Aula 3 Introdução à Robótica Móvel Cinemática. Laboratório de Robótica Móvel LabRoM. Prof. Dr. Marcelo Becker - SEM EESC USP

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1 Aula 3 Introdução à Robótica Móvel Cinemática Prof. Assoc. Marcelo Becker SEM - EESC - USP Laboratório de Robótica Móvel LabRoM

2 Sumário da Aula Introdução Cinemática Manobrabilidade e Workspace Controle Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada EESC-USP M. Becker

3 Introdução Modelagem Cinemática Descrição do comportamento mecânico do robô para poder melhor projetá-lo e controlá-lo. Similar à cinemática de Manipuladores Robóticos. É necessário verificar as similaridades e diferenças entre a modelagem de manipuladores robóticos e robôs móveis. EESC-USP M. Becker

4 Introdução Modelagem Cinemática Espaço de trabalho Para manipuladores, define as posições que podem ser atingidas por seus atuadores em relação à sua posição fixa no ambiente. Para robôs móveis, define as possíveis atitudes que ele pode atingis em seu ambiente. EESC-USP M. Becker

5 Introdução Modelagem Cinemática Controlabilidade Para manipuladores, define o modo pelo qual o acionamento dos motores pode ser empregado para mudar de atitude no espaço de trabalho. Para robôs móveis, define os possíveis caminhos no espaço de trabalho. Deve considerar aspectos de Dinâmica, p.e.: um CG alto restringe o raio de curvatura admissível para se evitar capotamento. EESC-USP M. Becker

6 Introdução Modelagem Cinemática Estimativa de Posição Manipuladores Fixos possuem uma posição no ambiente definida. Desse modo, dados dos sensores fornecem boas estimativas da posição. Robôs móveis movem-se em seu ambiente, logo a posição não pode ser estimada apenas observando os dados dos sensores. São necessários algoritmos dedicados para essa (não trivial) tarefa. EESC-USP M. Becker

7 Introdução Modelagem Cinemática Passos necessários para a Modelagem Cinemática: 1. Adotar uma notação com um sistema de referências global {I} e outro acoplado no Robô Móvel {P}; 2. Empregar um modelo simples de cinemática de locomoção: Locomoção do robô é uma função de sua geometria e dos comportamentos de suas rodas; 3. Limitações cinemáticas do robô são expressas em função das limitações individuais das rodas. EESC-USP M. Becker

8 Introdução Modelagem Cinemática Observa-se então que: O Robô pode mover-se no ambiente: Não há como medir a exata posição dele As posições tem de ser estimadas ao longo do tempo Sujeito a erros (grande desafio...) Robô com rodas entender como o comportamento das rodas influencia o comportamento do robô... EESC-USP M. Becker

9 Introdução Modelagem Cinemática Tem-se: Robô modelado como corpo rígido DoFs internos são desprezados (rodas, juntas, etc.)! Adota-se um ponto P no chassis onde o sistema de coordenadas solidário ao robô é posicionado O robô opera em um plano horizontal definido por um sistema de coordenadas globais {I} T Postura do robô: ξ = [ x y θ ] y r y {I} P x v(t) x r θ S(t) EESC-USP M. Becker

10 Introdução Modelagem Cinemática Matriz de Rotação: Mapeia as transformações ao longo das coordenadas globais {I} e locais do robô {P} Assim: ξ = R( r θ ). ξ y r y {I} cθ sθ R( θ ) = sθ cθ 0 0 P x v(t) x r θ S(t) EESC-USP M. Becker

11 Introdução Modelagem Cinemática Estabelecer a velocidade do robô!ξ = [!x,!y, θ]! T como uma função da velocidade das rodas!ϕ i do ângulo de esterçamento β i, da velocidade de esterçamento!β e dos parâmetros geométricos i do robô y r y {I} x v(t) x r θ S(t) EESC-USP M. Becker

12 Introdução Modelagem Cinemática Cinemática Direta!ξ =!x!y!θ = f (!ϕ 1,...,!ϕ n,β 1,...,β m,! β 1,...,! β m ) Cinemática Inversa: x y = θ f ( ϕ,..., ϕn, β1,..., β 1 m ) y r y {I}? x v(t) x r θ S(t) EESC-USP M. Becker

13 Introdução Cinemática Direta: Dadas as posições dos atuadores, computa-se a posição e orientação do robô no espaço de trabalho Cinemática Inversa: Dadas as posições e orientações do robô no espaço de trabalho, qual deve ser a movimentação dos atuadores para atingila? EESC-USP M. Becker

14 Introdução Modelagem Cinemática Representação da posição do robô: Sistema Inercial {x, y} Sistema Solidário ao Robô {x r, y r } Posição do robô: ξ = [ x y θ ]!ξ r = R(θ)! ξ = R(θ)!x!y!θ Assim, nos 2 sistemas de coordenadas: cθ sθ R( θ ) = sθ cθ 0 0 EESC-USP M. Becker T T y r y {I} P x v(t) x r θ S(t)

15 Introdução Modelagem Cinemática Exemplo: Robô alinhado com o eixo y x r cθ sθ R( θ ) = sθ cθ 0 0!ξ r = R( π 2 )! ξ = !x!y!θ = y r!y!x!θ y {I} P x θ EESC-USP M. Becker

16 Introdução Modelagem Cinemática Exemplo: Robô alinhado com o eixo y y r y {I} y y r {I} P x P x x r x r θ θ!ξ =!ξ = ! ξ r = 5 0 0! ξ r = EESC-USP M. Becker

17 Sumário da Aula Introdução Cinemática Manobrabilidade e Workspace Controle Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada EESC-USP M. Becker

18 Cinemática Modelagem Cinemática Seja o robô: y r y P v(t) x r θ S(t) Como obter:!ξ =!x!y!θ {I} x = f l,r,θ,ϕ 1,ϕ 2 ( )? EESC-USP M. Becker

19 Cinemática Modelagem Cinemática Modelagem da roda: condições de contorno... Movimento em um plano horizontal Contato pontual Rodas não se deformam Rolamento Puro v = 0 no ponto de contato Não há escorregamento Ângulo de esterçamento é ortogonal à superfície do piso Corpos rígidos v(t) y r y {I} x v(t)!ϕr x r θ EESC-USP M. Becker

20 Cinemática Modelagem Cinemática Assim: Determina-se a contribuição de cada roda no sistema de referência local {P}. Obtém-se: ξ r Determina-se a locomoção do robô no sistema de referências global {I} a partir do sistema loca {P}:!ξ = R(θ) 1! ξr Obter o modelo cinemático direto da velocidade do robô:!ξ =!x!y!θ = f l,r,θ,ϕ1,ϕ 2 T ( ) EESC-USP M. Becker

21 Cinemática Exemplo: y r y {I} Dadas as condições de contorno abaixo, determine a velocidade de deslocamento do robô com acionamento diferencial no sistema inercial. P x v(t) x r θ S(t) Posição: x = 2 m y = 3 m θ = π/2 P 2.l r Velocidade: x r. ϕ 1!ϕ 1 = 4 rad / s!ϕ 2 = 2rad / s EESC-USP M. Becker

22 Cinemática Solução do Exemplo 1/5 Movimento no eixo x r. ϕ 2 =0. ϕ 2 P 2.l P 2.l r r x r. ϕ 1 x r. ϕ 1!x r1 = r!ϕ 1 2!x r2 = r!ϕ r!ϕ 2 2!x r = r!ϕ r!ϕ 2 2 EESC-USP M. Becker

23 Cinemática Solução do Exemplo 2/5 Movimento no eixo y r. ϕ 2 P 2.l r x r. ϕ 1 A rotação das rodas não produz movimento no sentido do eixo y r :!y r = 0 EESC-USP M. Becker

24 Cinemática Solução do Exemplo 3/5 Movimento no eixo θ r. ϕ 2 =0. ϕ 2 P 2.l P 2.l r r x r. ϕ 1 x r. ϕ 1 =0 ω 1 = r!ϕ 1 2l ω 2 = r!ϕ 2 2l!θ r = r!ϕ 1 2l + r!ϕ 2 2l EESC-USP M. Becker

25 Cinemática Solução do Exemplo 4/5 Assim: Velocidade no sistema do robô: Inversa da Matriz de Rotação:!ξ r = R( θ ) 1!x r!y r!θ r = = cθ sθ 0 r!ϕ r!ϕ r!ϕ 1 2l r!ϕ 2 2l sθ cθ EESC-USP M. Becker

26 Cinemática Solução do Exemplo 5/5 Assim: Velocidade no sistema global:!ξ = R(θ) 1 ξr! = cθ sθ 0 sθ cθ Numericamente:!x 0 1 0!ξ =!y = 1 0 0!θ r 0 r l!x r!y r!θ r = cθ sθ 0 sθ cθ !x!y!θ = 0 3r r l r!ϕ r!ϕ r!ϕ 1 2l r!ϕ 2 2l EESC-USP M. Becker

27 Cinemática Quais são as restrições existentes? Cada tipo de roda impõe diferentes restrições ao movimento; Modelando as restrições, pode-se combiná-las de modo a compreender o movimento do robô como um todo. Hipóteses: O plano da roda permanece sempre vertical e há apenas 1 ponto de contato com o solo; Não há escorregamento lateral no ponto de contato. EESC-USP M. Becker

28 Cinemática Roda Padrão Fixa y r Movimenta-se sobre seu eixo horizontal. Não tem eixo vertical de rotação. Existe rolamento puro no ponto de contato. α Na direção do plano da roda: α x r k x1 k y1 k θ1 k x1 k y1 k θ1 V robô = V roda! ξ r = r!ϕ EESC-USP M. Becker

29 Cinemática Roda Padrão Fixa k x1 k y1 k θ1! ξ r = r!ϕ! ξ r = R(θ)! ξ y r α s(α + β) c(α + β) lcβ α x r R(θ)! ξ r!ϕ = 0 Na direção do plano da roda: Rolagem pura!! EESC-USP M. Becker

30 Cinemática Roda Padrão Fixa k x1 k y1 k θ1! ξ r = 0 Na direção ortogonal ao plano da roda: y r c(α + β) s(α + β) lsβ α α x r R(θ)! ξ = 0 Na direção ortogonal ao plano da roda. EESC-USP M. Becker

31 Cinemática Roda Padrão Fixa Para α = 0º e β = 0º: se θ = 0º: y r v x r !x!y!θ = 1 0 0!x!y!θ = 0 Não ocorre escorregamento lateral!! EESC-USP M. Becker

32 Cinemática Roda Padrão Esterçável y r Quando comparada à roda padrão fixa, há a adição de um grau de liberdade. A roda gira em torno do eixo vertical que passa pelo centro da roda e o ponto de contato com o chão (β varia com o tempo...). α x r β(t) EESC-USP M. Becker

33 Cinemática Roda Padrão Esterçável Na direção do plano da roda: Rolagem pura!! s(α + β) c(α + β) lcβ R(θ)! ξ r!ϕ = 0 y r c(α + β) s(α + β) lsβ α x r R(θ)! ξ = 0 β(t) Na direção ortogonal ao plano da roda. EESC-USP M. Becker

34 Cinemática Rodas Pivotadas y r Capaz de girar sobre o eixo vertical que não passa pelo ponto de contato com o solo. O corpo rígido AB conecta a roda ao chassis. β e β variam com o tempo... α. x r d β(t) ϕ, r EESC-USP M. Becker

35 Cinemática Rodas Pivotadas y r Configuração altera as restrições quanto ao escorregamento. Força lateral na roda atua no ponto A (chassis). Devido ao off-set a restrição de que o movimento lateral é nulo, não é válida! α x r d β(t) ϕ, r EESC-USP M. Becker

36 Cinemática Rodas Pivotadas s(α + β) c(α + β) lcβ R(θ)! ξ r!ϕ = 0 y r c(α + β) s(α + β) d + lsβ α x r R(θ)! ξ r!ϕ = 0 d β(t) ϕ, r EESC-USP M. Becker

37 Cinemática Rodas Pivotadas y r Todo movimento ortogonal ao plano da roda é compensado com um movimento equivalente e oposto Qualquer movimento lateral é permitido... Provoca movimento do chassis... α x r EESC-USP M. Becker d β(t) ϕ, r Robô com 4 rodas pivotadas é considerado omni-direcional

38 Cinemática Rodas Omni-direcionais (Suecas) y r Não possuem eixo de rotação vertical Possuem 1DoF adicional nas rodas Roda fixa padrão com roletes montados nos perímetros das rodas em um ângulo γ com o plano da roda Dependendo do ângulo γ, os movimentos no eixo principal e o eixo das rodas podem ser acoplados... α x r γ = 0º γ = 45º EESC-USP M. Becker

39 Cinemática Rodas Omni-direcionais (Suecas) s(α + β + γ ) c(α + β + γ ) lc(β + γ ) R(θ)! ξ r!ϕcγ = 0 y r c(α + β + γ ) s(α + β + γ ) ls(β + γ ) α x r γ = 0º γ = 45º R(θ)! ξ r!ϕsγ r sw!ϕ sw = 0 EESC-USP M. Becker

40 Cinemática Rodas Esféricas y r Não apresenta restrições diretas à locomoção Não têm eixo principal de rotação (nenhuma restrição ao rolamento e escorregamento) É omni-direcional e não estabelece restrições à cinemática do chassis. α x r BallBot - CMU EESC-USP M. Becker

41 Cinemática Rodas Esféricas s(α + β) c(α + β) lcβ R(θ)! ξ r!ϕ = 0 y r c(α + β) s(α + β) lsβ R(θ)! ξ = 0 α x r BallBot - CMU EESC-USP M. Becker

42 Cinemática Restrições Cinemáticas Dado um robô com m rodas Cada roda (dependendo do tipo) pode ou não impor alguma restrição cinemática ao movimento do robô. A posição das rodas no chassis do robô deve ser levada em conta para verificar as restrições impostas Dica: atenção com as rodas padrão e esterçáveis! EESC-USP M. Becker

43 Cinemática Restrições Cinemáticas Qual é a manobrabilidade do robô considerando a combinação da diferentes rodas? Fixa Esterçável Supondo que se tem: N = N f + N s β s (t) é o ângulo de esterçamento das Rodas N s β f (t) é o ângulo de orientação das Rodas N f Ambas rodas têm posições rotacionais ϕ f (t) e ϕ s (t) em torno do eixo horizontal que variam em função do tempo: ϕ ( t) ϕ( t) = ϕ ( t) f s EESC-USP M. Becker

44 Cinemática Restrições Cinemáticas Quanto ao Rolamento: J 1 (β s )R(θ)! ξ J 2!ϕ = 0 1 Semelhante às equações obtidas para uma única roda. 2 Ao invés de valores, matrizes são empregadas... J 1 (β s ): matriz com as projeções para todas as rodas de suas locomoções sobre os planos individuais J 2 : matriz diagonal N x N dos raios das rodas J 1 ( β s ) = J 1s EESC-USP M. Becker J 1 f ( β s )

45 Cinemática Restrições Cinemáticas Quanto ao Escorregamento (mov. lateral): C 1 (β s )R(θ)! ξ = 0 ( β C 1f e C 1s : matrizes (N f x 3) e (N s x 3) cujas colunas são os 3 termos k x, k y e k θ para todas as rodas fixas e esterçáveis. C 1 s ) = C1 f C1 ( β s 1 Semelhante às equações obtidas para uma única roda. 2 Ao invés de valores, matrizes são empregadas... s ) EESC-USP M. Becker

46 Cinemática Restrições Cinemáticas Assim: J 1 (β s )R(θ)! ξ J 2!ϕ = 0 C1(β s )R(θ)! ξ = 0 J 1 (β s ) C 1 (β s ) R(θ)! ξ = J 2!ϕ 0 Na forma Matricial EESC-USP M. Becker

47 Cinemática Restrições Cinemáticas Exemplo: Robô Omni-direcional y y r Palm Pilot Robot Kit - CMU {I} CIR x x r EESC-USP M. Becker

48 Sumário da Aula Introdução Cinemática Manobrabilidade e Workspace Controle Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada EESC-USP M. Becker

49 Manobrabilidade Manobrabilidade É uma combinação de: Restrições ao movimento DoFs adicionais obtidos através do esterçamento 3 rodas são suficientes para estabilidade estática Rodas adicionais devem ser sincronizadas Equacionada através das equações anteriores: Grau de Mobilidade (δ m ), Grau de Esterçamento (δ s ) e Manobrabilidade (δ M = δ m + δ s ) EESC-USP M. Becker

50 Manobrabilidade Grau de Mobilidade Para se evitar escorregamento lateral o vetor R(θ)! ξ tem que satisfazer as seguintes condições: C 1 (β s )R(θ)! ξ = 0 C 1 ( β s ) = C1 f C1 ( β s s ) C 1 f R(θ)! ξ = 0 C 1s (β s )R(θ)! ξ = 0 EESC-USP M. Becker

51 Manobrabilidade Grau de Mobilidade Matematicamente: R(θ)! ξ deve pertencer ao espaço nulo da matriz de projeção Ou seja: para um vetor n em N, o espaço nulo de no espaço N é: C ( β 1 s C1 ( β s ). n = 0 Geometricamente: ) C β ( 1 s Centro Instantâneo de Rotação (CIR) ) EESC-USP M. Becker

52 Manobrabilidade Centro Instantâneo de Rotação (CIR) CIR Ângulos de Arckeman CIR Bicicleta EESC-USP M. Becker

53 Manobrabilidade Grau de Mobilidade: A cinemática do chassis do robô é uma função do conjunto de restrições independentes rank(c 1 (β s )) Quanto maior o rank, mais limitada é a mobilidade!! Matematicamente: δ m [ C ( β )] = 3 rank[ C ( β )] = dim N s 1 1 s Sem rodas padrão: rank(c 1 (β s )) = 0 Restrição em todas direções: rank(c 1 (β s )) = 3 0 δ m 3 EESC-USP M. Becker

54 Manobrabilidade Grau de Esterçamento DoF indireto [ ( )] δ = rank β s C1 s s 0 δ s 2 O controle do ângulo de esterçamento impõe uma restrição cinemática, porém aumenta o grau de manobrabilidade! EESC-USP M. Becker

55 Manobrabilidade Grau de Manobrabilidade δ = δ + δ M m s Dois robôs (veículos) com o mesmo δ M não são necessariamente iguais! Pygmalion Acionamento Diferencial Piaggio Triciclo EESC-USP M. Becker

56 Manobrabilidade Grau de Manobrabilidade Para um robô com δ M = 2, o CIR move-se ao longo de uma linha Para um robô com δ M = 3, o CIR pode estar em qualquer lugar no plano Ex.: Robô com acionamento Síncrono δ M = δ m + δ s = = 2 EESC-USP M. Becker

57 Manobrabilidade Exemplo: Acionamento Síncrono EESC-USP M. Becker

58 Manobrabilidade 5 tipos básicos de Configuração de Rodas Omnidirecional Diferencial Omnidirecional Triciclo Duplo Esterçamento EESC-USP M. Becker

59 Workspace Graus de Liberdade Manobrabilidade é equivalente a DoF? Mas, qual o DoF no ambiente? Exemplo: Carros Workspace: área de trabalho Como o robô pode se mover em sua área de trabalho? Differentiable Degrees of Freedom (DDoF): relacionado com a Mobilidade do Robô (δ m ) EESC-USP M. Becker

60 Workspace Graus de Liberdade DoF: habilidade do robô atingir várias posições DDoF: habilidade do robô executar várias trajetórias DDoF δ m DoF Exemplo: Bicicleta: δ M = δ m + δ s = = 2 DDoF = 1 e DoF = 3 Omni-drive: δ M = δ m + δ s = = 2 DDoF = 3 e DoF = 3 EESC-USP M. Becker

61 Workspace Robôs com acionamento Omnidirecional y Rodas fixas (esterçáveis ou não) impõem restrições não-holonômicas. {I} 0 3 1=2 x EESC-USP M. Becker DDoF = 3 DoF = 3

62 Workspace Robôs com Duplo-esterçamento y {I} 5 1=2=3=4 0 0 x DDoF = 3 DoF = 3 EESC-USP M. Becker

63 Sumário da Aula Introdução Cinemática Manobrabilidade e Workspace Controle Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada EESC-USP M. Becker

64 Controle Controle de Movimentação Objetivo: seguir a trajetória descrita pela posição e/ou perfis de velocidade em função do tempo. Não pode-se empregar cinemática inversa em robôs não-holonômicos. Muitos controladores não consideram a dinâmica do sistema pequenas velocidades de locomoção. EESC-USP M. Becker

65 Controle Sistemas Não-holonômicos Equações diferenciais não são integráveis para se obter a posição final. Apenas a medida do S 1 deslocamento de cada roda não é suficiente para obter a posição final. É necessário saber como o movimento foi executado em função do {I} tempo! y S 1e S 1d x 1,y 1 S 2d S 2 S 2e x 2,y 2 x EESC-USP M. Becker

66 Controle Sistemas Não-Holonômicos Interpretação Matemática Robô móvel move-se ao longo da trajetória S(t). A cada instante de tempo a velocidade v(t) é: v( t) = S t = x t y cosθ + sinθ t ds = dx cosθ + dy sinθ y r y {I} P x v(t) x r θ S(t) EESC-USP M. Becker

67 Controle Sistemas Não-Holonômicos Interpretação Matemática A função v(t) é dita integrável (holonômica) se há uma função trajetória S(t) que pode ser descrita apenas por valores de x, y e θ. S ( t) = S( x, y, θ ) y r y {I} P x v(t) x r θ S(t) EESC-USP M. Becker

68 Controle Sistemas Não-Holonômicos Interpretação Matemática Assim: Com: 2 S x y = S ( t) = S( x, y, θ ) Obtém-se para ds: ds S = x dx 2 S ; y x + S y dy 2 S x θ + = S θ dθ 2 S ; θ x y r y {I} 2 S θ y P x = v(t) 2 S y θ x r θ S(t) EESC-USP M. Becker

69 Controle Sistemas Não-Holonômicos Interpretação Matemática No caso de um robô onde: ds = + dx cosθ dy sinθ Comparando com: Encontra-se: ds = S x S S S = cos θ; = sinθ; = 0 x y θ dx y {I} + y r S y dy P x S + θ dθ v(t) x r θ S(t) EESC-USP M. Becker

70 EESC-USP M. Becker Controle Sistemas Não-Holonômicos Interpretação Matemática Observando a condição para holomicidade: Verifica-se que o 2º e o 3º termo na equação não são satisfeitos!! 0 cos 0 sin = = θ θ e θ θ θ θ = = = y S y S x S x S x y S y x S ; ;

71 Controle Controle em Malha Aberta Trajetória dividida em segmentos definidos em função de seu formato Segmentos de reta Arcos de circunferência Controle: calcular previamente uma trajetória suave baseada em segmentos de reta e arcos de circunferência {I} y x EESC-USP M. Becker

72 Controle Controle em Malha Aberta Desvantagens: Não é uma tarefa fácil obter uma trajetória prédefinida possível; É necessário considerar as limitações e restrições do robô com relação a velocidades e acelerações; Não pode ser empregada em ambientes dinâmicos; Em geral, as trajetórias obtidas não são exatamente suaves. {I} y x EESC-USP M. Becker

73 Controle Controle em Malha Fechada k ij =k(t,e) Deseja-se encontrar uma matriz de controle K: k = k t EESC-USP M. Becker K Para que o controle de v(t) e ω(t) reduza o erro e a zero k k k k xr v( t) = = K. e K. yr ω( t) θr lim e( t) = 0

74 Controle Controle de Posição - Cinemática y g = y Δy y r Δx gol x r x g = x Modelo Cinemático de um Robô com Acionamento Diferencial!x!y!θ = cosθ sinθ v ω EESC-USP M. Becker

75 EESC-USP M. Becker Controle Controle de Posição Cinemática Coordenadas Polares: Sistema: ) ( ), tan 2( 2 2 α θ β θ α ρ + = Δ Δ = + Δ Δ = x y a y x Para α I 1 : (- π / 2, π / 2 ]!ρ!α!β = cosα sinα ρ sinα ρ v ω

76 EESC-USP M. Becker Controle Controle de Posição Cinemática Coordenadas Polares: Sistema: ) ( ), tan 2( 2 2 α θ β θ α ρ + = Δ Δ = + Δ Δ = x y a y x Para α I 2 : (-π,- π / 2 ] ( π / 2, π]!ρ!α!β = cosα sinα ρ sinα ρ v ω

77 Controle Controle de Posição Cinemática Conclusões: A transformação de coordenadas é indefinida para x = y = 0. Nesse ponto o determinante da Matriz Jacobiana da transformação é indefinido. Para α I 1, a orientação do robô móvel aponta para a posição desejada (gol) e para α I 2, a orientação é oposta à direção do gol. EESC-USP M. Becker

78 Controle Controle de Posição Cinemática Conclusões: Definindo-se adequadamente a orientação do robô em sua configuração inicial, sempre é possível ter-se α I 1 para t = 0. Entretanto isso não significa que α I 1 para todo instante t de tempo. EESC-USP M. Becker

79 Controle Controle de Posição Cinemática A Lei de Controle - Exemplo Sendo: v = k ρ ρ ω = k α + k α O sistema de controle em malha fechada:!ρ!α!β = Irá movimentar o robô para: (ρ,α,β)=(0,0,0) EESC-USP M. Becker β β k ρ ρ cosα k ρ sinα k α α k β β k ρ sinα

80 Controle Controle de Posição Cinemática A Lei de Controle - Exemplo Premissas: 1 O sinal de Controle v tem sempre o mesmo sentido (+ ou -); 2 A direção de movimento é mantida positiva ou negativa durante o trajeto 3 A manobra de aproximação final ( estacionar ) é realizada sempre sem inverter o movimento (não há balizas, etc.) EESC-USP M. Becker

81 Controle Controle de Posição Cinemática Trajetória do robô Trajetória do robô Y [mm] X [mm] Y [mm] X [mm] EESC-USP M. Becker

82 Controle Controle de Posição Cinemática Estabilidade!ρ!α =!β O sistema de controle em malha fechada é localmente estável se: k ρ > β α ρ 0 ; k < 0; k k > Prova: para x pq cos x = 1 e sin x = x k ρ ρ cosα k ρ sinα k α α k β β k ρ sinα!ρ!α!β = 0 k ρ (k α k ρ ) k β 0 k ρ 0 ρ α β EESC-USP M. Becker

83 EESC-USP M. Becker Controle Controle de Posição Cinemática Estabilidade Sendo a matriz A: O polinômio característico da matriz A: Tem soluções têm partes reais negativas, pois: = 0 0 ) ( ρ β ρ α ρ k k k k k A ( )( ) β ρ ρ α ρ λ λ λ k k k k k + + ) ( ; ; 0 > > > ρ α β ρ k k k k

84 Controle Controle de Posição Cinemática Estabilidade Para um Controle Robusto de Posição do Robô, é recomendável aplicar uma condição forte de estabilidade que garanta que o robô não alterará sua direção na aproximação final: k ρ ; k < 0; k β α + β > 3 k π k > ρ 0 EESC-USP M. Becker

85 Controle Controle de Posição Cinemática Estabilidade k ρ Assim: α α ; k < 0; k β α + β > 3 k π k > ρ I I 1 2, para t, para t desde queα(0) I desde queα(0) I EESC-USP M. Becker

86 Sumário da Aula Introdução Cinemática Manobrabilidade e Workspace Controle Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada EESC-USP M. Becker

87 Sumário da Aula Introdução Cinemática Manobrabilidade e Workspace Controle Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada EESC-USP M. Becker

88 Bibliografia Recomendada LIVROS Siegwart, R. and Nourbakhsh, I.R., 2004, Introduction to Autonomous Mobile Robots, 1st Edition, MIT Press, ISBN X Sandin, P. E., 2003, Robot Mechanisms and Mechanical Devices Illustrated, McGraw-Hill, ISBN X SITES EESC-USP M. Becker

89 Bibliografia Recomendada NOTAS DE AULA Siegwart, R. (ETHZ - Suíça): Simões, A. S. (UNESP - Brasil): Zufferey, J-C. (EPFL - Suíça): EESC-USP M. Becker