R 2 )R 0,1 2 + S(R w )R 0 1,2 2 )R 0 0,2 2 = [S(w ) + S(R 0 1 0,1 1w )]R 0 1,2 2 = w 0 + R 0 1,2 0,1 1w 1,2 Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 71

72 ADIÇÃO DE VELOCIDADES ANGULARES Generalizando-se para n referenciais: R 0 n (t) = R 0 1 (t) R 1 2 (t)... R n-1 n (t) teremos: w 0 0 = w 0 + R 0 1,n 0,1 1w R 0 n-1 1,2 n-1w n-1,n w 0 0 = w 0 + w w 0,n 0,1 1,2 n-1,n Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 72

73 VELOCIDADE DE UM PONTO Suponhamos que o movimento do referencial o 1 x 1 y 1 z 1 em relação ao o 0 x 0 y 0 z 0 é dado pela transformação homogénea: H(t) = Para um ponto genérico p(t): R 1 0 (t) o 1 (t) 0 1 p 0 (t) = R 1 0 (t)p 1 + o 1 (t) Derivando a posição do ponto, teremos: p. 0 (t) = Ṙ 0. 1 (t)p 1 + o 1 (t)= S(w(t))R 0 1 (t)p 1 + o 1 (t)= w(t)xr(t)+ v(t). Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 73

74 JACOBIANO DO MANIPULADOR Considere-se um manipulador com n articulações cujas variáveis são: q(t) = [q 1 (t) q 2 (t)... q n (t)] T e a transformação homogénea da base para a extremidade: R 0 n (q) o 0 n (q) T n 0 (q) = 0 1 Seja a velocidade angular da extremidade w n 0 dada por: w n 0 = J w q. e a velocidade linear dada por: v n 0 = ȯ n 0 = J v q. Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 74

75 JACOBIANO DO MANIPULADOR O Jacobiano do manipulador é por definição: J = J v J w sendo a velocidade do corpo definida como: ξ = v 0 n w n 0 ou seja: ξ(t) = J q. (t) Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 75

76 JACOBIANO VELOCIDADE ANGULAR Se a articulação i é rotativa o eixo de rotação é dado por z i-1, logo: i-1 w i-1 = q. z i-1,i i i-1 = q. k, i em que k = Se a articulação i é prismática não existe rotação entre o referencial i e o referencial i-1, logo: i-1 w i-1,i = 0 Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 76

77 JACOBIANO VELOCIDADE ANGULAR Sabendo-se que: w 0 0 = w 0 + R 0 1,n 0,1 1 w R 0 n-1 1,2 n-1 w n-1,n resulta: w 0 0 = λ q. k + λ q.,n R 0 1 k + + λ n q. n R 0 n-1 k = λ 1 q. z λ 2 q. z λ n q. z 0 n n = J w q. com λ i = 1 se a articulação for rotativa e λ i = 0 se for prismática. Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 77

78 JACOBIANO VELOCIDADE LINEAR A velocidade linear da extremidade do manipulador é: Derivando, resulta: ȯ n 0 Ou seja: ȯ 0 n = o 0 n q. 1 + o 0 n q o 0 n q. n q 1 q 2 q n J v = [ o 0 n q 1 0 o n q 2... o n 0 q n ] Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 78

79 JACOBIANO VELOCIDADE LINEAR Para articulações prismáticas, temos:. ȯ 0 n = d 0 i zi -1 = d i. 0 Ri Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 79

80 JACOBIANO VELOCIDADE LINEAR Para articulações rotativas, temos:. ȯ 0 n = w(t)xr = θ 0 i zi -1 x(o 0 n - o 0 i-1 ) Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 80

81 JACOBIANO RESUMO O Jacobiano é dado por: v n 0 = 0 w n J v J w q. (t) onde: J v = [J v1 J v2... J vn ], J vi = z 0 i -1 x (o 0 n - o 0 i-1 ) - articulação rotativa 0 z i -1 - articulação prismática J w = [J w1 J w2... J wn ], J wi = 0 z i -1 - articulação rotativa 0 - articulação prismática Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 81

82 SINGULARIDADES Dada a relação: ξ(t) = J q. (t) Quando as colunas de J deixam de ser todas independentes entre si, temos uma singularidade. Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 82

83 SINGULARIDADES Desacoplamento das singularidades com punho esférico. J= [J P J O ] Sendo as últimas 3 articulações esféricas, teremos: J O = z 3 x(o 6 -o 3 ) z 4 x(o 6 -o 4 ) z 5 x(o 6 -o 5 ) z 3 z 4 z 5 Se escolhermos o 6 =o 5 =o 4 =o 3, resulta: J O = z 3 z 4 z 5 Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 83

84 SINGULARIDADES O Jacobiano fica então com a forma: J= J 11 0 J 21 J 22 Sendo o seu determinante dado por: det(j) = det(j 11 ) det(j 22 ) Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 84

85 No caso do punho esférico: SINGULARIDADES det(j 22 ) = det( z 3 z 4 z 5 ) O determinante será nulo se z 3 for colinear com z 5: Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 85

86 No seguinte braço: SINGULARIDADES temos J 11 = -a 2 s 1 c 2 -a 2 s 1 c 23 -a 2 s 2 c 1 -a 2 s 23 c 1 -a 3 c 1 s 23 a 2 c 1 c 2+ a 3 c 1 c 23 -a 2 s 1 s 2 -a 3 s 1 s 23 -a 3 s 1 s 23 0 a 2 c 2 +a 3 c 23 a 3 c 23 e det(j 11 ) = a 2 a 3 s 3 (a 2 c 2 +a 3 c 23 ) Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 86

87 SINGULARIDADES O determinante de J 11 será nulo para s 3 =0: Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 87

88 SINGULARIDADES O determinante de J 11 será também nulo para a 2 c 2 +a 3 c 23 = 0 Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 88

89 FORÇAS E BINÁRIOS Suponhamos que as forças e binários na extremidade do manipulador são: F = [ F x F Y F Z n x n Y n Z ] T A relação estática com os binários (forças) nas articulações será dada por: T = J T (q) F Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 89

90 FORÇAS E BINÁRIOS Da relação ξ(t) = J(q) q. (t), podemos para deslocamentos infinitesimais dizer que: δx = J(q) δq o trabalho realizado será dado por: ou seja, δw = F T δx T T δq δw = (F T J(q) T T )δq da condição de equilíbrio, retira-se: T = J T (q) F Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 90

91 VELOCIDADE INVERSA Pretende-se conhecer o valor da velocidade das articulações sabendo-se a velocidade da extremidade do manipulador utilizando-se a relação: ξ(t) = J q. (t) Se o manipulador tiver 6 articulações e J(q) for invertível, então: q. (t) = J -1 ξ(t) Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 91

92 VELOCIDADE INVERSA Se o manipulador tiver menos de 6 articulações então só existe solução se: rank J = rank [J ξ ] ou seja ξ pertencer ao espaço gerado pelas colunas de J. Pode-se utilizar um método de eliminação Gaussiana para se encontrar a solução. Se o manipulador tiver mais de 6 articulações então temos que utilizar a pseudo-inversa de J (existem diversas soluções). Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 92

93 CAPACIDADE DE MANIPULAÇÃO A medida da capacidade de manipulação é dada por: μ = det(j) e está relacionada com um volume de um elipsóide. O manipulador deve trabalhar preferencialmente em zonas com elevada capacidade de manipulação. Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 93

94 CAPACIDADE DE MANIPULAÇÃO Exemplo: Manipulador planar de dois segmentos com articulações rotativas J = -a 1 s 1 -a 2 s 12 -a 2 s 12 a 1 c 1 +a 2 c 12 a 2 c 12 μ = det(j) = a 1 a 2 s 2 Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 94

95 Robot Cartesiano (PPP): VOLUME DE TRABALHO Alcançam qualquer ponto de um cubo de lado L: V =L * L * L Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 95

96 Robot Cilíndrico (RPP): VOLUME DE TRABALHO Alcançam qualquer ponto num cilindro de altura L e raio 2L, excepto os pontos do cilindro interno de raio L e altura L: V =9,42 * L * L * L Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 96

97 Robot Esférico (RRP): VOLUME DE TRABALHO Alcançam qualquer ponto de uma esfera de raio 2L, excepto a esfera interna de raio L: V = 29,32 * L * L * L Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 97

98 VOLUME DE TRABALHO Robot de Articulação Horizontal - SCARA (RRP): Alcançam qualquer ponto de um cilindro de raio 2L e altura L. V = 12,56 * L * L * L Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 98

99 Robot Antropomórfico (RRR): VOLUME DE TRABALHO Alcançam qualquer ponto de uma esfera de raio 2L: V = 33,51 * L * L * L Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 99

100 ACCIONAMENTO ELÉCTRICO Vantagens: 1. Eficiência e controlo preciso. 2. Estrutura simples e fácil manutenção. 3. Não requer uma fonte de energia cara. 4. Custo relativamente baixo. Desvantagens: 1. Não manter um binário constante nas mudanças de velocidade de rotação. 2. Danificar-se com cargas pesadas. 3. Baixa razão de potência de saída do motor em relação ao seu peso, necessitando de um motores grandes. Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 100

101 ACCIONAMENTO HIDRÁULICO Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 101

102 ACCIONAMENTO HIDRÁULICO Vantagens: 1. Alto binário e constante sob uma grande faixa de variação de velocidade. 2. Precisão de operação (entre o eléctrico e o pneumático). 3. Pode manter um binário alto para um longo período de tempo, quando parado. Desvantagens são: 1. Requer uma fonte de energia cara. 2. Requer uma manutenção cara e intensa. 3. Requer válvulas de precisão caras. 4. Está sujeito a fugas de óleo Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 102

103 ACCIONAMENTO PNEUMÁTICO Vantagens: 1. Podem funcionar a velocidades altas. 2. Custo relativamente baixo. 3. Fácil manutenção. 4. Podem manter um binário constante numa grande faixa de velocidades. 5. Quando parado, pode manter o binário alto por longos períodos de tempo. Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 103

104 ACCIONAMENTO PNEUMÁTICO Desvantagens: 1. Não possui alta precisão. 2. Está sujeito a vibrações quando o motor ou cilindro pneumático é parado. É muito utilizado para abrir e fechar as garras. Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 104

105 ACCIONAMENTOS Eléctrico é melhor em aplicações envolvendo: Alta precisão de posicionamento; Cargas de tamanho pequeno e médio; Ambientes difíceis para sistemas de compressores de óleo e ar; Hidráulico em situações envolvendo: Cargas pesadas. Média / alta precisão no posicionamento e na velocidade; Pneumático é preferível em aplicações envolvendo: Baixa precisão; Necessidade de baixo custo; Altas velocidades; Transferência de cargas pequenas ou médias. Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 105

106 SENSORES Sensor de força para colocação no punho Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 106

107 SENSORES Sensor de força para colocação no punho Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 107

108 SENSORES SENSOR TACTIL Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 108

109 SENSORES Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 109

110 SENSORES Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 110

111 SENSORES VISÃO ARTIFICIAL Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 111

112 APLICAÇÕES Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 112

113 ESPECIFICAÇÕES CARGA ADMISSIVEL Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 113

114 ESPECIFICAÇÕES CARGA ADMISSIVEL Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 114

115 ESPECIFICAÇÕES DESLOCAMENTO MÁXIMO NAS ARTICULAÇÕES (ABB IRB140 M2000) Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 115

116 ESPECIFICAÇÕES VOLUME DE TRABALHO Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 116

117 ESPECIFICAÇÕES Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 117

118 ESPECIFICAÇÕES VELOCIDADE MÁXIMA Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 118

119 ESPECIFICAÇÕES OUTROS FACTORES A TER EM CONTA: - Entradas e saídas disponíveis - Interface com o utilizador na própria consola. - Conexão normalizada com outros equipamentos. - Manutenção e assistência técnica. - Eixos externos. - Alimentação (trifásica/monofásica). - Linguagem de programação. Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 119

120 PRINCIPIOS DE CONTROLO DOS ROBÔS - Controlo de posição - Controlo de força Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 120

121 TIPOS DE TRAJECTÓRIAS - Interpolação no espaço das juntas - Interpolação no espaço cartesiano: movimento linear e circular. Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 121

122 OUTRAS VERTENTES DA ROBÓTICA INDUSTRIAL * Veículos Industriais Auto-Guiados. * Células robotizadas * Armazéns automáticos. Robótica Industrial MIEEC - FEUP Pag. 122