1 Problema Cinemático Inverso

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1 Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Departamento de Sistemas Elétricos de Automação e Energia ENG04479-Robótica-A Modelo Cinemático Inverso Prof. Walter Fetter Lages 29 de abril de Problema Cinemático Inverso O problema cinemático inverso consiste em obter-se os valores das variáveis de junta do manipulador a partir da posição e orientação (desejada) do efetuador final. Ou seja, deseja-se computar θ 1, θ 2,...,θ n a partir de um 0 T d n especificada. Igualando-se a matriz 0 T d n e a matriz 0 T n computada pelo modelo cinemático direto pode-se obter 16 equações envolvendo as variáveis de junta. Destas equações, 4 são triviais. Outras 9 são referentes à parte de rotação da matriz de transformação homogênea e portanto apenas 3 destas equações são independentes. A parte de translação da matriz de transformação homogênea fornece outras 3 equações independentes. Tem-se portanto um sistema com 6 equações e n incógnitas correspondentes às variáveis de junta. Assim, se o manipulador tiver 6 graus de liberdade, tem-se, a princípio, um sistema de equações que pode ser solucionado para obter-se os valores das variáveis de junta para qualquer posição e orientação especificada para o efetuador final. 2 Considerações 1. Existência de Soluções 2. Multiplicidade de Soluções 3. Método de Solução (a) Soluções em Forma Fechada i. Método Algébrico ii. Método Geométrico 1

2 iii. Solução de Pieper (b) Soluções em Forma Aberta i. Métodos Numéricos 3 Método Algébrico Figura 1: Modelo cinemático inverso pelo método algébrico. 0 T 3 = C 123 S l 1 C 1 + l 2 C 12 + l 3 C 123 S 123 C l 1 S 1 + l 2 S 12 + l 3 S

3 0 T d 3 = C φ S φ 0 x S φ C φ 0 y Fazendo-se 0 T d 3 = 0 T 3 pode-se obter as equações C φ = C 123 (1) S φ = S 123 (2) x = l 1 C 1 + l 2 C 12 + l 3 C 123 (3) y = l 1 S 1 + l 2 S 12 + l 3 S 123 (4) Substituindo-se as expressões (1) e (2) em (3) e (4) e rearranjando-se de forma que os termos conhecidos estejam de um lado da igualdade e os termos dependentes das incógnitas estejam do outro, tem-se x l 3 C φ = l 1 C 1 + l 2 C 12 (5) y l 3 S φ = l 1 S 1 + l 2 S 12 (6) Elevando-se ao quadrado e somando-se as expressões (5) e (6) resulta (x l 3 C φ ) 2 + (y l 3 S φ ) 2 = l 2 1 C l 1C 1 l 2 C 12 + l 2 2 C l2 1 S l 1S 1 l 2 S 12 + l 2 2 S2 12 = l l l 1 l 2 (C 1 C 12 + S 1 S 12 ) e portanto = l l l 1l 2 cos (θ 1 (θ 1 + θ 2 )) = l l l 1l 2 C 2 C 2 = (x l 3C φ ) 2 + (y l 3 S φ ) 2 l 2 1 l 2 2 2l 1 l 2 (7) Obviamente deve-se ter 1 C 2 1. No entanto, o valor calculado através da expressão (7) pode eventualmente estar fora desta faixa. Isto significa que o ponto (x, y, φ) está fora do espaço de trabalho do manipulador. Para obter-se o valor do ângulo θ 2 deve-se evitar o uso da função acos( ), pois desta forma perde-se a informação de quadrante do ângulo. O correto é calcular o valor de θ 2 através da função atan2(, ) 1 Para tanto necessita-se obter o valor de S 2, através de 1 Esta função retorna o valor do ângulo no quadrante correto, entre π e +π. 3

4 S 2 = ± 1 C2 2 (8) Note-se que os dois sinais na expressão (8) indicam a existência de duas possíveis soluções: Uma com o cotovelo do robô para cima e outra com o cotovelo para baixo. Pode-se portanto, calcular o valor de θ 2 pela expressão Conhecendo-se θ 2, pode-se, de (5) e (6), escrever: θ 2 = atan2(s 2, C 2 ) (9) de onde é possível obter-se x l 3 C φ = l 1 C 1 + l 2 C 1 C 2 l 2 S1S 2 y l 3 S φ = l 1 S 1 + l 2 S 1 C2 + l 2 C 1 S 2 com x l 3 C φ = K 1 C 1 K 2 S 1 (10) y l 3 S φ = K 1 S 1 + K 2 C 1 (11) tem-se Através das seguintes mudanças de variáveis K 1 = l 1 + l 2 C 2 K 2 = l 2 S 2 (12) r = K K 2 2 γ = atan2(k 2, K 1 ) K 1 = r cosγ (13) K 2 = r sen γ (14) Aplicando as transformações (13) e (14) nas expressões (10) e (11), tem-se x l 3 C φ = rc γ C 1 rs γ S 1 y l 3 S φ = rc γ S 1 + rs γ C 1 4

5 que pode ser escrita de forma mais compacta como de onde pode-se obter x l 3 C φ r y l 3 S φ r = cos(γ + θ 1 ) = sen(γ + θ 1 ) ou ( y l3 S φ γ + θ 1 = atan2, x l ) 3C φ = atan2(y l 3 S φ, x l 3 C φ ) r r θ 1 = atan2(y l 3 S φ, x l 3 C φ ) γ = atan2(y l 3 S φ, x l 3 C φ ) atan2(k 2, K 1 ) e finalmente θ 1 = atan2(y l 3 S φ, x l 3 C φ ) atan2(l 2 S 2, l 1 + l 2 C 2 ) (15) Note-se que o sinal de θ 2 afeta S 2 que afeta θ 1. Conhecendo-se θ 1 e θ 2 pode-se determinar θ 3. De (1) e (2) tem-se ou atan2(s φ, C φ ) = atan2(s 123, C 123 ) de onde atan2(s φ, C φ ) = θ 1 + θ 2 + θ 3 θ 3 = atan2(s φ, C φ ) θ 1 θ 2 (16) 4 Método Geométrico A solução para o problema cinemático inverso através do método geométrico baseia-se na decomposição do manipulador em planos. Considerando-se a configuração com o cotovelo para cima tem-se, pela Lei dos Cossenos: (x l 3 C φ ) 2 + (y l 3 S φ ) 2 = l l 2 2 2l 1 l 2 cos(180 + θ 2 ) 5

6 Figura 2: Modelo cinemático inverso pelo método geométrico. já que nesta situação θ 2 < 0. E como cos(180 + θ 2 ) = cos θ 2, chega-se a C 2 = (x l 3C φ ) 2 + (y l 3 S φ ) 2 l l2 2 2l 1 l 2 Neste caso, o valor de θ 2 pode ser calculado por θ 2 = acos(c 2 ) pois devido à hipótese de que θ 2 < 0, o quadrante do ângulo está bem definido. Pode-se facilmente perceber que para a configuração com o cotovelo para baixo tem-se Definindo-se θ 2 = θ 2 6

7 β = atan2(y l 3 S φ, x l 3 C φ ) Tem-se que quando o cotovelo está para cima θ 1 = β + α, com α 0 e quando o cotovelo está para baixo θ 1 = β α, com α 0. α pode ser obtido utilizando-se a Lei dos Cossenos: l 2 2 = ( (x l 3 C φ ) 2 + (y l 3 S φ ) 2 ) 2 +l 21 2l 1 (x l 3 C φ ) 2 + (y l 3 S φ ) 2 cosα Logo cos α = (x l 3C φ ) 2 + (y l 3 S φ ) 2 + l 2 1 l 2 2l 1 (x l3 C φ ) 2 + (y l 3 S φ ) 2 e novamente tem-se que α pode ser calculado por α = acos(cosα), já que o quadrante do ângulo é conhecido. Note que α = α. Tem-se também que φ = θ 1 + θ 2 + θ 3. Portanto e θ 3 = φ θ 1 θ 2 θ 3 = φ θ 1 θ 2 5 Solução de Pieper Para manipuladores com 6 (ou 5 ou 4) graus de liberdade, quanto as 3 (ou 2 ou 1) últimas juntas forem rotacionais e os seus eixos interceptam-se em um único ponto, é possível obter-se uma solução geral para o problema cinemático inverso [4]. Neste caso, é possível desacoplar o problema cinemático inverso em dois problemas mais simples, o problema de posicionamento inverso e o problema de orientação inverso [8]. Supondo-se um manipulador com n graus de liberdade, o problema cinemático inverso é encontrar os valores de q = [ q 1... q n ] T tais que 0 T d n = 0 T 1... n 1 T n = 0 T n (17) onde 0 Tn d é a matriz de transformação homogênea desejada, ou seja, a matriz de transformação homogênea com a posição e orientação do efetuador do robô para a qual se deseja determinar os valores das variáveis de junta. 7

8 A expressão (17) pode ser ser desmembrada em duas equações, uma correspondendo as especificações de posição e outra correspondendo as especificações de orientação: 0 P d n = 0 P n (18) 0 R d n = 0 R n (19) onde 0 Pn d e 0 Rn d representam, respectivamente, a posição e a orientação desejadas para o sistema de coordenadas n. Se os eixos das juntas n 2, n 1 e n se interceptam no ponto Q, as origens dos sistemas de coordenadas {n 1} e {n 2} (atribuídos segundo as convenções de Denavit-Hartenberg) estarão neste ponto. Neste caso, o movimento das juntas n 2, n 1 e n não alterará a posição do ponto Q. Como a origem do sistema {n} é apenas uma translação por uma distância d n ao longo de Ẑn 1 a partir de Q e Ẑn 1 está alinhado com Ẑn, tem-se que 0 P norg = 0 Q + 0 R n 1 d n n 1 Ẑ n 1 = 0 Q + 0 R n d n n Ẑ n Portanto, para posicionar o efetuador do robô no ponto 0 P d n, basta fazer Por outro lado, 0 Q = 0 P d n 0 R d n d n n Ẑ n 0 Q = 0 P (n 2)org = 0 T n 3 n 3 P (n 2)org que é função apenas de q 1...q n 3. Assim, pode-se determinar q 1...q n 3 a partir de 0 P d n 0 R d n d n n Ẑ n = 0 T n 3 n 3 P (n 2)org A determinação dos valores de q 1...q n 3 implica 0 R n 3 estar determinada e como deve-se fazer 0 R d n = 0 R n 3 n 3 R n ou ainda n 3 R n = 0 R 1 n 3 0 R d n n 3 R n = 0 R T n 3 0 R d n de onde pode-se determinar os valores de q n 2...q n. 8

9 6 Método Numérico Existem diversos métodos numéricos para calcular a cinemática inversa. Vide [2, 3] para um resumo das técnicas. Aqui serão apresentadas apenas as mais simples. Justamente por serem mais simples, estas técnicas são pouco eficientes do ponto de vista computacional e muito suceptíveis a problemas com sigularidades. 6.1 Inversa generalizada A inversa do jacobiano é tal que, dada uma pequena variação da posição dda garra, é possível calcular a variação nas coordenadas de junta[6]: q = J 1 (q) X Em geral, não existe a inversa do jacobiano, mas sim uma inversa generalizada B, que cumpre alguma das condições de Moore-Penrose: 1. JBJ = J 2. BJB = B 3. (JB) T = JB 4. (BJ) T = BJ Se B cumpre todas as quatro condições, é dita pseudo-inversa, e é única: B = J. Achar a inversa generalizada é um processo lento e que não lida adequadamente com singularidades. 6.2 Transposta do Jacobiano Em lugar de utilizar a pseudo-inversa do jacobiano, pode-se utilizar a transposta: q = J T (q) X É muito mais eficiente do ponto de vista computacional e evita problemas com singularidades. Esta aproximação é motivada por considerações físicas com base no conceito de trabalho virtual. Para resolver certos problemas de escala, pode-se introduzir um fator de escala h, e iterar até atingir a convergência: q (i+1) = hj T (q) X (i) 9

10 7 Modelo Cinemático Inverso do Manipulador Barrett WAM O modelo Cinemático Inverso do manipulador Barrett WAM apresentado nesta seção segue a aborgadem de [7], onde o modelo é desenvolvido utilizando método geométrico, mas procura-se fazer os cálculos através de uma aborgadem algébrica e não apenas geométrica. Utilizando-se a idéia do método de Piper de desacoplar posição e orientação, tem-se que a posição desejada do punho do robô pode ser obtida por: base P d 5 org = base P d garra base R d garra d garra garra Ẑ garra (20) A análise das possíveis posições do manipulador é realizada tendo como base o esquema representado na Figura 3. Nesta análise geométrica, considera-se que as partes inferior e superior do manipulador geram um volume de trabalho correspondente a uma casca esférica, sendo que a intersecção destas, pode gerar uma circunferência, um ponto ou um conjunto nulo (neste caso a posição desejada para o punho do robô não é atingível). A parte inferior do manipulador corresponde aos elementos compreendidos da base até a junta 4, e a parte superior do manipulador compreende os elementos da junta 4 até a ferramenta. Todas as possíveis soluções são calculadas considerando-se a posição normalizada do punho do manipulador posicionado verticalmente acima da junta da base. O pontos O e B representados na Figura 3 estão localizados na origem do sistema 1 e na origem do sistema 5 respectivamente, ainda, o ponto A é a origem do sistema 3, que coincide com a origem do sistema 4. Se os segmentos L 1 e L 2 pudessem girar livremente em torno dos pontos O e B respectivamente, a ponta de cada segmento geraria uma casca esférica com centros em O e B. Mas uma vez que os segmentos estão conectados no ponto A, a única solução possível é a intersecção das cascas esféricas geradas, sendo que esta intersecção pode resultar em uma circunferência, um ponto (que é equivalente a uma circunferência com raio zero) ou nula, sendo que interpreta-se a intersecção nula como um caso onde não há solução para o problema cinemático inverso. Ou seja, as possíveis posições do ponto A descrevem um circulo de raio R C em torno do ponto C que está a uma distância d C do ponto O. d C = L 1 cos(α 1 ) = d L 2 cos(α 2 ) (21) R C = L 1 sen(α 1 ) = L 2 sen(α 2 ) (22) Da geometria apresentada na Figura 3, os ângulos γ 1 e γ 2 podem ser calculados como segue: 10

11 B γ 2 L 2 d C R C A d C γ 1 L 1 O Figura 3: Geometria de intersecção dos volumes das partes inferior e superior do manipulador WAM, adaptado de [7]. γ 2 = cos 1 [( d 2 + L 2 2 L 2 1) / (2dL2 ) ] (23) γ 1 = sen 1 [L 2 sen(γ 2 )/ (L 1 )] (24) O comprimento do segmento L 1 é calculado em relação aos sistemas de coordenadas 1, sendo que o valor resultante é uma constante que não depende das variáveis de junta: L 1 = 1 P 3org 1 P 1org (25) 0 1 P 1org = 0 0 (26) 1 11

12 1 P 3org = 1 T 2 2 T 3 3 P 3org = cos(θ 2 ) 0 sen(θ 2 ) 0 cos(θ 3 ) 0 sen θ 3 ) a 3 cos θ 3 ) 0 sen(θ 2 ) 0 cos(θ 2 ) 0 sen(θ 3 ) 0 cos(θ 3 ) a 3 sen(θ 3 ) d 3 0 = cos(θ 2 )a 3 cos(θ 3 ) + sen(θ 2 )d 3 sen(θ 2 )a 3 cos(θ 3 ) cos(θ 2 )d 3 a 3 sen(θ 3 ) (27) 1 portanto: L 1 = a d 2 3 (28) e o comprimento do segmento L 2 é calculado em relação aos sistemas de coordenadas 3, sendo que da mesma forma que para o segmento L 1, o resultado é uma constante que portanto não depende das variáveis de junta: L 2 = 3 P 5org 3 P 3org (29) 0 3 P 3org = 0 0 (30) 1 3 P 5org = 3 T 4 4 T 5 5 P 5org = cos(θ 4 ) 0 sen(θ 4 ) a 4 cos(θ 4 ) cos(θ 5 ) 0 sen(θ 5 ) 0 0 sen(θ 4 ) 0 cos(θ 4 ) a 4 sen(θ 4 ) sen(θ 5 ) 0 cos(θ 5 ) d 5 0 = d 5 sen(θ 4 ) + a 4 cos(θ 4 ) d 5 cos(θ 4 ) + a 4 sen(θ 4 ) 0 (31) 0 L 2 = a d 2 5 (32) 12

13 Ainda, para calcular o valor do comprimento do segmento d utilizam-se as coordenadas dos pontos B e O, sendo que o mesmo é independente das variáveis de juntas, dependendo apenas de 0 P d 5org, que pode ser calculado de (20). d = B O (33) 1 B = 1 P d 5org = 1 T 0 0 P d 5org (34) 0 z d 5org 1 ] T pode- E considerando que 0 P5org d vai ter a forma [0 x d 5org se escrever: 0 y d 5org 1 B = E com: tem-se para d: [ cos(θ1 ) sen(θ 1 ) sen(θ 1 ) cos(θ 1 ) d = ] 0 x d 5org 0 y d 5org 0 z d 5org 1 = cos(θ 1 ) 0 x d 5org + sen(θ 1) 0 y d 5org 0 z d 5org sen(θ 1 ) 0 x d 5org + cos(θ 1) 0 y d 5org 1 (35) 0 1 O = 1 P 1org = 0 0 (36) 1 ( 0 x d 5org) 2 + ( 0 y d 5org) 2 + ( 0 z d 5org) 2 (37) Para calcular os ângulos de juntas θ 1 à θ 7, são consideradas as geometrias apresentadas nas Figuras 5 e 4 que representam respectivamente o manipulador configurado com o cotovelo para fora e para dentro, e onde pode-se verificar as posições dos pontos L J e U J. As possíveis posições para os pontos L J e U J também descrevem circunferências semelhantes a descrita pelas possíveis posições do ponto A. A partir deste ponto do trabalho, somente o ponto L J será considerado uma vez que não há necessidade de analisar o ponto U J para resolver o problema cinemático inverso. A circunferência referente a L J tem raio R LJ e está a uma distância d LJ do ponto O. Observando a Figura 4 pode-se verificar que: d LJ = d c l L sen(θ L ) (38) 13

14 B d γ 2 L 2 R C C R LJ L 1 d C d γ 1 LJ γ 4 γ 3 A U J θ U θ L L J O Figura 4: Posição do manipulador WAM com o cotovelo para fora, adaptado de [7]. B d γ 2 R LJ R C C γ 1 L 2 L J 3 γ 4 U J A θ U θl d C d LJ L 1 O Figura 5: Posição do manipulador WAM com o cotovelo para dentro, adaptado de [7]. 14

15 R LJ = R c + l L cos(θ L ) (39) onde l L = m [1] é o tamanho do "ofsset" do elo, ou seja, a distância do ponto A ao ponto L J. Para a posição com o cotovelo para fora tem-se que: γ 3 = π 2 atan2( a 4, d 5 ) (40) γ 4 = π 2 atan2(a 3, d 3 ) (41) ( π ) θ L = π 2 γ 1 γ 3 (42) ( π ) θ U = π 2 γ 2 γ 4 (43) E para a posição com o cotovelo para dentro tem-se: ( π ) θ L = γ 3 2 γ 1 ( π ) θ U = γ 4 2 γ 2 (44) (45) Deve-se observar que as possíveis posições para o ponto A descrevem uma circunferência centrada no ponto C, com raio R C a uma distância d C do ponto O, e que as possíveis posições para o ponto L J descrevem uma circunferência centrada em C LJ, com raio R LJ a uma distância d LJ do ponto O. Ainda, as Figuras 3, 4 e 5 se referem a uma posição normalizada do robô sendo que o eixo OB pode estar em qualquer orientação espacial (diferente da vertical). As circunferências descritas pelas possíveis posições dos pontos A e L J são paralelos e em torno do eixo OB. Pode-se parametrizar os mesmos através de seu raio R, distância D ao ponto O e ângulo φ [ π, π]. Ou seja, tem-se cada ponto sobre uma das circunferências dada por: R cos(φ) C n (R, D, φ) = R sen(φ) (46) D Assim, as possíveis posições para o ponto A na configuração normalizada são dadas por C n (R c, d c, φ) e as possíveis posições para o ponto L J são dadas por C n (R LJ, d LJ, φ), sendo que considerando-se o fato de que o eixo OB em geral 15

16 não está na vertical, as circunferências normalizadas precisam ser rotacionadas para a sua posição real. Sendo R n a matriz de rotação que move a posição desejada do punho do manipulador para a posição normalizada equivalente (Figura 3), tem-se: 0 0 = R 0 n P5org d (47) d A matriz R n é a matriz de rotação que rotaciona um ponto em torno de um eixo arbitrário, transformando-o em outro, cujo cálculo é mostrado no apêndice C. Assim, as possíveis posições para o ponto A são dadas por: x A 0 A = Rn T C n(r c, d c, φ) = y A (48) z A e as possíveis posições para o ponto L J são dadas por: x LJ 0 L J = Rn T C n(r LJ, d LJ, φ) = y LJ (49) z LJ Uma vez que γ 3, γ 4, θ L e θ U foram calculados, pode-se seguir: θ 1 = atan(y LJ, x LJ ) (50) θ 2 = acos ( zlj d 3 ) (51) Com sen(θ 3 ) e cos(θ 3 ) calculados de: θ 3 = atan2(sen(θ 3 ), cos(θ 3 )) (52) cos(θ 1 ) cos(θ 2 ) sen(θ 1 ) [ ] x sen(θ 1 ) cos(θ 2 ) cos(θ 1 ) cos(θ3 ) LJ x A = y sen(θ sen(θ 2 ) 0 3 ) LJ y A 1 (53) a z LJ z 3 A θ 4 = (θ U + θ L ), cotovelo para fora (54) θ 4 = (θ U + θ L ), cotovelo para dentro (55) 16

17 Os ângulos θ 5 e θ 6 podem ser calculados a partir do deslocamento da posição desejada da garra em relação a posição desejada do punho, representada no sistema de coordenadas 4, ou seja: 4 Dgarra 5 = 4 T base base Pgarra d 4 T base base P5 d x D ( = 4 R base base Pgarra d ) base P5 d = y D z D (56) 1 E: θ 5 = atan2(y D, x D ) + π, cotovelo para fora (57) θ 5 = atan2(y D, x D ), cotovelo para dentro (58) ( θ 6 = atan2 θ 6 = π atan2 ) x 2 D + y2 D z D, ( z D, x 2 D + y2 D π, cotovelo para fora 2 ) (59), cotovelo para dentro (60) Observando que [ x D y D z D ] T pode ser calculado de (56). Para proceder com o cálculo de θ 7, tem-se: base R d garra = base R 0 0 R d 6 6 R d 7 7 R garra (61) E deve-se observar que base R d garra é especificado e conhecido, base R 0 e 7 R garra são constantes e conhecidos e 0 R d 6 pode ser calculado a partir de θ 1 θ 6 que já foram determinados. E de (61) pode-se obter: 6 R d 7 = 6 R d 0 0 R base base R d garra garra R 7 (62) Por outro lado, dado que a 7 = α 7 = 0 tem-se: cos(θ 7 ) sen(θ 7 ) 0 0 r 11 r R7 d = sen(θ 7 ) cos(θ 7 ) d 7 = r 21 r d 7 (63) e portanto θ 7 = atan2(r 21, r 11 ) (64) 17

18 Referências [1] Barrett Technology, Inc., Cambridge, MA. WAM User Manual, [2] S. R. Buss. Introduction to inverse kinematics with jacobian transpose, pseudoinverse and damped least squares methods. Typeset Manuscript, available from Apr [3] S. R. Buss and J.-S. Kim. Selectively damped least squares for inverse kinematics. Typeset Manuscript, available from ~sbuss/researchweb, Apr [4] J. J. Craig. Introduction to Robotics Mechanics and Control. Addison-Wesley, second edition, [5] K. S. Fu, R. C. Gonzales, and C. S. G. Lee. Robotics Control, Sensing, Vision and Intelligence. Industrial Engineering Series. McGraw-Hill, New York, [6] V. F. Romano, editor. Robótica Industrial Aplicação na Indústria de Manufatura e de Processos. Edgard Blücher, São Paulo, [7] G. K. Singh and J. Claassens. An analytical solution for the inverse kinematics of a redundant 7dof manipulator with link offsets. In Proceedings of IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), pages , Taipei, Taiwan, IEEE Press. [8] M. W. Spong and M. Vidyasagar. Robot Dynamics and Control. John Wiley & Sons, A Relações Trigonométricas Úteis A.1 Cosseno da Soma A.2 Seno da Soma A.3 Lei dos Cossenos cos(a ± b) = cos a cosb sen a sen b sen(a ± b) = sen a cosb ± cosasen b a 2 = b 2 + c 2 2bc cosα 18

19 Figura 6: Definição de ângulos e vértices para a Lei dos Senos e Lei dos Cossenos. A.4 Lei dos Senos a sen α = b sen β = c sen γ A.5 Lei das Tangentes a + b a b = tan ( 1 (α + β)) 2 tan ( 1(α β)) 2 B Soluções Algébricas Reduzidas a Polinômios Seja uma equação trigonométrica na forma a cosθ + b sen θ = c Esta equação pode ser resolvida para θ através das seguintes transformações algébricas: Aplicando-se as transformações, tem-se cos θ = 1 u2 (65) 1 + u 2 2u sen θ = (66) 1 + u 2 tan θ 2 = u (67) a 1 u2 1 + u 2 + b 2u 1 + u 2 = c 19

20 a(1 u 2 ) + 2bu = c(1 + u 2 ) a au 2 + 2bu = c + cu 2 (c + a)u 2 2bu + (c a) = 0 u = 2b ± 4b 2 4(c + a)(c a) 2(c + a) u = b ± b 2 c 2 + a 2 c + a θ = 2 tan 1 ( b ± a2 + b 2 c 2 a + c ) C Matriz de Rotação que Relaciona Dois Pontos Seja P n um ponto obtido a partir da rotação de um ponto P em torno de um eixo arbitrário. Deseja-se determinar R n tal que P n = R n P (68) Inicialmente, nota-se que R n não altera o módulo dos vetores que representam os pontos, portanto é conveniente continuar o desenvolvimento com vetores unitários: P 1 = P P (69) P 2 = P n P n (70) A partir dos vetores unitários, o cosseno e o seno do ângulo de rotação entre eles pode ser obtido por: cos(φ) = P 1 P 2 = P T 1 P 2 (71) sen(φ) = P 1 P 2 (72) 20

21 onde e representam respectivamente os produtos escalar e vetorial entre os dois vetores. Por outro lado, o eixo em torno do qual é feita a rotação pode ser obtido por: r = 1 sen(φ) (P 1 P 2 ) = r x r y (73) r z A partir do seno e cosseno do ângulo de rotação e do eixo de rotação é possível obter a matriz de rotação, que tem a forma [5]: r 2 x vers(φ) + cos(φ) r x r y vers(φ) r z sen(φ) r x r z vers(φ) + r y sen(φ) R n = r x r y vers(φ) + r z sen(φ) ry 2 vers(φ) + cos(φ) r y r z vers(φ) r x sen(φ) r x r z vers(φ) r y sen(φ) r y r z vers(φ) + r x sen(φ) rz 2 vers(φ) + cos(φ) (74) onde vers(φ) = 1 cos(φ). 21