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1 exame MATEMÁTICA A Daniela Raposo Luzia Gomes REVISÃO CIENTÍFICA Filipe Carvalho Universidade do Minho ATUAL E COMPLETO LIVRO + ONLINE 12 Explicação de todos os conteúdos 2400 questões com resposta detalhada Simulador de exames online Mais de 100 minutos de vídeos tutoriais Teste diagnóstico com feedback online imediato

2 ÍNDICE Tema 1 Geometria analítica no plano e no espaço Cálculo vetorial no plano e no espaço Geometria analítica 12 Exercícios resolvidos 20 Exercícios propostos 28 Itens de seleção 28 Itens de construção 35 Tema 2 Estatística Somatório Conceitos fundamentais Medidas de localização Medidas de dispersão Amostras bivariadas, coeficientes de correlação e retas de mínimos quadrados 48 Exercícios resolvidos 51 Exercícios propostos 60 Itens de seleção 60 Itens de construção 62 Tema 3 Cálculo combinatório Operações com conjuntos Princípios fundamentais de contagem Triângulo de Pascal Binómio de Newton 72 Exercícios resolvidos 73 Exercícios propostos 80 Itens de seleção 80 Itens de construção 83 Tema 4 Probabilidades Espaço amostral e experiência aleatória Espaço de probabilidade Acontecimentos e regra de Laplace Probabilidade condicionada Acontecimentos independentes Teorema de probabilidade total 92 Exercícios resolvidos 93 Exercícios propostos 104 Itens de seleção 104 Itens de construção 109 Tema 5 Sucessões Sucessão Representação gráfica de uma sucessão Sucessões monótonas Majorantes e minorantes de um conjunto Princípio de indução matemática Sucessões definidas por recorrência Progressões aritméticas 125 2

3 ÍNDICE 5.8. Progressões geométricas Limites de sucessões 128 Exercícios resolvidos 131 Exercícios propostos 142 Itens de seleção 142 Itens de construção 144 Tema 6 Funções reais de variável real Generalidades sobre funções Estudo elementar de algumas funções Operações algébricas com funções 164 Exercícios resolvidos 165 Exercícios propostos 172 Itens de seleção Limites de funções reais de variável real Levantamento de indeterminações 183 Exercícios resolvidos Continuidade de funções reais de variável real 191 Exercícios resolvidos Alguns teoremas envolvendo funções contínuas 194 Exercícios resolvidos Assíntotas ao gráfico de uma função 199 Exercícios resolvidos Derivadas de funções reais de variável real 205 Exercícios resolvidos 212 Exercícios propostos 226 Itens de seleção 226 Itens de construção 232 Tema 7 Funções exponenciais e logarítmicas Juros compostos 244 Exercício resolvido Funções exponenciais 247 Exercícios resolvidos Funções logarítmicas 251 Exercícios resolvidos Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas 262 Exercícios resolvidos Limites 272 Exercícios resolvidos Modelos exponenciais 284 Exercícios resolvidos 284 Exercícios propostos 286 Itens de seleção 286 Itens de construção 290 Tema 8 Trigonometria e funções trigonométricas Conceitos básicos de trigonometria 310 Exercícios resolvidos 311 3

4 ÍNDICE 8.2. Lei dos senos, lei dos cossenos e resolução de triângulos 312 Exercício resolvido Ângulos orientados, ângulos generalizados e rotações Razões trigonométricas de ângulos generalizados 316 Exercícios resolvidos Funções trigonométricas 320 Exercício resolvido Funções trigonométricas inversas 325 Exercícios resolvidos Equações trigonométricas 327 Exercícios resolvidos Inequações trigonométricas 332 Exercício resolvido Fórmulas de trigonometria 333 Exercícios resolvidos Limites de funções trigonométricas 334 Exercício resolvido Derivadas de funções trigonométricas 337 Exercícios resolvidos Estudo de funções definidas por f(x) = a sen(bx + c) + d, f(x) = a cos(bx + c) + d e f(x) = a tg (bx + c) + d 344 Exercício resolvido Aplicações aos osciladores harmónicos 346 Exercícios resolvidos 348 Exercícios propostos 352 Itens de seleção 352 Itens de construção 356 Tema 9 Números complexos O corpo dos números complexos Representação dos números complexos na forma z = a + bi 368 Exercícios resolvidos Forma trigonométrica de um número complexo 374 Exercícios resolvidos Raízes n-ésimas de números complexos 384 Exercícios resolvidos Conjuntos de pontos definidos por condições sobre números complexos 392 Exercícios resolvidos 393 Exercícios propostos 396 Itens de seleção 396 Itens de construção 399 Provas-modelo 409 Prova-modelo Prova-modelo Prova-modelo Prova-modelo Prova-modelo Soluções 427 4

5 Tema 1 Geometria analítica no plano e no espaço Resumo teórico + Exercícios resolvidos Exercícios de aplicação Exercícios propostos

6 RESUMO TEÓRICO + EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1.1. CÁLCULO VETORIAL NO PLANO E NO ESPAÇO SEGMENTOS DE RETA ORIENTADOS EQUIPOLENTES Dois segmentos orientados dizem-se equipolentes se têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Na figura, os segmentos orientados [C, D], [E, F], [G, H], [I, J] e [K, L] são equipolentes. L F K E J r D I C H G VETOR Na figura estão representados segmentos orientados equipolentes, isto é, que têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. B A D F C E v Diz-se que estes segmentos de reta representam o mesmo vetor. Chama-se vetor A B ao conjunto dos segmentos orientados com a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento de [A, B]. Cada um desses segmentos orientados designa-se por representante do vetor. Assim, esse vetor pode ser designado por A B ou C D ou E F ou por uma letra minúscula com uma seta por cima ( v, por exemplo), isto é, A B = C D = E F = v. Logo, um vetor é definido por: um comprimento; uma direção; um sentido. Vetores colineares Dois vetores dizem-se colineares se têm a mesma direção. 6

7 Tema 1 Geometria analítica no plano e no espaço Vetores simétricos Dois vetores dizem-se simétricos se têm a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos. Representamos por v o vetor simétrico de v ou por A B o vetor simétrico de A B e tem-se que A B = B A. Vetor nulo O vetor determinado pelos segmentos orientados de extremos iguais ([A, A], [B, B], ) designa-se por vetor nulo. Representa-se por 0. O vetor nulo tem: direção indefinida; sentido indefinido; comprimento nulo. SOMA DE UM PONTO COM UM VETOR Dado um ponto P e um vetor u existe um único ponto Q tal que u = P Q. Diz-se que o ponto Q é a soma do ponto P com o vetor u, isto é, Q = P + u. O ponto Q é a extremidade do representante de u com origem em P. u P Q Q = P + u P ADIÇÃO DE VETORES Existem dois processos para adicionar vetores: a regra do triângulo e a regra do paralelogramo (para vetores não colineares). Sejam u e v dois vetores do plano. Regra do triângulo v Regra do paralelogramo u v u u + v u v u u + v v Propriedades da adição de vetores Comutativa: u + v = v + u, para quaisquer vetores u e v. Associativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w), para quaisquer vetores u, v e w. Existência de elemento neutro: u + 0 = 0 + u = u, para qualquer vetor u. Existência de elemento simétrico para cada vetor: u + ( u) = ( u) + u = 0, para qualquer vetor u. 7

8 RESUMO TEÓRICO + EXERCÍCIOS RESOLVIDOS NORMA DE UM VETOR Fixada uma unidade de comprimento e dado um vetor v, chama-se norma do vetor v à medida do comprimento de um segmento orientado representante de v. Representa-se por v. VETOR DIFERENÇA Dados dois vetores u e v, existe um e somente um vetor w tal que w + v = u. Diz-se que o vetor w é o vetor diferença e tem-se que w = u + ( v ). Representa-se por u v. PRODUTO DE UM VETOR POR UM ESCALAR Dados um vetor v, diferente do vetor nulo, e um número real λ, diferente de zero, o produto de v por λ é o vetor λ v com: a direção de v; de v se λ > 0 sentido ; oposto ao de v se λ < 0 norma igual a λ v (fixada uma mesma unidade de comprimento para o cálculo das normas). Se λ = 0 ou v = 0, então λ v = 0. Exemplos v 1 2 v 0 v = 0 v 3 v 2 3 v De acordo com a definição dada, sabemos que o produto de um vetor (não nulo) por um número real (diferente de zero) é sempre um vetor com a mesma direção do vetor dado e com sentido igual ou oposto ao do vetor dado, consoante o número real é positivo ou negativo. Propriedade Dado um vetor v, não nulo, um vetor u é colinear a v se e somente se existir um número real λ tal que u = λ v e, nesse caso, λ é único. Propriedades da multiplicação de um vetor por um escalar Sendo u e v dois vetores e λ e μ números reais: Distributividade em relação à adição de números reais: (λ + μ) v = λ v + μ v Distributividade em relação à adição de vetores: λ( u + v ) = λ u + λ v Associatividade mista: λ(μ v ) = (λμ) v 8

9 Tema 1 Geometria analítica no plano e no espaço OPERAÇÕES COM VETORES A PARTIR DAS SUAS COORDENADAS Plano Sendo fixada uma unidade de comprimento, um plano munido de um referencial ortonormado de origem O e um vetor v, e sendo X(1, 0), Y(0, 1), e 1 = O X e e 2 = O Y, existe um e um só par ordenado (a, b) de números reais tais que v = a e 1 + b e 2. Nestas condições, o par ordenado ( e 1, e 2 ) designa- -se por base do espaço vetorial dos vetores do plano. O par ordenado (a, b) designa-se por coordenadas do vetor v na base ( e 1, e 2 ). Representa-se o vetor v de coordenadas (a, b) por v (a, b) ou, por vezes, v = (a, b). Exemplo Considera os vetores representados na figura abaixo e as respetivas coordenadas. a d b e 2 a = 1 e e 2 a(1, 0) b = 2 e e 2 b(2, 1) c = 0 e 1 2 e 2 c(0, 2) d = 3 e e 2 d( 3, 1) e = 2 e 1 2 e 2 e( 2, 2) f = 1 e1 3 e 2 f(1, 3) g = 3 e e 2 g( 3, 0) c y e 1 f e g x Espaço Fixado um referencial ortonormado no espaço de origem O, sejam X(1, 0, 0), Y(0, 1, 0), Z(0, 0, 1), e 1 = O X, e 2 = O Y e e 3 = O Z. Dado um qualquer vetor v, existe um e um só terno ordenado (a, b, c) de números reais tais que v = a e 1 + b e 2 + c e 3. O terno ordenado ( e 1, e 2, e 3 ) designa-se por uma base do espaço vetorial dos vetores do espaço, pelo facto de satisfazer aquela propriedade. O terno ordenado (a, b, c) designa-se por coordenadas do vetor v na base ( e 1, e 2, e 3 ). Representa-se o vetor v de coorde nadas (a, b, c) por v (a, b, c) ou v = (a, b, c). Exemplo Considera um referencial ortonormado de origem no espaço, o paralelepípedo [ABCODEFG] tal que a face [ABCO] está contida no plano xoy e o ponto G pertence ao eixo Oz e o vetor O E e as suas coordenadas. D A x G O E = 4 e e e 3. Logo, O E (4, 7, 5). z 5 e 3 O e 3 7 e 2 e 1 e 2 4 e 1 4 e e 2 B C y Repara que o vetor O E corresponde a um deslocamento de 4 unidades no sentido positivo do eixo Ox, 7 uni da des no sentido positivo do eixo Oy e 5 uni da - des no sentido positivo do eixo Oz. E F Fixado um plano munido de um referencial ortonormado de origem O e dados dois pontos A(a 1, a 2 ) e B(b 1, b 2 ), chama-se diferença entre os pontos B e A (e escreve-se B A) ao vetor A B. Propriedade As coordenadas de B A são a diferença entre as coordenadas de B e as coordenadas de A. Fixado um referencial ortonormado do espaço de origem O e dados dois pontos A(a 1, a 2, a 3 ) e B(b 1, b 2, b 3 ), define-se a diferença entre os pontos B e A como sendo o vetor A B. Propriedade A B = B A = (b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ) Assim, A B = B A = (b 1 a 1, b 2 a 2 ). 9

10 RESUMO TEÓRICO + EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Igualdade Adição Subtração Sejam u(u 1, u 2 ) e v(v 1, v 2 ) dois vetores do plano e A(a 1, a 2 ) um ponto do plano u = v (u 1, u 2 ) = (v 1, v 2 ) u 1 = v 1 u 2 = v 2 u + v = (u 1, u 2 ) + (v 1, v 2 ) = = (u 1 + v 1, u 2 + v 2 ) u v = (u 1, u 2 ) (v 1, v 2 ) = = (u 1 v 1, u 2 v 2 ) Sejam u(u 1, u 2, u 3 ) e v(v 1, v 2, v 3 ) dois vetores do espaço e A(a 1, a 2, a 3 ) um ponto do espaço u = v (u 1, u 2, u 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ) u 1 = v 1 u 2 = v 2 u 3 = v 3 u + v = (u 1, u 2, u 3 ) + (v 1, v 2, v 3 ) = = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ) u v = (u 1, u 2, u 3 ) (v 1, v 2, v 3 ) = = (u 1 v 1, u 2 v 2, u 3 v 3 ) Multiplicação por um escalar λ u = λ(u 1, u 2 ) = (λu 1, λu 2 ) λ u = λ(u 1, u 2, u 3 ) = (λu 1, λu 2, λu 3 ) Soma de um ponto com um vetor A + u = (a 1, a 2 ) + (u 1, u 2 ) = = (a 1 + u 1, a 2 + u 2 ) A + u = (a 1, a 2, a 3 ) + (u 1, u 2, u 3 ) = = (a 1 + u 1, a 2 + u 2, a 3 + u 3 ) Norma de um vetor u = ( u 1 ) 2 + ( u 2 ) 2 u = ( u 1 ) 2 + ( u 2 ) 2 + ( u 3 ) 2 Vetores colineares Plano Propriedade Sejam u(u 1, u 2 ) e v(v 1, v 2 ) dois vetores do plano, não nulos. u e v são colineares se e somente se u u 1, u 2, v 1, v 2 0 e 1 u = 2 ou as primeiras v 1 v 2 coordenadas de ambos forem nulas ou as segundas coordenadas de ambos forem nulas. Espaço Critério de colinearidade de vetores através das respetivas coordenadas Sejam u(u 1, u 2, u 3 ) e v(v 1, v 2, v 3 ) dois vetores do espaço, não nulos. u e v são colineares se e somente se: Condições de u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 colinearidade = = u 1 u = 2 u = 3 v 1 v 2 u 2 u = 3 v 2 v 3 v 3 0 = = = = 0 = 0 = 0 0 = 0 = 0 0 = 0 0 = 0 = 0 0 = 0 0 = 0 = 0 0 = 0 = 0 u 1 v 1 u 1 = u 3 v 3 u = 2 v 1 v 2 São sempre colineares PRODUTO ESCALAR DE UM PAR DE VETORES Ângulo de dois vetores O ângulo dos vetores u e v é o ângulo convexo, nulo ou raso a definido por representantes de cada um dos vetores com a mesma origem. Representa-se por ( u, v ). 0 o ( u, v ) 180 o 10