ROBÓTICA DENAVIT- HARTENBERG. Prof a. Dra. GIOVANA TRIPOLONI TANGERINO Tecnologia em Automação Industrial

Transcrição

1 SP CAMPUS PIRACICABA ROBÓTICA Prof a. Dra. GIOVANA TRIPOLONI TANGERINO Tecnologia em Automação Industrial DENAVIT- HARTENBERG

2 Em um robô manipulador, graus de liberdade está relacionado com a quantidade de juntas. A descrição da localização de uma ferramenta no espaço requer um mínimo de seis graus de liberdade. O objetivo da análise cinemática direta é determinar o efeito cumulativo do conjunto de juntas sobre a localização da ferramenta terminal. A evolução no tempo das coordenadas das juntas de um robô representa o modelo cinemático de um sistema articulado no espaço tridimensional. Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (ROSÁRIO, 2010)

3 DENAVIT-HARTENBERG Modelo Denavit-Haternberg (DH) de representação: Publicado em 1955 A notação de Denavit-Hartenberg (DH) é uma ferramenta utilizada para sistematizar a descrição cinemática de sistemas mecânicos articulados com n graus de liberdade. Forma simples de modelagem de elos e articulações robóticos que pode ser usada para qualquer configuração de robô manipulador, independentemente de sua sequência ou complexidade. O modelo DH pode ser utilizado em programas de geração de trajetórias e de identificação de erros, entre outros, uma vez que são necessárias apenas as coordenadas do elemento terminal. O deslocamento da junta é denotado por q i e é chamada de variável de junta. A coleção de variáveis de juntas é chamado de vetor de junta: q = [q 1, q 2, q n ] T A posição do terminal é denotada por um vetor dimensional: r = [r 1, r 2, r m ] T A relação entre r e q determinada pelo mecanismo manipulador é dada por: r = f(q) Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (ROSÁRIO, 2010) (NIKU, 2015)

4 DENAVIT-HARTENBERG Pode ser utilizado para modelar e analisar qualquer tipo de robô manipulador: Podem ser feitos de uma sucessão de juntas e elos em qualquer ordem e sob qualquer forma As juntas podem ser prismáticas (lineares) ou de revolução (rotação), mover-se em diferentes planos, e ter deslocamentos. Os elos podem ser de qualquer comprimento, incluindo zero; podem ser torcidos e dobrados e pode estar em qualquer plano. Pode ser usado para representar transformações em quaisquer coordenadas (cartesianas, cilíndricas, esféricas, Euler e RAG). Pode ser usado para a representação de todos os robôs com juntas de revolução, robôs SCARA, ou quaisquer combinações possíveis de juntas e elos. Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (ROSÁRIO, 2010) (NIKU, 2015)

5 DENAVIT-HARTENBERG No modelo DH, é atribuído um sistema de referência a cada elo. Então são definidas as matrizes de transformação entre todos dois referenciais sucessivos, desde a base até o elemento final. A combinação de cada matriz transformação entre referenciais sucessivos, fornece a matriz de transformação total do robô, que vai levar a base até o elemento final. Quatro parâmetros são associados com cada elo do manipulador: (a, α, d, θ) Esses parâmetros descrevem completamente o comportamento cinemático de uma junta prismática ou de revolução. Este parâmetros constituem um conjunto suficiente para determinar a configuração cinemática de cada elo do manipulador. (a, α): determinam a estrutura do elo e os parâmetros da junta. (d, θ): determinam a posição relativa de elos vizinhos. Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (ROSÁRIO, 2010) (NIKU, 2015)

6 PASSO A PASSO DH Passo 1) Numerar juntas e elos. Passo 2) Atribuir um sistema de referência local para cada elo Passo 3) identificar os parâmetros associados com cada elo do manipulador (a, α, d, θ) e montar a tabela DH Passo 4) Obter as matrizes de transformação homogênea A Passo 5) Obter a equação cinemática direta do robô Passo 6) Obter a equação cinemática inversa do robô Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (NIKU, 2015)

7 DENAVIT-HARTENBERG (passo 1) Juntas: considere um manipulador com n juntas, numeradas de 1 a n Elos: haverá n+1 elos, numerados de 0 a n O elo 0 é a base do manipulador, geralmente fixo O elo n carrega a ferramenta O elo i é conectado a dois outros elos [elo (i-1) e elo (i+1)] Dois eixos de junta são estabelecidos em ambos finais do elo As juntas (i-1) e (i) são conectadas pelo elo (i-1) As juntas (i) e (i+1) são conectadas pelo elo (i) A junta i conecta o elo i ao elo i-1 Quando a junta i é acionada, o elo i se move. joint= junta, articulação link= elo Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (REDDY, 2014) (NIKU, 2015)

8 DENAVIT-HARTENBERG (passo 1) elo 1 elo 2 elo 3 (ferramenta) Junta 1 Junta 2 Junta 3 elo 0 (base) Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (REDDY, 2014) (NIKU, 2015)

9 PASSO A PASSO DH Passo 1) Numerar juntas e elos. Passo 2) Atribuir um sistema de referência local para cada elo Passo 3) identificar os parâmetros associados com cada elo do manipulador (a, α, d, θ) e montar a tabela DH Passo 4) Obter as matrizes de transformação homogênea A Passo 5) Obter a equação cinemática direta do robô Passo 6) Obter a equação cinemática inversa do robô Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (REDDY, 2014) (NIKU, 2015)

10 DENAVIT-HARTENBERG (passo 2) Um sistema de referência (coordenadas) é fixado em cada elo. O referencial i é fixado no elo i, ou seja, o referencial i é fixado na junta i+1. Todas as juntas, sem exceção, são representadas por um eixo z. Cada junta tem um eixo de junta relacionado com a forma com que ela se movimenta. Por convenção, o eixo z do sistema de referência é alinhado com o eixo da junta. Articulação de rotação: eixo z está na direção de rotação como seguida pela regra da mão direita para rotações. A variável articular será a rotação em torno do eixo z(θ). Articulação prismática: o eixo z fica ao longo da direção do movimento linear. A variável articular será o comprimento do elo ao longo do eixo z, representado por d. z3 z0 z1 Junta 1 elo 1 elo 2 Junta 2 z2 elo 3 (ferramenta) Junta 3 elo 0 (base) Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (NIKU, 2015)

11 DENAVIT-HARTENBERG (passo 2) Para cada articulação, teremos que atribuir um eixo x. Situar x n sobre a linha normal comum a z n-1 e z n O eixo x é sempre atribuído ao sistema de referência local na direção da normal comum. Se a n representa a normal comum entre z n-1 e z n, a direção de x n será ao longo de a n. Se a normal comum entre z n e z n+1 é a n+1, a direção de x n+1 será ao longo de a n+1. Junta 1 Junta 2 Junta 3 Normal comum: As articulações podem não ser necessariamente paralelas ou interseccionais: assim, os eixos z podem ser linhas inclinadas. Há sempre uma linha mutuamente perpendicular a quaisquer duas linhas inclinadas, chamada normal comum, que é a menor distância entre elas. z0 z1 elo 1 elo 2 z2 x2 As linhas normais comuns entre as articulações sucessivas não se interceptam necessariamente ou são colineares, como resultado, as origens de dois referenciais sucessivos também podem não estar na mesma localização. z1 y1 Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, x1 (REDDY, 2014) (NIKU, 2015)

12 DENAVIT-HARTENBERG (passo 2) A representação DH não usa o eixo y para nada. Regra da mão direita (z: dedão, x: indicador, y: dedo médio) O eixo y i é definido pelo produto vetorial y i = z i x i Normalmente não precisamos atribuir um eixo y, uma vez que sempre sabemos que os eixos y são mutuamente perpendiculares a ambos os eixos x e z. Assim podemos atribuir sistemas de coordenadas a todas as articulações, com as seguintes exceções: Se dois eixos z são paralelos, há um número infinito de normais comum entre eles. Pegamos a normal comum que é colinear com a normal comum da articulação anterior. Se os eixos z de duas articulações sucessivas se interceptam, não há normal comum entre eles (ou tem um comprimento zero). Vamos atribuir o eixo x ao longo de uma linha perpendicular ao plano formado pelos dois eixos. Isso significa que a normal comum é uma linha perpendicular ao plano que contém os dois eixos z, que é o equivalente a escolher a direção do produto vetorial dos dois eixos z. Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (REDDY, 2014) (NIKU, 2015)

13 DENAVIT-HARTENBERG (passo 2) Resumo da definição do sistema de referência o i x i y i z i fixado no elo i: O eixo z ao longo da direção de rotação para juntas de revolução, ou ao longo da direção de translação para juntas prismáticas. Junta 1 Junta 2 Junta 3 z2 y2 O eixo z i 1 recai sobre o eixo de movimento da i-ésima junta. x2 A origem o i está localizada na intersecção do eixo de junta z i com a normal comum a z i e z i 1. elo 1 elo 2 O eixo x i é tomado ao longo da normal comum a z i e z i 1. z0 y0 z1 O eixo y i é selecionado para completar o sistema de coordenadas seguindo a regra da mão direita. O eixo y i é definido pelo produto vetorial y i = z i x i. x0 y1 x1 Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (REDDY, 2014) (NIKU, 2015)

14 PASSO A PASSO DH Passo 1) Numerar juntas e elos. Passo 2) Atribuir um sistema de referência local para cada elo Passo 3) identificar os parâmetros associados com cada elo do manipulador (a, α, d, θ) e montar a tabela DH Passo 4) Obter as matrizes de transformação homogênea A Passo 5) Obter a equação cinemática direta do robô Passo 6) Obter a equação cinemática inversa do robô Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (REDDY, 2014) (NIKU, 2015)

15 DENAVIT-HARTENBERG (passo 3) Juntas: Um eixo de junta estabelece a conexão entre dois elos. O eixo de junta terá duas normais conectadas a ela, um para cada elo. O deslocamento relativo que ocorre na junta i pode ser descrito por 2 parâmetros, chamados de distância e ângulos entre elos adjacentes, que determinam a posição relativa entre elos vizinhos : θ i : ângulo de junta ou ângulo de rotação do eixo da junta (joint angle) d i : distância entre elos ou deslocamento ao longo do eixo da junta (link offset) Para juntas de revolução, θ i, varia e d i é um comprimento fixo (zero ou constante). Para juntas prismáticas, d i, varia e θ i é zero ou constante. Elo: É o elemento sólido entre juntas. Os elos mantêm uma configuração fixa entre duas juntas que pode ser caracterizada por 2 parâmetros (a i e α i ), que determinam a estrutura do elo: a i ou r i : comprimento do elo (link length) α i : ângulo de torção do elo (twist angle) Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (NIKU, 2015)

16 DENAVIT-HARTENBERG (passo 3) θ i : ângulo de junta (joint angle) é o ângulo entre x i 1 e x i medido sobre o plano normal ao eixo z i 1 ângulo de rotação em torno do eixo da junta z i z1 É a rotação de um elo em relação ao próximo sobre o eixo da junta. Junta 1 Junta 2 z1 z0 2 theta2 1 a2 Junta 3 z2 x2 elo 1 elo 2 a1 z1 y1 Compara com o eixo anterior x1 Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (REDDY, 2014) (NIKU, 2015)

17 DENAVIT-HARTENBERG (passo 3) d i : Distância entre elos (link offset) é a distância de x i 1 a x i medido ao longo de z i 1 Junta 1 Junta 2 z1 Junta 3 z2 Representa a posição relativa (distância) entre um elo e seu anterior, ao longo do eixo da junta anterior. z0 a2 elo 1 elo 2 x2 É a distância medida ao longo do eixo de junta z i 1 entre duas sucessivas normais comuns (a i e a i-1 ) a1 d2 Compara com o eixo anterior x1 Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (REDDY, 2014) (NIKU, 2015)

18 DENAVIT-HARTENBERG (passo 3) a i (ou r i ):comprimento do elo (link length) é a distância de z i 1 a z i medido ao longo de x i Medida ao longo da normal comum entre um eixo junta e o eixo de junta anterior. representa a menor Junta 1 Junta 2 z1 r2 Junta 3 z2 x2 distância entre os eixos z i e z i-1 tomada ao longo de x i. É a menor distância medida ao longo do eixo x i a partir do ponto de interseção do eixo x i com o eixo z i 1 até a origem i. elo 1 elo 2 Compara com o eixo anterior Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (REDDY, 2014) (NIKU, 2015)

19 DENAVIT-HARTENBERG (passo 3) α i : ângulo de torção do elo (twist angle) alfa2 x2 é o ângulo entre z i 1 e z i medido sobre o plano normal ao eixo x i. Define o ângulo entre um eixo de junta e o eixo de junta anterior Junta 1 Junta 2 z0 z1 Junta 3 z2 x2 Define o ângulo entre eixos de junta. no sentido da regra da mão direita. elo 1 elo 2 Compara com o eixo anterior Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (REDDY, 2014) (NIKU, 2015)

20 DENAVIT-HARTENBERG (passo 3) Ângulo de junta: θ i é o ângulo entre x i 1 e x i medido sobre o plano normal ao eixo z i 1 alfa2 Distância entre elos: d i é a distância de x i 1 a x i medido ao longo de z i 1 Comprimento do elo: a i é a distância de z i 1 a z i medido ao longo de x i Ângulo de torção: α i é o ângulo entre z i 1 e z i medido sobre o plano normal ao eixo x i //z1 Junta 1 Junta 2 Junta 3 z1 z2 z1 z0 2 a2r2 2 theta2 1 elo 1 elo 2 3 x2 d2 a1 z1 y1 elo, i juntas θ i d i a i α i θ 1 d 1 a 1 α θ 2 d 2 a 2 α 2 1 x1 0 Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (REDDY, 2014) (NIKU, 2015)

21 DENAVIT-HARTENBERG (passo 3) Tabela de parâmetros DH: Utilizada para facilitar o cálculo das matrizes A. Utiliza os parâmetros de articulações e elos, em que os valores que representam cada elo e articulação são determinados a partir do desenho esquemático do robô e são substituídos em cada matriz A. elo, i juntas θ i d i a i α i θ 1 d 1 a 1 α θ 2 d 2 a 2 α 2 Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (NIKU, 2015)

22 PASSO A PASSO DH Passo 1) Numerar juntas e elos. Passo 2) Atribuir um sistema de referência local para cada elo Passo 3) identificar os parâmetros associados com cada elo do manipulador (a, α, d, θ) e montar a tabela DH Passo 4) Obter as matrizes de transformação homogênea A Passo 5) Obter a equação cinemática direta do robô Passo 6) Obter a equação cinemática inversa do robô Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (REDDY, 2014) (NIKU, 2015)

23 DENAVIT-HARTENBERG (passo 4) Passo 4: Determinar as matrizes de transformação homogênea A seguir os movimentos necessários para transformar um sistema de referência para o próximo. Temos que estabelecer uma sequência de movimentos entre dois referenciais sucessivos que vai transformar um no outro. Começando com o sistema de referência do robô, podemos transformar para a primeira articulação, para a segunda e assim por diante, até o atuador final. A manutenção exata da mesma sequência de movimentos entre os referenciais n+1 e n+2 vai transformar um no outro, e repetindo isso conforme necessário, podemos transformar entre referenciais sucessivos. A sequência de movimentos permanece a mesma entre dois referenciais quaisquer. Sequência de movimentos: Supondo que estamos no sistema de referência local x n -z n, vamos fazer o padrão de quatro movimentos para chegar ao próximo sistema local de referência x n+1 -z n+1. 1) Girar sobre o eixo z n de um ângulo θ n+1 2) Transladar ao longo do eixo z n a uma distância d n+1 3) Transladar ao longo do eixo x n (já rodado) a uma distância a n+1 4) Girar o eixo z n em relação ao eixo x n+1 de um ângulo α n+1 Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (NIKU, 2015)

24 DENAVIT-HARTENBERG (passo 4) Passo 4: Sequência de movimentos 1) Girar sobre o eixo z n de um ângulo θ n+1 Isso tornará x n e x n+1 paralelos um ao outro. Isso é verdade porque a n e a n+1 são ambos perpendiculares a z n, e girando z n de um ângulo θ n+1 vai fazê-los paralelos (e, portanto, coplanares) Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (NIKU, 2015)

25 DENAVIT-HARTENBERG (passo 4) Passo 4: Sequência de movimentos 2) Transladar ao longo do eixo z n a uma distância d n+1 para fazer x n e x n+1 colineares. Uma vez que x n e x n+1 já eram paralelos e normais a z n, movendo-os ao longo de z n irá coloca-los um sobre o outro. Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (NIKU, 2015)

26 DENAVIT-HARTENBERG (passo 4) Passo 4: Sequência de movimentos 3) Transladar ao longo do eixo x n (já rodado) a uma distância a n+1 para coincidir as origens de x n e x n+1 Neste ponto, as origens dos dois sistemas de referências serão as mesmas. Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (NIKU, 2015)

27 DENAVIT-HARTENBERG (passo 4) Passo 4: Sequência de movimentos 4) Girar o eixo z n em relação ao eixo x n+1 de um ângulo α n+1 para alinhar o eixo z n com o eixo z n+1. Neste ponto, as referências n e n+1 serão exatamente os mesmo, e teremos transformado de um para outro Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (NIKU, 2015)

28 DENAVIT-HARTENBERG (passo 4) Passo 4: Supondo que estamos no sistema de referência local x n -z n, vamos fazer o padrão de quatro movimentos para chegar ao próximo sistema local de referência x n+1 -z n+1. n A transformação T n+1 (também chamada transformação A n+1 ) entre dois referenciais sucessivos que representam os quatro últimos movimentos é o produto das quatro matrizes que as representam. Como todas as transformações são em relação ao referencial móvel (atual), todas as matrizes são pós-multiplicadas. Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (NIKU, 2015)

29 DENAVIT-HARTENBERG (passos 4 e 5) Passo 4: Na base do robô, podemos começar com a primeira articulação e transformar para a segunda articulação, e depois para a terceira, e assim por diante, até a mão do robô e, eventualmente, o atuador final. A transformação total entre a base do robô e a mão será: Em que n é o número de articulações Para um robô 6-GDL, haverá seis matrizes A. Passo 5: Obter a equação cinemática direta do robô Substituir os parâmetros nas matrizes A correspondentes. A solução cinemática direta permite-nos encontrar a localização (e orientação) do final do robô se os valores dos parâmetros são especificados. Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (NIKU, 2015)

30 Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (ROSÁRIO, 2010)

31 Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (ROSÁRIO, 2010)

32 Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (ROSÁRIO, 2010)

33 Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (ROSÁRIO, 2010)

34 Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (ROSÁRIO, 2010)

35 EXEMPLO 1 Para um robô planar simples de 2 eixos: atribua os sistemas de coordenadas necessários com base na representação D-H, preencha a tabela de parâmetros, e derive as equações de cinemática direta para o robô Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (NIKU, 2015)

36 EXEMPLO 1 Solução: Articulação 2 Passo 1: numerar articulações e elos Articulação 1 Elo 2 Passo 2: atribuir um sistema de referência a cada sistema Eixo z: está na direção de rotação Observe que o referencial 0 é fixo e não se move. O robô se move em relação a ele. Eixo x: como o primeiro referencial (referencial 0) está na base do robô e, portanto, não existem articulações antes disso, a direção de x 0 é arbitrária. Como z 0 e z 1 são paralelos, a normal comum entre eles está na direção entre os dois. Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (NIKU, 2015)

37 EXEMPLO 1 Passo 3: identificar os parâmetros associados com cada elo do manipulador (a, α, d, θ) e montar a tabela DH Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (NIKU, 2015)

38 EXEMPLO 1 Passo 4: Obter as matrizes de transformação homogênea A Realizar a sequência de movimentos sobre cada par de articulações sucessivas: 1) Girar sobre o eixo z n de um ângulo θ n+1 2) Transladar ao longo do eixo z n a uma distância d n+1 Como x 0 e x 1 estão no mesmo plano, a translação d ao longo do eixo z 0 é zero. 3) Transladar ao longo do eixo x n (já rodado) a uma distância a n+1 4) Girar o eixo z n em relação ao eixo x n+1 de um ângulo α n+1 Como os eixos z 0 e z 1 são paralelos, a rotação em torno do eixo x 1 é zero. Note que uma vez que existem duas articulações de revolução, as duas incógnitas são também ângulos articulares θ 1 e θ 2 Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (NIKU, 2015)

39 EXEMPLO 1 Passo 5: Obter a equação cinemática direta do robô Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (NIKU, 2015)

40 PROBLEMA FUNDAMENTAL Problema fundamental: desde que todos os movimento são sobre os eixos x e z, o método não pode representar qualquer movimento sobre o eixo y. Portanto, se houver qualquer movimento sobre o eixo y, o método falhará. Por exemplo, suponha que dois eixos articulares que devem ser paralelos são montados com um ligeiro desvio. O pequeno ângulo entre os dois eixos exigirá um movimento sobre o eixo y. Uma vez que todos os robôs industriais reais têm algum grau de imprecisão no seu fabrico, a sua imprecisão não pode ser modelada com a representação DH. Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino,

41 DH convenção clássica x modificada Clássica: O eixo z i 1 recai sobre o eixo de movimento da i-ésima junta. A origem o i está localizada na intersecção do eixo de junta z i com a normal comum a z i e z i 1. O eixo x i é tomado ao longo da normal comum a z i e z i 1. elo, i juntas θ i d i a i α i θ 1 d 1 a 1 α θ 2 d 2 a 2 α 2 Modificada: O eixo z i recai sobre o eixo de movimento da i-ésima junta. A origem o i está localizada na intersecção do eixo de junta z i com a normal comum a z i e z i+1. O eixo x i é tomado ao longo da normal comum a z i e z i+1. elo, i juntas θ i d i a i 1 α i θ 1 d 1 a 0 α θ 2 d 2 a 1 α 1 Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (REDDY, 2014)

42 DH convenção modificada ângulo de torção: α i 1 é o ângulo entre z i 1 e z i medido sobre o plano normal ao eixo x i 1 alfa2 Comprimento do elo: a i 1 é a distância de z i 1 a z i medido ao longo de x i 1 Comprimento do offset: d i é a distância de x i 1 a x i medido ao longo de z i Ângulo de junta: θ i é o ângulo entre x i 1 e x i medido sobre o plano normal ao eixo z i z2 Junta 1 Junta 2 Junta 3 z2 z2 z3 z2 z1 2 a2r2 2 theta2 1 x2 elo 1 elo 2 3 z1 d2 elo, i juntas θ i d i a i 1 α i θ 1 d 1 a 0 α 0 x1 a1 y θ 2 d 2 a 1 α Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (REDDY, 2014)

43 REFERÊNCIAS Denavit, J. and Hartenberg, R. S., 1955, A kinematic notation for lower-pair mechanisms based on matrices, ASME Journal of Applied Mechanisms NIKU, S.B. Introdução à robótica. Rio de Janeiro: LTC, ROSÁRIO, J.M. Robótica Industrial I: modelagem, utilização e programação. São Paulo: Baraúna, REDDY, A.C. Difference between Denavit-Hartenberg (DH) classical and modified conventions for forward kinematics of robots with case study. International Conference on Advanced Material and Manufacturing Technologies (AMMT), dec, 18-20, Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino,